Секреты числа пи [Почему неразрешима задача о квадратуре круга] (Мир математики. т.7.)

Героический образ аль-Хорезми, запечатленный на советской марке 1983 года (аль-Хорезми жил на территории современного Узбекистана).

В 1424 году другой персидский ученый Джамшид ал-Каши (1380–1429) из Самарканда рассчитал значение 2π с точностью до 9 знаков, используя шестидесятиричную систему счисления (в ней числа записываются следующим образом: 1/60 = 0,1; 1/602 = 1/360 = 0,01 и т. д.). После перевода в десятичную систему счисления это соответствует точности в 16 знаков после запятой. Ал-Каши вычислил:

2π = 6 + 16/60 + 59/602 + 28/603 + 1/604 + 34/605 + 51/606 + 46/607 + 14/608 + 50/609 + …,

используя многоугольники с числом сторон 3∙228. За четверть века до него, в 1400 году, индийский математик Мадхава из Сангамаграма (ок. 1350 — ок. 1425) вычислил π с точностью до 13 знаков. Кроме того, расчеты Мадхавы отличаются оригинальностью: в них впервые используется бесконечный ряд для оценки значения π. Формула Мадхавы позднее стала известна в западном мире как «ряд Лейбница», но Мадхава открыл ее намного раньше:

π/4 = 1–1/3 + 1/5 — 1/7 + 1/9 — …

Этот ряд сходится очень медленно. Чтобы получить более или менее приемлемый результат, необходимо сложить тысячи членов ряда. Мадхава использовал этот ряд в преобразованном виде:

π = √12∙[1 — (1/3∙3) + (1/5∙32) — (1/7∙33) +…]

что и помогло ему вычислить π.

Немецкий ученый Валентин Отто (ок. 1550–1603), ярый последователь Коперника, в 1573 году рекомендовал использовать π = 355/113 ~ 3,1415929… Однако это не идет ни в какое сравнение с результатами, полученными спустя некоторое время с помощью передовых способов вычисления, а не просто путем аккуратно проведенных расчетов. Французский математик Франсуа Виет вычислил девятый знак числа π обычным способом, используя метод Архимеда и многоугольник с 393216 (6∙216) сторонами. Хотя ему и удалось вывести важную формулу, связанную с π, он не смог применить ее из-за сложных вычислений: его формула включает вычисление квадратного корня из квадратного корня числа. На современном языке математики формула Виета записывается следующим образом:

Вывод этой и других формул подробно объясняется в главе 4.

ФРАНСУА ВИЕТ (1540–1603)

Строго говоря, Виета нельзя назвать профессиональным математиком: он был адвокатом, а после восшествия на престол Генриха IV занял должность при дворе и даже служил королевским советником. Легендарную известность ему принесла криптография: он с легкостью расшифровывал послания испанского монарха Филиппа II, врага Генриха IV. Филипп II в конце концов заподозрил, что французский король заключил сделку с дьяволом, поскольку ему удавалось мгновенно угадывать все его дипломатические уловки, Виет достиг отличных результатов в геометрии и алгебре, продвинул вперед тригонометрию и решение уравнений. Возможно, важнейшим из его открытий является создание современного символического языка алгебры, который произвел революцию в математике и способствовал прогрессу в науке.

Его принципиальным соперником, а впоследствии другом был Адриан ван Роумен (1561–1615).

Виет предложил ему задачу о касающихся окружностях, известную как задача Аполлония.

В задаче Аполлония необходимо найти все окружности, касающиеся трех данных окружностей. По традиции, решение нужно было найти только с помощью циркуля и линейки.

* * *

Друг и соперник Виета, голландский геометр Адриан ван Роумен (1561–1615) бросил все силы на изучение метода Архимеда и, использовав многоугольники с огромным числом сторон, в 1593 году с точностью определил 16 десятичных знаков π.

Но огромный труд ван Роумена не сравнится с работой, которую проделал Аюдольф ван Цейлен (1540–1610). Этот немецкий математик был одержим идеей вычисления числа π. В 1596 году он нашел первые 20 знаков, позднее доведя число знаков до 35, которые стоит привести здесь:

π = 3,14159265358979323846264338327950288…

В общем случае эта задача имеет восемь различных решений.

Ван Цейлен получил такую известность, что во многих странах число π стало известно как лудольфово число. Свое любимое число ван Цейлен даже повелел высечь на своем надгробии в городе Лейден. К сожалению, во время Второй мировой войны его могила была разрушена. В главе 5 приведена иллюстрация, на которой изображена его могила с нанесенными на каменное надгробие знаками числа π, восстановленная в 2000 году. Упорные труды ван Цейлена заслуживают подобного памятника.

Виллеброрд Снелл (1580–1626), печатавшийся под латинизированным именем Снеллиус, прежде всего известен как первооткрыватель законов преломления света. Он также пробовал вычислить число π и рассчитал 35 его знаков, опубликованных в 1621 году в книге Cyclometricus. Он использовал ощутимо более точный способ по сравнению с методом Архимеда. Правильность расчетов Снелла позднее подтвердил великий Христиан Гюйгенс (1629–1695).

В 1630 году астроном Христоф Гринбергер (1561–1636), австрийский иезуит, установил новый рекорд, дойдя в расчетах до 39-го знака. Потомки достойно увековечили его память: его имя носит один из лунных кратеров. Нельзя представить лучшее вознаграждение для астронома и для того, чей сан священника не позволял принимать мирские подношения.

Большой скандал и открытие математического анализа

Готфрид Лейбниц и Исаак Ньютон обессмертили свои имена, создав анализ бесконечно малых величин — кошмар для многих студентов, видящих в этой дисциплине лишь нагромождение интегралов и производных. Лейбниц и Ньютон достигли математического рая: им удалось «приручить» бесконечность, более того, показать, как перейти от конечного к бесконечному и вернуться обратно, принеся с собой нужные результаты. Многие, подобно проницательному и мечтательному Архимеду, ступали на этот путь. Лейбниц и Ньютон смело прошли по нему и показали входы и выходы лабиринта, в котором скрывалось неизведанное.

Степенные ряды и интегралы — результат применения приемов анализа в математике. Расчет числа π перестал заключаться в механическом измерении многоугольников и стал математической задачей, требующей работы «маленьких серых клеточек», как говорил знаменитый сыщик Эркюль Пуаро.

Далее мы не будем упоминать об ученых Востока, занимавшихся вычислением π, за исключением случаев, когда им удавалось рассчитать π с крайне большой точностью или использовать оригинальные передовые методы.

ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБНИЦ (1646–1716)

Коротко изложить самые важные достижения столь разностороннего ученого, как Лейбниц, далеко не просто. Достаточно упомянуть, что полное собрание его сочинений насчитывает 25 томов и 200000 страниц. Этот исключительный ученый родился в Лейпциге. Он занимался адвокатурой, дипломатией, математической логикой, религией, историографией, а также востоковедением, двоичной арифметикой, этикой, физикой, биологией, инженерным делом. Возможно, важнейшим его вкладом в науку является интегральное исчисление и анализ бесконечно малых.

Лейбниц был вундеркиндом, много читал и схватывал все на лету, жил, не стесняясь в средствах, зарабатывая юриспруденцией и дипломатией. Он участвовал в создании первого в истории научного журнала Acta Eruditorum, в котором публиковались многие, если не все его исследования и открытия.

Ему был присущ дар метко обозначать вещи. Так, именно ему мы обязаны введением знака интеграла  и дифференциала (dх), а также многих выражений, например «жизненная сила». Часть его жизни прошла в спорах с приверженцами Ньютона (за которыми стоял сам великий Ньютон) о том, кто же является подлинным автором исчисления. Сегодня считается, что и Ньютон, и Лейбниц совершили свои открытия независимо друг от друга, а совпадение по времени является случайным. Как математик Лейбниц также внес очень важный вклад в математическую логику, теорию автоматов, двоичную систему счисления и топологию, которую сам ученый называл analysis situs.

В 1673 году Лейбниц изобрел счетную машину, способную производить четыре основных арифметических действия. Годом позже он построил первый работающий образец.

* * *

Ньютон и Лейбниц на протяжении долгого времени вели спор о том, кому же принадлежит авторство исчисления, и можно сказать, что этот спор в итоге вылился в скандал. Не будем вдаваться в суть спора и сосредоточимся на его итогах.

Около 1666 года, в разгар Великого Лондонского пожара сэр Исаак Ньютон, казалось, прохлаждался без работы, поскольку год спустя он говорил, что занялся вычислением числа π «оттого, что тогда мне было решительно нечем заняться». Оставим в стороне мотивы, которыми он руководствовался, и рассмотрим суть его расчетов. Ньютон использовал биномиальную формулу и открыл ряд

с помощью которого точно вычислил 16 знаков π. Как и во многих других случаях, Ньютон не придал этому большого значения и не упомянул об этом ни в одной из своих книг. Этот результат был опубликован после его смерти.

Следовать по пути гения всегда интересно. Проследуем путем, который прошел Ньютон.

Площадь выделенного на рисунке сектора равна π/24, так как он равен одной шестой части окружности. Если вычесть площадь треугольника, равную √(3/32), то получим площадь части сектора, обозначенной 5. Уравнение окружности, показанной на рисунке, выглядит так:

у2 + х2 = х,

СЭР ИСААК НЬЮТОН (1642–1727)

Ньютон больше известен как физик и математик, хотя он занимался алхимией, богословием, политикой, астрономией и, естественно, многими другими дисциплинами. В любом случае он является одним из важнейших ученых в истории человечества.

Его основной труд Philosophiae naturalis principia mathematica («Математические начала натуральной философии») был издан в 1687 году главным образом благодаря влиянию родных, что говорит о том, насколько замкнутым и необщительным был Ньютон. В этой книге описываются его важнейшие открытия: закон всемирного тяготения (по легенде, Ньютон открыл этот закон после того, как ему на голову упало яблоко) и исчисление бесконечно малых. Среди его достижений в физике в первую очередь стоит отметить создание теории цветов и дифракции, первого зеркального телескопа и корпускулярной теории света. Он также сформулировал законы сохранения импульса и энергии. В его работах по астрономии удивительно точно описано движение планет и природа их орбит. В чистой математике помимо дифференциального и интегрального исчисления он также изучал множество степенных рядов, формулу бинома, теорию ошибок и численный метод нахождения нулей функции.

Ньютон дважды избирался в парламент, где почти всегда хранил молчание. Единственным легендарным исключением стал случай, когда он попросил закрыть окно, потому что ему мешал сквозняк. Став в 1699 году управляющим Монетного двора и проведя много реформ, Ньютон лично отправил на виселицу нескольких фальшивомонетчиков. Он всегда считал, что его открытия в алхимии и богословии (Ньютон был наполовину монофизитом и сохранял в тайне принадлежность к этой еретической доктрине) переживут его. Ньютона практически обожествляли еще при жизни, а после смерти и похорон в Вестминстерском аббатстве на все восхваления, казалось, был наложен строгий запрет. Это объяснимо, если мы вспомним историю расправы над фальшивомонетчиками.

Исаак Ньютон на картине Уильяма Блейка (1757–1827). Величие ученого и его влияние на научный мир вдохновили Александра Поупа (1688–1744) написать такие строки:

Природы строй, ее закон

В извечной тьме таился.

И бог сказал: «Явись, Ньютон!»

И всюду свет разлился.

(Перевод А. П. Павлова)

* * *

что можно представить в виде у2 = х(1 — х) или у = √(x(1 — x)) = х1/2(1 — х)1/2 Применив методы интегрального исчисления, изобретенного самим Ньютоном, получим:

Теперь осталось лишь правильно выполнить интегрирование и не ошибиться в расчетах… либо нужно быть Ньютоном.

Его соотечественник Абрахам Шарп (1651–1742) использовал следующее равенство, полученное астрономом Эдмундом Галлеем (1656–1742):

π/6 = arctg(√3/3)

которое сегодня изучается в элементарной тригонометрии, а также важное соотношение, полученное еще одним британским ученым Джеймсом Грегори (1638–1675):

arctg x = x — (x3/3) + (x5/5) — …

и получил ряд, который на современном языке математики записывается так:

что в 1699 году позволило ему правильно вычислить 71 знак π. На самом деле Шарп рассчитал 72 знака, но ошибся в последнем. Это простительно, если учесть, что для этого пришлось сложить около 300 членов указанного ряда.

Заметим также, что в 1667 году Джеймс Грегори попытался доказать, что задача о квадратуре круга не имеет решения, но потерпел неудачу.

Несколько лет спустя, в 1706 году, Джон Мэчин (ок. 1686–1751), преподаватель астрономии, позднее ставший секретарем Лондонского королевского общества, вывел формулу, носящую теперь его имя:

π/4 = 4∙arctg (1/5) — arctg (1/239)

* * *

ДЖЕЙМС ГРЕГОРИ (1638–1675)

Не следует пугать Джеймса Грегори с его племянником Дэвидом Грегори (1659–1708), который также был математиком, дружил с Ньютоном и был одним из тех, кто ввел в употребление символ π, Джеймс Грегори известен в астрономии как изобретатель телескопа-рефлектора, а также благодаря разложению в бесконечные ряды тригонометрических функций (sin x, cos x, tg x) и обратных тригонометрических функций (arcsin х, arccos x и arctg x). Ряд, который был открыт также и Мадхавой из Сангамаграма и носит имя Мадхавы-Лейбница или Грегори-Лейбница, может быть записан в следующем виде:

Этот ряд сходится на интервале от — π/4 до π/4. Грегори одним из первых понял, что задача о квадратуре круга нерешаема.

Чтобы получить эту формулу, он выполнил следующие действия:

tg α = 1/5,

tg 2α = 2∙tg α/(1 — tg2 α) = 5/12,

tg 4α = 2∙tg 2α/(1 — tg2 2α) = 120/119,

tg (4α — π/4) = (tg 4α — 1)/(1 + tg 4α) = 1/239.

Отсюда следует искомое равенство, так как

4α — π/4 = arctg tg (4α — π/4) = arctg 1/239.

Ha основе этой формулы вкупе с известными выражениями, например