Помоги проекту - поделись книгой:
Мы увидели, что с помощью нумерации Гёделя можно получить арифметические высказывания, в которых идет речь о других арифметических высказываниях. Теперь посмотрим, как мы можем сформулировать высказывание, в котором речь идет о самом себе.
Предположим, что 101 — это код некоего высказывания Q. При таком предположении высказывание "101 — нечетное число" относится к Q и означает "код высказывания Q нечетный". Теперь представим себе, что мы ищем, какому высказыванию соответствует код 101 (то есть задаемся вопросом, что такое Q), и выясняем, что 101 — это число Гёделя для "101 — нечетное число". В этом случае "101 — нечетное число" действительно относится к самому себе и может быть переведено как "мой код — нечетное число".
Да, так и есть, можно построить высказывание, относящееся к его собственному коду. В своей статье Гёдель изложил систематический метод, позволяющий записать арифметические высказывания, относящиеся к собственному коду. Если Р — это любое арифметическое свойство (такое, как "быть четным числом" или "быть простым числом"), то этот метод — метод самореференции — объясняет, как записать высказывание, которое может означать "мой код выполняет свойство Р". Основной инструмент этого метода — функция d(x), которую Гёдель назвал диагональной.
Функция — это правило, которое каждому числу х ставит в соответствие другое число. Оно может совпадать с х или отличаться, но вычисляется однозначно (одному и тому же х не могут соответствовать два разных числа). Правилами могут быть "умножить число х само на себя" или "прибавить 3 к числу х". Для числа 2 первая функция даст значение 4, а вторая — 5. В частности, нас интересуют функции, которые могут быть выражены в терминах сумм, произведений и логических операций.
Пропозициональные функции получили это название, потому что они похожи на функции, но ставят в соответствие не числа, а высказывания. Например, пропозициональная функция "х — четное число" сопоставляет числу 2 высказывание "2 — четное число".
В запись пропозициональных функций мы можем ввести числовые функции, если только они могут быть выражены в терминах сумм, произведений и логических операций. Так, мы можем записать: "х + 3 — простое число" или даже "х² делится на 18", и в обоих случаях это полноправные пропозициональные функции.
Теперь рассмотрим определение функции d(x), которая на самом деле вычисляется только для чисел, являющихся кодами пропозициональных функций. Поясним определение на примере. Возьмем код пропозициональной функции, например 171, который, как мы предположили, является числом Гёделя выражения "х — четное число". Далее в этой пропозициональной функции заменим х числом 171. Мы получим высказывание "171 — четное число". Код этого высказывания — d( 171), число, которое диагональная функция назначает числу 171:
В первых примерах мы указали, что "171 — четное число" имеет код, равный 61. Следовательно, d(171) = 61. Диагональная функция сопоставляет числу 171 значение 61.
Во втором примере вычислим d(162), где 162 — это код "отделится на 18":
Так как "162 делится на 18" имеет код 103, то d(162) = 103. Все шаги, определяющие диагональную функцию, могут быть вычислены алгоритмически, следовательно, ее определение можно выразить с помощью сумм, произведений и логических операций. Это обстоятельство дает нам право ввести числовую функцию d(x) в выражение пропозициональной функции, точно так же как в предыдущих примерах мы это делали с х² или х + 3. Таким образом мы можем рассмотреть выражение "d(x) — четное".
Предположим, что "d(x) — четное" соответствует код 423, и применим эту процедуру для вычисления d(423):
Посмотрим внимательно на последний шаг: d(423) — это код "d(423) — четное". То есть "d(423) — четное число" может читаться как самореферентное высказывание, говорящее о своем собственном коде следующее: "мой код — четное число". Если бы у "d(423) — четное число" кодом было 503, то высказывание можно было бы записать как "503 — четное число" и в нем бы ложно утверждалось, что его собственный код — четное число.
Метод самореференции говорит, что эта процедура может применяться к любому арифметическому свойству Р Возьмем пропозициональную функцию "х выполняет свойство Р" и трансформируем ее в "d(x) выполняет свойство Р". Если код последнего выражения — число я, то "d(n) выполняет свойство Р" может быть прочитано посредством кодификации Гёделя как самореферентное высказывание, гласящее: "мой код выполняет свойство Р". Теперь посмотрим, как этот метод приведет нас в итоге к искомому высказыванию G.
Мы уже сказали, что "быть кодом доказуемого высказывания" — это свойство, которое можно выразить в терминах сумм, произведений и логических операций. Очевидно, что то же самое происходит и с его отрицанием. Следовательно, мы можем записать пропозициональную функцию:
"x: не является кодом доказуемого высказывания", что, как говорится в методе самореференции, превращается в: "d(x) не является кодом доказуемого высказывания". Если его код — число т, то:
G: "d(m) не является кодом доказуемого высказывания"
имеет в качестве кода число d(m) и может рассматриваться как самореферентное высказывание, говорящее о своем коде следующее: "мой собственный код не соответствует доказуемому высказыванию". Другими словами, в G говорится:
"G недоказуемо".
Как мы видели в начале доказательства, это высказывание является истинным и одновременно недоказуемым (вспомним, что "доказуемый" всегда означает "доказуемый на основе предложенных аксиом"). Мы доказали, что существует высказывание G, являющееся истинным и недоказуемым, и описали шаги, необходимые для того, чтобы записать его. Этим завершается доказательство первой теоремы Гёделя о неполноте.
Важное пояснение: рассуждение, которое мы провели, на самом деле не является формальным доказательством первой теоремы Гёделя о неполноте. Это только введение, полезное для понимания основных идей, но не объясняющее специфических деталей того, как эти идеи применяются на практике. Если читателя заинтересовали детали, он может углубиться в технические работы по математической логике.
Как выглядело бы высказывание G в нашем гипотетическом примере? Вспомним, что в этом примере свойство, характеризующее коды доказуемых высказываний, — это "быть простым числом, которое может быть записано как сумма или разность трех последовательных простых чисел". Возьмем пропозициональную функцию "х не является простым числом, которое может быть записано как сумма или разность трех последовательных простых чисел" и трансформируем ее в "d(x) не является простым числом, которое может быть записано как сумма или разность трех последовательных простых чисел". Предположим, что последнему выражению соответствует число 909.
Тогда высказывание G формулируется как
"d(909) не является простым числом, которое может быть записано как сумма или разность трех последовательных простых чисел".
Также предположим, что d(909) — это число 43. Следовательно, G примет вид
"43 не является простым числом, которое может быть записано как сумма или разность трех последовательных простых чисел".
Как уже было указано раньше, G имеет два уровня прочтения. На элементарном уровне это выражение арифметического свойства числа 43. Только когда мы смотрим на него через призму кодификации Гёделя, оно превращается в самореферентное и может читаться как говорящее о самом себе, что оно недоказуемо. Во второй главе мы увидим, что это замечание о различных уровнях прочтения позволяет преодолеть видимый парадокс, который возникает из анализа второй теоремы Гёделя.
Ферма в 1637 году, утверждается, что если n > 2, то хn + уn + zn не имеет решений среди натуральных чисел. После многочисленных попыток теорема наконец была доказана Эндрю Уайлсом в 1996 году.
Однако доказательство Уайлса во многом выходит за пределы обычных методов или аксиом арифметики. Последняя теорема Ферма истинна (Уайлс доказал это), но доказуема ли она, например, на основе аксиом Пеано с помощью методов программы Гильберта? Сегодня ответ на этот вопрос неизвестен, но наиболее разумное предположение заключается в том, что последняя теорема Ферма недоказуема на основе аксиом Пеано посредством рассуждений, проверяемых алгоритмически.
Однако если G недоказуемо на основе множества A аксиом, вполне возможно добавить во множество А новую аксиому, так что G станет доказуемым на основе этой расширенной системы, которую обозначим А'. Конечно, для А также справедлива теорема Гёделя, и, следовательно, будет существовать арифметическое утверждение G', которое является недоказуемым на ее основе.
Мы можем добавить в А новую аксиому, которая позволит доказать G\ и так получим множество A", где G будет доказуемым. Но для А' существует новое недоказуемое высказывание G". Мы можем добавить новую аксиому в А", но тогда существует недоказуемое G""... И так до бесконечности...
A —> G недоказуемо.
А' = А + другая аксиома —> G доказуемо, но G' — нет.
А" = А' + другая аксиома —> G и G" доказуемы, но G" — нет.
А"' + другая аксиома —> G, G и G" доказуемы, но G'" — нет.
Добавляя аксиомы по одной, никогда не удастся достигнуть полноты (то есть возможности доказать все истины). Но можно ли добиться этого другими средствами? Обратимся к этому вопросу в следующей главе.
ГЛАВА 3
Вторая теорема Гёделя
Гильберт потратил десять лет на разработку своей программы, и этот период был полон борьбы. После всех усилий, когда первая теорема Гёделя о неполноте показала, что программа неосуществима, сдался ли Гильберт? Не искал ли он неточности в доказательстве Гёделя? Неужели даже не протестовал? В этой главе мы проанализируем, как Гёделю удалось представить доказательство своей теоремы о неполноте таким образом, чтобы никто — даже Гильберт — не мог усомниться в ее справедливости.
Публикация первой теоремы Гёделя о неполноте в 1931 году сделала его международной знаменитостью в мире математики. Его имя зазвучало на всех встречах и конгрессах, а его доказательство стало (и остается до сих пор) классикой математического рассуждения. Однако Гёдель не смог сразу же насладиться славой, поскольку по завершении этой работы пережил сильный нервный срыв и вынужден был отказаться от публичной деятельности на несколько месяцев. Почти наверняка это было результатом стресса, вызванного представлением его теоремы.
На самом деле в статье 1931 года Гёдель представил две теоремы. Одна из них — уже упомянутая первая теорема о неполноте, также известная как теорема Гёделя. Именно ее мы доказали в предыдущей главе и вернемся к ней еще. В теореме говорится, что если выбрать в качестве арифметических аксиом любое множество истинных высказываний и принимать только доказательства, проверяемые алгоритмически, то всегда найдется истинное высказывание, недоказуемое на основе этих аксиом.
Другая теорема, которую Гёдель представил в этой статье 1931 года, сегодня известна как вторая теорема о неполноте, или вторая теорема Гёделя. В ней говорится о невозможности алгоритмически проверить истинность множества арифметических аксиом. Мы обсудим эту теорему чуть позже. Следует сказать, что в статье не содержалось ее детального доказательства. Гёдель ограничился лишь тем, что в общих чертах изложил идею и отметил, что собирается написать вторую часть статьи с полным доказательством. Однако болезнь помешала ему сделать это в ближайшие месяцы, а после выздоровления выяснилось, что доказательства обеих теорем (даже второй, о которой ученый только намекнул) получили всеобщее признание. В этой ситуации Гёдель не счел нужным публиковать дополнительные пояснения, поэтому вторая часть статьи так и не была написана. (Оригинальное название статьи на немецком языке заканчивается римской цифрой I: это указывает на то, что речь идет только о первой части. В переводах на испанский, английский и другие языки ее обычно опускают.)
Преодолев нервный кризис, Гёдель в 1933 году начал работу в Венском университете в качестве приват-доцента. В то время в университетах Центральной Европы с должности приват-доцента обычно начинали карьеру преподавателя. Кроме того, как мы уже сказали, Гёдель превратился в международную знаменитость и в том же году был приглашен в США прочитать лекцию на ежегодном собрании Американского математического общества.
Во время этой первой поездки в США Гёдель познакомился с Альбертом Эйнштейном, который эмигрировал туда в 1933 году. Между ними сразу зародилась теплая дружба, которая длилась до самой смерти Эйнштейна в 1955 году.
В последующие два года, 1934 и 1935, Гёдель снова ездил в США, уже по приглашению Института перспективных исследований в Принстоне. В этом учреждении он прочитал несколько курсов и лекций, не только по своим теоремам о неполноте, но и по темам, затронутым в последующих исследованиях. Среди них, например, такая проблема: существует ли алгоритм, который при заданном множестве аксиом и высказывании Р позволит определить, доказуемо ли Р на основе этих аксиом? Гёдель получил несколько частичных решений, а полностью проблема была решена в 1936 году американским логиком Алонзо Чёрчем, который доказал, что алгоритма с такими
характеристиками не существует. Эта проблема, как и другие, поставленные самим Гёделем или другими логиками, вдохновленными его исследованиями, положила начало теории вычислимости, то есть изучению того, при каких условиях математическая проблема решаема алгоритмически.
Во время поездок в США Гёдель продемонстрировал свои методы, идеи и поставленные им проблемы, и это дало импульс развитию американской школы математической логики, где блистали Уиллард ван Орман Куайн, Стивен Коул Клини и уже упомянутый Алонзо Чёрч. Также работы Гёделя дали толчок развитию математической логики в целом; по сравнению с другими ученый публиковал очень мало научных работ, но каждая из них открывала новую отрасль в логике и вводила методы и идеи, актуальные до сих пор.
В то время как Гёдель наслаждался плодами растущего академического престижа, политическая ситуация в Вене становилась всё более сложной. После того как Адольф Гитлер пришел к власти, он объявил о своем намерении сделать Австрию частью Германии. С этой целью он начал политическое и военное давление на соседнюю страну. В 1931 году он потребовал, чтобы нацистская партия, которая в Австрии была запрещена, получила признание и вошла в состав правительства. Однако на выборах в Австрии в апреле 1932 года нацисты не одержали ожидаемой победы, так что перешли в оппозицию и прибегли к террористическим методам. Произошла серия терактов, убийств высокопоставленных лиц и попыток государственного переворота, которые к 1937 году привели Австрию к угрозе гражданской войны.
Насколько известно, первые годы этой бурной политической жизни особо не затронули Гёделя, который без перерывов продолжал свои исследования и поездки в США. Но 22 июня 1936 года Мориц Шлик, один из его наставников и основатель Венского кружка, был убит. Когда Гёдель узнал об этом, у него случился новый нервный срыв, на восстановление после которого потребовалось несколько месяцев. В том году ученый снова должен был отправиться в США, но поездку пришлось отменить. Гёдель не смог возобновить научную работу до 1937 года.
В феврале 1938 года Гитлер выдвинул ультиматум: Австрия должна добровольно присоединиться к Третьему рейху, или ее присоединят силой. После многочисленных споров, во время которых дважды сменилось правительство, в марте был проведен референдум о присоединении к Германии. Голосование не было секретным; бюллетень с отметкой принимал офицер СС, который и помещал его в урну. При таких обстоятельствах неудивительно, что за присоединение к Германии проголосовало более 99% избирателей, после чего 12 марта Австрия стала провинцией нацистской Германии (это событие было названо аншлюсом, что по-немецки означает "присоединение" или "аннексия").
Нацисты сразу же реформировали австрийскую университетскую систему, после чего некоторые интеллектуалы, включая Гёделя, остались без работы. Однако это не помешало ему в сентябре 1938 года заключить брак с Адель Поркерт, разведенной танцовщицей на шесть лет старше его, с которой Гёдель познакомился в 1927 году. Возможно, брак был первым шагом, необходимым для эмиграции, о которой Гёдель уже думал.
Адель и Курт были очень крепкой, любящей парой, хотя они и не демонстрировали публично нежность друг к другу.
Уиллард ван Орман Куайн. "С точки зрения логики"
В 1938 и 1939 годах Гёдель вновь посетил Институт перспективных исследований, где, кроме проведения обычных курсов и лекций, постарался завязать необходимые контакты, чтобы подготовиться к вступлению в должность профессора этого института, если ему придется покинуть Австрию. После второй поездки в Вене на него напала группа ультраправых студентов, которых, как говорится в популярной истории, его супруга отогнала ударами зонтика.
Давление на Гёделя усиливалось, этот независимый интеллектуал раздражал нацистов, и в конце концов в октябре 1939 года он был включен в черный список. Это официально подчеркивало статус безработного, а при нацистском режиме безработные почти автоматически призывались в армию. Действительно, через некоторое время Гёдель получил приказ о призыве. Единственно возможным выходом для Курта и Адели стало бегство в США (как и для многих европейских ученых того времени, включая Альберта Эйнштейна и Джона фон Неймана).
Война между Германией, Францией и Англией к тому времени уже началась, так что Гёделю и его супруге пришлось ехать в США самым долгим путем, через Россию, Японию и Тихий океан. Гёдель прибыл в Институт перспективных исследований в 1940 году и благодаря заранее установленным контактам сразу вступил в должность приглашенного профессора. В 1946 году он вошел в состав ученых института на постоянной основе, а в 1948-м — получил американское гражданство.
Поделиться книгой: