Помоги проекту - поделись книгой:
получила название совершенной пропорции из-за ее простоты, а пропорция
p/(p+q)/2 = 2pq/(p+q)/q
названа музыкальной пропорцией из-за красоты формулировки.
ГЛАВА 5
Гармония Вселенной
Отыскивая математическое основание музыкальной гармонии, пифагорейцы стали первыми, кто применил математику для описания законов природы. Связь, которую они установили между арифметикой, геометрией и музыкой, превратила музыкальное искусство в раздел математики. Кроме того, перенося на космос музыкально-числовые соотношения, они создали космологию, в которой движение звезд вызывало музыкальные звуки, находящиеся в совершенной гармонии: это была «музыка сфер».
Предшествующие греческой цивилизации культуры воспринимали природу как хаотический и пугающий мир. Однако около 600 года до н.э. начало складываться новое интеллектуальное направление рационального и критического характера, сформулировавшее идею природы упорядоченной и правильно устроенной, секреты которой человеческий разум может познать.
Вероятно, именно ионийские философы первыми попытались определить первооснову всего сущего, которой они считали некую субстанцию, остающуюся неизменной в чреде всех видимых изменений. Новое направление мысли развивалось медленно, в маленьких группах интеллектуалов, и продолжало оперировать мифологическими категориями и следовать старым ритуалам, которые укоренились в культуре представителей этого направления и среди большинства населения.
В целом эти первые греческие интеллектуалы не уделили достаточно времени тому, чтобы объяснить причины и мотивы, которые привели их к созданию теорий, а сосредоточились на их изложении с максимальной дедуктивной строгостью. У современных историков науки слишком мало источников для точного объяснения, почему именно греки стали развивать такие мощные инструменты науки, как математика. Возможно, мотивом было желание постигнуть законы физического мира: их исследования в области астрономии, оптики и музыки ставили такие задачи, которые послужили сильным импульсом к развитию математики и применению ее в этих областях.
Первой значительной группой, развивавшей математический взгляд на природу, была пифагорейская секта. Нет никаких сомнений, что их религиозные воззрения были мистическими, но философия природы была совершенно рациональной. Членов группы поражало, что различные явления, качественно отличающиеся друг от друга, демонстрируют одинаковые математические свойства. Они считали, что эти свойства должны быть первоосновой всех явлений. И так как они воспринимали числа как точки или как элементарные частицы материи, то число и было материей, формой существования Вселенной и причиной любого явления.
Само слово «музыка» берет начало от греческого термина musika, что значит «имеющее отношение к музам». В греческой мифологии музы были богинями — покровительницами музыки, танца, астрономии и поэзии. Можно сказать, что музыка эфемерна и существует только в памяти: она развивается во времени и неуловима. Эти ее качества, среди прочих, придают музыке несколько магический оттенок, который заставил человека использовать ее в своих ритуалах с древнейших времен и сделал ее важнейшим компонентом религиозного культа. Музыка заняла в космосе Пифагора и пифагорейцев центральное место.
Согласно легенде, идя однажды по дороге, мудрец с Самоса услышал удары молота, доносившиеся из кузницы. Он подошел поближе и увидел, что звук рождается из вибрации металла под ударами инструмента; более длинные куски издавали более низкие звуки. После этого наблюдения он стал ставить эксперименты с колоколами и кувшинами с водой и занялся изучением вибраций струн на лире и монохорде — инструменте с одной струной, изобретение которого приписывают Пифагору, — пока не открыл общих отношений между длиной вибрирующего участка струны и высотой звука.
Вероятнее всего, все происходило не так, как рассказывает легенда, хотя во многих источниках Пифагор действительно именуется изобретателем музыкального искусства, которому он приписывал благотворное влияние на людей. Ученый изучал законы акустики и первый нашел отношения между числами и гармоническими звуками, то есть теми, одновременное звучание которых приятно для слуха. Он оставил миру первую математическую теорию музыки и тем самым сделал шаг в направлении устранения произвольных суждений в исследованиях природы и к сведению хаоса к понятной и упорядоченной модели. Перевод музыки в числовые соотношения стал возможен, когда были установлены два факта:
— звук, получаемый при щипке струны, зависит от длины струны;
— гармонические звуки производятся при равном натяжении струн, соотношение длин которых выражается целыми числами.
Пифагорейцы тщательно изучали звуки единственной струны монохорда, изменяя ее длину так, как прижимаются струны на современной гитаре. Варьируя длины струны, они получали разные музыкальные ноты. Чем короче струна, тем выше была нота. Затем, при сравнении пары звуков, произведенных струнами различной длины, они открыли нечто удивительное: деление длинной струны на малые числа — надвое, на одну треть, на две трети от первоначальной длины — производило гармонично сочетающиеся звуки, то есть звуки, приятные для слуха. Таким образом, длины струны, соответствующие каждому гармоническому сочетанию звуков, можно выразить соотношением целых чисел. Благодаря этому наблюдению пифагорейцам удалось выстроить математическую модель физического феномена, опираясь, прежде всего, на свое эстетическое чувство — нечто похожее на то, что произошло с золотым сечением в рамках формирования концепции красоты в эпоху Возрождения.
Гармонические отношения, интервалы, которые нашли пифагорейцы, сегодня изучаются в каждой музыкальной школе:
— октава: самый простой интервал, который получается, если струну прижать на середине ее длины или же ущипнуть две с равной силой натянутые струны, одна из которой вдвое короче другой. Это соотношение в числовом виде выражается как 2:1. На музыкальном языке «интервал между двумя одинаковыми нотами составляет октаву»: например, это расстояние между нотой до и следующим до;
— квинта: это такое гармоническое отношение, когда струна прижимается в точке, находящейся на одной трети от всей длины струны, или же когда звучат две струны с соотношением длин 3:2. В этом случае более короткая струна производит ноту на квинту выше, чем более длинная (к примеру, интервал между до и соль)]
— кварта: сочетание, в котором струна зажимается на расстоянии одной четверти всей длины или же когда звучат две струны с соотношением длин 4:3, и тогда на музыкальном языке говорят об интервале кварта (скажем, интервал между до и фа).
Таким образом, музыкальные интервалы в зависимости от пропорций деления струны, выраженных в формуле
(n+1)/n
гармоничны и приятны для слуха. На основании этого факта пифагорейцы заявили о существовании прямой связи между числом и гармонией. Они составляли свои звуковые ряды, основываясь на простых числовых соотношениях между различными звуками. Так, пифагоров ряд базируется на двух самых простых интервалах — октаве с соотношением 2/1 и квинте с соотношением 3/2. Пифагорейцы получали различные ступени звукоряда, связывая квинты и прибегая к тому, что называется перенесением на октаву, то есть деля и умножая на 2, чтобы расположить получаемые ноты в необходимом порядке.
Этот процесс выглядит так (взяв за первый звук до, можно получить подобным образом весь звукоряд начиная с любой ноты). Прежде всего высчитывается первая восходящая квинта для получения соль. Следующая восходящая квинта даст нам ре, а далее — ля, ми и си. Отсчитав теперь нисходящую квинту от начального до, мы получим фа. Таким образом строятся семь нот звукоряда:
фа ← до → соль → ре → ля → ми → си.
Продолжая откладывать квинты, можно получить 12 звуков хроматической гаммы, которая называется также додекафонической, потому что содержит 12 полутонов западного темперированного звукоряда. Это наиболее используемая система гармонического строя в западной музыке. Она основывается на темперированном полутоне, который равен 1/12 части октавы и в числовом выражении составляет корень 12-й степени из двух. Он, в свою очередь, делится на 100 центов (цент — это сотая доля полутона),
соль |>← ре |>→ ля |>← ми |>← си |>← фа ← до → соль → ре → ля → ми → си → фа #,
В музыке цент — безразмерная логарифмическая единица отношения двух частот или значений границ музыкального интервала. Цент равен 1/100 полутона — это настолько малое значение, что оно находится за пределами человеческого восприятия. С учетом того, что 12 полутонов составляют одну октаву, цент — это такое число, что:
(с100)12 = 2 => с1200 = 2 => с =1200√2.
где символы бемоль (|>) и диез (#) обозначают, соответственно, звуки на полтона ниже или выше обозначенных. Получив 12 нот с помощью откладывания квинт, достаточно будет расположить звуки в пределах одной октавы путем перенесения на октаву.
После изложения необходимых предварительных принципов можно определить положение каждой ноты с помощью умножения квинт и перенесения на октаву, учитывая, что (напоминаем) значение пропорции частот будет 1 для отношения ноты до к самой себе и 2 — для отношения до и до следующей октавы. Прежде всего, определяется нота соль, которая отстоит на квинту от до:
соль = 3/2 от до
или, проще:
соль = 3/2.
Далее определяется ре, которое находится на квинту от соль. Она получается умножением на 3/2 и перенесением на октаву, то есть умножением на 1/2 или делением на 2. Расстояние от до до ре называется тоном. Тон — типичная дистанция между двумя нотами в темперированной системе, соответствующая одной седьмой октавы и, логичным образом, делящаяся на два полутона. Выполнив простейшие умножения, мы получаем интервал от до до ре:
ре = соль · 3/2 · 1/2 ре = 3/2 · 3/2 · 182 ре = 9/8.
22 222 8
После этого так же определяется ля, отстоящее от ре на квинту:
ля = ре · 3/2 ля = 9/8 · 3/2 · 1/2 ля = 27/16.
Ми находится через квинту от ля, но необходимо перенесение на октаву:
ми = ля · 3/2 · 1/2 ми = 27/16 · 3/2 · 1/2 ми = 81/64.
Ряд завершается
Таким образом, если принять для
| Нота | До | Ре | Ми | Фа | Соль | Ля | Си | До |
| Соотношение частот | 1 | 9/8 | 81/64 | 4/3 | 3/2 | 27/16 | 243/128 | 2 |
Этот процесс можно продолжать далее для определения нот, обозначенных на фортепьяно черными клавишами, или бемолей, продвигаясь вниз по квинтам, начиная с
| Нота | Ре|> | Ми|> | Соль|> | Ля|> | Си|> |
| Соотношение частот | 256/243 | 32/27 | 1024/729 | 128/81 | 16/9 |
Поднявшись на квинту от си, мы получаем фа#, которое должно бы быть тем же звуком, что и соль|> после соответственного перенесения на октаву. Однако это разные звуки: разница между фа# и соль|> называется пифагоровой коммой. Таким же образом, после перенесения на октаву звуки фа# и ре|> находятся друг от друга на расстоянии точной квинты, но образуют интервал, который отличается от квинты на пифагорову комму. Такая квинта чуть меньше и называется «волчьей квинтой».
Структура квинтового круга представляет собой комбинацию двенадцати квинт, которые в результате приходят к ноте, почти идентичной начальной, но через семь октав, как это показано на клавиатуре.
Эта разница в «почти», проявляющаяся на расстоянии семи октав, и называется пифагоровой коммой. Можно вычислить ее значение СР, приняв за отправной пункт частоту ƒ и сравнив цепочки из двенадцати квинт и из семи октав:
CR = ƒ · (3/2)12/(ƒ · 27 ) = 1, 013643265.
Таким образом, разница составляет более 1 % октавы, или почти четверть тона. Эта разница возникает потому, что дробь, которой выражается квинта, несовместима с октавой, что можно легко доказать. Можно выяснить, существуют ли такие значения х и у, которые позволяли бы увязать эти дроби:
(3/2)x = 2y => 3x/2x = 2y => 3x = 2x+y.
Как видим, необходимо найти число, которое было бы одновременно некоторой степенью 2 и 3. Но так как 2 и 3 — простые, существование такого числа противоречило бы фундаментальной теореме арифметики, согласно которой любое натуральное число может быть представлено единственным образом в виде произведения простых чисел. Эта теорема, сформулированная еще Евклидом, была доказана математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777-1855). Исходя из нее можно утверждать, что интервалы, сложенные из квинт и из октав, никогда не сойдутся, то есть существование хроматического звукоряда без пифагоровой коммы невозможно.
Греки называли ноты первыми буквами ионийского алфавита, присвоив отдельную букву каждому полутону и каждому звуку, повышенному на октаву. Наше фа обозначалось как а, повышенное фа — как β (бета), фа, повышенное на две ступени, — γ (гамма).
Римляне также использовали для записи музыкальных звуков первые буквы своего алфавита. Римский философ Боэций (480-525), автор «Утешения философией», взявшийся за задачу совместить философские школы Платона и Аристотеля, создал трактат о теории музыки. В этой книге, известной под латинским названием De musica («О музыке»), он предлагает звукоряд из 15 нот, представляющих две октавы, игнорируя циклический принцип построения октав.
Этот принцип вспомнят позже, обозначая одними и теми же буквами одинаковые ноты разных октав. Так называемая немецкая, или английская, номенклатура ввела для семи нот главной октавы большие буквы от А до G, следующей октавы — маленькие буквы от а до g, третьей октавы — двойные маленькие буквы ( аа, bb, сс, dd, ee, ff, gg). Таким образом, семь из 12 звуков, соответствующие нынешним белым клавишам фортепьяно, получили собственные имена. Остальные пять были названы позже, после появления концепции бемолей, бекаров и диезов. Их названия основаны на названиях основных семи.
В XI веке тосканский монарх Гвидо д’Ареццо (ок. 995-1050) значительную часть времени посвятил тому, чтобы создать мнемонические правила для исполнителей музыки. Самое, пожалуй, известное из них называется «рука Гвидо», в соответствии с которым ноты располагаются в алфавитном порядке на кисти руки. Гвидо д’Ареццо даже переименовал ноты, присвоив каждому звуку слог из широко известного в то время гимна Иоанну Крестителю: «Чтобы слуги твои голосами своими смогли воспеть чудные деяния твои, очисти грех с наших опороченных уст, о Святой Иоанн», что на латыни звучит следующим образом:
Ut queant laxis
Resonare fibris
Mira gestorum
Famuli tuorum
Solve polluti
Labii reatum
Sancte Iohannes.
После замены ut на до сложились названия семи нот, которые существуют в большинстве языков до сих пор.
В своих поисках гармонии Вселенной пифагорейская школа строила астрономические акустические модели и изучала музыку и арифметику. Пифагорейцы сводили движение планет к числовым отношениям. Они считали, что небесные тела в своем движении через космическое пространство рождают гармонические вибрации, музыку сфер. Возможно, к такой идее они пришли, услышав звук, который издает предмет, привязанный к колеблющейся струне, как это практиковалось в некоторых религиозных обрядах. Кроме того, члены братства утверждали, что небесное тело, двигающееся быстрее, должно производить более высокий звук, чем то, которое движется медленнее. Однако, согласно их астрономическим воззрениям, быстрее двигалось то тело, которое находилось дальше от Земли, поэтому и звуки, производимые планетами,— человек не мог услышать их без помощи инструментов, так как привык к ним с рождения — варьировались в зависимости от расстояния от них до Земли и находились в гармонии между собой.
Поделиться книгой: