Помоги проекту - поделись книгой:
Согласно источникам, мудрец с Самоса учил своих последователей теориям о бессмертии души, о вечном круговороте душ и взаимосвязи всего сущего. Религиозная доктрина Пифагора содержала ключ к пониманию Вселенной. Однако мир менялся: теперь было известно, что Земля шарообразна, так что больше невозможны были представления ни о подземном Аиде, воспетом Гомером, ни о рае, расположенном на Западе, на Островах блаженных, куда, согласно легендам, уходили души достойных людей для вечного покоя. На Земле больше не было места потустороннему, и приходилось менять загробную географию: потусторонний мир теперь помещался на звездах, душе приписывалось небесное происхождение, на небо она и возвращалась после смерти.
Так началось разрушение классической мифологии, основанной Гомером и Гесиодом. Новая мифология души уже не могла опираться на гомеровскую традицию, однако она послужила основанием для теорий Платона. Таково было влияние религиозной реформы Пифагора.
Согласно источникам, около 510 года происходит жестокое восстание против Пифагора и его учеников, и, как это ни парадоксально, военный конфликт с Сибарисом, при котором пифагорейцы внесли значительный вклад в победу, знаменует начало конца пифагорейства. Говорят, что Пифагор и его круг был настолько влиятелен, что мог сокрушать целые города, и это вызвало ревность и гнев сограждан мыслителя. Легенда рассказывает о некоем Килоне, весьма зажиточном кротонце, которому учитель отказал в просьбе войти в пифагорейское сообщество, и Килон из чувства мести настроил против него горожан. Как бы то ни было, в конце войны с Сибарисом вокруг школы Пифагора сложилось огромное социальное напряжение. Попробуем реконструировать вероятный ход событий.
После победы Кротона над Сибарисом начались политические конфликты между победителями, которые не могли поделить контроль над завоеванными территориями. В этих конфликтах все ярче проявлялась роль пифагорейцев. Различные источники указывают, что антипифагорейское восстание вызвала борьба за раздел земель. Возможно, пифагорейцы начали захватывать государственные посты и принимать политические решения по важным вопросам, таким как распределение завоеванных территорий.
История смерти Пифагора во время этого мятежа также хорошо известна. Классическая легенда гласит, что пифагорейцы в тот вечер собрались в доме Милона, одного из членов братства, и в это время какие-то люди подожгли здание. Одни считают, что Пифагор погиб в огне, но другие рассказывают гораздо более колоритную историю: якобы учителю удалось спастись, однако его по пятам преследовали враги, и путь беглецу преградило бобовое поле. Пифагор испытывал огромную неприязнь к этому растению и предпочел быть настигнутым преследователями, чем пересечь поле.
Некоторые документы указывают на более умеренный исход гражданского конфликта в Кротоне, из них вырисовывается иная картина последних лет жизни мудреца: возможно, Пифагор бежал в соседний город Метапонт, где и умер около 490 года до н.э. Известно, что при жизни Марка Туллия Цицерона (106-43 до н.э.) жители Метапонта показывали всем желающим могилу Пифагора.
Со временем Пифагор превратился в мистическую фигуру, обладавшую удивительными способностями. За него борются две противоположные традиции — мифологическая и логическая, и это затрудняет выяснение истины. Список магических способностей Пифагора в разных биографиях различается, о нем известен запутанный клубок самых разных легенд. Попытки докопаться до истины — не самый лучший путь для того, кто хочет получить представление о Пифагоре-ученом, однако пифагоровские «чудеса», составляющее наиболее древнее ядро традиции, неоценимы для понимания того, каким видели мудреца современники.
Итак, о Пифагоре говорили, что он может долго обходиться без еды и питья, что он способен появляться одновременно в нескольких местах, так как известны рассказы о том, что его видели в один час в двух городах на разных берегах Мессинского пролива. Еще один знаменитый сборник легенд утверждает, что у него было золотое бедро, причем одни авторы связывают это свойство с мифологическим отцом Пифагора, Аполлоном, а другие относят этот факт к некоей инициации наподобие шаманской. Но самая чудесная особенность Пифагора — это его красноречие.
С одной стороны, он был пророком — говорят, что мудрец предсказывал землетрясения, предвестия, что на подплывающем судне везут мертвеца, а также предугадывал будущий улов рыбаков. С другой стороны, само его слово обладало магическими и даже целительными свойствами, и легенды рассказывают о том, что слушатели бывали в прямом смысле околдованы непобедимой риторикой Пифагора, а сам он мог излечивать тела и души с помощью музыки и поэзии. Самые фантастические легенды представляют мудреца победителем чумы. Его слово усмиряло страсти, и это делало его идеальным руководителем, способным обеспечить всеобщее согласие, свободу и соблюдение законов.
ГЛАВА 2
Теорема
Теорема Пифагора — одно из самых значительных математических достижений в истории. И хотя ее приписывают самосскому мудрецу, известно, что схожие результаты были получены еще в древних цивилизациях Востока. Однако мы не можем отказывать греческим геометрам в гениальности: переход от частного к общему, от наблюдения к теореме — это их заслуга.
Насколько в общественном сознании фигура Пифагора ассоциируется с математикой, настолько же она связана с теоремой, носящей его имя. Однако ее точная формулировка известна меньше, хотя данную теорему изучают в школах по всему миру, и еще меньше люди понимают, зачем в действительности она нужна.
На вопрос о пользе теоремы ответить несложно. Она решает классическую проблему геометрии большой теоретической важности. Таким образом, не говоря о практической пользе, важность ее состоит в том, что она служит основой множества теорем в тригонометрии и аналитической геометрии и, очевидно, в том, что она необходима для извлечения квадратных корней. Как мы увидим далее, проблема извлечения корней из чисел проявляется в достаточно простых математических задачах, таких как вычисление длины диагонали квадрата или прямоугольника по его сторонам.
Возможно, своим влиянием и известностью эта теорема обязана ощущению неочевидности, которое остается после ее анализа. В отличие от других теорем, в этой нет ничего интуитивно понятного, что объясняло бы ее свойства, которые мы сейчас еще раз рассмотрим, так что ее понимание — это акт чисто логической дедукции. Именно поэтому некоторые считают теорему квинтэссенцией математики.
Самое значительное открытие, которое традиция приписывает Пифагору, — это описание прямоугольного треугольника, устанавливающее соотношение между его катетами и гипотенузой. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов длин двух других сторон треугольника (см. рисунок 1). Определение теоремы звучит как «сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы», а ее алгебраическое выражение выглядит так:
a2 + b2 = c2.
Эту теорему можно сформулировать и более строгим образом, следуя современным математическим нормам. Ее определение в специальных геометрических терминах выражается следующим образом (см. рисунок 2):
Дан треугольник ABC; угол С прямой (то есть треугольник является прямоугольным), если площадь квадрата, построенного на стороне с, противоположной углу С, равна сумме площадей квадратов, построенных на двух других сторонах a и b: a2 + b2 = c2.
а = √(с2-b2),
b = √(с2-а2),
c = √(a2 + b2).
Во времена Пифагора эта теорема служила для определения перпендикулярности. Ведь в прямоугольном треугольнике «квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов», потому что катеты перпендикулярны друг другу. С другой стороны, если на практике соотношение сторон именно таково (а2 + b2 = с2), отсюда можно вывести, что данный треугольник — прямоугольный.
В наши дни угольник и копировальная бумага, которые применяются для построения технических чертежей, позволяют проводить не только перпендикулярные отрезки, но и комбинировать углы их пересечения из углов в 30°, 45°, 60° и 90°. В современном мире при черчении с применением плотницкого или столярного угольника тем же инструментом можно проверять перпендикулярность линий. А в Древней Греции архитектор, желающий проверить, перпендикулярны ли друг другу стены, мог использовать теорему Пифагора. Инструментом для измерения длины в то время служила веревка с завязанными на равных расстояниях узелками. Этой веревкой архитектор отмерял 3 единицы по одной стене и 4 по другой, после чего он мог определить, что стены перпендикулярны друг другу, если между двумя этими отметками укладывалось 5 единиц (52 = З2 + 42). Так проблема измерения углов сводилась к проверке соотношения длин, то есть гораздо более простой операции.
Египтяне и вавилоняне уже знали, что треугольник с соотношением сторон 3:4:5 прямоугольный, но, видимо, только греки заметили, что З2 + 42 = 52 и, таким образом, первыми сформулировали теорему в ее общем виде. Тысячелетние китайская и индийская культуры тоже довольно рано обратили внимание на эту геометрическую особенность — проблема диагонали квадрата была известна в этих культурах, а вот в великих цивилизациях доколумбовой Америки или Африканского континента (за исключением Египта) она не ставилась. В любом случае, Пифагору или кому-то из его учеников принадлежит заслуга открытия того, что описанное выше соотношение справедливо для всех возможных прямоугольных треугольников.
Задолго до того как Пифагор сформулировал общий закон, касающийся всех прямоугольных треугольников, в Вавилоне эпохи Хаммурапи — властителя, умершего примерно в 1750 году до н. э., — уже знали, как высчитывать «пифагоровы тройки», то есть такие комбинации положительных чисел (a, b, с), при которых а2 + b2 = с2. Вот некоторые примеры: (3, 4, 5), (5, 12, 13) и (8, 15, 17). Согласно теореме Пифагора, каждая из этих троек представляет собой длины сторон прямоугольного треугольника.
Наш главный источник информации о Вавилоне и Месопотамии — знаменитые глиняные клинописные таблички, на которых писали, пока глина была еще мягкой, а затем обжигали их в печи или высушивали на солнце, что придавало им достаточную твердость. Из всех этих табличек особую ценность для истории математики представляют те, что написаны около 2000 года до н.э. В самых древних записях использовался аккадский язык. Слова в нем состоят из одного или более слогов, и каждое из них отображается группой прямых черточек. Для письма аккадцы использовали палочку с треугольным концом, который они наклонно вдавливали в табличку, от чего оставались клиновидные следы, ориентированные в разных направлениях, поэтому такое письмо называется клинописью.
Среди 300 вавилонских табличек математического содержания из полумиллиона найденных до сегодняшнего дня особый интерес представляет табличка, называемая Плимптон 322 (табличка № 332 из коллекции издателя Джорджа Артура Плимптона, которую он в 1932 году передал Колумбийскому университету). Эта табличка относится к древнему периоду династии Хаммурапи (который охватывает эпоху между 1800 и 1600 годами до н.э.) и на ней изображена таблица с четырьмя колонками символов, которые, по-видимому, представляют числа, записанные в вавилонской шестидесятеричной системе.
Эти ряды чисел можно принять за записи торговых счетов, но при их внимательном изучении было сделано выдающееся открытие: это список пифагоровых троек по формуле а2 + b2 = с2. Таким образом, табличка Плимптона доказывает, что вавилоняне знали элементарную геометрию и начала алгебры.
Как вавилоняне нашли эти пифагоровы тройки? Почему они их интересовали? Для составления этой таблицы они, возможно, использовали известный им алгоритм, который оставался в забвении следующие 1500 лет, до Евклида с его «Началами».
| I. | II.b | III.d | IV. | l |
| (1) 59 00 15 | 159 | 2 49 | 1 | 2 00 |
| (1) 56 56 58 14 50 06 15 | 56 07 | 3121 [1 20 25] | 2 | 57 36 |
| (1) 55 07 4115 33 45 | 116 41 | 150 49 | 3 | 120 00 |
| (1) 53 10 29 32 52 16 | 3 3149 | 5 09 01 | 4 | 3 45 00 |
| (1)48 54 0140 | 105 | 137 | 5 | 112 |
| (1) 47 06 4140 | 519 | 8 01 | 6 | 600 |
| (1) 43 11 56 28 26 40 | 38 11 | 59 01 | 7 | 45 00 |
| (1) 41 33 59 03 45 | 1319 | 20 49 | 8 | 16 00 |
| (1) 38 33 36 36 | 901 [801] | 12 49 | 9 | 10 |
| (1) 35 10 02 28 27 24 26 40 | 122 41 | 216 01 | 10 | 148 00 |
| (1) 33 45 | 45 | 115 | 11 | 100 |
| (1) 29 21 54 02 15 | 27 59 | 48 49 | 12 | 40 00 |
| (1) 27 00 03 45 | 7121 [2 41] | 4 49 | 13 | 4 00 |
| (1) 25 48 5135 06 40 | 29 31 | 53 49 | 14 | 45 00 |
| (1) 23 13 46 40 | 56 | 53 [146] | 15 | 130 |
На следующей странице в таблице показаны 15 из 38 пифагоровых троек из этой таблички. Хотя клинописные символы заменены на привычные цифры, для понимания таблицы нужно сделать несколько уточнений. Четвертая колонка содержит номер строки. Вторая и третья колонки показывают значение гипотенузы и катета прямоугольного треугольника, записанные в шестидесятеричной системе. В последней колонке, обозначенной буквой «l», находятся значения второго катета. Содержимое первой колонки вызывает некоторое удивление, потому что там представлен квадрат соотношения d, деленного на l. Это значение можно было бы охарактеризовать как квадрат некоей тригонометрической функции. Рассмотрим первую строку вавилонской таблички, использовав десятеричную систему. В колонке II обозначена длина катета b=119 (что в шестидесятеричной системе записывается как 159 — одна «шестидесятая» плюс 59. — Примеч. перев.), а в колонке III — гипотенуза d =169 (записано как 249 — две «шестидесятой» плюс 49). Из этих величин вытекает длина другого катета, l = = 120 (200 — две «шестидесятки»). В таблице ниже эти значения переведены в десятеричную систему, по ней легче проверить соответствующие соотношения.
| Номер строки | l | b | d |
| 1 | 120 | 119 | 169 |
| 2 | 3456 | 3367 | 4825 |
| 3 | 4800 | 4601 | 6649 |
| 4 | 13500 | 12709 | 18541 |
| 5 | 72 | 65 | 97 |
| 6 | 360 | 319 | 481 |
| 7 | 2700 | 2291 | 3541 |
| 8 | 960 | 799 | 1249 |
| 9 | 600 | 481 | 769 |
| 10 | 6480 | 4961 | 8161 |
| 11 | 60 | 45 | 75 |
| 12 | 2400 | 1679 | 2929 |
| 13 | 240 | 161 | 289 |
| 14 | 2700 | 1771 | 3229 |
| 15 | 90 | 56 | 106 |
В Египте математика была менее развита, чем в Междуречье. Сведения о ней происходят из пяти папирусов, посвященных математическим вопросам, среди которых самые важные — это папирус Ринда, обнаруженный в 1858 году шотландским египтологом Александром Генри Риндом (1833-1863) и ныне хранящийся в Британском музее, и Московский папирус, находящийся в коллекции Пушкинского музея в Москве. Два этих документа восходят, по всей видимости, к XVIII веку до н.э., хотя, возможно, они еще более древние. Оба папируса представляют исключительную ценность для историков математики, и весьма показательно, что ни в одном из них нет никаких свидетельств о теореме, известной сегодня как теорема Пифагора, или о пифагоровых тройках.
Во всяком случае, египтяне знали о том, что треугольники с соотношением сторон 3, 4, 5, а также пропорциональные им, прямоугольные и широко пользовались этим соотношением, когда надо было начертить две перпендикулярные линии, так что треугольник 3:4:5 даже получил название египетского.
О его применении, среди прочих, рассказывает Геродот в своем описании работы землемеров после сдвигов почвы, вызванных разливами Нила. Засвидетельствовано использование египетского треугольника и в строительстве, к примеру, при возведении огромной пирамиды Хефрена, восходящей к XXVI веку до н.э.
Ясное указание на пифагорово соотношение появляется в различных египетских расчетах, однако до нас не дошло никаких свидетельств, что это соотношение было сформулировано в общей форме. К примеру, в одном из документов XII династии (ок. 2000 до н.э.), найденном в Кахуне, используется выражение
l2 = (3/4)2 = (1+1/4)2,
пропорциональное египетскому треугольнику. В Берлинском папирусе тоже содержится ряд медицинских, литературных и математических документов Среднего Царства, содержащих следы пифагоровой теоремы. В одном из математических папирусов решается система уравнений с двумя неизвестными в связи со следующей задачей:
Площадь квадрата в 100 квадратных кубитов равна сумме двух меньших квадратов. Сторона одного из них составляет 1/2 + 1/4 стороны другого. Найди длины сторон этих квадратов.
На языке современной алгебры соответствующая задача решается следующей системой:
х2 + у2 = 100,
y = (1/2 + 4/4)x
что требует, как это видно в папирусе, выполнить подстановку и вычислить квадратный корень. Это решение типологически близко пифагорову, но более, чем о знакомстве с теоремой Пифагора, оно свидетельствует о том, что египтянам были известны методы решения двойных уравнений — значительный результат для Древнего Египта.
В Индии также развивались арифметико-геометрические знания, связанные с теоремой Пифагора, — они применялись при строительстве храмов и возведении алтарей. Между VIII и II веком до н. э. арифметические и геометрические сведения составили сборник текстов, известный под названием «Сульвасутра». Сульва — это термин, обозначающий веревки, использующиеся для измерения, а Сутра — книга правил и изречений, относящихся к определенному ритуалу или науке, так что название можно перевести как «Учебник правил о веревке».
Тексты «Сульвасутры» были своего рода сборником книг, где излагались правила возведения алтарей определенных форм и размеров, среди которых самые интересные — это «Баудхаяна» и «Апастамба», датируемые V веком до н. э. Там излагаются способы использования веревки не только для измерения, но и для построения перпендикулярных линий — для этого применяются три веревки, длины которых представляют пифагоровы тройки (к примеру, 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25). Для этих целей использовали чаще всего треугольник со сторонами 15, 36, 39 (пропорциональный треугольнику 5, 12, 13, называемому индийским треугольником).
Трудно оценить, насколько оригинальны эти сведения для Индии. С одной стороны, здесь, как и в Египте, использовалось натяжение веревок, а с другой — все тройки «Сульвасутры» легко отыскать в вавилонском правиле, описанном выше. Это наводит на мысли о том, что знания из Месопотамии пришли и на берега Инда.
В Китае теорема Пифагора известна как Кон Ку и впервые появляется в математическом трактате «Чу Пей Cyan Чинь», что можно перевести как «Классическая арифметика гномона». Наиболее вероятно, что этот труд был написан между 500 и 300 годами до н. э., и, по общему мнению, Пифагор его знать не мог. «Чу Пей Суан Чинь» — это сумма знаний, пришедших из гораздо более отдаленных времен и собранных в III веке до н.э. двумя знаменитыми математиками, Чжао Шуаном и Лю Хуэем. К счастью, в его содержании можно отделить древние пласты от позднейших наслоений. Что касается теоремы Пифагора, этот математический трактат касается ее только в примитивной форме, то есть дает конкретные числовые соотношения, а не общие правила нахождения пифагоровых троек.
В трактате «Чу Пей Суан Чинь» есть один пассаж о прямоугольных треугольниках, в котором интерес вызывает описание некоей фигуры, названной диаграммой гипотенузы и представляющей собой не что иное, как визуальную демонстрацию теоремы Пифагора с помощью треугольника со сторонами а = 3, b = 4 и с = 5. В этом доказательстве строится квадрат со стороной (а + b)у который делится на четыре треугольника с основанием а и высотой b, и квадрат со стороной с (см. рисунок 3 на следующей странице). В высшей степени вероятно, что доказательство восходит к эпохе уже после Пифагора, но даже в этом случае его стоит разобрать подробнее.
Дан прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с. Следует доказать, что площадь квадрата со стороной с равна сумме площадей квадратов со сторонами а и b.
Поделиться книгой: