Помоги проекту - поделись книгой:
Речи, произнесенные учителем после его прибытия в Кротон, должны были содержать некоторые идеи социально-политической вселенной пифагорейцев. Легенда гласит, что самые влиятельные лица города сразу же по прибытии мудреца доверили ему воспитание юношества с помощью этих новых идей. Пифагор выступил с четырьмя речами, представив в них свой кодекс поведения, установив основы этических и политических норм и очертив то, что затем станет пифагорейским образом жизни.
Первые две речи касались политических вопросов. Первую он произнес в гимназии, перед юношами Кротона. Он советовал слушателям уважать старших и богов и проводить политику, дружественную соседям. Впоследствии он обратился к совету старейшин, представив ему пифагорейскую идею политической гармонии и государства как наследства, которое необходимо тщательно сохранять с помощью большинства граждан и в целях большинства граждан.
Две следующие речи были сосредоточены на религиозном образовании. В речи, адресованной детям, была собрана информация о ритуалах. Последняя речь, произнесенная перед женщинами города, позволяет получить весьма важные сведения об отношении к женщине в пифагорейской секте. Понятно, что содержание этих речей противоречило заявленному принципу равенства в пифагорейском братстве, поскольку Пифагор определял политику как мужскую область деятельности, а с женщинами и детьми обсуждал исключительно религиозные вопросы.
Вплоть до нынешнего времени политическая ориентация пифагорейцев является предметом споров: была эта группа демократически или аристократически настроенной? Источники дают нам противоречивую картину: иногда Пифагор кажется поборником свободы, в других случаях, напротив, пифагорейцы выглядят элитарной группой, набиравшей членов из самых аристократических семей Кротона. С самого начала существования секты в ее адрес звучали самые разные обвинения в связи с ее политической платформой. В своей речи, обращенной к совету старейшин города, один из противников пифагорейцев утверждал, что те хотят подчинить себе народ, считая его за скот. Историк философии Диоген Лаэртский свидетельствует, в свою очередь, что кротонцы восстали против пифагорейцев, так как члены братства стремились к тирании. Следует, однако, принимать во внимание, что это обвинение в ту эпоху было весьма обычным делом и часто использовалось в качестве оправдания любого мятежа.
Однако существуют и другие сведения. Различные источники упоминают, что пифагорейцы считались образцом добродетели, им часто отводили роль арбитра, и граждане без сомнений подчинялись их решению. Ряд текстов представляет их политиками и законодателями, иногда в роли простых советников, иногда же — стоящих во главе некоторых городов Италии, однако всегда отказывающихся получать за это плату. К сожалению, сохранившиеся достоверные данные говорят только о деятельности Пифагора и его последователей в качестве политических советников в отдельных делах некоторых городов.
Сведений об этом много, и они противоречивы, но в целом исторические источники, кажется, сходятся в том, что среди пифагорейцев сильны были аристократические и элитаристские настроения, и этому трудно удивляться, учитывая модель их братства, построенного вокруг фигуры лидера с непререкаемым авторитетом. По-видимому, последователи Пифагора набирались из числа высших слоев общества. Они составляли ядро братства — 300 человек, наиболее близких к учителю, которые не только имели прямой доступ к его философским и политическим идеям, но и могли воплощать их на практике. По этой же модели строились и пифагорейские общества, которые начали появляться в других городах региона, таких как Сибарис, Метапонт или Тарент.
Возможно, это поможет понять причины, которые привели к восстанию против пифагорейцев. В Древней Греции идея тирании была связана с тем, что правитель захватил власть силой, а не с его жестокостью, хотя рано или поздно тираны становились безжалостными владыками. Тирания стала политической системой, к которой стремились люди с авторитарными наклонностями. Таким образом, можно сказать, что пифагорейцы были обществом аристократического и антитиранического характера, ведь тирания могла быть установлена в результате реакционного народного мятежа.
В годы развития пифагорейской школы и распространения ее идей Кротон переживал период расцвета. Некий Милон, командующий триумфальным кротонским войском во времена Пифагора, был хозяином дома, где произошел легендарный пожар, ознаменовавший конец братства. Парадоксальным образом расцвет города закончился вместе с антипифагорейским мятежом. Закрытое элитарное сообщество пифагорейцев имело такой большой политический вес, что оказывало сильное влияние на всю Великую Грецию. Группа жителей Кротона объединилась вокруг Килона, человека с явным стремлением к тирании, и восстала против пифагорейского братства. После этого началось преследование пифагорейских объединений в других полисах в форме жестоких мятежей. Одновременное уничтожение правящего класса в ряде полисов положило начало ужасному периоду гражданских войн во всем регионе, и смена власти стала ежедневным явлением. Бунтовщики выступали не только против пифагорейцев, но и всей правящей аристократии. Однако в конце концов порядок был восстановлен.
Помимо восстания, конец политической деятельности пифагорейцев положила и смерть Пифагора в Метапонте. Братство более не возродилось ни как политическая организация, ни как сообщество людей с определенным образом жизни, хотя это и не значит, что оно бесследно исчезло: просто пифагорейцы никогда больше не собирались открыто. Некоторые известные члены группы, пережившие эти события (в их числе были Филолай и Архит), вернулись в свои города и занялись там политикой.
ГЛАВА 4
Вселенная чисел
Пифагор полагал, что числа представляют собой основу всего сущего, а мир гармоничен. Его самые талантливые ученики посвятили себя изучению свойств чисел и их соотношений и выстраиванию аналогий между числами и предметами вещественного мира. Воспетая ими магия чисел повлияла на всю античную эпоху и стала первым шагом математики как науки.
Пифагора Самосского многие считают отцом математики, наряду с некоторыми его современниками, такими как Фалес Милетский, вклад которого в развитие науки равен аристотелевскому. Не вызывает сомнений, что математика получила развитие в Месопотамии и Египте, свидетельства об этом датируются приблизительно 3000 годом до н.э. Но в действительности истоки этой науки уходят в еще более ранние времена. Математика появляется спонтанно как часть деятельности человека в его постоянной борьбе с окружающей природой, она дает одни и те же результаты в разных местах и в разные времена и удовлетворяет насущной необходимости для первобытного человека развивать инструменты для решения практических проблем. Чтобы оценить вклад пифагорейцев в математику, следует совершить путешествие в историю этой дисциплины и углубиться в гораздо более ранние эпохи, чем Древняя Греция.
Первым этапом длинной дороги к концепции числа было осознание разницы между «много» и «мало», «большим» количеством и «маленьким», между единичным и множественным.
Следующий шаг — появление двоичных и троичных систем. Некоторые примитивные народы из чисел различали только 1, 2 и «много», другие же были знакомы и с большими числами, с которыми умели производить отдельные операции. Позже в некоторых культурах было введено в употребление единое основание системы счисления, к примеру 10, 20 или 5, чтобы не нужно было считать по одному.
По большей части ранние цивилизации не воспринимали числа как абстрактные концепции. Они называли их словами, относящимися к исчисляемому объекту, и обозначали их полумагическими символами. Осознание различий между словами, обозначающими числа, и отдельными группами чисел представляло собой длительный процесс. Так, определенные «показательные» количества (пять пальцев на одной руке, десять — на двух руках) сыграли фундаментальную роль в том, как складывались арифметические операции или выбиралось основание для системы счисления. Эти народы знали четыре элементарных арифметических действия, которые они применяли весьма приблизительным образом, используя при этом только малые числа. Кроме того, они знали и дроби, чаще всего ограничиваясь 1/2, 1/3 или чуть больше, каждая из дробей обозначалась определенным словом. С большой вероятностью знали они и базовые геометрические понятия: прямая, круг, угол... Математические знания древности простирались настолько, насколько они удовлетворяли практической необходимости: простейшие расчеты при торговле, приблизительное вычисление площади полей, декоративные рисунки на керамике или ткани, а также измерение времени. В конечной стадии развития древнейших обществ отмечается «математический прогресс», который требует достаточно развитой способности к абстракции: появились такие понятия, как соотношение между абстрактными числами и конкретными вещами, дополнительная последовательность чисел и базовое число для системы счисления. Как бы то ни было, толчком для развития математики, как и для науки в целом, послужило появление городов. Около 10000 года до н.э. произошло решительное изменение в отношении людей к природе и друг к другу. Примитивные культуры мало-помалу оставляли традиционные занятия охотой и собирательством и принимались за сельское хозяйство, одомашнивали различных животных, начинали выращивать скот. В результате последовавшего разделения труда человеческое общество расслоилось на классы на основе сельскохозяйственного производства, появились частная собственность и государство. Новые, усложнившиеся потребности привели к развитию математических и астрономических знаний.
Во многих цивилизациях математика занимала важное место среди наук, делавших свои первые шаги, хотя наряду с такими цивилизациями продолжали существовать и культуры, не знавшие подобного прогресса. Конкретная форма и уровень знаний, связанных с сельским хозяйством, которыми обладали математики той эпохи, зависят от концепции мира, господствовавшей у того или иного народа. В целом знания аграрных обществ отвечали их нуждам, но не более того, их математика ограничивалась элементарными операциями с постоянными величинами.
Месопотамия была первой древней цивилизацией, где математика получила серьезное развитие, пошедшее, благодаря шумерам, значительно дальше, чем это было в Египте. Первые математические тексты, дошедшие до нас, изображены на глиняных клинописных табличках и восходят к шумерской цивилизации города Урук. В них можно встретить математические результаты, присутствующие также в табличках древней Вавилонской империи, в том числе относящиеся к ее культурному расцвету, времени царя Хаммурапи, о котором здесь уже упоминалось. Около середины VI века до н.э. ахеменидская Персия под началом Кира Великого захватила власть на Ближнем Востоке. Некоторые халдейские математики той эпохи, такие как Набу-Риманни и Кидинну, стали известны грекам.
Прилагательное «месопотамский» относится ко всем народам, обитавшим в обширном регионе «плодородного полумесяца», лежащем между реками Тигром и Евфратом и доходившем до Ливанских гор. Термин «Месопотамия» не относится к какому-нибудь конкретному городу, стране или культуре, а обозначает «страну между двух рек», Междуречье. Народы, жившие в этой области, построили такие города, как Вавилон, Ур, Урук, Лагаш... К счастью, несмотря на частую смену власти, развитие математики в Месопотамии шло непрерывно.
Междуречье находилось на перекрестке наиболее важных торговых путей, так что экономика оказывала огромное влияние на развитие древней арифметики. Месопотамские культуры использовали элементарные арифметические и алгебраические знания для измерения длин и весов, обмена деньгами и товарами, расчета прибылей, уплаты налогов, раздела земель и тому подобное. И в самом деле большая часть клинописных текстов, связанных с математикой, касается экономических вопросов. С другой стороны, рытье оросительных каналов и канализационных стоков тоже требовало множества вычислений. Использование кирпичей влекло за собой арифметические и геометрические проблемы, объемы зерновых амбаров также надо было рассчитывать.
Наиболее специфическая особенность вавилонской числовой системы — это то, что она была позиционной с основанием 60. Считается, что шестидесятеричная система развилась в связи с вавилонским способом измерения веса, а позиционная запись восходит к монетарной системе, но неизвестно, каким образом возникли обе эти особенности. Развитая позиционная шестидесятеричная оказалась весьма полезной и победила все остальные системы счисления древности. Эллинистические математики широко использовали ее для выполнения своих сложных расчетов, особенно в астрономии, где она была введена Птолемеем (прим. 100-170). От этой системы ведет начало разделение плоскости на 60 градусов, градуса — на 60 минут и минуты — на 60 секунд. Однако здесь есть и большое неудобство: таблица умножения доходит только до произведения 59 на 59. Подобная система имела большое практическое значение, но только при наличии пригодных таблиц умножения — и такие таблицы действительно были найдены.
Культуры Междуречья достигли таких знаний в арифметике и алгебре, которые позволяли решать сложные уравнения, но в целом их математика оставалась на достаточно элементарном уровне. Они решали математическим путем конкретные практические задачи, однако демонстрировали определенную способность к абстрактной математике, знали, что определенные методы пригодны для решения определенных классов уравнений. Можно задаться вопросом: было ли в Месопотамии известно понятие математического доказательства? По всей видимости, несмотря на то что математики Междуречья умели решать сложные уравнения с помощью правильных систематизированных процедур, они ограничивались тем, что описывали конкретные шаги, которые надо сделать для их решения, и не приводили доказательств их правильности. Таким образом, в рамках месопотамской математики невозможно найти ни концепции доказательства, ни логической структуры, основанной на принципах, заслуживших всеобщее признание, ни каких-либо методологических выкладок.
В Междуречье господствующие культуры часто сменяли одна другую, теряя свое влияние, в то время как египетская цивилизация оставалась неизменной тысячелетиями. Своего расцвета египетская культура достигла в эпоху Третьей династии, примерно к 2500 году до н.э., когда фараоны принялись за постройку великих пирамид. Учитывая, что папирус при старении и высыхании становится исключительно ломким, сохранились немногие документы Древнего Египта и иероглифические надписи на камне. Наиболее важные математические тексты, дошедшие до нашего времени, содержатся в двух больших папирусах: Московском папирусе и папирусе Ринда, которые мы уже упоминали. Оба восходят приблизительно к 1700 году до н.э., хотя они содержат гораздо более древние математические задачи. Первые слова папируса Ринда составляют заголовок и свидетельствуют о престижности данной дисциплины, с точки зрения автора папируса: «Точный счет: путь к знанию всех существующих вещей и всех самых удивительных и таинственных секретов». Эти документы касаются типичных математических задач и их решений, так что, по всей видимости, написаны они были в педагогических целях. Видимо, египтяне не делали никаких различий между арифметикой и геометрией, потому что в папирусах перемешаны задачи обеих дисциплин.
Часто говорят, что египетская геометрия родилась по необходимости, поскольку после разливов Нила приходилось всякий раз заново размечать границы земельных участков, обрабатываемых разными земледельцами. Однако известно, что такая же геометрия развилась и в Месопотамии, хотя там не было подобных разливов. Вероятнее, что египтяне имели тесные контакты с вавилонской цивилизацией, так как в Тель эль-Амарне, в долине Нила, были обнаружены глиняные таблички с клинописными текстами, датированные примерно 1500 годом до н.э.
Судя по задачам, изложенным в этих папирусах, египтяне использовали математику в государственном управлении и в храмовых хозяйствах при расчете жалования, объемов зерна, площади полей, уплате налогов, зависящих от размера земельных участков, при переводе различных систем измерения, подсчете количества кирпичей, необходимых для строительства. Кроме того, папирусы содержат задачи, касающиеся количества зерна, которое нужно для производства определенного объема пива, или количества зерна определенного качества, которое необходимо, чтобы получить тот же результат, что и с другим сортом зерна.
При изучении всех этих задач становится понятным, что египтяне располагали способами расчета площади прямоугольников, треугольников и трапеций. К сожалению, в случае с площадью треугольника, хотя они и умножали одно число на половину другого, невозможно узнать, насколько этот метод был правильным, потому что непонятно, означают использованные слова основание и высоту треугольника или же просто его стороны.
Имели ли египтяне представление о доказательстве или проверке своих математических действий? Папирус Ринда написан как книга упражнений для учеников того времени, так что некоторые исследователи считают, что хотя Ахмес не сформулировал никаких общих принципов, весьма вероятно, что он их знал. В любом случае, в документе содержатся задачи, которые писец должен был решать в связи с торговыми и административными делами, и методы их решения были практическими правилами, усвоенными опытным путем. Видимо, у египтян не было дедуктивной практики, основанной на системе аксиом.
Получить ясное представление о развитии математики в Древней Индии весьма трудно. С одной стороны, долгое время передача математических и научных знаний в ее культуре происходила в устной форме, с другой — политическая история Индии того периода полна различных событий. Около 4000 года до н.э. на территории нынешней Индии, в бассейне реки Инд, сформировалось классовое общество. Самыми важными городами этой культуры были Хараппа, Мохенджо-Даро, Кот-Диджи и Лотхал. Это были города-государства с развитой торговлей и ремеслами, которые установили торговые отношения с Центральной Азией, Месопотамией и Аравией. До сих пор не удалось расшифровать письменность этих культур, но археологические находки в регионе дают некоторую информацию об уровне математических знаний.
Древние индийцы использовали десятеричную систему счисления. Возможно, они умели пользоваться счетами для числовых операций — так, в Мохенджо-Даро были найдены остатки счетов. Из геометрических фигур они знали квадрат, прямоугольник, треугольник, круг, конус, цилиндр и куб. Нам известно, что они использовали переплетенные круги в качестве геометрического орнамента.
Узоры на вазах и рельефы показывают, что у них были представления о проекциях и подобиях, что они могли делить отрезки пополам и на равные части, разделять круги на две или четыре части и строить отрезки и сегменты окружности, концентрические круги и параллельные прямые. Однако мы не знаем, как они вычисляли площади и объемы элементарных геометрических фигур. С древнейших времен математика была в Индии в большом почете: культ чисел и буддизм находятся в тесной связи. Согласно традиции, Будда научился читать, писать и считать в возрасте примерно восьми лет. Позже, чтобы просить руки своей невесты Ясодхары, ему пришлось выдержать экзамен по математике и сосчитать, сколько атомов в просяном зерне. Для того чтобы найти решение, он изобрел способ расширения числовой последовательности: найденное гигантское число, если его записывать современным способом, равно 384 · 713.
Распространение математических знаний в Индии восходит ко времени появления религиозно-философских книг «Веды» во втором тысячелетии до нашей эры. К этим первым источникам относятся и так называемые «правила веревки», «Сулъвасутра», датированная периодом между VIII и II веками до н. э., которая содержит геометрические инструкции по постройке алтарей и использованию для этого веревок и бамбуковых шестов. Эти тексты демонстрируют определенные геометрические знания, среди которых определение площадей многоугольников, имеющее прямое отношение к теореме Пифагора, приблизительные расчеты диагоналей (например, √2) и тому подобное. В области пространственной геометрии древние индийцы умели вычислять приблизительный объем пирамиды и усеченной пирамиды, а также площадь поверхности конуса. Кроме того, в качестве числа π они использовали различные приближения, такие как 27/8 и 243/80.
В первых цивилизациях, в которых получила развитие математика, мы прежде всего находим арифметические действия с целыми числами и дробями, позиционную систему числовой записи, начала алгебры и некоторые полученные опытным путем геометрические формулы. Однако там практически не существовало абстракций и общих методологических принципов или идей о необходимости доказательства для подтверждения правильности операций. Эти народы, таким образом, не знали принципов теоретической науки и не считали математику самостоятельной дисциплиной, достойной изучения именно в качестве таковой. Для них она была только инструментом получения простых правил, который использовался в повседневной жизни лишь для решения конкретных задач.
Переломным периодом для основания математики в ее современном виде стала эпоха Древней Греции. Греческая цивилизация восходит ко второму тысячелетию до н.э. и развивается на территории нынешней Греции и Южной Италии, на севере Африки и в Малой Азии (где, возможно, лежат ее истоки). С самых ранних времен этот народ великих мореплавателей и искателей приключений завязал отношения с египтянами и вавилонянами и, хотя и заимствовал у своих соседей некоторые элементы культуры, сформировал самую оригинальную и могущественную цивилизацию своей эпохи, в долгосрочной перспективе оказавшую огромное влияние на всю западную культуру. Эпоха Древней Греции стала одним из самых блестящих периодов в истории науки.
Греки (ошибочно) считали египтян изобретателями науки, особенно в области землемерия, астрономии и арифметики. Многие греки ехали в Египет и Вавилон, чтобы изучать эти дисциплины. Такое влияние особенно сильно ощущалось в богатых торговых городах, таких как Милет в Ионии — греческой территории на побережье Малой Азии. В порты Милета прибывали корабли из европейской Греции, из Финикии и Египта, а караванные пути связывали город с Вавилоном. Именно здесь родились философия, математика и вообще большая часть греческой науки.
В дальнейшем классическая греческая математика развивалась в различных городах всего греческого мира, где группы мыслителей собирались вокруг одного мудреца. Получили широкое распространение центры обучения, каждый из которых основывался на опыте своих предшественников. В сущности, это тот же процесс, которому следует наука и в наши дни: когда ведущий ученый приходит в университет или научный центр, вокруг него обычно собирается группа других специалистов и молодых студентов. Ионийская школа была основана Фалесом Милетским, а двумя его учениками были Анаксимандр и Анаксимен. Как уже упоминалось в первой главе, легенда гласит, что Пифагор учился математике у Фалеса.
Поделиться книгой: