Тайна за тремя стенами. Пифагор. Теорема Пифагора

Кроме философской деятельности, Фалесу приписывают множество научных свершений, таких как открытие силы притяжения магнита и статического электричества, но особый интерес вызывают его предполагаемые математические результаты. Согласно легенде, во время торгового путешествия в Египет он вычислил высоту пирамид по их теням, которые сравнивал с тенью своего посоха. С помощью принципа подобных треугольников, то есть таких, которые имеют одинаковые углы и пропорциональные стороны, он рассчитал также расстояние от берега до лодки. Но кроме всего прочего, Фалесу приписывают дедуктивные доказательства нескольких знаменитых теорем, которые, согласно традиции, использовались уже давно, но сформулированы и доказаны были только тогда.

Доходило и до утверждений, что именно он сформулировал и доказал саму теорему Пифагора. Как бы то ни было, Фалес дал свое имя двум важнейшим теоремам:

— первая теорема Фалеса: если провести в треугольнике прямую, параллельную любой из его сторон, получившийся треугольник будет подобен заданному (см. рисунок 1);

— вторая теорема Фалеса: если взять точку В, лежащую на окружности с диаметром АС и не совпадающую с А и С_у треугольник АВС будет прямоугольным (см. рисунок 2).

РИС. 1

РИС. 2

Однако Фалесу приписывают достижение куда более значительное, чем перечисленные теоремы: считается, что именно он превратил математику в абстрактную науку. В точности подтвердить это мнение невозможно, так как наука в ее современном виде возникла только в XVI веке, в ходе научной революции, однако нет сомнений, что трем великим милетцам — Фалесу, Анаксимандру и Анаксимену — математика обязана первыми своими шагами.

Молчание документальных источников свидетельствует об интеллектуальном бесплодии Ионии со времени смерти философа Анаксимена ок. 524 года до н.э. и до взятия Милета персами в 494 году до н.э. Милетская школа, однако, не исчезла. Великие милетские идеи и открытия оказали огромное влияние на последующих мыслителей, даже если они шли иными путями. Самая близкая в хронологическом смысле к милетской школе фигура — это Пифагор, и действительно, история науки считает, что именно пифагорейцы переняли наследие милетцев. Как было сказано ранее, мы не знаем, что именно мы можем отнести к достижениям Пифагора, а что — к результатам его учеников, так что когда речь заходит о математической деятельности пифагорейцев, на самом деле имеется в виду вклад всей группы вплоть до 400 года до н.э. Из числа пифагорейцев более всего выделяются Филолай (ок. 470-385 до н. э.) и Архит (ок. 435-347 до н. э.).

СВЯЩЕННОЕ ЧИСЛО

Математические и геометрические концепции всех доэллинистических цивилизаций были связаны с материей. К примеру, для египтян прямая представлялась натянутой веревкой или бороздой в земле. Первый большой вклад греков в математику — признание того, что математические объекты, числа или геометрические фигуры — это абстракции, идеи, производимые разумом, не связанные с физическими объектами. Тем не менее можно утверждать, что они не всегда придерживались этого взгляда.

Глава V книги I «Метафизики» Аристотеля посвящена в значительной части пифагорейцам и описывает их учение о числах. В сущности, именно на текст Стагирита опираются специалисты при составлении мнения о пифагорейской философии. Указанная глава содержит ясное и точное ее описание, ставшее классическим:

«...так как, далее, они видели, что свойства и соотношения, присущие музыкальной гармонии, выразимы в числах; так как, следовательно, им казалось, что все остальное по своей природе явно уподобляемо числам и что числа — первое во всей природе, то они предположили, что элементы чисел суть элементы всего существующего и что все небо есть гармония и число. И все, что они могли в числах и гармониях показать согласующимся с состояниями и частями неба и со всем мироустроением, они сводили вместе и приводили в согласие друг с другом...»[1 Перевод А. В. Кубицкого.]

РИС.3

РИС. 4

То есть когда первые пифагорейцы говорили, что все предметы состоят из чисел или что числа — сущность Вселенной, они буквально это и имели в виду. Несмотря на все различия, можно сказать, что пифагорейцы воспринимали числа так, как современная наука воспринимает атомы. Что конкретно они подразумевали, когда говорили «число»? Сами пифагорейцы использовали три определения: число — это «ограниченная множественность», это «комбинация или скопление единиц», это «перетекающее количество». Это «скопление единиц» представлялось с помощью камешков, с помощью которых обозначались формы. Некоторые авторы указывают, что пифагорейцы VI и V веков не делали различия между числами и геометрическими точками, которые они считали маленькими шарами. В действительности представление числа как линии, состоящей из точек, последовательности значков или камней, расположенных так, чтобы образовывать правильные формы, — это особенность куда более древняя и примитивная, пришедшая из глубины веков, придающая арифметике геометрическую форму, и с ней Греция была хорошо знакома. Не напрасно общее для многих европейских языков слово «калькуляция» происходит от латинского calculus — камешек, с помощью которого производятся вычисления, и мы и сегодня говорим о «квадратах» и «кубах» чисел, а эти термины берут начало в пифагорейском геометрическом представлении числа.

Одна точка была началом всех вещей, у нее не было измерений; две точки задавали прямую и составляли первое измерение; три точки, соединенные линиями, представляли собой треугольник и задавали плоскость с двумя измерениями, а четыре точки, не лежащие на одной плоскости, формировали тетраэдр — трехмерную фигуру (см. рисунок 3).

Этот принцип применялся и для создания геометрических фигур. Оставалось только составить арифметическую прогрессию, с помощью которой ряд «точка — прямая — треугольник — тетраэдр» превращался в ряд «точка — прямая — квадрат — куб» (см. рисунок 4). В своей геометрической концепции числа пифагорейцы различали точки, комбинации которых составляли следующие единицы все более возраставшей сложности: точки образовывали линии, линии — плоскости и поверхности, а поверхности — объемные фигуры. И тем не менее следующий шаг выглядит дерзким и представляется странным для современного восприятия. Для пифагорейцев сам космос был естественной последовательностью чисел. Так как числа были тем средством, с помощью которого проявлялась реальность, то знание их свойств и отношений было равно знанию механизма Вселенной — механизма, магическим образом гармоничного, как показывали невероятные свойства чисел, открытые математикой. В рамках этого «числового мистицизма» математик был одновременно теологом, которому предстояло открыть божественный порядок. В этом метафизическом представлений отражается сочетание Пифагора-теолога с его магическим образом мыслей и Пифагора-ученого с его логическим мышлением, которое делает этого мудреца магом чисел.

ПИФАГОРЕЙСКАЯ ДЕКАДА

Изучение пифагорейцами чисел началось как духовное искание, в чем-то схожее с еврейской каббалой, где каждое число имеет символический смысл, который придает ему магические свойства и даже жизненную силу. Десять пифагорейских чисел, не включающие ноль, составляли декаду.

Единица была прародительницей всех чисел, ведь из единиц можно составить любое число (последовательным сложением). Пифагорейцы называли ее монадой и считали бесконечным источником, из которого рождается все сущее. Речь не шла о собственно универсальном числе. Единица символизировала причину, определенную стабильность вещей. Логически она ассоциировалась с нечетным и, что менее понятно, с правой стороной. Использовалась она и как символ арифметического постоянства:

(1· 1 = 1, 1/1 = 1, 11 = 1).

Двойка означала дуализм, различие, неопределенность. Пифагор называл ее диадой. Она символизировала материю, несовершенство и контраст. Из нее проистекало вечное изменение и творение, поэтому она считалась женским началом. В математическом смысле она ассоциировалась с четным и с делением. Называли ее и «первым возрастанием», потому что она формировалась как 1 + 1. Ею вводилось первое измерение — длина, но без ширины и высоты, измерение несовершенное, потому что из двух точек или двух линий невозможно построить никакую фигуру. Двойку связывали с левой стороной.

ПЕНТАЛЬФА

Мистическая пентаграмма, или пентальфа, представляет собой пятиконечную звезду. Пифагорейцы использовали эту тайную эмблему, чтобы отличать своих, а многочисленные удивительные свойства сделали ее одной из наиболее важных для братства фигур. Самое удивительное в пентаграмме то, что ее можно нарисовать, начиная с одной точки и ни разу не проходя дважды по одной стороне. Фигура получается из диагоналей правильного пятиугольника или путем продолжения его сторон.

Тройка, триада, возникала при взаимодействии монады и диады: (1 + 2) = 3. Поэтому она считалась символом совершенства, гармонии между единством и различием, и по этой причине воплощала мужское начало. С ней связывали идею времени, считая ее синтезом начала-середины-конца или прошедшего-настоящего-будущего. Из этого сакрального аспекта проистекает ритуальное обыкновение повторять некоторые жесты и действия по три раза. Тройка открывала второе измерение.

Четверка была одним из ключей к природе человека. Она обозначала неумолимый вселенский закон, так как (4 = 2 + 2). Она была одновременно причиной и следствием тех групп из четырех элементов, которые можно было найти в природе, таких как стихии (земля, вода, огонь и воздух), стороны света или времена года; но ей было подчинено и пифагорейское деление математических дисциплин (арифметика, музыка, геометрия и астрономия), откуда берет начало средневековый квадривиум. Четверка была квадратом первого четного числа и считалась обладающей совершенством и гармонией, так как (2 + 2 = 22). Именно она открывала третье измерение.

Пятерка — это союз диады и триады, женского и мужского начал и, таким образом, символ брака (2 + 3 = 5) и божественного треугольника (З2 + 42 = 52). Пять было и правильных тел, грани которых представляют одинаковые многоугольники: тетраэдр (4 треугольника), гексаэдр, или куб (6 квадратов), октаэдр (8 треугольников), додекаэдр (12 пятиугольников) и икосаэдр (20 треугольников). Кроме того, пятерка представляла собой геометрический центр девяти чисел декады 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, так что на равных расстояниях от нее находились: 1 и 9, 2 и 8, 3 и 7, 4 и 6. Огромная важность этого числа сделала его пифагорейским гербом.

Еще более священным, чем пятерка, было число 6, символ зарождения и семьи, так как шестерка предполагала союз мужского и женского начал через произведение (6 - 2 · 3). Это число было полно мистики, потому что из него складывались временные интервалы между реинкарнациями. Кроме того, оно представляло площадь божественного треугольника 3-4-5. Но важнее всего было то, что шестерка была первым совершенным числом — об этом типе чисел мы поговорим ниже.

Семерка была « девой без матери», потому что она не могла быть порождена никаким из чисел декады и, в свою очередь, не могла породить никакое из них. Семь ассоциировалось со здоровьем и светом, существовало семь музыкальных нот и семь звезд, давших название дням недели. В геометрическом смысле это число было уникальным, поскольку круг невозможно было разделить на семь равных частей никаким известным построением.

Число 8 символизировало дружбу, полноту и размышление. Значение восьмерки выражалось в ее влиянии на весь космос посредством восьми сфер, которые можно было увидеть с Земли: сферы Луны, Меркурия, Венеры, Солнца, Марса, Юпитера, Сатурна и неподвижных звезд. Это было первое кубическое число (23), а его полнота происходила из суммы двух равных квадратов (8 = 4 + 4).

Девятка была символом любви и беременности, так как обычно беременность у женщины длится девять месяцев. Связывали ее и с идеей справедливости, потому что ее множители равны (9 = 3 · 3). Это первый квадрат нечетного числа (32).

В этом клянусь тебе Тем, Кто вложил в нашу душу тетрактис, Символ божественной сущности и добродетели высшей!

Клятва пифагорейцев, приведенная в «Золотых стихах»

И наконец, число 10 было символом Бога и Вселенной. Так как первые четыре числа выражали для пифагорейцев тайну музыкального ряда, их сумма (10 =1 + 2 + 3 +4) считалась совершенством, синтезом самой природы числа во всей ее полноте. Математический смысл числа 10 безграничен: оно содержит в себе одинаковое количество чисел четных и нечетных и одинаковое количество составных чисел (4, 6, 8, 9, 10).

Как начало и основа всех вещей, десятка была наивысшим выражением мистической нумерологии пифагорейцев. Ее представляли в виде 10 точек или камешков, сложенных в форме равностороннего треугольника (см. рисунок 5). Эта анаграмма, визуальное и геометрическое представление, получила название «тетрактис декады». Слово тетрактис означает «четверня», что указывает на его строение с основанием 4, и это позволяет понимать тетрактис как «базовая четверка». Тетрактис имел мистический смысл, наподобие пенталъфы, и использовался при произнесении пифагорейской клятвы.

МНОГОУГОЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Пифагррейская манера представлять числа с помощью точек или камешков породила их классификацию в соответствии с формой, в которые укладывались эти камешки. Таким образом, «многоугольные числа» ассоциировались с формой правильных многоугольников, что придало им новые свойства.

РИС. 5

РИС. 6

РИС. 7

РИС. 8

РИС. 9

РИС. 10

Этот вид геометрической алгебры стал предшественником сегодняшней символической алгебры. Так, числа 1, 3, 6, 10, 15... определялись как треугольные, потому что соответственное количество точек можно было уложить в равносторонние треугольники (см. рисунок 5).

Четвертым треугольным числом было сакральное 10, и даже его форма выражала удивительное свойство его «четверности», ведь, как можно заметить на рисунке 5, у него по четыре точки на каждой из сторон. Пифагорейцы показывали, что суммы 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + + 3 + 4, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 давали в результате треугольные числа. В целом

1 + 2 + ...+ n = n · ((n + 1)/2).

Числа 1, 4, 9, 16, 25... считались квадратными, так как их точки укладывались в квадраты (см. рисунок 6). Они составлялись из серий нечетных чисел:

1.4 (1 + 3), 9 (1 + 3 + 5), 16 (1 + 3 + 5 + 7), 25 (1 + 3 + 5 + 7 + 9)... Составные (то есть не простые) числа, не составлявшие правильных квадратов, назывались продолговатыми.

Кроме того, существовали числа пятиугольные, 1, 5, 12, 22, 35..., которые складывались в пятиугольники (см. рисунок 7). Они формировались из серии 1, 4, 7, 10, 13... таким образом:

1.5 (1 + 4), 12 (1 + 4 + 7), 22 (1 + 4 + 7 + 10), 35 (1 + 4 + 7 + 10 + 13)... Пятиугольное число n:

(3n2 - n)/2.

Понятно, что шестиугольные числа складывались в шестиугольники: 1, 6, 15, 28, 45... (см. рисунок 8). Они формировались из серии 1, 5, 9, 13, 17... следующим путем: 1, 6 (1 +5), 15 (1 + 5 + 9), 28 (1 + 5 + 9 + 13), 45 (1 + 5 + 9 + 13 + 17)... В целом это 2n2 - n.

При таком геометрическом представлении становились заметны некоторые свойства целых чисел. К примеру, если провести прямую внутри квадратного числа, как показано на рисунке 9, становится понятно, что сумма двух последовательных треугольных чисел составляет квадратное число. Можно доказать правильность этого утверждения в целом, хотя и невероятно, чтобы сами пифагорейцы могли прийти к подобному доказательству, которое мы представим в современной нотации:

(n(n+1))/2+((n+1)(n+2)/2) = (n+1)2

Чтобы перейти от одного квадратного числа к следующему, пифагорейцы следовали схеме, представленной на рисунке 10. Они объединяли точки справа и снизу ломаной под прямым углом линией, которая называлась гномон, что значит «плотницкий угол». Гномон образовывали точки на границе квадрата, количество которых увеличивалось на два с каждым переходом к следующему квадратному числу. Если к любому квадратному числу прибавить его гномон плюс два, мы получим следующее квадратное число. Таким образом, пифагорейцы узнали, что n2 + (2n + 1) = (n + 1)2. Кроме того, если, начиная с 1, прибавлять гномон 3, затем гномон 5 и так далее, то получится, что 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) = n2.

КЛАССЫ ЧИСЕЛ

Пифагорейский мир чисел был очень богат. Пифагор и его последователи различали разные типы чисел, которые они скрупулезно классифицировали и приписывали им нравственные и физические характеристики. К примеру, нечетные числа были мужскими, а четные — женскими. Некоторые числа были дружественными друг другу и сочетаемыми, иные же — зловредными и неспособными к отношениям с другими. Числа могли приносить человеку несчастья. Результатом этой классификации стала запутанная интеллектуальная конструкция, которую можно понять, только встав на позицию пифагорейской мистики. В Книге VII своих «Начал» Евклид попытался объяснить весь этот пифагорейский мир и представить его с максимально возможной ясностью. Категории и определения, приводимые ниже, основаны на данных этого великого геометра.

Первым большим семейством чисел были четные и нечетные, определение которых, данное пифагорейцами, бесспорно: четное число может быть поделено на две равные или неравные части (исключая диаду, которая делится единственным способом), и эти части будут, в свою очередь, представлять собой четные или нечетные числа. Нечетное число может быть разделено лишь на две неравные части — одна из них будет четным числом, вторая — нечетным. Эти типы чисел делятся, в свою очередь, на четыре класса:

— четно-четные: их половина представляет собой четное число;

— нечетно-четные: их половина нечетная;

— четно-нечетные: такие, которые, будучи разделены на нечетное число, дают четное число;

— нечетно-нечетные: имеют только нечетные делители.

Далее числа делились на несоставные и вторичные — так пифагорейцы называли простые и составные числа. В конечном счете речь идет о числах, служащих делителями или множителями других чисел. Для большей ясности ниже приводятся современные определения, потому что их оригинальное пифагорейское определение слишком запутано:

— простое (несоставное) число — это такое, которое делится только на единицу и на себя само;

— составное (вторичное) число — это то, которое не является простым;

— соотношения между простыми числами таковы, что у них есть только один общий делитель — единица;

— соотношения между составными числами подразумевают, что у них есть общие делители, отличные от единицы.

Дальше следовали линейные, плоские, объемные, квадратные и кубические числа. Линейные не имеют делителей; плоские — это произведение двух чисел, которые составляют их стороны; объемные — произведение трех чисел, являющихся их сторонами; квадратные представляют собой произведение одного числа на само себя; кубические — двойное произведение числа на самого себя. К этим типам можно прибавить числа продолговатые, которые отличаются от плоских на единицу. Совершенными числами называли те, которые являются суммой своих делителей, включая 1, но исключая из делителей само число: например, 6 имеет делители 1, 2 и 3. Греки знали только четыре совершенных числа. Кроме 6 это еще 28 (= 1 + 2 + 4 + 7 + 14), 496 (= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248) и 8128 (= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064). В наши дни мы знаем 43 таких числа, все они четные. Неизвестно, существуют ли нечетные совершенные числа, а также конечно ли их количество.

Кроме совершенных, различали еще избыточные и недостаточные числа: те, которые превосходят сумму своих делителей, являются избыточными, а те, которые меньше такой суммы — недостаточными.

Два числа называются дружественными, когда каждое из них равно сумме делителей другого. Из таких чисел пифагорейцы знали только 220 и 284.

— 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 (сумма делителей 284).

-284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 +11 + 20 + 22 + 44 + 55+110 (сумма делителей 220).

Кроме числовых отношений, использующих эту классификацию, пифагорейцы изучали и различные соотношения и пропорции, в которых, по их мнению, и состояла красота — например, среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое... Если есть два числа р и q, то их среднее арифметическое А — это

(p + q)/2

среднее геометрическое G — √(pq), а среднее гармоническое Я, которое обратно среднему арифметическому 1 /р и 1 /q, это

2pq/(p+q)

Следовательно, можно доказать, что G — это среднее геометрическое от А и Н; то есть что среднее геометрическое двух чисел является средним геометрическим их среднего арифметического и среднего гармонического. Сводящая все три величины пропорция

A/G = G/Н