Популярная физика. От архимедова рычага до квантовой механики

Эксперимент Кавендиша 

Теперь предположим, что мы преобразуем уравнение 4.1 следующим образом:

G = Fd2/mm’. (Уравнение 4.2)

Зная значение F, измеренного по методике, описанной выше, достаточно просто измерить массу свинцовых шаров (m и m’) и расстояние между их центрами (d). Как только все значения символов на правой стороне уравнения стали известны, вычислить значение G — простая арифметическая задача. (Так как единицы измерения F в системе МКС — кг∙м/с2, единицами d2, m2 и mm’ являются соответственно метры на метры и килограммы на килограммы, то есть кг2; единица измерения G, полученная из уравнения 4.2, равна (кг∙м/с2) м2)/(кг2), или м3/кг∙с2.)

Лучший современный расчет дает нам значение G, равное 0,0000000000667 м3/кг∙с2, конечно же достаточно крошечное значение. Надо отдать должное большому таланту Кавендиша-экспериментатора, потому что в еще в первом своем измерении он получил значение очень близкое к этому.

Предположим, теперь мы преобразуем уравнение 4.1 следующим образом:

m’ = Fd2/Gm. (Уравнение 4.3)

И попытаемся еще раз определить массу Земли (m’). Мы уже имеем, в системе МКС, значение для F, равное 0,98, значение d, равное 6 370 000 и значение (m) равное 0,1. Если мы теперь добавим значение G равное 0,0000000000667, то вычислить массу Земли m — простая арифметика. Как вы можете увидеть, т равно (0,98)∙(6 370 000)∙(6 370 000), деленное на (0,0000000000667)∙(0,1), или, примерно, 6 000 000 000 000 000 000 000 000 килограммов.

Физики обычно выражают такие большие числа как степени числа 10. Таким образом, 1 000 000 обычно записывают в виде 106, что выражает произведение шестидесяти. Экспонента (для чисел больше 1) показывает число нулей в исходном числе. Из этого следует, что 6 500 000 равно 6,5∙106. Отрицательные экспоненты выражают числа меньше чем 1, то есть 106 равно 1/106 или 1/_1000000, или 0,000001. То есть 0,00000235 равно 2,35∙10–6.

Используя такую экспоненциальную систему обозначений, можно записать значение G = 6,67∙10-11 м3/кг∙с2, а массу Земли как т = 6∙1024 кг. (В системе СГС значение G = 6,67∙10-8 см3/г∙с2, а масса Земли равна 6∙1027 г.)

Глава 5.

ВЕС

Форма Земли

Определяя значение G, Кавендиш в действительности определил массу Земли. По этой причине о Кавендише часто говорят как о «том, кто взвесил Землю», но на самом деле он сделал совсем не это.

В обычном языке слова «вес» и «масса» часто имеют одно и то же значение, а о теле часто говорят как о «тяжелом» или «массивном»; даже физики иногда попадают в эту западню. Однако рассмотрим, что такое вес. Вес тела — это сила, с которой тело притягивается к земле. Повторяю, вес — это сила, и единицы измерения он имеет как у силы!

Простой путь измерения веса объекта состоит в том, чтобы подвесить его на кольцевую пружину. В соответствии с законом Гука сила, с которой тело притягивается к Земле, будет растягивать пружину; величина же растяжения (или деформации) пропорциональна силе растяжения (или нагрузке). Именно по этому принципу устроены для измерения веса приборы такого типа — пружинные весы.

Масса тела, с другой стороны, является количеством инерции, которой оно обладает. Согласно второму закону Ньютона, m = f/a, то есть это — сила, разделенная на ускорение. Вес, который является силой, должен в соответствии с тем же самым законом быть массой, умноженной на ускорение. В случае веса, который является силой воздействия поля тяготения Земли на тело, рассматриваемое ускорение, естественно, является тем, что произведено полем тяготения земли.

Вес тела (w), другими словами, равен массе (m) этого тела, умноженной на ускорение свободного падения (g), возникшее благодаря земной гравитации (то есть — силе притяжения Земли):

w = mg. (Уравнение 5.1)

Так как значение g при обычных условиях примерно постоянно, вес, можно сказать, прямо пропорционален массе тела. Сказать, что A является в 3,65 раза столь же массивным, как В, эквивалентно тому, чтобы сказать, что при обычных условиях А является в 3,65 раза более тяжелым, чем В. Поскольку эти два утверждения обычно эквивалентны, существует сильное искушение признать их синонимами, и в этом и скрывается источник путаницы между массой и весом.

Эта путаница еще ухудшается тем, что для них используются общие единицы измерения. Тело массой в один килограмм, как обычно считают, имеет и вес в один килограмм[19]. В системе МКС, однако, единицы измерения m — килограммы (кг), а единицы измерения g — м/с2. Так как вес равен массе, умноженной на ускорение свободного падения (mg), то единицы измерения веса — кг-м/с2, или Н (ньютоны). Таким образом, при нормальных условиях один килограмм массы проявляет 9,8 Н силы.

Килограмм веса (который может быть сокращен как кг (веса), чтобы отличить его от килограмма массы) не равен 1 кг, а равен 9,8 Н. В системе СГС g равно 980 см/с2. Таким образом, вес тела с массой 1 г равен 1 г, умноженному на 980 см/с2, или 980 г∙см/с2. Следовательно, 1 г (веса) равняется 980 динам.

Все это может показаться вам излишне пуристическим — созданием различий там, где их на самом деле нет. В конце концов, если вес и масса всегда изменяются одинаковым образом, зачем так много беспокоиться относительно того, что есть что?

Дело в том, что масса и вес не всегда изменяются одинаково. Они связаны с g, а значение g не является константой при любых условиях.

Сила тяготения (F), которую Земля проявляет на некотором произвольно взятом теле, равна mg, как это показано в уравнении 5.1. Но она также равна Gmm’/d2, как это показано в уравнении 4.1. Поэтому mg = Gmm’/d2, или, если разделить обе части уравнения на m:

G = Gm’/d2 (Уравнение 5.2)

Из величин, от которых зависит значение g в уравнении 5.2, гравитационная постоянная (G) и масса земли (m’) могут рассматриваться как константы. Значение d, однако, которое является расстоянием от тела до центра Земли, — конечно, не константа, и (g) изменяется обратно пропорционально квадрату этого расстояния.

Объект на уровне моря, например, может быть на расстоянии 6370 км от центра Земли, но на вершине близлежащей горы он будет на расстоянии 6373 км от центра, а стратолайнер поднимет его на высоту 6385 км от центра.

Даже если мы ограничим себя высотой на уровне моря, расстояние до центра Земли не всегда равно одной и той же величине. Под воздействием лишь силы тяжести Земля имела бы правильную сферическую форму (не принимая во внимание мелкие поверхностные недостатки) — факт, указанный еще Аристотелем, а потому расстояние от уровня моря до центра Земли всюду было бы одним и тем же. Однако вторым из влиятельных факторов является тот факт, что Земля вращается вокруг своей оси. Это вращение, как впервые отметил Ньютон, означает, что Земля не может быть правильной сферой.

Поскольку Земля вращается вокруг своей оси, поверхность Земли непрерывно испытывает ускорение, направленное внутрь, к центру Земли (так же, как это происходит с Луной при ее вращении вокруг Земли). Но если это так, то в действие вступает третий закон Ньютона. Центр Земли проявляет постоянную силу на внешних слоях Земли, чтобы создать постоянное, направленное вовнутрь ускорение, поскольку планета вращается; внешние же слои должны поэтому действием и реакцией проявлять силу, направленную наружу от центра Земли. Сила, направленная внутрь, обычно называется «центростремительной силой», а та, что направлена наружу, называется «центробежной силой» (эти слова, пришедшие из латинского языка, соответственно означают — «идущий к центру» и «бегущий от центра»).

Две эти силы направлены в противоположные стороны, и как результат мы имеем растяжение земной материи. Если вы можете вообразить крепкую веревку, протянувшуюся от поверхности Земли и до ее центра, с поверхностными слоями Земли, тянущими наружу ее один конец, и центром Земли, тянущим ее вовнутрь за другой конец, то вам будет понятно, что такая веревка будет немного растягиваться; так вот материя, из которой состоит Земля, делает то же самое.

Если бы каждая точка на поверхности Земли вращалась с одинаковой скоростью, то растяжение было бы одинаковым по всей поверхности и Земля имела бы правильную сферическую форму. Однако когда Земля вращается на своей оси, то чем ближе к оси находится некоторая часть поверхности Земли, тем медленнее она вращается. На полюсах поверхность Земли касается оси, и поэтому скорость вращения там нулевая. На экваторе же, наоборот, поверхность Земли находится на максимальном расстоянии от оси, и соответственно скорость вращения там — самая высокая (чуть больше чем 1600 километров в час).

Взаимодействующие силы на полюсах равны нулю и плавно возрастают при приближении к экватору. Одновременно возрастает и «растяжение» земной поверхности, которое достигает своего максимального значения на экваторе. Из-за этой экваториальной выпуклости расстояние от центра Земли до уровня моря на экваторе на 21 км (13 миль) больше, чем такое же расстояние на любом из полюсов.

Земля поэтому не сфера, а сплющенный сфероид.

Безусловно, 21 км при полном расстоянии в 6370 км — это немного, но и этого вполне достаточно, чтобы внести существенные различия в значение g. Что же касается выпуклости на экваторе и локальных различий в высоте, то, например, в штате Аляска есть точки, где значение g больше чем 9,82 м/с2, в то время как на экваторе это значение — только чуть выше, чем 9,78 м/с2. Представленные цифры отражают разницу в почти полпроцента и соответственно отражаются на весе.

Другими словами, вес объекта в значительной мере изменяется при перемещении его с места на место по поверхности Земли, что и показывают пружинные весы. Человек, который весит 200 фунтов на полюсах, весил бы 199 фунтов на экваторе. Химику или физику, заинтересованному в массе объекта (многие свойства объектов зависят от массы), такое «замещение» измерения массы измерением веса доставило бы серьезные погрешности.

Центробежная сила и экваториальная выпуклость

Ученые обычно, когда у них возникает необходимость «взвесить» объект, используют весы, состоящие из двух чашек, расположенных на противоположных концах прутка, который в середине установлен на шарнире. В одну чашку помещают объекты известного веса, а в другую — объект, который необходимо взвесить. Известные веса добавляют до тех пор, пока вся конструкция не сбалансируется. В этом случае сила тяжести на обеих чашках становится одинаковой (если бы она была большей на любой из них, то эта чашка опустилась бы, в то время как другая поднялась бы вверх).

Если вес с обеих сторон один и тот же, то и mg будет с обеих сторон одинаковым, так как g, которое в больших пределах изменяется в зависимости от точки земной поверхности, на которой находится тело, будет одно и то же для двух чашек весов, стоящих рядом на практически одной и той же точке земной поверхности. Поэтому масса m объектов, находящихся в обеих чашах весов, будет одна и та же. То есть масса неизвестного объекта будет равна массе грузов (вес которых нам известен)[20].

Вне Земли

Естественно, мелкие изменения в значениях g становятся все большими по мере удаления тела от центра Земли. Дальнейшее усложнение ситуации представляет собой то, что при удалении тела на большое расстояние от Земли мы можем приблизить его к некоторому другому значительному скоплению массы. Такая ситуация возникает в первую очередь в связи с Луной и имеет очень важное значение, поскольку искусственные объекты уже приземлились там, а живые люди могут встать на поверхность Луны в ближайшие несколько лет[21].

Объект на поверхности Луны все еще находится в пределах поля тяготения Земли, которое простирается не только на Луну, но и в принципе на всю Вселенную. Однако Луна также имеет собственное поле тяготения. Это поле намного слабее, чем земное, поскольку Луна намного менее массивна, чем Земля, а объект на поверхности Луны находится намного ближе к центру Луны, чем к центру Земли; гравитационное притяжение Луны поэтому гораздо сильнее, чем таковое у отдаленной Земли, и человек, стоящий на поверхности Луны, будет ощущать только ее притяжение.

Но Луна притягивает к своей поверхности объект отнюдь не с той же силой, как это делает Земля. Чтобы увидеть разницу между этими двумя силами, обратимся назад, к уравнению 4.1, которое утверждает, что F = Gmm’/d2. Эта F представляет собой интенсивность притяжения Земли, с которым она воздействует на объект на ее поверхности. Притяжение Луны, с которым она воздействует на объект на ее поверхности, мы можем обозначить F_m.

Далее, объект имеет одну и ту же массу независимо от того, находится ли он на поверхности Земли или на поверхности Луны, так что m остается неизменным. Значение G также неизменно, поскольку оно является константой повсюду во Вселенной. Масса Луны, однако, как известно, является 1/₈₁ массы (m’) Земли. Масса Луны, следовательно, равна m’/81. Расстояние от поверхности Луны до ее центра — 1737 км, или примерно 3/₁₁, расстояния от поверхности Земли до ее центра, равного 6370 км (d). Следовательно, мы можем выразить расстояние от поверхности Луны до ее центра как 3d/11.

Теперь подставим эти значения в уравнение 4.1, используя массу и радиус Луны, и мы получим уравнение, которое выражает значение силы притяжения Луны для объекта, находящегося на ее поверхности. Итак, это:

Fm = Gm(m’/81)/(3d/11)2 (Уравнение 5.3)

Если мы теперь разделим уравнение 5.3 на уравнение 4.1, то найдем, что F_m/F) (отношение силы тяжести на Луне к силе тяжести на Земле) равно 1/₈₁, разделенной на (3/₁₁)2, или почти точно — 1/₆. Таким образом, сила тяжести, которую мы испытали бы на поверхности Луны, будет равна 1/₆ той, к которой мы привыкли на поверхности Земли. Человек весом в 180 фунтов, взвесив себя на пружинных весах, найдет, что он весит всего 30 фунтов.

Но, несмотря на столь решительное уменьшение веса, масса объекта останется неизменной. Это означает, что сила, требующаяся, чтобы ускорить данный объект до данной величины, остается той же самой и на Луне, и на Земле. Мы могли бы поднять в воздух своего 180-фунтового друга без особых усилий, поскольку усилие подъема будет не больше, чем то, которое мы развиваем на Земле, поднимая 30 фунтов. Однако на Луне мы не могли бы поднять человека более быстро, чем на Земле. Здесь, на Земле, мы можем достаточно легко управиться с чем-то, что весит 30 фунтов. Но на Луне это что-то, весящее 30 фунтов, будет иметь массу в шесть раз больше «нормальной», а такое количество массы можно переместить только достаточно медленно. По этой причине манипулирование объектами на поверхности Луны создает чувство «замедленного движения», или как будто проталкиваешься сквозь патоку.

Опять же, если мы подпрыгиваем на Луне, силе наших мускулов будет противостоять только 1/₆ той силы тяготения, к которой мы привыкли на Земле. Поэтому центр нашего тела поднимется на высоту в шесть раз большую, чем это было бы на Земле. Достигнув этой необычной высоты, мы будем падать по направлению к поверхности, но с ускорением, составляющим 1/₆ обычного ускорения (1,63 м/с2). Это означает, что мы, внешне, как бы падали медленно вниз, «планируя, подобно перу». Однако к тому времени, когда бы мы снова достигли поверхности с 1/₆ от обычного ускорения и с расстояния большего в шесть раз, мы к моменту приземления все равно бы достигли той скорости, с которой мы приземлились бы после прыжка на Земле (затратив для этого равное усилие, но достигнув значительно меньшей высоты).

Остановка после такой скорости на Луне потребовала бы от нас таких же усилий, как на Земле, поскольку это усилие зависит от массы, а не от веса, а масса остается неизменной и на Луне. И если, введенный в заблуждение своей легкостью, вы поддадитесь искушению приземлиться на большой палец правой ноги, то вы почти наверняка сломаете этот палец.

Однако ситуация может быть сделана даже более необычной и без всяких полетов на Луну. Субъективное ощущение, которое мы называем «весом», является результатом того факта, что мы физически изолированы от реакции на ускорение силы тяжести. Когда мы стоим на поверхности Земли, сама земная материя препятствует нашему ускоренному падению к центру Земли. Эта сила, приложенная к нам в направлении, противоположном реакции твердого основания (земли, на которой мы стоим), и интерпретируется нами как «вес».

Если бы мы падали с ускорением, равным гравитационному ускорению (свободное падение), мы не почувствовали бы никакого веса. Если бы мы находились в подъемнике, который сорвался и рухнул вниз, или в самолете, который пошел в пике, наше чувство веса пропало бы. Мы не сможем давить ногами на пол лифта или самолета, так как этот пол будет падать так же быстро, как мы. И если бы мы были в воздушном пространстве в пределах кабины подъемника, мы не смогли бы снизиться к его полу, поскольку этот пол перемещался бы с такой же скоростью, как это делали мы. Поэтому мы оставались бы «плавающими в воздушном пространстве» и ощутили бы себя невесомыми.

Указанные выше примеры свободного падения несовершенны. Ни подъемник, ни самолет не могут падать длительное время без того, чтобы разбиться и тем самым нарушить эксперимент. Кроме того, падение подъемника или самолета было бы несколько замедлено сопротивлением воздуха, через который они мчатся, причем замедление это больше, чем то, которое испытывает от сопротивления воздуха человек, находящийся в пределах этого подъемника или самолета. Поэтому некоторое чувство веса все-таки присутствовало бы.

Чтобы достичь истинного чувства свободного падения, мы были бы должны подняться выше главной части атмосферы, скажем на высоту примерно 160 километров или более над поверхностью Земли. Чтобы удержаться на этой высоте, было бы неплохо иметь также небольшое поперечное движение, которое удерживало бы нас на орбите вокруг Земли, таким же образом, как комбинация внутренних и поперечных сил удерживает Луну на орбите вокруг Земли.

Описанная ситуация точно воспроизведена в отношении искусственного орбитального спутника. Такой спутник находится в свободном падении и может продолжать это свободное падение в течение долгого периода времени. Астронавт в его пределах не ощущает собственного веса. Это происходит не потому, что он — «вне притяжения Земли», как говорят некоторые дикторы службы новостей. Это происходит потому, что он находится в состоянии свободного падения и все в этом спутнике вместе с ним самим падает с абсолютно одним и тем же ускорением.

Сама Земля находится в состоянии свободного падения на орбите вокруг Солнца. И хотя ее масса огромна, вес ее равен нулю. Кавендиш не «взвесил Землю», поскольку это было ему не нужно; ее вес был равен нулю, и это понимали уже со времен Ньютона. Что сделал Кавендиш, так это — определил массу Земли.

Даже в свободном падении, когда вес равен нулю, масса любого взятого тела остается неизменной. Астронавты, строящие космическую станцию, будут перемещать огромные прогоны, которые не будут иметь никакого веса. Они даже будут способны балансировать такими прогонами на одном пальце, если прогон и палец будут неподвижны относительно друг друга. Однако если прогон был приведен в движение, или если он уже перемещается и должен быть остановлен, или требуется изменить направление его движения, то усилие, которое требуется приложить для этого, будет точно такое же большое, как если бы это происходило на Земле. Человек, попавший в ловушку между двумя прогонами, перемещающимися по направлению друг к другу, может оказаться раздавленным насмерть двумя невесомыми, но не «безмассовыми» объектами.

Различие между массой и весом, которое кажется настолько непринципиальным на Земле, является поэтому совсем не тривиальным, когда мы находимся в космическом пространстве, и легко может стать вопросом жизни и смерти.

Вторая космическая скорость

По мере того как объект падает на землю со все большей и большей высоты, время, которое требуется объекту, чтобы достичь ее, увеличивается, а объект приближается к земле со все более и более высокой скоростью. Если мы воспользуемся уравнениями 2.1 и 2.2, подставив в этих уравнениях значение a, равное 9,8 м/с2 (ускорение свободного падения), то можем сделать некоторые легкие вычисления. Тело, упавшее с высоты 4,9 метра, ударится о землю через одну секунду и будет перемешаться в момент соударения со скоростью 9,8 м/с. Если отпустить тело с высоты 19,6 метра, оно ударилось бы о землю через две секунды, а скорость его была бы соответственно 19,6 м/с. Если отпустить тело с высоты 44,1 метра, оно ударилось бы о землю через три секунды, перемещаясь в момент контакта с землей со скоростью 29,4 м/с.

Казалось бы, что если вы бы только могли поднять объект на достаточно большую высоту, то достигли бы такой высокой скорости соударения, какой вам захотелось. Конечно, это кажется верным, но только в том случае, если значение достается одним и тем же для любых высот.

Но значение g не является константой; оно уменьшается с высотой. Значение g изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от объекта до центра Земли. Точка подъема в 6370 километрах над поверхностью Земли будет на самом деле на высоте 12 740 километров от Земли, поскольку мы рассчитываем расстояние до центра — в два раза дальше от центра, чем от поверхности. А значение g на такой высоте равно всего лишь 1/₄ того, каким оно является на поверхности.

Объект, падающий из состояния покоя, с высоты 6370 километров над поверхностью Земли, в первую секунду разовьет скорость, равную лишь 2,45 м/с, вместо 9,8 м/с, которых он достиг бы после одной секунды падения в непосредственной близости от поверхности Земли.

Но поскольку тело продолжает падать и приближаться к Земле, значение g, конечно, постоянно возрастает и в конце падения достигает 9,8 м/с2. Однако падающее тело не ударилось бы о поверхность Земли со столь же высокой скоростью соударения, как оно бы сделало, если бы значение g было равно 9,8 м/с2 на протяжении всего его пути вниз.

Представьте себе тело, брошенное сначала с высоты 1000 километров, затем — с высоты 2000 километров, затем — с 3000 километров и так далее. Падение с высоты в 1000 километров закончилось бы скоростью соударения, равной v₁. Если бы значение #было постоянным, то падение с высоты 2000 километров вызвало бы увеличение в скорости на первых 1000 километрах, равное увеличению на вторых 1000 километрах, так что окончательная скорость соударения была бы v₁ + v₂, или 2v₁. Однако верхние 1000 километров представляют собой ту часть расстояния, на котором значение g меньше, чем на более низких 1000 километрах. Соответственно движение по этой половине дистанции добавляет меньшее количество скорости, чем при движении по более низкой половине, и заключительная скорость соударения равна v₁ + v₂, где v₂ меньше, чем v₁. Те же самые аргументы могут быть повторены для других частей дистанции, таким образом, падение с высоты 10 000 километров закончилось бы со скоростью соударения, равной v₁ + v₂ + v₃ + v₄ и так далее, до v₁₀. Здесь каждый символ представляет собой часть заключительной скорости, привнесенной в окончательную все более и более высокими частями дистанции, каждая из которых равна 1000 километров, и значение каждого следующего символа меньше, чем таковое предшествующего.

Всякий раз, когда вы видите перед собой ряд чисел, каждое из которых меньше, чем предыдущее, имеется возможность наличия сходящегося ряда. В таком ряде сумма чисел никогда не превосходит некоторое установленное значение — предел суммы — независимо от того, сколько чисел добавлено. Наиболее хорошо известный случай такого сходящегося ряда — это 1 + ½ + ¼ + 1/₈ + 1/₁₆, в котором каждое следующее число — половина предыдущего. Сумма первых двух чисел — 1,5; сумма первых трех чисел — 1,75; сумма первых четырех чисел — 1,875; сумма первых пяти чисел — 1,9325 и так далее. По мере добавления в ряд все большего количества чисел сумма становится все больше и приближается к 2, никогда не достигая его. Предел суммы этого своеобразного числового ряда равен 2.

Оказывается, что числа, представляющие собой приращения скорости, получаемые в результате падения тела со все большей высоты, действительно образуют сходящийся ряд. Поскольку тело падает со все большей и большей высоты, окончательная скорость соударения не увеличивается беспредельно; вместо этого она имеет тенденцию стремиться к некоторой предельной скорости, превзойти которую не может.

Эта предельная скорость соударения (v,) зависит от значения g и радиуса (r) тела, которое является источником поля тяготения. Важность величины радиуса опирается на тот факт, что чем больше его значение, тем медленнее «затухает» при увеличении расстояния значение g. Предположим, что тело имеет радиус 1000 километров. Находящееся на расстоянии 10 000 километров от его центра падающее тело в десять раз дальше от центра, чем объект, лежащий на его поверхности, и поэтому значение g там равно всего 1/₁₀₀ значения на поверхности. Предположим далее, что тело имеет радиус 2000 километров, находящееся на расстоянии 10 000 километров от его центра падающее тело будет тогда только в пять раз дальше от центра, чем объект, находящийся на поверхности. И значение g соответственно будет равно только 1/₂₅ значения на поверхности. Поэтому по мере прохождения высот значение g уменьшалось бы более быстро для маленького тела, чем для большого, и окончательная скорость соударения была бы меньше для маленького тела, несмотря на то что поверхностное значение его g может быть тем же самым, что и у большого тела. 

Оказывается, что:

v₁ = √(2gr). (Уравнение 5.4)[22]

В системе МКС значение g равно 9,8 м/с2, что касается г, то оно равно 6 370 000 м, таким образом, 2gr равно приблизительно 124 800 000 м2/с2. При извлечении квадратного корня из этого числа мы должны также извлечь квадратный корень и из единиц измерения. Так как квадратный корень из a2b2 равен ab, должно быть ясно, что квадратный корень из м2/с2 равен м/с. Квадратный корень из 124 800 000 м2/с2 равен приблизительно 11 200 м/с. То есть предел скорости соударения равен 11,2 км/с (или примерно семь миль в секунду). Ни один объект, падая по направлению к Земле из состояния покоя, не может когда-либо удариться об нее со скоростью большей чем 11,2 км/с. (Конечно, если рассматриваемый объект представляет собой метеор или что-либо в этом роде, который летит с ускорением в направлении Земли, то его собственная скорость добавится к скорости, вызванной полем тяготения Земли, и он ударится о Землю со скоростью соударения большей чем 11,2 км/с.) Для Луны, на которой значения g и г гораздо меньше, максимальная скорость соударения будет равна только 2,4 км/с (или 1,5 мили в секунду).

Давайте теперь рассмотрим этот вопрос с другой точки зрения. Вместо падающего тела рассмотрим такое, которое перемешается вверх от поверхности Земли. Для тела, перемещающегося вверх, g представляет собой величину, на которую его скорость уменьшается в каждую секунду полета. В данном случае ситуация развивается с точностью до наоборот, то есть если тело, первоначально находившееся в состоянии покоя, падает с высоты h и в момент соударения достигает скорости v, то тело, брошенное вверх со скоростью v, перед тем как остановиться, достигнет высоты h (и начнет падать назад, по направлению к Земле).

Но тело, падающее с любой высоты, однако, никогда не может достигнуть скорости соударения большей чем 11,2 км/с. Это означает, что, если тело бросают вверх со скоростью 11,2 км/с или больше, оно никогда не достигнет точки покоя и поэтому никогда не упадет обратно на Землю (взаимное влияние и наложение гравитационных полей других тел мы не рассматриваем).

Таким образом, предел скорости соударения — это также скорость, с которой тело, подброшенное вверх, навсегда улетит с Земли; поэтому такая скорость называется «второй космической скоростью». Вторая космическая скорость на поверхности Земли равна 11,2 км/с, а вторая космическая скорость на поверхности Луны — 2,4 км/с.

Тело, которое находится на орбите вокруг Земли, не может улететь от нее. Оно падает на Землю, и только его горизонтальная скорость препятствует этому падению вниз. Поэтому для того чтобы удержать объект на орбите, требуется гораздо меньшая скорость, чем та, которая нужна, чтобы вывести его на нее. Для круговой орбиты скорость должна быть равна √gr, где r — расстояние от орбитального тела до центра земли, a g — величина ускорения свободного падения на таком расстоянии. В непосредственной близости от поверхности Земли такая скорость составляет 7,9 км/с (или 4,9 мили в секунду). Орбитальные спутники перемещаются с такой скоростью и заканчивают свое «кругосветное путешествие» длиной 40 000 километров за минимальное время в 85 минут.

По мере увеличения расстояния от центра Земли значение г, конечно, увеличивается, в то время как значение g — уменьшается, изменяясь как 1/r2. Изменение √gr (которая называется «первой космической», или «орбитальной», скоростью) происходит как √(1/r2)/r или √(1/r). Другими словами, первая космическая скорость тела изменяется обратно пропорционально квадратному корню из расстояния до объекта, вокруг которого вращается данное тело.

Мы знаем, что расстояние от Луны до центра Земли равно 382 400 километрам. Это в 60,3 раза больше расстояния от центра орбитального спутника, находящегося сразу за пределами атмосферы. Поэтому на Луне первая космическая скорость меньше, чем такая же на Земле, коэффициент пересчета равен √60,3. Другими словами, первая лунная космическая скорость равна 7,9/√60,3, или примерно 1 км/с.

Теперь рассмотрим спутник, находящийся на орбите в 42 000 километров от центра Земли (приблизительно 35 600 километров над ее поверхностью). Его расстояние от центра Земли в 6,6 раза больше, чем у объекта на поверхности Земли. Его первая космическая скорость поэтому равна 7,9/√6,6, или почти 3,1 км/с. Длина его орбиты приблизительно равна 264 000 километрам, и при достижении первой космической скорости спутнику потребуется как раз 24 часа для того, чтобы совершить одно обращение вокруг планеты. Поэтому при таких условиях спутник будет двигаться со скоростью вращения Земли, а нам будет казаться, что он неподвижно висит на небе. Такие внешне неподвижные спутники прекрасно служат в качестве спутников связи.

Глава 6.

МОМЕНТ

Импульс

Давайте снова рассмотрим падающее тело. Объект, удерживаемый в некоторой точке над землей, находится в состоянии покоя. Если мы отпустим его, то он сразу начнет падать. Очевидно, что мы создали движение там, где его изначально не существовало. Но «создали» — слово, которое физики переваривают с трудом (для этого существуют философы). Разве что-нибудь действительно может быть создано из ничего? Или одна вещь просто превращается в другую, так что вторая появляется только за счет перехода первой в состояние небытия? Или, возможно, один объект подвергается изменениям (например, переходит из состояния покоя в стадию движения, например) потому и только потому, что другой объект подвергается противодействующим изменениям (например, из состояния покоя — в стадию движения, но в противоположном направлении). В этом последнем случае то, что создано, не является движением, а является движением плюс «антидвижение», и если сложить их вместе, то мы получим нуль, а следовательно, возможно, что никакого движения не было создано вообще.

Чтобы разрешить эти вопросы, давайте сначала попробуем точно решить, что же мы подразумеваем под понятием «движение».

Мы можем начать с того, скажем, что сила, конечно, создает движение. Приложенная к любому телу, первоначально находившемуся в состоянии покоя, например к хоккейной шайбе на льду, сила порождает ускорение и заставляет шайбу перемещаться все быстрее и быстрее! Чем дольше действует сила, тем быстрее двигается хоккейная шайба. Если сила постоянна, то скорость в любой данный момент времени пропорциональна величине силы, умноженной на время, в течение которого она действует. К этому произведению силы (f) на время (t) применяют термин «импульс» (I):

I = ft. (Уравнение 6.1)

Так как сила производит движение, мы могли бы ожидать, что данный импульс (то есть данная сила, действующая в течение данного времени) будет всегда производить одно и то же количество движения. Однако если это так, то количество движения не может зависеть только от одной скорости. Если та же самая сила будет действовать на вторую хоккейную шайбу, массой в десять раз больше первой, она создаст меньшее ускорение и за данное время создаст меньшую скорость, чем в первом случае. Поэтому количество движения, произведенного импульсом, должно также учитывать не только скорость, но и массу.

Это и есть то, что фактически подразумевается уравнением 6.1. В соответствии со вторым законом Ньютона мы знаем, что сила равна массе, умноженной на ускорение (f = ma). Мы поэтому можем заменить ma на f в уравнении 6.1 и написать:

f = mat. (Уравнение 6.2)

Но из уравнения 2.1 мы знаем, что для любого тела, начинающего движение из состояния покоя, скорость (v), произведенная силой, равна ускорению a, умноженному на время (t), то есть at = v. Если мы заменим v на at в уравнении 6.2, то получим:

I = mv. (Уравнение 6.3)

Именно эта величина, mv — масса, умноженная на время, и является действительной мерой движения тела. Тело, перемещающееся быстро, требует и большего усилия для своей остановки, чем то же самое тело, перемещающееся медленно. Увеличение в скорости поэтому увеличивает количество его движения. С другой стороны, массивное тело, перемещающееся с некоторой скоростью, требует и большего усилия для своей остановки, чем это требует легкое тело, перемещающееся с той же самой скоростью. Увеличение в массе также увеличивает количество его движения. Следовательно, произведение mv призвано, чтобы назваться «количеством движения» (momentum) (от латинского слова, означающего «движение»).

Физический смысл уравнения 6.3 заключается в том, что импульс (ft), приложенный к телу, находящемуся в состоянии покоя, заставляет это тело получить количество движения (mv), равное импульсу. В более общем виде: если тело уже находится в движении, то приложение импульса вызовет изменение количества движения, равное импульсу. Говоря более коротко, импульс (силы) равен изменению количества движения.

Единицами измерения импульса должны быть, с одной стороны, единицы измерения силы, умноженной на время, согласно уравнению 6.1, или массы, умноженной на скорость, согласно уравнению 6.3. В системе МКС единицы измерения силы — ньютоны, так что импульс может быть измерен в ньютон-с. С другой стороны, единицы измерения массы — килограммы, а единицы измерения скорости — метры в секунду, так что единицы измерения импульса (масса, умноженная на скорость) равны кг-м/с. Однако ньютоны были определены как кг-м/с2. Таким образом, ньютон-с равны кг-м-с/с2, или кг-м/с. То есть единицы измерения I через ft получились теми же самыми, что и единицы измерения I, полученные через mv. В системе СГС, как легко можно показать, единицы измерения импульса — дины∙с или г∙см/с, и они также совпадают с обеих сторон.

Закон сохранения (импульса) количества движения

Представьте себе хоккейную шайбу массой m, двигающуюся по льду со скоростью v. Ее количество движения равно mv. Теперь представьте себе другую хоккейную шайбу той же самой массы, перемещающуюся с той же самой скоростью, но в противоположном направлении. Ее скорость поэтому –v. и ее количество движения равно –mv. Количество движения, как вы видите, является векторной величиной, так как оно зависит от скорости и имеет не только количественную характеристику, величину, но и направление. Естественно, что, если мы имеем два тела с импульсами в противоположных направлениях, мы можем сказать, что одно количество движения равняется некоторому положительному значению, а другое — некоторому отрицательному значению.

Предположим теперь, две хоккейные шайбы покрыты по кругу слоем клея, достаточно сильного, чтобы заставить их немедленно сцепиться вместе при вступлении в контакт друг с другом. И предположим, что они вступают в контакт «лоб в лоб». Если это произойдет, они мгновенно остановятся.