Помоги проекту - поделись книгой:
Нет сомнений, что пифагорово соотношение тесно связано с конкретной геометрической фигурой — прямоугольным треугольником. Однако если принять во внимание классическое изображение этой теоремы в виде «ветряной мельницы», где три квадрата составлены так, что их стороны образуют катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника, сами собой появляются некоторые вопросы. Что будет, если использовать квадраты для построения любого треугольника? Что будет, если они образуют параллелограмм?
Если соединить тремя отрезками квадраты при прямоугольном треугольнике, образуется шестиугольник, в котором
появятся три новых треугольника с площадями Т1, Т2 и Т3 (см. рисунок 15). Каковы их площади? Во всех случаях их площади в точности равны площади исходного треугольника: Т1 = Т2 = Т3 = Т. На рисунке 16 показано, что Т = Т1, так как у обоих треугольников одинаковы основание и высота. Для других треугольников также действительно это соотношение. Если взять любой произвольный треугольник АВС, то можно построить на его сторонах три квадрата и задать вопрос, каково соотношение площадей этих квадратов. Возьмем, к примеру, треугольник с острым углом (A < 90°). Решение показано на рисунке 17. На нем проведены три высоты треугольника. Эти высоты продолжены так, чтобы соответствующие прямые делили каждый квадрат, построенный на сторонах треугольника, на два прямоугольника. Подставляя длины сторон, получаем, что площадь верхнего правого прямоугольника равна с · (a cos В). Удивительно, что такова же и площадь нижнего правого прямоугольника. Площади секций слева равны b · (a cos С). Добавляем еще два сегмента с площадями b · (с cos А) и получаем результат:
a2 = b2 + c2 - 2 · b · c · cosA,
по закону косинуса.
Таким образом, если А = 90°, cos 90°= 0, и мы получаем b2 + с2 = а2, известное пифагорово соотношение. Таким образом, закон косинуса — это продолжение теоремы Пифагора. Еще одно удивительное свойство проявляется, если построить четыре квадрата на сторонах параллелограмма. Как можно видеть на рисунке 18, сумма площадей этих квадратов равна сумме площадей двух квадратов, построенных на диагоналях параллелограмма.
Закончить описание современных областей применения одного из самых великих математических достижений в истории можно парой развлекательных задачек. Во-первых, теорема Пифагора позволяет ответить на вопрос, которым люди задавались с того момента, как узнали о кривизне земной поверхности: на каком расстоянии от нас находится видимый горизонт? Чтобы ответить, надо знать лишь высоту над уровнем моря, на которой находится наблюдатель. К примеру, если он стоит, озирая окрестности, на горе высотой 1000 м, можно применить нашу теорему следующим образом:
(R + h)2 = R2 + v2.
Следовательно:
v2 = (R+h)2 - R2 = (R2 + 2Rh + h2) - R2 = h2 + 2Rh = h(h+2R),
где R — радиус Земли. Так как 2R + h ≈ 2R, поскольку h значительно меньше R, получается:
v2 ≈ h(2R)
v ≈ √(2Rh).
И так как R = 6371 км, a h = 1 км, получаем:
v ≈ 112, 88 км.
И наконец, зная соотношение Пифагора как типичное свойство плоских прямоугольных треугольников, можем ли мы применить теорему к трехмерным фигурам? Да, сделать это можно разными способами. Известный и наиболее наглядный — выразить диагональ d коробки со сторонами a, b, с через теорему Пифагора: d2 = а2 + b2 + с2 (см. рисунок 20).
ГЛАВА З
Пифагорейское братство
На пике греческой колонизации Пифагор попытался осуществить свой проект по созданию в Великой Греции утопического общества, построенного на духовных и философских основаниях. Он основал братство, в которое в равном количестве вошли мужчины и женщины. Члены братства имели разную степень доступа к магическо-математическим знаниям в соответствии со своим местом в иерархии.
Это первое сообщество такого типа, о котором мы знаем, — настоящее «братство числа».
Пифагорейство было способом жизни. Сообщество верных Пифагору подчинялось целому ряду правил, которые охватывали все аспекты повседневного бытия. Доступ к истине и спасению зависел от строгого выполнения норм, как это характерно для мистерических религий.
Основы этики сообщества определялись идеей бессмертия души, которая придавала всей жизни пифагорейцев характер религиозный и аскетический. Большинство предписаний были направлены на то, чтобы члены братства учились властвовать собой, отказывались от страстей и презирали телесные нужды — вот условия, необходимые для постижения высшего знания. В этом контексте музыка считалась «лекарством души» благодаря ее умиротворяющему действию, а высшей добродетелью становилась духовная гармония — состояние совершенства, которого возможно достичь лишь в следующих перерождениях. Математическая значимость чисел уже признавалась, но, по всей видимости, при жизни Пифагора концепция числа еще не оказывала такое влияние ни на этику братства, ни на космологию.
Для пифагорейцев жизнь имела мистическую цель — прикоснуться к божественному. Поэтому все их существование было организовано как восхождение по ступеням.
Так же как и в орфизме, адепты которого видели в человеке божественное начало и полагали главной целью жизни борьбу за его восстановление, Пифагор считал душу божественной частью человека и его единственной надеждой на спасение. Можно без колебаний квалифицировать школу, основанную самосским мудрецом, как секту. Особенности пифагорейской жизни, как мы их знаем из описаний историков, в точности соответствуют всем элементам, характерным для религиозной секты, если употреблять этот термин в социологическом смысле, без уничижительного оттенка. Учитель, обладающий наибольшим духовным авторитетом, предлагал своим последователям систему инициаций и обязательных правил поведения, включал их в иерархическую структуру разрядов и категорий и распределял их по ступеням восхождения к истине. Члены группы различались по одежде, питанию и ритуалам, которые они исполняли, — своего рода альтернативная по отношению к традиционной жизнь.
Пифагорейская иерархия соответствовала разным степеням инициации членов секты. Основное разделение было на две группы: акусматики и математики. Первые слушали наставления учителя, но не имели доступа к более полному изложению их оснований. Вторые, напротив, изучали вышеуказанные основания и были допущены к тайнам их истолкования. Эти загадочные наставления давались в весьма аллегорической форме и назывались акусматами, и посвященные первого уровня должны были заучивать их наизусть. Традиция говорит, что Пифагор заимствовал этот характерный для сект метод обучения в Египте, но достоверно известно, что пифагорейские максимы очень напоминали сентенции, получаемые от дельфийского оракула.
К этому самому общему, хорошо известному делению добавлялась разветвленная система ступеней посвящения, связанных с властью и соответствующих близости к вершинам логического знания. В свою очередь, степень внутренней власти в секте была связана с соблюдением суровых правил и еще более суровым образом жизни.
Согласно традиции, посвященные слушали проповеди учителя из-за занавеса, который окружал его, скрывая от глаз учеников. Ученики назывались экзотериками, так как находились вне круга учителя. Новые члены сообщества должны были в ходе инициации преодолеть различные испытания, состоявшие в соблюдении обета молчания и ведении чистой жизни, что включало в себя вегетарианство, ношение белых одежд и медитацию. Со временем испытательный период заканчивался, и они могли войти во внутренний круг, становясь эзотериками.
Вступление в братство было очень сложным процессом, который начинался с физических и моральных испытаний. Некоторые источники говорят, что испытательный период занимал три года, после чего кандидат приступал к первой ступени инициации — принимал обет молчания. Пифагорейское молчание брало начало в ритуалах мистерий, обряды которых запрещалось разглашать, и было подготовительной практикой перед посвящением в тайны, которые должно было раскрыть обучение в секте. Обет молчания и самоконтроль были двумя моральными дисциплинами, которыми более всего восхищались на протяжении всего периода античности.
В пифагорейской иерархии выделяют еще две группы, управителей и политиков, хотя различие между ними не очень ясно. Первые ведали помещениями и имуществом сообщества, так как, вступая в братство, новый его член отдавал все свое имущество в общее пользование. Политики же, напротив, отвечали за отношения группы с внешним миром.
Но самое серьезное разделение было между членами секты и остальным обществом. Братство очень враждебно относилось к тем, кто покидал его, а также к тем, кто желал вступить в него, не заслуживая этого. Отступников считали умершими. Выйти из группы было легко, и таким «дезертирам» даже в двойном размере возмещали все, что они внесли в общее имущество при поступлении в секту, но с этого момента они словно переставали существовать для сообщества. Члены братства, отличавшиеся крайней географической мобильностью, имели массу связей в самых крупных городах Южной Италии и Сицилии, где существовала широкая сеть пифагорейских пристанищ. Братья использовали различные тайные пароли, чтобы узнавать друг друга в разных точках античного мира, и таким образом помогали друг другу в моменты опасности. Традиция полна историй о пифагорейцах в нужде, которым помогали товарищи, распознавшие их тайные сигналы.
Часто говорят, что пифагорейцы были вегетарианцами, но некоторые авторы уверяют, что Пифагор избегал употребления в пищу только некоторых частей животных: внутренностей, тестикул и гениталий, костного мозга, лап и головы. Споры об этом идут по сей день: в любом случае, доказанным фактом является то, что члены секты соблюдали весьма строгие пищевые запреты, связанные с доктриной о бессмертии души.
Пищевые ограничения на разных уровнях иерархии различались. Посвященные нижнего уровня могли есть любое мясо, кроме мяса пахотных быков и баранины. Потребление рыбы регулировалось гораздо более строгими правилами. Самым же известным и характерным пищевым табу был запрет на употребление бобов. Этот запрет объяснялся целым рядом причудливых причин, которые каким-то образом увязывали его с реинкарнацией: бобы странным образом соотносились с человеческим мясом, и их вкушение могло быть приравнено к акту каннибализма. Не менее специфичны и легенды о питании самого Пифагора.
Говорят, что при подготовке к медитации он ел пищу, которая быстро утоляла голод или жажду, или же вообще ничего не ел. В его рацион входили семена мака и кунжута, цветы нарцисса и листья мальвы, горох и ячмень. Для приготовления питья Пифагор смешивал семена огурца и виноград без косточек, куски сыра, муку и сливки и добавлял во все это лесной мед.
Время Пифагора было эпохой, когда ценилось устное общение. Возможно, именно по этой причине, пользуясь словами греческого историка Плутарха (І-Π века), мудрец с Самоса «вообще ничего не написал, как и Сократ». Со временем, правда, некоторые авторы стали утверждать, что Пифагор увековечил свое учение в неких тайных писаниях. Одна из ветвей традиции приписывает ему три книги (об обучении, политике и природе), а другая обвиняет Пифагора, что он переписал их у Орфея. Самая известная легенда гласит, что в основе пифагорейства лежал священный текст, в котором были сформулированы тайные доктрины секты. С этого текста были сделаны копии, широко распространившиеся по всему греческому миру сразу после смерти Пифагора. Назывался он «Священная речь». Никаких достоверных свидетельств существования такого текста нет, так что вероятнее всего, что это — только легенда. В любом случае, во всех описаниях речей Пифагора после его прибытия в Кротон указывается, что его слова были восприняты как божественные, что вызвало немедленное присоединение к нему массы людей, составивших братство и разделивших между собой все свое имущество.
Как мы уже видели, пифагорейское обучение происходило с помощью трудноистолковываемых символов сентенциозного и архаического характера. Как и слова оракулов, эти сентенции сложно было понять, но если к ним давался ключ для интерпретации, можно было разрешить загадку и узнать высшее предписание. Максимы, которые запоминали наизусть акусматики, представляли собой устные изречения, похожие на греческие религиозные установления или нормы мистерических религий, причем они делились на три вида.
— Определения, построенные в виде ответа на вопрос типа «что такое...»:
«Что такое дельфийский оракул? Это тетрактис»;
«Что такое Острова блаженных? Это Солнце и Луна».
— Определения, строившиеся по модели «что лучше»:
«Какое дело самое правильное? Жертвоприношение»;
«Что на свете самое мудрое? Число»;
«Что на свете самое прекрасное? Гармония»;
«Что на свете самое могучее? Знание»;
«Что на свете самое выдающееся? Счастье».
— Нормы поведения, которые указывали, «что следует и чего не следует делать»:
«Через весы не переступай» (не нарушай равенства и справедливости);
«Углей ножом не разгребай» (не возбуждай гнев и ненависть власть имущих);
«Помогай нести груз, а не накладывай его» (не делай так, чтобы кто-либо бросил начатое дело);
«Сердца не ешь» (не мучь душу тоской и горестями).
Один из ключей, помогающих пониманию связи между вопросом и ответом, представлял собой фундаментальный для пифагорейства концепт: тетрактис, набор из первых четырех чисел, дававший в сумме 10 — совершенное число, согласно последователям Пифагора.
В Древней Греции порой было невозможно отделить законодателя от образа божественного человека. Два классических случая — это Минос и Ликург, мифические законодатели Крита и Спарты. Минос дал законы Криту, получив их от самого Зевса, а Ликург был героем, от которого ведут начало законы Спарты, причем эти законы он заимствовал на Крите и в Египте, а впоследствии они были одобрены Аполлоном в святилище в Дельфах. Даже в законодательстве Солона Афинского, одного из семи греческих мудрецов и первого законодателя, отделившего политику от религии, есть следы такой связи: ведь согласно легенде, его политическую деятельность направлял дельфийский оракул. С другой стороны, то же место, которое в греческой традиции отводилось Миносу, в Древнем Риме занимал царь Нума Помпилий, а в еврейском мире — Моисей.
Законодатели-пророки были распространены по всему греческому миру, а в Южной Италии они стали культурной традицией, давшей таких мыслителей, как Парменид, Зенон и тот же Пифагор. Самосский мудрец был наглядным примером святого с политическим влиянием, законодателя с божественным вдохновением, основателя свода правил и универсальных предписаний. Сообщество, которое он основал, — где мужчины и женщины пользовались равными правами, имущество было общим, а образ жизни совместным — считается первым обществом с подобными особенностями, о котором нам известно.
Невозможно точно сказать, действительно ли Пифагор странствовал в поисках мудрости и в какой степени он посвятил свою первую школу, самосский Полукруг, проверке своих идей. В любом случае пребывание мудреца на Крите, о котором говорят некоторые из его биографий, с целью политического образования весьма вероятно и могло произойти во время его поездки по Греции, до прибытия в Кротон. Крит считался наиболее удачным местом для изучения законов, кроме того, он был для Греции той дверью, через которую в нее проникали идеи из Египта, представлявшего постоянный и древнейший образец для греческой культуры.
Греческая колонизация способствовала социальному согласию, поскольку позволяла опробовать в удаленных местах различные формы политической и религиозной утопии, подавлявшиеся господствующими классами существующих полисов. Пифагор покинул свой родной остров из-за политического климата, установившегося при тиране Поликрате, который, вероятно, был противником его проекта управления, основанного на духовных принципах.
Некоторые авторы утверждают, что Пифагор вынужден был бежать с острова из-за того, что успел там проявить себя на политической арене, так как, видимо, сограждане просили его возглавить некое сопротивление несправедливым законам тирана.
Начиная с этого момента различные источники рассказывают о визитах Пифагора к оракулам таких городов, как Делос, Дельфы, Спарта и Флиунт, где он, по мнению некоторых, попытался на практике осуществить свою идею утопического общества. В полисах Греции эти попытки потерпели неудачу, и тогда мудрец решил попытать счастья в греческих колониях Италии.
Какие мотивы побудили Пифагора выбрать в качестве своего пристанища город Кротон? Прежде всего, это был процветающий город, известный как родина многих атлетов — победителей Олимпийских игр, но еще более получивший признание как центр греческой науки, особенно медицины. Кротонские врачи путешествовали по всему греческому миру, а некоторые наиболее известные из них, такие как Демокед Кротонский (VI век до н.э.), предоставляли свои услуги и персидскому двору — наивысшее признание их искусства в понимании древних греков.
Поделиться книгой: