7. Физика сплошных сред

(Это, конечно, частный случай, но он до­статочно хорошо иллюстрирует общий метод.) Дальше, напря­жения, действующие на эту призмочку, должны быть такими, чтобы она находилась в равновесии (по крайней мере в пределе бесконечно малого размера), так что действующая на нее пол­ная сила должна быть равна нулю. Силы, действующие на гра­ни, параллельные осям координат, известны нам непосред­ственно из тензора S_ij. А их векторная сумма должна равняться силе, действующей на грань N, так что эту силу можно выра­зить через S_ij.

Наше допущение, что поверхностные силы, действующие на малый объем, находятся в равновесии, предполагает отсутствие объемных сил, подобных силе тяжести или псевдосилам, которые тоже могут присутствовать, если наша система координат не инерциальна. Заметьте, однако, что такие объемные силы бу­дут пропорциональны объему призмочки и поэтому пропорцио­нальны Dx,Dy, Dz, тогда как поверхностные силы пропорцио­нальны DxDy, DyDz и т. п. Итак, если размер призмочки взять достаточно малым, то объемные силы будут пренебрежимо малы по сравнению с поверхностными.

А теперь сложим силы, действующие на нашу призмочку. Возьмемся сначала за х-компоненту, которая состоит из пяти частей, по одной от каждой грани. Но если Dz достаточно мало, то силы от треугольных граней (перпендикулярные оси z) будут равны друг другу и противоположны по направлению, поэтому о них можно забыть. На основание призмы действует x-компонента силы, равная

DF_x2=S_xyDxDz,

а x-компонента силы, действующей на вертикальную прямо­угольную грань, равна

DF_x1=S_хxDz.

Сумма этих двух сил должна быть равна x-компоненте силы, действующей извне на грань N. Обозначим через n единич­ный вектор нормали к грани N, а через F_n — действующую на нее силу, тогда получим

DF_xn=S_xxDyDz+S_xyDxDz.

Составляющая напряжения по оси х (S_xn), действующего в этой плоскости, равна силе DF_xn, деленной на площадь, т. е. DzЦ(Dx2+Dy2), или

Но, как видно из фиг. 31.8, отношение Dх/Ц(Dx2+Dy2) — это косинус угла q между n и осью у и может быть записан как п_у, т. е. y-компонента вектора n. Аналогично, Dy/Ц(Dx2+Dy2) равно sinq=n_х. Поэтому мы можем написать

S_xn=S_xxn_x+S_xyn_y

рели теперь обобщить это на произвольный элемент поверхности, то мы получим

S_xn= S_xxn_x+S_xyn_y+S_xzn_z,

или в еще более общей форме:

Так что мы действительно можем выразить силу, действующую на произвольную площадь, через элементы S_ijи полностью описать внутреннее напряжение.

Уравнение (31.24) говорит, что тензор S_ij связывает силу S_n с единичным вектором n точно так же, как a_ijсвязывает Р с Е. Но поскольку n и S_n — векторы, то компоненты S_ijпри изменении осей координат должны преобразовываться как тензор. Так что S_ijдействительно тензор.

Можно также доказать, что S_ij симметричный тензор. Для этого нужно обратить внимание на силы действующие на маленький кубик материале. Возьмем кубик, грани которого параллельны осям координат, и посмотрим на его разрез (фиг. 31.9).

Фиг. 31.9. х- и у-компоненты сил, действующих на четыре грани маленького единичного кубика.

Если допустить что ребра куба равны единице, то х- и y-компоненты сил на гранях, перпендикулярных к осям х и у, должны быть такими, как показано на рисунке. Если взять достаточно маленький кубик, можно надеяться, что напряжение на его противоположных гранях будет отличаться ненамного, а поэтому компоненты сил должны быть равны и противоположны, как это показано на рисунке. Заметьте теперь, что на кубик не должен действовать никакой момент си иначе кубик начал бы вращаться. Но полный момент относительно центра равен произведению (S_yx-S_xy) на единичную длину ребра куба, а поскольку полный момент равен нулю, то S должно быть равно S_xy, и тензор напряжений, таким образом, оказывается симметричным.

Благодаря этой симметрии тензора S_ijего можно то; описывать эллипсоидом с тремя главными осями. Напряжение имеет особенно простой вид на площадках, нормальных к этим: осям: оно соответствует чистому сжатию или растяжению в направлении главных осей. Вдоль этих площадок нет никак сдвиговых сил, причем такие оси, для которых отсутствуют сдвиговые силы, можно выбрать для любого напряжения. Если эллипсоид превращается в сферу, то в любом направлении действуют только нормальные силы. Это соответствует гидростатическому давлению (положительному или отрицательном. Таким образом, для гидростатического давления тензор диагонален, причем все три компоненты его равны друг другу (фактически они просто равны давлению р). В этом случае мы можем написать

(31.25)

Вообще говоря, тензор напряжений в куске твердого тела, а также его эллипсоид изменяются от точки к точке, поэтому для описания всего куска мы должны задать каждую компонен­ту S_ijкак функцию положения. Тензор напряжений, таким об­разом, является полем. Мы уже имели примеры скалярных по­лей, подобных температуре Т(х, у, z), и векторных полей, по­добных Е(х, у, z), которые в каждой точке задавались тремя числами. А теперь перед нами пример тензорного поля, задавае­мого в каждой точке пространства девятью числами, из кото­рых для симметричного тензора S_ijреально остается только шесть. Полное описание внутренних сил в произвольном твер­дом теле требует знания шести функций координат х, у и z.

§ 7. Тензоры высших рангов

Тензор напряжений S_ijописывает внутренние силы в веществе. Если при этом материал упругий, то внутренние деформа­ции удобно описывать с помощью другого тензора T_ij— так называемого тензора деформаций. Для простого объекта, подоб­ного бруску из металла, изменение длины DL, как вы знаете, приблизительно пропорционально силе, т. е. он подчиняется закону Гука

DL=gF.

Для произвольных деформаций упругого твердого тела тензор деформаций T_ijсвязан с тензором напряжений S_{ijсистемой линейных уравнений}

Вы знаете также, что потенциальная энергия пружины (или бруска) равна

а обобщением плотности упругой энергии для твердого тела будет выражение

Полное описание упругих свойств кристалла должно задаваться коэффициентами g_ijkl. Это знакомит нас с новым зверем — тен­зором четвертого ранга. Поскольку каждый из индексов может принимать одно из трех значений — х, у или z, то всего ока­зывается 34=81 коэффициент. Но различны из них на самом де­ле только 21. Во-первых, поскольку тензор S_ij симметричен, у него остается только шесть различных величин, и поэтому в уравнении (31.27) нужны только 36 различных коэффициен­тов. Затем, не изменяя энергии, мы можем переставить S_{ijи Skl, так что gijkl должно быть симметрично при перестановке пары индексов ij и kl. Это уменьшает число коэффициентов до 21. Итак, чтобы описать упругие свойства кристалла низшей воз­можной симметрии, требуется 21 упругая постоянная! Разу­меется, для кристаллов с более высокой симметрией число необходимых постоянных уменьшается. Так, кубический кри­сталл описывается всего тремя упругими постоянными, а для изотропного вещества хватит и двух.}

В справедливости последнего утверждения можно убе­диться следующим образом. В случае изотропного материала компоненты g_ijklне должны зависеть от поворота осей. Как это может быть? Ответ: они могут быть независимы, только когда выражаются через тензоры d_ij. Но существует лишь два воз­можных выражения, имеющих требуемую симметрию,— это d_ijd_kl и d_ikd_jl+d_il+d_jk, так что g_ijkl должно быть их линейной комбинацией. Таким образом, для изотропного материала

g_ijkl =а(d_ijd_kl) + b(d_ikd_jl+d_ild_jk);

следовательно, чтобы описать упругие свойства материала, тре­буются две постоянные: а и b. Я предоставляю вам самим до­казать, что для кубического кристалла требуются три такие постоянные.

И еще один последний пример (на этот раз пример тензора третьего ранга) дает нам пьезоэлектрический эффект. При на­пряженном состоянии в кристалле возникает электрическое поле, пропорциональное тензору напряжений. Общий закон пропорциональности имеет вид

где e_i— электрическое поле, a P_ijk— пьезоэлектрические коэф­фициенты (пьезомодули), составляющие тензор. Можете ли вы сами доказать, что если у кристалла есть центр инверсии (т. е. если он инвариантен относительно замены х, у, z®-х,-y,-z), то все его пьезоэлектрические коэффициенты равны нулю.

§ 8. Четырехмерный тензор электро­магнитного импульса

Все тензоры, с которыми мы сталкивались в этой главе, были связаны с трехмерным пространством; они определялись как величины, имеющие известные трансформационные свойства при пространственных поворотах. А вот в гл. 26 (вып. 6) мы имели возможность воспользоваться тензором в четырехмерном про­странстве-времени: это был тензор электромагнитного поля F_mv. Компоненты такого четырехмерного тензора особым образом преобразуются при преобразованиях Лоренца. (Мы этого, прав­да, не делали, но могли бы рассматривать преобразования Ло­ренца как своего рода «вращение» в четырехмерном «простран­стве», называемом пространством Минковского; тогда аналогия с тем, что мы рассматривали здесь, была бы ярче.)

В качестве последнего примера мы хотим рассмотреть дру­гой тензор в четырех измерениях (t, x, y, z) теории относитель­ности. Когда мы говорили о тензоре напряжений, то опреде­ляли S_ijкак компоненту силы, действующую на единичную площадку. Но сила равна скорости изменения импульса со временем. Поэтому вместо того, чтобы говорить «S_xy — это х-компонента силы, действующей на единичную площадку, пер­пендикулярную оси у», мы с равным правом могли бы сказать: «S_xy — это скорость потока x-компоненты импульса через еди­ничную площадку, перпендикулярную оси у». Другими словами, каждый член S_ij представляет поток i-й компоненты импульса через единичную площадку, перпендикулярную оси j. Так обстоит дело с чисто пространственными компонентами, но они составляют только часть «большего» тензора S_mvв четырехмер­ном пространстве m. и v=t, x, у, z), содержащего еще дополни­тельные компоненты S_tx, S _yt, S_ttи т. п. Попытаемся теперь выяс­нить физический смысл этих дополнительных компонент.

Нам известно, что пространственные компоненты представ­ляют поток импульса. Чтобы найти ключ к распространению этого понятия на «временное направление», обратимся к «по­току» другого рода — потоку электрического заряда. Скорость потока скалярной величины, подобной заряду (через единичную площадь, перпендикулярную потоку), является пространствен­ным вектором — вектором плотности тока j. Мы видели, что временная компонента вектора потока — это плотность теку­щего вещества. Например, j можно скомбинировать с плотно­стью заряда j_t=r и получить четырехвектор j_m=(r, j), т. е. значок m у вектора j_m принимает четыре значения: t, х, у, z. Это означает «плотность», «скорость потока в x-направлении», «скорость потока в y-направлении» и «скорость потока в z-направлении» скалярного заряда.

Теперь по аналогии с нашим утверждением о временной ком­поненте потока скалярной величины можно ожидать, что вместе c S_xx,S_xyи S_xz, описывающими поток x-компоненты импульса, должна быть и временная компонента S_{xt, которая по идее дол­жна бы описывать плотность того, что течет, т. е. Sxtдолжна быть плотностью х-компоненты импульса. Таким образом, мы можем расширить наш тензор по горизонтали, включив в него t-компоненты, и в нашем распоряжении оказываются:}

S_{xt— плотность x-компоненты импульса,}

S_xx — поток z-компоненты импульса в направлении оси х,

S_xy — поток y-компоненты импульса в направлении оси у,

S_xz — поток z-компоненты импульса в направлении оси z.

Аналогичная вещь происходит и с y-компонентой; у нас есть три компоненты потока: S_yx, S_yyи S_yz, к которым нужно добавить четвертый член:

S_yt — плотность y-компоненты импульса,

а к трем компонентам S_zx, S_zyи S_zzмы добавляем

S_zt — плотность z-компоненты импульса.

В четырехмерном пространстве у импульса существует также и t-компонента, которой, как мы знаем, является энер­гия. Так что тензор S_ijследует продолжить по вертикали с включением в него S_tx, S_tyи S_tz, причем

S_tx — поток энергии в направлении оси х, S_ty — поток энергии в направлении оси у, (31.28) S_tz — поток энергии в направлении оси z,

т. е. S_tx— это поток энергии в единицу времени через поверх­ность единичной площади, перпендикулярную оси х, и т. д. Наконец, чтобы пополнить наш тензор, нужна еще величина S_tt, которая должна быть плотностью энергии. Итак, мы расширили наш трехмерный тензор напряжений до четырехмерного тензора энергии-импульса S_mv. Индекс m может принимать четыре зна­чения: t, х, у и z, которые означают «плотность», «поток через единичную площадь в направлении оси х», «поток через единич­ную площадь в направлении оси y» и «поток через единичную площадь в направлении оси z». Значок v тоже принимает четы­ре значения: t, х, у, z, которые говорят нам, что же именно течет: «энергия», x-компонента импульса», «y-компонента им­пульса» или же «z-компонента импульса».

В качестве примера рассмотрим этот тензор не в веществе, а в пустом пространстве с электромагнитным полем. Вы знаете, что поток энергии электромагнитного поля описывается век­тором Пойнтинга S=e₀c2EXВ. Так что х-, у- иz-компоненты вектора S с релятивистской точки зрения являются компонентами: S_ix, S_tни S_tzнашего тензора энергии-импульса. Симметрия тензора S_ijпереносится и на временные компоненты, так что четы­рехмерный тензор S_mv тоже симметричен:

S_mv=S_vm. . (31.29)

Другими словами, компоненты S_xt, S_yt, S_zt, которые представ­ляют плотности х-, у- и z-компонент импульса, равны также х-, у- и z-компонентам вектора Пойнтинга S, или, как мы ви­дели раньше из других соображений, вектора потока энергии.

Оставшиеся компоненты тензора электромагнитного напря­жения S_mvтоже можно выразить через электрическое и магнит­ное поля Е и В. Иначе говоря, для электромагнитного поля в пустом пространстве мы должны допустить существование тензора напряжений, или, выражаясь менее таинственно, по­тока импульса электромагнитного поля. Мы уже обсуждали это в гл. 27 (вып. 6) в связи с уравнением (27.21), но тогда мы не входили в детали.

Тем из вас, кто хочет испытать свою удаль на четырехмер­ных тензорах, может понравиться выражение для тензора S_{mvчерез поля:}

где суммирование по a и b проводится по всем их значениям (т. е. t, x, у и z), но, как обычно в теории относительности, для суммы S и символа d принимается специальное соглашение. В суммах слагаемые со значками х, у, z должны вычитаться, а d_tt=+1, тогда как d_xx.=d_уу = d_zz=-1 и d_mv=0 для всех m№v (с=1). Сможете ли вы доказать, что эта формула приводит к плотности энергии S_tt=(e₀/2)(E2+B2) и вектору Пойнтинга e₀ЕXВ? Можете ли вы показать, что в электростатическом поле, когда В=0, главная ось напряжения направлена по электриче­скому полю и вдоль направления поля возникает натяжение (e₀/2)E2и равное ему давление в направлении, перпендикуляр­ном направлению поля?

* Если не полагать с=1, как это делается здесь, то плотность энергии в принятых в книге единицах будет равна (e₀/2)(E2+с2B2) или в единицах СИ 1/₂[e₀E2+(l/m₀)B2]. — Прим. ред.

* Эту работу, затраченную на создание поляризации электрическим полем, не нужно путать с потенциальной энергией —p₀*Е постоянного дипольного момента p₀ в поле Е.

* Обычно для коэффициентов пропорциональности между Р и Е пользуются термином тензор восприимчивости, оставляя термин поля­ризуемость для величин, относящихся к одной частице. Прим. ред.

* В гл. 10, следуя общепринятому соглашению, мы писали Р=e₀cЕ и величину c (хи) называли «восприимчивостью». Здесь же нам удобнее пользоваться одной буквой, так что вместо e₀c мы будем писать a. Для изо­тропного диэлектрика a=(c-1)e₀, где c — диэлектрическая проницаемость (см. гл. 10 §4 вып.5)

Глава 32

ПОКАЗАТЕЛЬ ПРЕЛОМЛЕНИЯ ПЛОТНОГО ВЕЩЕСТВА

§ 1. Поляризация вещества

§ 2. Уравнения Максвелла в диэлектрике

§ 3. Волны в диэлектрике

§ 4. Комплексный показатель преломления

§ 5. Показатель преломления смеси

§ 6. Волны в металлах

§ 7.Низкочастотное и высокочастотное приближение глубина скин-слоя и плазменная частота

Повторить: всё что в табл. 32.

§ 1. Поляризация вещества

Здесь я хочу обсудить явления преломления света, ну и, разумеется, его поглощение плот­ным веществом. Теорию показателя преломле­ния мы уже рассматривали в гл. 31 (вып. 3), но тогда наши знания математики были весьма ограничены и мы остановились только на по­казателе преломления веществ с малой плотно­стью наподобие газов. Но физические принципы, приводящие к возникновению показателя пре­ломления, мы там все же выяснили. Электри­ческое поле световой волны поляризует мо­лекулы газа, создавая тем самым осцилли­рующие дипольные моменты, а ускорение ос­циллирующих зарядов приводит к излучению новых волн поля. Это новое поле, интерфери­руя со старым, изменяет его. Изменение поля эквивалентно тому, что происходит сдвиг фазы первоначальной волны. Из-за того что сдвиг фазы пропорционален толщине материала, эф­фект в целом оказывается эквивалентным из­менению фазовой скорости света в материале. Прежде, когда рассматривалось это явление, мы пренебрегали усложнениями, возникаю­щими от таких эффектов, как действие новой измененной волны на поле осциллирующего диполя. Мы предполагали, что силы, действую­щие на заряды атомов, определяются только падающей волной, тогда как на самом деле на осциллятор действует не только падающая волна, но и волны, излученные другими атомами. В то время нам еще было трудно учесть этот эф­фект, поэтому мы изучали только разреженные газы, где его можно считать несущественным.

Ну а теперь мы увидим, что эта задача с помощью дифференциальных уравнений решается совсем просто. Конечно, дифференциальные уравнения затуманивают физическую причину возникновения преломле­ния (как результата интерференции вновь излученных волн с первоначальными), но зато они упрощают теорию плотного материала. В этой главе сойдется вместе многое из того, что мы делали уже раньше. Практически мы уже получили все, что нам потребуется, так что по-настоящему новых идей в этой главе будет сравнительно немного. Поскольку вам может понадобиться освежить в памяти то, с чем мы здесь столкнемся, то в табл. 32.1 приводится список уравнений, которые я соби­раюсь использовать вместе со ссылкой на те места, где их можно найти. Во многих случаях из-за нехватки времени я не смогу снова останавливаться на физических аргументах, а сразу же буду браться за уравнения.

Таблица 32.1 · ЧТО БУДЕТ ИСПОЛЬЗОВАНО В ЭТОЙ ГЛАВЕ

Начну с напоминания о механизме преломления в газе. Мы предполагаем, что в единице объема газа находится N ча­стиц и каждая из них ведет себя как гармонический осциллятор. Мы пользуемся моделью атома или молекулы, к которой элект­рон привязан силой, пропорциональной его перемещению (как будто он удерживается пружинкой). Отметим, что такая модель атома с классической точки зрения незаконна, однако позднее будет показано, что правильная квантовомеханическая теория дает (в простейших случаях) эквивалентный результат. В наших прежних рассмотрениях мы не учитывали «тормозящей» силы в атомном осцилляторе, а сейчас это будет сделано. Такая сила соответствует сопротивлению при движении, т. е. она пропор­циональна скорости электрона. Уравнением движения при этом будет

F=q_eE =m(x+gx+w2₀x), (32.1)

где х — перемещение, параллельное направлению поля Е. (Осциллятор предполагается изотропным, т. е. восстанавли­вающая сила одинакова во всех направлениях. Кроме того, на время мы ограничимся линейно поляризованной волной, так что поле Е не меняет своего направления.) Если действую­щее на атом электрическое поле изменяется со временем сину­соидально, то мы пишем.

E=E₀eiwt. (32.2)

С той же самой частотой будет осциллировать и перемещение, поэтому можно считать

х=х₀еiwt .

Подставляя х=iwx и х=-w2х, можно выразить х через Е:

А зная перемещение, можно вычислить ускорение х и найти от­ветственную за преломление излученную волну. Именно таким способом в гл. 31 (вып. 3) мы подсчитывали показатель пре­ломления.

Теперь же мы пойдем другим путем. Индуцированный дипольный момент атома р равен q_ex, или в силу уравнения (32.3)

Так как р пропорционально Е, то мы пишем

р=e₀a(w)Е, (32,5) где a — атомная поляризуемость: