7. Физика сплошных сред

Подобный же ответ для движения электронов в атоме дает и квантовая механика, но с учетом следующих особен­ностей. У атомов есть несколько собственных частот, каждая из которых имеет свою диссипативную постоянную g. Кроме того, каждая гармоника имеет еще свою эффективную «силу», выражаемую в виде произведения поляризуемости при дан­ной частоте на постоянную связи f, которая, как ожидается, по порядку величины равна единице. Обозначая каждый из трех параметров w₀, g и f для каждой из гармоник через w_ok, g_k и f_k и суммируя по всем гармоникам, мы вместо (32.6) получаем

Если число атомов в единице объема вещества равно N, то поляризация Р будет просто Np=e₀NaE, т. е. пропорцио­нальна Е:

Р=e₀Na(w)Е. (32.8)

Другими словами, когда на материал действует синусоидальное электрическое поле, оно индуцирует пропорциональный себе дипольный момент, причем константа пропорциональности а, как мы уже отмечали, зависит от частоты. При очень больших частотах a мала: реакция материала слабая. А вот при низких частотах реакция может быть очень сильной. Константа про­порциональности, кроме того, еще оказывается комплексной, т. е. поляризация не следует точно за всеми изменениями элект­рического поля, а в какой-то степени может быть сдвинута по фазе. Во всяком случае, электрическое поле вызывает в мате­риале поляризацию, пропорциональную его напряженности.

§ 2. Уравнения Максвелла в диэлектрике

Наличие в веществе поляризации означает, что там возни­кают поляризационные заряды и токи, которые необходимо учитывать в полных уравнениях Максвелла при нахождении полей. Сейчас мы собираемся решать уравнения Максвелла для случая, когда заряды и токи не равны нулю, но неявно опреде­ляются вектором поляризации. Нашим первым шагом должно быть явное нахождение плотности зарядов r и плотности тока j, усредненных по тому же самому малому объему, который имел­ся в виду при определении вектора Р. Потом необходимые нам значения r и j могут быть определены из поляризации. В гл. 10 (вып. 5) мы видели, что когда поляризация Р меняется от точки к точке, то возникает плотность зарядов:

r_пол=-С·Р. (32.9)

В то время мы имели дело со статическими полями, но эта же формула справедлива и для переменных полей. Но когда Р изменяется со временем, заряды движутся, так что появляется поляризационный ток. Каждый из осциллирующих зарядов вносит в ток свой вклад, равный произведению его заряда q_{eна скорость v. Когда же таких зарядов в единице объема N штук, то они создают плотность тока j:}

j=Nq_ev.

Ну а поскольку известно, что v=dx/dt, то j=Nq_edx/dt, что как раз

равно dP/dt.Следовательно, при переменной поляризации воз­никает плотность тока

j_пол=dP/dt (32.10)

Наша задача стала теперь простой и понятной. Мы пишем уравнения Максвелла с плотностями заряда и тока, определяе­мыми поляризацией Р посредством уравнений (32.9) и (32.10). (Предполагается, что других зарядов и токов в веществе нет.) Затем мы свяжем Р с Е формулой (32.5) и будем разрешать их относительно Е и В, отыскивая при этом волновое решение.

Но прежде чем приступить к решению, мне бы хотелось сде­лать одно замечание исторического характера. Первоначально Максвелл писал свои уравнения в форме, отличающейся от той, в которой они используются нами. И именно потому, что урав­нения писались в другой форме в течение многих лет (да и сей­час многими пишутся так), я постараюсь объяснить вам разни­цу. В те дни механизм диэлектрической проницаемости не был понятен с ясностью и полнотой. Не была ясна ни природа ато­мов, ни существование поляризации в веществе. Поэтому тогда не понимали, что С·P дает дополнительный вклад в плотность заряда р. Были известны только заряды, не связанные в атомах (такие, как заряды, текущие по проводу или возникающие при трении).

Сегодня же мы предпочитаем обозначать через r полную плотность зарядов, включая в нее и заряды, связанные с инди­видуальными атомами. Если назвать эту часть зарядов r_пол, то можно написать

r=r_пол+r_др,

где r_др— плотность зарядов, учтенная Максвеллом и относя­щаяся к другим зарядам, не связанным с определенными атомами. При этом мы бы написали

После подстановки r_пол из (32.9) получаем

или

В плотность тока, фигурирующую в уравнениях Макс­велла для СXB, вообще говоря, тоже вносится вклад от связанных атомных электронных токов. Поэтому мы можем написать

j=j_пол+j_др,

причем уравнение Максвелла приобретает вид

Используя уравнение (32.10), получаем

Теперь вы видите, что если бы мы определили новый вектор D

D=e₀E+P, (32.14)

то два уравнения поля приняли бы вид

С·D=r_др (32.15)

и

Это и есть та форма уравнений, которую использовал Мак­свелл для диэлектриков. А вот и остальные два уравнения:

СXЕ=-дB/дt

и

С·B=0,

которые в точности совпадают с нашими.

Перед Максвеллом и другими учеными того времени вставала проблема магнетиков (за них мы вскоре примемся). Они ничего не знали о циркулирующих токах, ответственных за атомный магнетизм и поэтому, в плотности тока утеряли еще одну часть. Вместо уравнения (32.16) они на самом деле писали

где Н отличается от e₀с2В, так как последнее учитывает эффекты атомных токов. (При этом j' представляет то, что осталось от то­ков.) Таким образом, у Максвелла было четыре полевых век­тора: Е, D, В и Н, причем в D и Н скрывалось то, на что он не обратил внимания,— процессы, происходящие внутри вещест­ва. Уравнения, написанные в таком виде, вы встретите во мно­гих местах.

Чтобы решить их, необходимо как-то связать D и Н с дру­гими полями, поэтому зачастую писали

D =eE

и

В=mH. (32.18)

Однако эти связи верны лишь приближенно для некоторых ве­ществ, и то лишь когда поля не изменяются слишком быстро со временем. (Для синусоидально изменяющихся полей зачастую можно писать уравнения таким способом, считая при этом e и m комплексными функциями частоты, но для произволь­ных изменений поля со временем это неверно.) На какие только ухищрения не пускаются ученые, чтобы решить уравнения! А мне кажется, что правильнее всего оставить уравнения запи­санными через фундаментальные величины, как мы понимаем их теперь, т. е. как раз то, что мы и проделали.

§ 3. Волны в диэлектрике

Теперь нам предстоит выяснить, какого сорта электро­магнитные волны могут существовать в диэлектрическом ве­ществе, где других зарядов, кроме тех, что связаны в атомах,

нет. Таким образом, мы возьмем r=-С·Р и j=дP/дt . При этом уравнения Максвелла примут такой вид:

Мы можем решить эти уравнения, как делали это прежде. Начнем с применения к уравнению (32.19в) операции ротора:

СX(СXE)=-(д/дt)СXB.

Используя затем векторное тождество

СX(СXE) = С(С·E)-С2E и подставляя выражение для СXB из (32.19б), получаем

Используя уравнение (32.19а) для С·Е, находим

Таким образом, вместо волнового уравнения мы теперь полу­чили, что даламбертиан Е равен двум членам, содержащим по­ляризацию Р.

Однако Р зависит от Е, поэтому уравнение (32.20) все еще допускает волновые решения. Сейчас мы будем ограничиваться изотропными диэлектриками, т. е. Р всегда будет иметь то же направление, что и Е. Попробуем найти решение для волны, движущейся в направлении оси z. Электрическое поле при этом будет изменяться как еi(wt-kz). Предположим также, что волна поляризована в направлении оси х, т. е. что электрическое поле имеет только x-компоненту. Все это записывается следую­щим образом:

E_x=E₀ei(wt-kz). (32.21)

Вы знаете, что любая функция от (z-vt) представляет вол­ну, бегущую со скоростью v. Показатель экспоненты в выраже­нии (32.21) можно переписать в виде

-ik[z-(w/k)t],

так что выражение (32.21) представляет волну, фазовая ско­рость которой равна

v_фаз=w/k.

В гл. 31 (вып. 3) показатель преломления n определялся нами из формулы

v_фаз=c/n.

С учетом этой формулы (32.21) приобретает вид

Ex=E₀eiw(t-nz/c).

Таким образом, показатель n можно определить, если мы най­дем ту величину k, которая необходима, чтобы выражение (32.21) удовлетворяло соответствующим уравнениям поля, и затем воспользуемся соотношением

n=kc/w. (32.22)

В изотропном материале поляризация будет иметь только x-компоненту; кроме того, Р не изменяется с изменением коор­динаты х, поэтому С·P=0 и мы сразу же избавляемся от пер­вого члена в правой стороне уравнения (32.20). Вдобавок мы считаем наш диэлектрик «линейным», поэтому Р_хбудет изме­няться как еiwtи d2P_x/dt2= -w2P_x. Лапласиан же в уравне­нии (32.20) превращается просто в д2E_x/dz2=-k2Е_x, так что в результате получаем

Теперь на минуту предположим, что раз Е изменяется си­нусоидально, то Р можно считать пропорциональной Е, как в уравнении (32.5). (Позднее мы вернемся к этому предположе­нию и обсудим его.) Таким образом, пишем

P_x=e₀NaE_x.

При этом Е_хвыпадает из уравнения (32.23), и мы находим

k2=w2/c2(1+Na). (32.24)

Мы получили, что волна вида (32.21) с волновым числом k, задаваемым уравнением (32.24), будет удовлетворять уравне­ниям поля. Использование же выражения (32.22) для показате­ля n дает

n2 = l+Na. (32.25)

Сравним эту формулу с тем, что получилось у нас для пока­зателя преломления газа (гл. 31, вып. 3). Там мы нашли урав­нение (31.19), которое тогда имело вид

Формула (32.25) после подстановки w из (32.6) дает

Что здесь нового? Во-первых, появился новый член igw, возникший в результате учета поглощения энергии в осцилля­торах. Во-вторых, слева вместо n теперь стоит n2и, кроме того, отсутствует дополнительный множитель 1/₂. Но заметьте, что если значение N достаточно мало, так что n близок к единице (как это имеет место в газе), то выражение (32.27) говорит, что n2 равен единице плюс некое малое число, т. е. n2=1+e. При этом условии мы можем написать, что n=Ц(1+e)»l+e/2, и оба выра­жения оказываются эквивалентными. Таким образом, наш но­вый метод дает для газа тот же самый, найденный нами ранее результат.

Теперь можно надеяться, что выражение (32.27) должно давать показатель преломления и для плотных материалов. Но по некоторым причинам оно нуждается в модификации. Во-первых, при выводе этого уравнения предполагалось, что поля­ризованное поле, действующее на каждый из атомов,— это поле Е_х. Однако такое предположение неверно, поскольку в плотном материале существуют и другие поля, создаваемые соседними атомами, которые могут быть сравнимы с Е_х. Анало­гичную задачу мы уже рассматривали при изучении статических полей в диэлектрике (см. гл. 11, вып. 5). Вы, вероятно, помните, что мы нашли поле, действующее на отдельный атом, представив его сидящим в сферической полости в окружающем диэлектрике. Поле в такой полости (мы назвали его локальным) увеличивается по сравнению со средним полем Е на величину Р/3e₀. (Не за­будьте, однако, что этот результат, строго говоря, справедлив только для изотропного материала, а также в случае куби­ческого кристалла.)

Те же рассуждения верны и для электрического поля в вол­не, но до тех пор, пока длина ее много больше расстояния между атомами. При таком ограничении

Именно это локальное поле следует использовать вместо Е в (32.8), т. е. это выражение должно быть переписано следую­щим образом:

Р =e₀NaЕ_лок. (32.29)

Подставляя теперь Е_лок из формулы (32.28), находим

или

Иными словами, Р для плотного материала все еще пропорцио­нальна Е (для синусоидального поля). Однако константа про­порциональности будет уже e₀/Na/[1-(Na/3)], а не e₀Nallfa, как раньше. Таким образом, нам нужно поправить формулу (32.25):

Более удобно переписать это в виде

который алгебраически эквивалентен прежнему. Это и есть известная формула Клаузиуса — Моссотти.

В плотном материале возникает и другое усложнение. По­скольку атомы расположены слишком тесно, они сильно взаимо­действуют друг с другом. Поэтому внутренние гармоники осцил­ляции изменяются. Собственные частоты атомных осцилляций размазываются этими взаимодействиями и обычно весьма сильно подавляются ими, а коэффициент трения становится очень боль­шим. Таким образом, все w₀ и g твердого вещества будут дру­гими, чем для свободных атомов. С этой оговоркой мы все-таки можем представлять а, по крайней мере приближенно, уравнением (32.7), так что