Помоги проекту - поделись книгой:
Будет ли уничтожено количество их движения? Нисколько. Полное количество движения системы[23] было равно mv + (-mv), или 0, перед столкновением, и 0 + o, или (все еще) 0, после столкновения. Распределение количества движения среди частей системы до столкновения было иным, чем после столкновения, но полное количество движения осталось неизменным.
Предположим теперь, что вместо того, чтобы прилипнуть, когда эти две шайбы столкнулись (неупругое столкновение), они отпрыгнули бы друг от друга с абсолютной упругостью (упругое столкновение). Если бы это произошло, то каждая из шайб полностью изменила направление своего движения. Та, чье количество движения было равно (mv), теперь имела бы количество движения, равное (−mv), и наоборот. Вместо суммы mv + (–mv) мы получили бы сумму (–mv) + mv. Снова произошло бы изменение в распределении количества движения, но снова — полное количество движения системы будет неизменно.
Если столкновение не было ни совершенно упругим, ни полностью неупругим, если шайбы отпрыгнули обособленно, но только слабо, то значение количества движения для каждой из шайб могло бы изменяться от mv до –0,2mv, в то время как количество движения другой шайбы могло измениться от –mv до 0,2mv. В любом случае конечная сумма была бы равна нулю.
Все это справедливо и в том случае, если шайбы встречаются «под углом», а не «лоб в лоб» и касаются друг друга «по скользящей». Если они встречаются «под углом», то есть таким образом, что их скорости не направлены в точно противоположных направлениях, оба импульса этих тел не обнулятся, даже если скорости этих двух шайб были равны. Полное количество движения системы можно вычислить векторным сложением этих двух индивидуальных импульсов. И шайбы тогда отпрыгнут таким образом, каким укажет вектор их суммы. Это же сложение укажет нам на тот факт, что суммарное общее количество движения системы осталось таким же, как до столкновения. Все это также справедливо для частного случая, когда двигающаяся шайба ударяет скользящим ударом в шайбу, находящуюся в состоянии покоя. Шайба, находящаяся в состоянии покоя, будет приведена в движение, а шайба, которая изначально перемещалась, изменит направление своего движения; однако оба получившихся в результате столкновения импульса в итоге составят величину, равную оригинальной.
Рассматриваемые величины останутся, по существу, неизменными, даже если эти две шайбы имели различные массы. Предположим, что одна шайба перемещалась с некоторой данной скоростью направо и имела количество движения, равное mv, в то время как другая, имеющая массу в три раза больше первой, перемещалась с той же самой скоростью налево и имела поэтому импульс, равный –3/mv. Если рассмотреть эти две, связанные вместе после столкновения «лоб в лоб», объединенные шайбы (с полной массой 4 т), то мы увидим, что они продолжили бы перемещаться влево, в направлении, в котором двигалась более массивная шайба, но суммарная скорость системы была бы равна половине начальной скорости оригинала (— v/2). Первоначальное количество движения системы было:
А что получается в том случае, если количество движения, как кажется, создано «из ничего»? Давайте рассмотрим пулю, которая первоначально находится в состоянии покоя (поэтому ее количество движения равно нулю), которую внезапно выстреливают из ружья, а значит — она начинает перемещаться с высокой скоростью. Как мы знаем, пуля теперь имеет значительное количество движения, равное
Короче говоря, все эксперименты, которые мы можем провести, приводят нас к заключению, что:
Конечно, чтобы доказать обобщение, нужно не просто перечислять отдельные случаи, подтверждающие его истинность. Независимо от того, насколько часто вы экспериментируете и приходите к выводу, что количество движения сохранено, вы не можете заявить с уверенностью, что так будет всегда. В лучшем случае можно заявить, что поскольку эксперимент за экспериментом подтверждают истинность закона и поскольку в результате экспериментов не было получено данных, опровергающих этот закон, то существует большая вероятность того, что данный закон верен. Было бы гораздо лучше, если бы мы могли доказать обобщение, опираясь на другое обобщение, истинность которого уже была доказана ранее.
Например, предположите, что дна тела любой массы, перемещающиеся с любыми скоростями, сталкиваются под любым углом, с любой степенью упругости. В момент столкновения одно тело прикладывает силу (f) ко второму. В соответствии с третьим законом Ньютона второе тело прикладывает к первому телу равную и противоположную по знаку силу (–f). Сила прикладывается в течение времени, пока эти два тела остаются в контакте. Время (t) контакта, очевидно, одинаково для обоих тел, поскольку, когда первое тело перестает быть в контакте со вторым, второе также перестает быть в контакте с первым. Это означает, что импульс первого тела на втором равен ft, а второго на первом равен –ft.
Импульс первого тела на втором передает изменение количества движения, равное mv, второму телу. Но импульс второго тела на первом, являющийся абсолютно равным по величине, но противоположным по знаку, должен передать изменение в количестве движения, равном –
Таким образом, закон сохранения импульса может быть получен из ньютоновского третьего закона движения. На самом деле, однако, этого не произошло, и закон сохранения импульса был открыт в 1671 году английским математиком Джоном Валлисом (1616–1703) на дюжину лет раньше, чем Ньютон опубликовал свои законы движения. Обратный путь, кстати, тоже возможен, и третий закон движения тоже можно получить из закона сохранения импульса.
Туг у вас может появиться ощущение, что что-то не так, ведь если физики доказывают закон сохранения количества движения, опираясь на третий закон движения, а затем доказывают третий закон движения, исходя из закона сохранения количества движения, то они фактически ходят по кругу и не доказывают ничего вообще. Это бы и было, если бы происходило так, но все происходит иначе.
Здесь не столько вопрос «доказательства», сколько вопрос создания предположения и демонстрации последствий этого предположения. Можно начинать с того, что принять третий закон движения, а затем показать» что закон сохранения импульса есть следствие его действия. Точно так же можно начать с того, что принять закон сохранения импульса и показать, что третий закон — следствие из него.
Направление доказательства, которое вы выберете, — просто вопрос удобства. В любом случае не существует никакого магического «доказательства», также нет и никакой обычной «ясности». Целая структура опирается на тот факт, что никто в течение почти трех столетий не был в состоянии провести четкую демонстрацию опыта, который показал бы, что существует или может быть искусственно создана система, в которой не действует третий закон движения или закон сохранения импульса. Такая демонстрация может быть проведена завтра, и тогда, как последствие этой демонстрации, придется, вероятно, изменить многие основы физики; но к настоящему моменту времени вероятность того, что это случится, кажется весьма и весьма небольшой[24].
И все же, может быть, мы немного пофантазируем и попытаемся придумать случаи, когда этот закон не соответствует действительности? Например, предположим, что бильярдный шар бьет в борт бильярдного стола и отскакивает по своей собственной линии удара. Его скорость была v, стала после отскока — у, и так как его масса не изменилась, то первоначальная величина
Да, это так. Но бильярдный шар не представляет собой систему целиком. Полная система включает в себя борт бильярдного стола, который приложил импульс, изменивший количество движения бильярдного шара. В действительности, так как бильярдный стол удержан на основании (земле) при помощи сил трения, преодолеть которые шар не может из-за их слишком большой величины, то система включает в себя также и всю планету. Количество движения Земли изменяется ровно настолько, чтобы компенсировать изменение в количестве движения бильярдного шара. Однако масса Земли значительно больше, чем у бильярдного шара, и изменение в ее скорости поэтому также соответственно меньше — слишком ничтожно малое, чтобы быть обнаруженным любыми известными человеку средствами.
Все же можно было бы предположить, что, если достаточное количество бильярдных шаров, двигающихся в одном и том же направлении, будут ударять в достаточное количество бильярдных столов в течение достаточно долгого времени, движение Земли могло бы быть ощутимо изменено. Как бы не так! Каждый ударяющийся бильярдный шар должен ударить противоположный край стола, или вашу руку, или какое-то другое препятствие. Но если даже он просто медленно остановится благодаря трению (которое можно рассматривать как серию микроударов шара о ткань стола), это ничего не изменит. Независимо от того, каким образом двигается бильярдный шар, он распределит изменения в своем количестве движения одинаково в обоих направлениях, прежде чем остановится, если только непосредственно вовлечены шар и Земля.
В наиболее общем случае распределение количества движения между Землей и всеми подвижными объектами на ее поверхности или около может время от времени изменяться, но полное количество движения и поэтому общая скорость Земли плюс всех этих подвижных объектов (предполагая, что общая масса остается неизменной) должны оставаться теми же самыми. Никакая величина или вид взаимодействия среди компонентов системы не могут изменить полное количество движения этой системы.
А теперь решение проблемы падающего тела, которой я открыл данную главу. В то время как тело падает, оно получает некоторое количество движения (mv), это количество движения нарастает по мере увеличения скорости. Система, однако, состоит не только из одного падающего тела. Сила тяготения, которая вызывает движение, относится и к телу, и к Земле. Следовательно, Земля должна получить количество движения, равное (–mv), двигаясь навстречу телу. Из-за огромной массы Земли это ее встречное ускорение исчезающе мало и при любых практических вычислениях может игнорироваться. Однако принцип остается. Когда тело падает, движение не создается из ничего. Скорее возникает и движение тела, и антидвижение Земли, и эти два движения взаимоисключаются. Полное количество движения Земли и падающего тела относительно друг друга является нулевым до того, как тело начинает падать, нулевым — после того, как оно заканчивает падение, и нулевым — в любой произвольно взятый момент времени в течение его падения.
Вращательное движение
До сих пор я рассматривал движение, как если бы оно вовлекало перемещение объекта через пространство в едином целом с различными частями объекта, поддерживающими их взаимную неизменяемую ориентацию. Такое движение называется «поступательным»
Однако возможно и перемещение тела, при котором оно не будет двигаться через пространство как единое целое, но при этом — все же будет перемещаться. Например, центр колеса может быть закреплен на одном месте, чтобы колесо в целом не изменяло своего положения; однако само колесо может вращаться относительно этого центра. Подобным же образом сфера, установленная в пределах некоторого объема пространства, может вращаться вокруг некоторой установленной линии, оси. Этот вид движения называется «вращательным»
Вращательное движение весьма аналогично поступательному, но рассмотрение его требует изменения точки зрения. Например, мы привыкли думать о скорости поступательного движения в терминах «миля в час» или «сантиметры в секунду», во вращательном движении единицы измерения другие. Кроме того, мы принимаем как очевидное, что если одна часть тела имеет некоторую скорость поступательного движения, то и все остальные части тела имеют такую же скорость. Другими словами — весь самолет перемещается вперед со скоростью своего носа.
В случае вращательного движения эти вопросы различны. Точка на ободе вращающегося колеса перемещается уже с некоторой скоростью, точка, находящаяся ближе к центру колеса, перемещается с меньшей скоростью, а точка, находящаяся еще ближе к центру, перемещается с еще меньшей скоростью. Точка, находящаяся в центре вращающегося колеса, неподвижна. Поэтому сказать, что колесо вращается со скоростью столько-то сантиметров в секунду, является бессмысленным, если мы не указываем точную часть колеса, к которой относится данное высказывание, а это может быть достаточно неудобно.
Было бы более удобно, если бы мы могли найти некоторый метод измерения скорости вращения, который был бы применим сразу ко всему телу вращения. Одним из таких методов может быть рассмотрение числа оборотов тела за единицу времени. Хотя различные точки на колесе могут двигаться с различной скоростью, каждая точка на колесе заканчивает вращение в один и тот же момент времени, так как колесо вращается «как единое целое». Поэтому мы можем говорить о колесе (или любом другом объекте вращения), что оно «имеет скорость в столько-то вращений в минуту» (обычно это выражение сокращают как «об/мин», или
Или мы могли бы разделить одно обращение колеса на 360 равных частей, называемых «градусами» (сокращенно градус обозначается значком °. В этом случае 1 оборот в минуту был бы равен 360 град./мин, или 6 град./с (градусов в секунду). В то время как колесо поворачивается на какой-то градус линия, соединяющая центр колеса с точкой на его ободе, образует угол. Поэтому о скорости, данной в оборотах в минуту или в градусах в секунду, обычно говорят как об «угловой скорости».
Вращательное движение способно совершаться любым из двух зеркально отраженных способов. Если смотреть из некоторого фиксированного положения, то колесо может выглядеть вращающимся «по часовой стрелке», то есть в том же направлении, в котором двигаются стрелки часов. Но с другой стороны, оно может двигаться «против часовой стрелки», то есть в сторону, противоположную движению стрелок часов[25]. Поэтому об угловой скорости можно говорить, учитывая не только величину, но также и направление. (Что касается скоростей, включаемых в поступательное движение, то о них можно говорить как о «линейных скоростях», так как движение тут происходит скорее по линии, чем по углу.)
Физики используют другую единицу измерения вращательной скорости — радиан. Это угол, который отображает на окружности дугу, равную по длине радиусу круга. Длина окружности равна π, умноженному на диаметр окружности[26], то есть
Угловая скорость часто обозначается греческой буквой
Для любой данной точки на вращающемся теле угловая скорость может быть приведена к линейной скорости. Линейная скорость зависит не только от угловой скорости, но также и от расстояния, на котором находится рассматриваемая точка от центра вращения (r). Если для той же самой угловой скорости удвоить расстояние от точки до центра вращения, то линейная скорость точки также удвоится. В таком случае можно сказать, что:
Это уравнение абсолютно корректно, когда
Если бы мы измеряли
Крутящий момент
Для того чтобы привести тело, находящееся в состоянии покоя, в поступательное движение, требуется приложить к нему силу. Но при некоторых условиях сила может вместо этого вызвать вращательное движение тела. Предположим, например, вы прибили гвоздем один конец доски к деревянному основанию. Если вы теперь толкнете доску, то она не будет двигаться в поступательной манере движения, так как один конец ее закреплен. Вместо этого доска начнет совершать вращательное движение вокруг зафиксированного конца.
Сила, которая вызывает такое вращательное движение, называется крутящим моментом
Данная сила не всегда вызывает тот же самый крутящий момент. В случае упомянутой доски величина крутящего момента зависит от расстояния между точкой, к которой приложена сила, и фиксированной точкой. Сила, приложенная непосредственно к фиксированной точке, не будет вызывать крутящий момент. По мере отступа от этой точки данная сила произведет все более быстрое вращение и поэтому вызовет все больший и больший крутящий момент. Фактически крутящий момент равен силе (f), умноженной на расстояние (r):
В прошлом о крутящем моменте говорили как о «моменте силы», но эта фраза теперь вышла из употребления. Крутящий момент может быть вызван не только в случае, когда какая-то часть тела зафиксирована в пространстве, но даже тогда, когда все тело способно свободно перемещаться.
Рассмотрим тело, обладающее массой, но состоящее из одной-единственной точки. Такое тело может подвергнуться только поступательному движению. Вращающееся тело, в конце концов, крутится относительно некоторой точки (или линии); если эта точка — все, что существует, и нет ничего еще, что могло бы вращаться, возможно только линейное движение. Зато к таким точечным массам наиболее просто применить законы движения.
Однако в реальной Вселенной не существует никаких точечных масс. Все реальные тела, обладающие массой, могут расширяться. Однако можно показать, что в некоторых случаях такие реальные тела ведут себя так, как будто вся их масса сконцентрирована в какой-то одной точке. Точка, в которой эта кажущаяся концентрация может быть найдена, называется «центром масс» тела. Если тело симметрично по форме и однородно по плотности или имеет плотность, которая изменяется симметричным образом, центр массы совпадает с геометрическим центром тела. Например, Земля, по существу, сферическое тело, но в то же время оно неравномерно плотно, плотность Земли — наибольшая в центре, и эта плотность уменьшается одинаково во всех направлениях, по мере приближения к поверхности. Центр масс Земли поэтому совпадает с ее геометрическим центром, и именно к этому центру и направлена сила тяжести.
Концепция центра масс может объяснять несколько вещей, которые иначе могли быть достаточно озадачивающими. Согласно ньютоновскому первому закону движения, объект, находящийся в движении, продолжает перемещаться с постоянной скоростью, если на него не воздействовать некоторой внешней силой. Предположим, что снаряд, содержащий взрывчатое вещество, перемещается через пространство с постоянной скоростью и что в некоторой точке он взрывается. Фрагменты снаряда разлетаются во всех направлениях, и различные химические продукты взрыва также расширяются по различным направлениям вовне. Этот взрыв является внутренней силой, однако, будучи одним из фрагментов в пределах рассматриваемой системы, согласно первому закону он не должен оказывать никакого эффекта на движение системы. Все же различные фрагменты снаряда больше не перемещаются с первоначальной скоростью. Что же — сломались ньютоновские законы движения?
Нисколько. Законы описывают систему в целом и совсем не обязательно должны подходить к той или иной ее части, рассмотренной в изоляции от других. В результате взрыва система изменила свою форму. Но изменил ли взрыв центр масс системы? Центр масс мог бы рассматриваться как «средняя точка» тела. Если одна часть снаряда брошена наружу, то это сбалансировано другой частью, брошенной в противоположном направлении. Чтобы быть более точным, согласно закону сохранения импульса векторная сумма всех импульсов в одном направлении должна быть равна векторной сумме всех импульсов в противоположном направлении. Можно показать, что независимо от того, как изменилась форма тела под действием внутренних силы, центр масс остается там, где он и находился до того, как произошло изменение формы. Другими словами, центр масс системы перемещается с постоянной скоростью независимо от взрыва, который расшвырял частицы системы туда и сюда.
Если бы тело под влиянием силы тяготения двигалось по параболической дуге, его внезапный взрыв не заставил бы центр масс прекратить плавное движение по этой параболической дуге, несмотря на то что отдельные фрагменты разлетелись бы во все стороны. (Сказанное подразумевает отсутствие вмешательства сил извне системы. Если фрагменты ударяются в другие тела и (при)останавливаются, движение центра масс изменяется. Опять же эффект, который оказывает сопротивление воздуха на множество частиц после взрыва, не может быть тем же, что оказывает действие на цельный снаряд перед взрывом; это тоже может изменять движение центра масс.)
Предположим теперь, что тело падает к земле. Каждую частицу тела тянет сила тяжести, но тело ведет себя так, как будто вся сила сконцентрирована в одной точке в пределах тела; такая точка называется «центром тяжести» тела. Если рассматриваемое тело находится в однородном поле тяготения, центр тяжести совпадает с центром масс тела. Однако более низкая часть тела находится несколько ближе к центру земли, чем верхняя, поэтому более низкая часть испытывает на себе большее гравитационное влияние. Следовательно, центр тяжести тела находится чуть-чуть ниже центра масс; при нормальных условиях эта разница настолько незначительная, что ей можно пренебречь, но не следует смешивать или подменять друг другом эти понятия.
Концепция центра тяжести весьма полезна при рассмотрении устойчивости тел. Представьте себе кирпич, опирающийся на свою узкую сторону. Если его слегка качнуть, а затем отпустить, он вернется назад, к своему первоначальному положению. Если качнуть его несколько больше и снова отпустить, он снова вернется назад. По мере увеличения наклона, однако, наступает такое положение, когда он падает на другую свою сторону. Что это за положение, при котором происходит этот «переворот»?
Мы можем рассматривать силу тяжести как силу, воздействующую на центр тяжести кирпича и только на эту точку. Пока центр тяжести расположен непосредственно по некоторой части первоначального основания, после удаления качающей силы эффект гравитационного напряжения перемещает кирпич назад на это основание. Если кирпич качнуть так сильно, что центр тяжести сместится на некоторую точку вне первоначального основания, кирпич упадет на то основание, на котором теперь расположена эта точка.
Естественно, чем более широким является основание по сравнению с высотой центра тяжести, тем на больший градус требуется качнуть кирпич, прежде чем центр его тяжести переместится, другими словами: чем шире основание, тем устойчивей тело. Кирпич, лежащий на своей самой широкой стороне, более устойчив, чем такой же, но стоящий на своей узкой стороне.
Конус, опирающийся на свой острый конец, может быть выставлен таким образом, что его центр тяжести будет непосредственно выше этой точки. Тогда он останется в состоянии равновесия. Однако самое небольшое движение или слабое дуновение воздуха способно переместить его центр тяжести за эту точку в одном или другом направлении, и конус упадет вниз. Жонглер переносит объекты, сбалансированные на точках, или, говоря более точно, на очень маленьких основаниях, перемещая собственное тело таким образом, чтобы подводить основание под центр тяжести каждый раз, когда центр тяжести пытается сместиться из этого положения.
Если тело неоднородно по плотности, то его центр тяжести не расположен в его геометрическом центре, а смещен к более плотным частям. Объект, который является особенно плотным в своей самой нижней части («с тяжелым основанием»), имеет необычно низкий центр тяжести. Даже большой градус наклона не будет выносить этот низкий центр тяжести за границу основания, и, когда мы отпустим его, объект возвратится в свое первоначальное положение. С другой стороны, объект, который является особенно плотным в своей верхней части («с тяжелой вершиной»), имеет необычно высокий центр тяжести и упадет даже после небольшого качания. Так как обычно мы имеем дело с объектами примерно однородной плотности, мы удивляемся отказу объекта с тяжелым основанием падать (например, детская игрушка ванька-встанька, которая поднимается, даже если мы положим ее на бок), или легкости, с которой объект с тяжелой вершиной переворачивается.
Позвольте нам теперь вернуться к нашей точечной массе, которая подвержена только поступательному движению. Если мы представим себе силу, приложенную к реальному телу таким образом, чтобы пересечь его центр масс, то это реальное тело ведет себя так, как будто оно — точечная масса и подвергается чисто поступательному движению. Таким образом, у свободно падающего тела сила тяжести приложена непосредственно к центру тяжести (обычно совпадающему с центром масс), поэтому (без учета действия возможного крутящего момента, возникающего в момент, когда тело отпускают, а также ветра и сопротивления воздуха) тело будет падать чисто поступательно.
Если, однако, сила приложена к телу таким способом, что направлена по одной или другой стороне от центра масс, происходит возникновение крутящего момента. Такие тела, даже когда сила приводит их в поступательное движение, одновременно подвергаются и вращательному движению. Манера, в которой двигается футбольный мяч, бейсбольный мяч и любой другой подобный объект, известна всем. В природе настолько трудно сосредоточить силу на центре масс, что фактически невозможно предохранить тело от вращения.
Естественно, чем дальше точка приложения силы находится от центра масс, тем больше в движении тела доля вращательного движения по сравнению с поступательным. Мы можем легко заставить крутиться стоящую на ребре монетку, взяв ее за ребра пальцами, при этом скорость ее вращения — велика, а скорость перемещения — очень небольшая.
Есть теория, согласно которой звезды и планеты были порождены увеличением в результате соударений растущих ядер тел и маленьких фрагментов. В результате труда астрономов возникли схемы, из которых видно, что эти сталкивающиеся тела кажутся имеющими тенденцию более частого соударения со сторонами вне центра масс, что приводит к образованию крутящих моментов, сумма которых не равна нулю. Таким образом, образуется комбинированное движение небесных тел — они двигаются прямолинейно, одновременно вращаясь вокруг некоторой оси.
Сохранение углового количества движения
Наряду с известной нам поступательной инерцией имеется и вращательная инерция. Если колесо вращается на абсолютно гладкой оси, то оно будет продолжать вращаться с постоянной угловой скоростью до тех пор, пока к нему не будет приложен внешний крутящий момент.
В угловом движении приложение крутящего момента стимулирует ускорение. Это угловое ускорение обозначают буквой α (греческая буква «альфа», которая является эквивалентом латинской буквы «a»). Единицы измерения углового ускорения — радианы в секунду за секунду, или рад/с2. Так же как линейная скорость равна угловой скорости, умноженной на расстояние от центра вращения (см. уравнение 6.4), так и, следуя той же самой логике рассуждения, линейное ускорение
В соответствии со вторым законом движения мы знаем, что сила равна массе, умноженной на линейное ускорение
Мы уже решили, что крутящий момент (τ) равен силе, умноженной на расстояние от центра (fr). Это было выражено в уравнении 6.5. Подставляя значение для f, полученное в 6.7, мы имеем:
Теперь, согласно законам движения в применении к прямолинейному движению, отношение силы к ускорению
Таким образом, во вращательном движении величина
Рассмотрим тело, перемещающееся по прямой линии, которое при этом составлено из тысячи единиц равной массы. Сила, требуемая, чтобы остановить движение этого тела в данном периоде времени, зависит только от полной массы. Она не зависит от того, как эти единицы распределены: упакованы они плотно или нет, находятся в полой сфере или в объеме кубической формы, скомпонованы по прямой или как-нибудь еще. Имеет значение только полная масса, а манера, в которой распределены ее составляющие, — не изменяет значения полной массы.
Во вращательном движении, однако, влияние оказывает не просто масса, а масса, умноженная на квадрат расстояния от точки (или линии), относительно которой имеет место вращение. Рассмотрим, например, сферу вращения, составленную из тысячи единиц равной массы. Некоторые из этих единиц находятся ближе к оси, а некоторые — дальше от оси. Те, что находятся ближе к оси, имеют маленький r, а поэтому маленький mr2, в то время как те, что дальше от оси, имеют большой r, а поэтому — большой mr2. Тело в целом имеет некоторый средний mr2, который и называется моментом инерции, часто обозначаемый символом I. Крутящий момент, который требуется, чтобы остановить сферу вращения в данный момент времени, зависит не от массы сферы, а от ее момента инерции.
Значение момента инерции зависит от распределения массы и может быть изменено без изменения полной массы. Если вместо твердой сферы мы возьмем полую сферу, составленную из тех же самых единиц массы, но некоторые из единиц, ранее располагавшиеся близко к оси, теперь будут расположены далеко от оси. А с другой стороны, мы возьмем такую, где никакие единицы не были бы перемещены ближе к оси. Среднее число
Поэтому гироскопы и маховики, в которых требуется поддерживать стабильную угловую скорость, несмотря на крутящие моменты одного или другого типа, построены так, чтобы иметь обод настолько массивный, насколько это возможно, и внутреннюю часть — легкой, насколько это возможно. Тогда ускорения, произведенные данными крутящими моментами, сводятся к минимуму, потому что момент инерции был сведен к максимуму.
Неудивительно, что, рассматривая аналогии между вращательным и поступательным движением, мы видим экспериментальное подтверждение такой веши, как закон сохранения момента импульса. По аналогии с законом сохранения импульса в поступательном движении этот дополнительный закон может быть выражен в следующем виде: «Полное угловое количество движения изолированной системы тел остается постоянным».
Но как бы мы определили угловое количество движения? Обычное поступательное количество движения равно
И снова момент инерции (средняя величина
Предположим, например, что вы стоите на абсолютно гладком поворотном столе, который был приведен во вращение; вы держите ваши руки раздвинутыми на ширину плеч, в каждой руке у вас — тяжелый груз.
Ось вращения проходит через центр вашего тела от головы к пальцам ног, а масса ваших раскинутых рук находится дальше от этой оси, чем вся остальная часть тела. Грузы, которые вы держите в обеих руках, находятся еще дальше. Следовательно, ваши руки и грузы, которые они держат, оказывающие очень большое влияние на значение r, вносят большую составляющую в значение
Предположим затем, что при вращении вы опускаете руки. Масса ваших рук и грузов, которые они держат, теперь значительно ближе к оси вращения, и, несмотря на то что полная масса не изменилась, момент инерции очень уменьшился. Если момент инерции (I) уменьшился, то угловая скорость
Так и получается. Поворотный стол внезапно увеличивает скорость своего вращения, в то время как вы опускаете руки, и также скорость вращения резко уменьшается, когда вы снова поднимаете руки. Фигурист использует этот же принцип при выступлениях на льду: сначала он вращается достаточно быстро с руками раздвинутыми в стороны, а затем руки опускает вниз или вытягивает вертикально вверх и осуществляет стремительное вращение на носке конька.
Тело, которое обладает только угловым количеством движения, не может передать неуравновешенное поступательное количество движения к другому телу, поскольку передавать ему нечего. Безусловно, вращающиеся колеса автомобиля дают поступательное количество движения. Но в этом случае, однако, равное по величине, но противоположное по знаку количество движения дает земля. Эти два поступательных импульса складываются, чтобы в результате дать нуль. Любой автомобилист, который когда-либо пробовал двигаться по льду, подтвердит этот факт. Как только трение уменьшилось до величины, когда оно очень малое или никакое количество движения не может быть передано земле, автомобиль получит малое или никакое количество движения, и колеса будут прокручиваться вхолостую.
Глава 7.
РАБОТА И ЭНЕРГИЯ
Рычаг
Законы сохранения нравятся ученым. Во-первых, закон сохранения устанавливает пределы возможностей. При рассмотрении нового явления очень удобно исключить все объяснения, которые повлекли бы нарушение одного из законов сохранения (по крайней мере, пока не придут к выводу, что ничего, за исключением такого нарушения, не может объяснить явление). С оставшимися возможностями тогда гораздо легче работать.
В дополнение ко всему имеется интуитивное чувство, что ничто не возникает из ничего. Поэтому кажется надлежащим и правильным предположить, что Вселенная обладает определенным ограниченным количеством тех или других свойств материи (типа количества движения) и что в то время, как это количество распределено различными способами среди различных тел Вселенной, общая сумма их не может быть ни увеличена, ни уменьшена.
Следовательно, если мы наблюдаем ситуацию, в которой кажется, что в некотором отношении что-то получено из ничего, сразу имеет смысл начать поиск некоторого фактора ситуации, который уменьшается, компенсируя это увеличение. Может оказаться, что это — два фактора, объединенные некоторым способом, которые образуют константу. В случае углового количества движения, например, момент инерции может изменяться по желанию и может, по-видимому, появляться из ниоткуда или исчезать в никуда.
Угловая скорость, однако, всегда сразу изменяется в противоположную сторону, а произведение момента инерции и угловой скорости является константой.
Другой случай такого плана — результат рассмотрения «рычага». Рычаг — это любой твердый объект, способный к вращению вокруг некоторой фиксированной точки, называемой «точкой опоры» рычага. В качестве практического примера можно рассмотреть деревянную доску, лежащую на «козлах»; доска является рычагом, «козлы» — точкой опоры.
Если точка опоры находится точно под центром тяжести рычага, то рычаг останется сбалансированным, то есть не наклонится ни в ту ни в другую сторону. Поскольку рычаг, как и. любой другой объект, ведет себя так, как будто весь его вес сконцентрирован в центре тяжести, он может тогда удержаться целиком на узком крае точки опоры. Если рычаг обладает однородными геометрическими характеристиками и плотностью, центр тяжести его находится в геометрическом центре, и именно туда следует поместить точку опоры, как в известной детской игре — в качелях.
Если к любой точке на рычаге приложить направленную вниз силу, то эта сила, умноженная на расстояние до точки опоры, даст нам крутящий момент и рычаг начнет вращательное движение в направлении крутящего момента.
Предположим, однако, что к рычагу в тоже самое время, во с другой стороны точки опоры прикладывают другую направленную вниз силу. Если вторая сила равна первой и приложена на таком же расстоянии от точки опоры, то полученные два крутящих момента равны по величине, но не по направлению. Крутящий момент на одной стороне точки опоры имеет тенденцию вызывать вращение по часовой стрелке, а тот, что с другой стороны, имеет тенденцию вызывать вращение против часовой стрелки. Если обозначить один крутящий момент как τ, то другой должен быть равен -τ. Эти два крутящих момента складываются, сумма их равна нулю, и рычаг не двигается. Он остается в положении равновесия.
(С другой стороны, если сила приложена вниз на одной стороне точки опоры и вверх на другой, то оба производят движение в том же самом направлении: оба по часовой стрелке или оба против часовой стрелки. Крутящие моменты в этом случае будут одного и того же знака, и сумма их будет составлять 2τ или –2τ. Такой удвоенный крутящий момент называется «парой», и, естественно, пара моментов может более легко переместить рычаг относительно точки опоры. Такую пару мы используем, когда заводим будильник или открываем штопором бутылку.)
Поделиться книгой: