Тайна за тремя стенами. Пифагор. Теорема Пифагора

РИС. 4

РИС. 5

Если к исходному треугольнику присоединить три равных ему треугольника внутри квадрата со стороной с (см. рисунок 4), то в центре этого квадрата останется незанятым меньший квадрат. Можно заметить, что сторона этого меньшего квадрата равна b - а. Таким образом, площадь меньшего квадрата можно выразить как (b - а)2 = b2 - 2ab + a2, учитывая, что (b - а)2 = (а - b)2. Площадь квадрата со стороной с представляет собой площадь четырех квадратов с высотой а и основанием b, плюс площадь маленького квадрата, таким образом, теорему можно считать доказанной:

с2 = 4(ab/2) + a2 - 2ab + b2 = а2 + b2.

«Чу Пей Суан Чинь» содержит и еще одно блестящее доказательство с применением простого переноса частей (см. рисунок 5).

Второй классический китайский трактат, в котором рассматриваются геометрические аспекты, связанные с теоремой Пифагора, датируется примерно 250 годом до н.э., хотя Лю Хуэй откомментировал его и переписал в 263 году.

Речь идет о «Дзю Чжан Суань Шу»> что значит «Математика в девяти книгах». Последняя, девятая глава полностью посвящена прямоугольным треугольникам и представляет собой 24 задачи, решения которых в той или иной степени основаны на теореме Пифагора. Самая известная из них — задача о сломанном бамбуке, в которой описывается прямоугольный треугольник, образованный сломанным стволом бамбука:

Бамбук высотой 10 футов сломан так, что его верхушка опирается на землю на расстоянии в три фута от основания. Надо вычислить, на какой высоте находится место излома.

Решение этой задачи сочетает в себе теорему Пифагора и применение квадратных уравнений, так как представляет собой решение уравнения

х2 + З2 = (10 - х)2.

ПИФАГОР: ТРАДИЦИОННЫЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

Пифагор не оставил потомкам ни строчки, так что не существует ни одного доказательства теоремы, авторство которого можно было бы приписать ему. Ее решение дается во множестве источников, вплоть до детального описания его в самой важной в истории геометрии книге «Начала» Евклида. Но в любом случае не стоит отказывать Пифагору и его последователям в определенной гениальности, так как именно они совершили переход от частного к общему и сформулировали теорему, применимую ко всем частным случаям.

Первое доказательство теоремы, которую традиция приписывает Пифагору, было эмпирическим. Берется треугольник со сторонами a, b, c (катеты и гипотенуза), на которых строятся три квадрата согласно строгим правилам греческой геометрии (см. рисунок 6). Из этих квадратов складываются два различных квадрата. Первый получается из двух квадратов, построенных на катетах и четырех прямоугольных треугольников, каждый из которых равен исходному треугольнику (см. рисунок 7). Второй квадрат состоит из тех же четырех треугольников и квадрата, построенного на гипотенузе (см. рисунок 8). Если из обоих квадратов убрать эти треугольники, площадь центрального квадрата второго (с2) будет равна площади двух малых квадратов первого (b2 + а2), что доказывает теорему Пифагора.

РИС. 6

РИС. 7

РИС. 8

РИС. 9

В противовес такому графическому доказательству, основанному на теории пропорций Пифагора, — теории несовершенной, так как она применима только к соизмеримым количествам, — некоторые историки математики выдвигают другое доказательство, алгебраического характера. Пифагор мог доказать теорему через подобие треугольников — на рисунке 9 треугольники АВС, АСН и СВН — с пропорциональными соответствующими сторонами. Возьмем треугольник АВС с прямым углом С, для которого отрезок СН представляет собой высоту, опущенную на гипотенузу, и делит ее на отрезки d и V — проекции, соответственно катетов а и b. Прямоугольные треугольники АВС, АСН и СВН имеют три общие стороны: каждый из треугольников имеет по две стороны, общие с другими, а их острые углы равны, так как они либо общие, либо составляют вместе прямой угол. Таким образом, треугольники подобны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЧЕРЕЗ ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Подобие треугольников можно применить двумя способами.

— Подобие треугольников АВС и АСН: два треугольника подобны, когда два или более угла у них конгруэнтны (что доказал Евклид):

b/b' = c/b

b2 = b'c.

— Подобие треугольников АВС и СВН:

a/a' = c/a

a2 = a'c.

из чего вытекает так называемая теорема катета. Суммируем:

а2 + b2 = а'с + b'с = с(а' + b'),

но (а' + b') = с, из чего следует

а2 + b2 = с2.

«НАЧАЛА» ЕВКЛИДА

Евклид жил в Александрии около 300 года до н.э. и был автором «Начал» (Stoicheia) — труда, оказавшего огромное влияние на развитие математики и науки в целом. В этой книге он собрал все геометрические знания своей эпохи, не считая собственных доказательств, изложенных строго и изящно, включая определения, формулировки и общие сведения. Этот труд был не просто блестящим компендиумом, а серьезной работой по упорядочиванию геометрических знаний. Возможно, именно поэтому вплоть до последнего времени эта книга оставалась эталоном геометрического трактата. «Начала» занимают второе место по количеству изданий и переводов, уступая только Библии. К настоящему времени они выдержали более тысячи переизданий.

«Начала» делятся на 13 книг: четыре первые посвящены основам планиметрии — конгруэнтность треугольников, равенство площадей, золотое сечение, круг, правильные многоугольники, некоторые квадратуры и, естественно, теорема Пифагора (книга I, предложение 47). Свойства теоремы Пифагора используются в геометрическом контексте измерения площади фигур. Теорема Пифагора вновь упоминается в книге VI, а также в книге X, где речь идет о квадратных корнях.

В предложении 47 Евклид постулирует, что в квадратных треугольниках квадрат стороны, противоположной прямому углу, равен сумме квадратов сторон, прилегающих к нему. Иллюстрация к этому утверждению получила название «ветряной мельницы» (см. рисунок).

Доказательство выполняется с помощью расчета площадей. Оно заключается в том, чтобы доказать равенство треугольников BFA и ВСЕ и то, что их удвоенная площадь равна, с одной стороны, площади квадрата CBFJ, а с другой — площади прямоугольника ВШЕ. Таким же образом квадрат CKGA имеет ту же площадь, что и прямоугольник AIHD. Отсюда выводится теорема Пифагора, которую можно сформулировать следующим образом: площадь квадрата BADE равна сумме площадей квадратов CBFJ и CKGA.

ЕВКЛИД ИЗ АЛЕКСАНДРИИ

Евклида считают отцом геометрии.

Хотя, по всей вероятности, ни один из результатов в «Началах» не является его открытием, нет сомнений, что именно Евклиду мы обязаны структурированием сведений и способом их изложения. О его жизни известно мало — почти исключительно те сведения, которые сообщает философ Прокл (V век) в своих комментариях к книге I «Начал».

По словам Прокла, Евклид родился ок. 325 года до н.э., жил и преподавал в Александрии и умер прибл. в 265 году до н.э. Кроме того, Прокл утверждает (и это выглядит весьма правдоподобным), что, судя по особенностям его работы, Евклид, возможно, обучался в школе Платона или у кого-то из его учеников. Таким образом, по сведениям Прокла, Евклид жил в эллинистический период. Это более вероятно, чем то, что он жил в классической Греции, учитывая, что в его книге есть отсылки к знаниям той эпохи. Так, Евклид сгруппировал описываемые им открытия способом, непохожим на то, как это делали греки классического времени. Тот же Прокл говорит, что Евклид собрал результаты философа и математика Евдокса (ок. 390-337 до н.э.) в области теории пропорций и математика Теэтета (ок. 417-369 до н.э.) в области правильных многоугольников и что в целом представил в своей книге неопровержимые доказательства множества теорем своих предшественников, о которых дошли лишь скудные сведения. Не сохранилось изначальной редакции труда самого Евклида, так что его тексты приходится реконструировать по комментариям и заметкам более поздних авторов, особенно византийских, латинских и арабских.

Евклид, занимающийся геометрией. С рельефа Андреа Пизано, XIV век (Музей Домского собора, Флоренция).

Теорема показывает также, как получить квадрат, по площади равный двум заданным квадратам, то есть как найти такое значение х, при котором х2 = а2 + b2, так что это еще один пример применения геометрической алгебры. Если предложение 47 представляет собой кульминацию первой книги «Начал», то еще более интересно, как впоследствии Евклид доказывает теорему, ей обратную. Это предложение 48, которому обычно уделяется не так много внимания, но которое имеет огромное логико-дедуктивное значение. В нем постулируется, что если в треугольнике квадрат одной из сторон равен сумме квадратов двух других, то угол, который образуют эти стороны, прямой (см. рисунок 10).

РИС. 10

Доказательство состоит в том, чтобы построить отрезок CD, перпендикулярный АС и равный СВ. Согласно заданным условиям:

ВС2+АС2=АВ2,

и, так как треугольник ADC прямоугольный,

АС2 + CD2=AD2.

Поскольку ВС = CD, АВ2 = AD2, то, следовательно, АВ = AD. Следовательно, треугольники ADC и АВС конгруэнтны, а угол АСВ, равный углу ACD, прямой.

Евклид приводит и графическое доказательство, где квадраты, выстроенные на катетах, превращаются в параллелограммы той же площади (так как они имеют то же основание и ту же высоту), а те, в свою очередь, трансформируются в квадрат, построенный на гипотенузе. Это гениальное доказательство представлено на рисунке 11.

РИС. 11

Оксирннхский папирус 29, фрагмент «Начал», датированный II—IV веками (Филадельфия).

Фрагмент «Афинской школы» Рафаэля, Евклид изображен с циркулем. С противоположной стороны фрески находится Пифагор (Рим).

Теорема Пифагора числится среди имеющих наибольшее число возможных способов доказательства. Одно из объяснений этого явления в том, что в Средние века представление нового способа ее доказательства было одним из условий получения степени Magister matheseos, то есть магистра математики, и в известном смысле это умение стало со временем универсальным показателем общего образования человека.

РИС. 12

Гениальный Леонардо да Винчи (1452-1519) был образцом универсального человека эпохи итальянского Возрождения, поскольку блестящим образом сочетал в себе знания в самых разных областях — как в сфере науки, так и искусства. Человек, который запечатлел таинственную красоту Джоконды и изобрел бесчисленные удивительные механизмы, смог представить собственное блестящее доказательство теоремы Пифагора. Леонардо основывался на знаменитой фигуре «мельницы», то есть треугольника с квадратами, построенными на трех его сторонах. К ним сверху он добавил треугольник ECF, а снизу разместил копию исходного треугольника А'С В' (см. рисунок 12). Проведя отрезки DD' и СС', служащие друг другу перпендикулярами, можно убедиться, что DD' делит верхний шестиугольник ABDEFD' на симметричные половины, которыми, если их развернуть друг относительно друга, можно полностью накрыть шестиугольник АСВА'С'В'. Следовательно, два квадрата, построенные на катетах, в сумме дают площадь, равную площади квадрата, построенного на гипотенузе.

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА СЕГОДНЯ

Спустя два с половиной тысячелетия после открытия теорема Пифагора находит самые разные математические и научные способы применения. Это математическое достижение, оказавшееся, возможно, столь живучим благодаря своей простоте, сохраняет свою важность при вычислении длин, площадей и объемов разнообразных фигур. В квадрате со стороной х диагональ будет равна х√2; в прямоугольнике со сторонами х и у диагональ равна √(х2 + у2); в параллелограмме (например, в коробке из- под обуви) размерами х, у, z диагональ составит √(х2 + у2 + z2); в конусе с высотой h и радиусом основания r образующая равняется √(h2 + r2)... и так можно продолжать очень долго.

РИС. 13

РИС. 14

Теорема Пифагора также лежит в основе декартовой системы координат на плоскости и в пространстве и позволяет определить расстояние d(P,Q) между двумя точками Р= (x₁,y₁) и Q= (х₂, у₂), как показано на рисунке 13. Применяя теорему, получаем:

Расстояние (P,Q) = √((x₂ - x₁)2 + (y₂ - y₁)2)·

В любом расчете, который предусматривает применение функций, проявляется пифагорово отношение, учитывая, что y = ƒ(x) в декартовом выражении. Теорема используется и в тригонометрии. С величинами углов прямоугольного треугольника связаны такие функции, как синус, косинус, тангенс... (см. рисунок 14), так что:

sin А = a/c cos А = b/c tg А = a/b.

Таким образом, в тригонометрических терминах теорему Пифагора можно выразить как отношение sin2 А + cos2 А = 1. Теореме можно найти применение в топографии, картографии, навигации — морской или воздушной, — а также, конечно, в архитектуре, инженерном деле и во всех областях человеческой деятельности, где требуется расчет размеров. Чтобы показать исключительную важность теоремы в тригонометрии, можно привести следующий рисунок. Кроме того, что на нем мы видим круг и прямоугольный треугольник, катеты которого представляют собой синус и косинус, этот рисунок демонстрирует нам и многие другие величины, соответствующие большинству тригонометрических функций. Там можно найти тангенс, представляющий собой соотношение между синусом и косинусом, три взаимозависимых функции: секанс (то есть 1, деленное на косинус), косеканс (функция, обратная синусу) и котангенс (функция, обратная тангенсу). Таким образом, благодаря вездесущей теореме Пифагора приведенный на рисунке прямоугольный треугольник позволяет вывести очень много интересных соотношений, среди которых шесть тригонометрических функций.

tg2θ +1 = sec2θ,

ctg2θ +1 = cosec2θ,

(tg θ +1 )2 + (ctg θ +1 )2 = (sec θ + cosec θ)2.

РИС. 15

РИС. 16