Помоги проекту - поделись книгой:
Но как можно доказать факт такого масштаба? Как можно доказать, что каким бы ни было множество выбранных аксиом (если рассуждения проверяются алгоритмически), то всегда найдется истина, недоказуемая на их основе? Сейчас мы перейдем к объяснению доказательства и для этого рассмотрим, шаг за шагом, основные моменты рассуждений Гёделя.
Предположим, что в качестве аксиом были выбраны некоторые истинные арифметические высказывания. Для начала заметим: тот факт, что аксиомы — это истинные утверждения, гарантирует истинность всех высказываний, которые можно будет доказать на их основе, поскольку из истинных предпосылок (при правильных методах рассуждения) можно сделать только истинные выводы. Это гарантирует, что ни одно доказываемое высказывание не будет ложным, однако это ни в коем случае не означает, что все истины доказуемы. Действительно, наша цель — доказать, что существует истинное арифметическое высказывание, которое не может быть доказано на основе этих аксиом (если мы будем придерживаться методов доказательства программы Гильберта).
Главная идея доказательства состоит в том, чтобы получить высказывание G, в котором будет говориться: "G недоказуемо". Другими словами, G может быть записано так: "Это утверждение недоказуемо".
Высказывание G самореферентно и говорит о самом себе, что оно недоказуемо (в дальнейшем слово "доказуемый" всегда должно пониматься как "доказуемый на основе предложенных аксиом"). Докажем, что это высказывание G является недоказуемой истиной.
Для начала заметим, что G либо истинно, либо ложно. Если бы G было ложно, в связи с тем, что в G говорится о самом себе, можно было бы сделать вывод, что G доказуемо. Следовательно, G было бы одновременно ложным и доказуемым, но это невозможно (ведь мы сказали, что исходя из истинных аксиом можно доказать только истинные высказывания). Следовательно, G не может быть ложным.
Следовательно, G истинно, и согласно тому, что оно говорит о самом себе, оно недоказуемо. Так мы делаем вывод, что G — истинное и недоказуемое высказывание (см. схему).
Предыдущая идея, хотя и правильная в целом, имеет одну проблему: G должно быть арифметическим утверждением. Но арифметические высказывания относятся к свойствам натуральных чисел, в них не говорится о других высказываниях и тем более о самих себе. Как мы можем преодолеть это ограничение и сделать так, чтобы арифметическое высказывание относилось к другому высказыванию? Если в высказываниях говорится о числах, а нам надо, чтобы в них говорилось о других утверждениях, то нужно приравнять числа к утверждениям:
Числа ↔ Утверждения.
Требуется связать с каждым арифметическим высказыванием какое-нибудь натуральное число так, чтобы замечание об этом числе было равносильно замечанию о соответствующем утверждении. Например, если бы утверждению соответствовало число 457, мы могли бы считать, что в любом высказывании, в котором речь идет о 457, одновременно речь идет о Р.
Теперь каждому арифметическому высказыванию назначим число, которое назовем числом Гёделя, или его кодом. Назначение чисел Гёделя происходит специфическим способом, который можно запрограммировать для компьютера, однако для того, чтобы в общих чертах понять идею доказательства теоремы о неполноте, нет необходимости углубляться в технические детали. Примеры, которые мы приведем далее, чисто гипотетические и служат только для того, чтобы проиллюстрировать общее понятие. Представим, что:
"4 = 2 + 2" ↔ код 67
"2 — четное число" ↔ код 223
"162 делится на 18" ↔ код 103
"4 — нечетное число" ↔ код 149
"171 — четное число" ↔ код 61.
Мы настаиваем: коды не назначаются наугад или произвольно. Напротив, существует алгоритм, который при заданном высказывании позволяет точно вычислить его код. Также существует обратный алгоритм, который при заданном коде может восстановить высказывание, которому он соответствует. Более того, в действительности коды, если их правильно вычислить, могут содержать десятки цифр. Например, при реальном вычислении утверждению "1 = 1" соответствует код 2187000000000.
Заметим, что в нашем примере два последних высказывания ложны. Это показывает, что числа Гёделя назначаются всем высказываниям, как истинным, так и ложным. С технической целью числа Гёделя также назначаются общим выражениям, таким как "х — четное число" или "х делится на 18". Они относятся не к конкретному числу, а к переменному числу х. Эти выражения Бертран Рассел называл пропозициональными функциями.
Сами по себе пропозициональные функции не являются высказываниями, поскольку высказывание по определению должно быть истинным или ложным, в то время как истинность или ложность фразы "х — четное число" зависит от значения х. Каждый раз, когда мы заменяем х конкретным числом, мы получаем высказывание, которое будет истинным или ложным в зависимости от выбранного числа. Например, если в "х — четное число" заменить х числом 8, то мы получим истинное высказывание "8 — четное число". Наоборот, если заменить х числом 3, мы получим ложное высказывание "3 — четное число".
Мы уже сказали, что каждой пропозициональной функции также назначается число Гёделя (как и для высказываний, эти коды вычисляются с помощью установленного алгоритма). Например, мы можем представить, что:
"х делится на 18" ↔ код 162
"х — четное число" ↔ код 171.
Заметим, что "х — четное число" назначается код 171, в то время как высказыванию "2 — четное число" соответствует код 223. Коды разные, и это правильно, поскольку речь идет о разных лингвистических объектах. Точно так же "1 — четное число", "3 — четное число", "4 — четное число" имеют разные числа Гёделя.
Наконец, число Гёделя также назначается каждой конечной последовательности высказываний (которое вычисляется на основе кодов высказываний, образующих последовательность). Идея этого назначения в том, чтобы гарантировать, что каждое доказательство также можно будет идентифицировать по его коду. Например, следующему доказательству того, что "4 = 2 + 2" на основе аксиом "S(x + у) = х + S(y)" и "х + 1 = = S(x)":
S(x + y)=x + S(y) 173
S(2 + 1)-2+ S(1) 199
S(2 + 1) = 2+ 2 13
х + 1 = 5(х) 37
2 + 1 = 5(2) 83
2 + 1=3 7
S(3) = 2+ 2 251
4 = 2 + 2 67
может соответствовать (гипотетически) код 2414871965597, который мы вычислили как произведение кодов высказываний, его образующих (они указаны рядом с соответствующим высказыванием).
Конечно же, как и в предыдущих случаях, должен существовать механический способ, указывающий, как вычислить код последовательности высказываний, и другой, обратный способ, который при заданном коде позволил бы восстановить последовательность соответствующих ему высказываний. Наше правило вычисления кода последовательности как произведения индивидуальных кодов неверно, потому что игнорируется порядок высказываний (при перестановке высказываний местами код конечной последовательности остается тем же самым, но этого не должно происходить, так как при перестановке на самом деле получается другая последовательность). Однако, поскольку речь идет только о гипотетическом примере, мы не будем останавливаться на этом вопросе.
Коды, или числа Гёделя, приводят не только к тому, что арифметическое высказывание можно связать с другим высказыванием, но и к возможности говорить о доказуемости этого высказывания. Например, при заданном утверждении Р мы можем записать арифметическое высказывание, в котором говорилось бы, что "Р недоказуемо". Посмотрим, как достичь этой цели.
Как только выбрано множество аксиом, можно без ошибки определить, какие высказывания доказуемы, а какие нет (хотя это может быть и очень сложно на практике). Каждому доказуемому высказыванию, в свою очередь, соответствует число Гёделя. Итак, у нас есть множество чисел, образованное кодами доказуемых высказываний.
Гёдель доказал, что оно характеризуется четко определенным арифметическим свойством. Другими словами, "быть кодом доказуемого высказывания" — свойство, выраженное на языке арифметики (который использует в качестве базовых элементов сложение, умножение и логические операции). Другими словами, свойство "х — это код доказуемого высказывания" может сводиться к числовому свойству, выраженному в терминах сумм, произведений и логических операций. Как обычно говорят, понятие доказуемости можно выразить.
Подчеркнем: именно эта часть аргументации Гёделя зависит в основном от того факта, что программа Гильберта допускает только доказательства, проверяемые алгоритмически. Если бы были разрешены другие методы рассуждения (поговорим о них в следующей главе), то не было бы возможности гарантировать, что свойство "х — это код доказуемого высказывания" может быть выражено в арифметических терминах.
Все принципы математики сводятся к принципам логики.
Уиллард ван Орман Куайн. "С точки зрения логики"
Как Гёдель доказал, что понятие доказуемости можно выразить? Для начала он доказал, что любое числовое свойство, проверяемое алгоритмически (например, "быть простым числом", "быть четным" или "делиться на 9"), всегда можно выразить с помощью сумм, произведений и логических операций.
Итак, то, что высказывание Р доказуемо, означает, что существует доказательство (принимаемое программой Гильберта), в котором Р — это конечное высказывание. В качестве примера мы уже приводили доказательство того, что "4 = 2 + 2" на основе аксиом "S(x + у) = х + S(y)" и "х + 1 = S(x)". Вспомним, что этому доказательству, с учетом последовательности высказываний, соответствует число Гёделя 2414871965597. Вспомним также, что "4 = 2 + 2" соответствует число 67. В переводе на язык кодов доказуемость "4 = 2 + 2" означает, что существует конечная последовательность высказываний (ее код 2414871965597), являющаяся доказательством, в котором конечное высказывание имеет код 67.
"Быть кодом доказательства" — это свойство, проверяемое алгоритмически, поскольку при заданном коде для осуществления проверки компьютер сначала использовал бы программу, восстанавливающую последовательность высказываний, соответствующую этому коду, а затем применил бы к этой последовательности высказываний алгоритм, который определяет, идет ли речь о доказательстве:
Код последовательности → Последовательность высказываний → Это доказательство?
Каждый шаг может осуществляться алгоритмически.
Следовательно, при заданных х и у свойство "у — это код доказательства, которое заканчивается высказыванием с кодом х" также является свойством, проверяемым алгоритмически, поскольку к предыдущей процедуре надо добавить только проверку того, что последовательность заканчивается высказыванием, соответствующим числу Гёделя х. Поскольку свойство проверяется алгоритмически, пропозициональную функцию "у — это код доказательства, которое заканчивается высказыванием с кодом х" можно выразить в терминах сумм, произведений и логических операций.
Наконец, делаем вывод, что выражение "существует некое у у являющееся кодом доказательства, заканчивающегося высказыванием с кодом х" также можно выразить арифметическими терминами. Фактически в этом утверждении говорится, что существует некое доказательство высказывания с кодом ху другими словами — что высказывание с кодом х доказуемо. Так мы приходим к выводу, что пропозициональную функцию "х — это код доказуемого высказывания" можно выразить арифметическими терминами.
Обычно этот арифметический перевод так сложен, что его явная структура может занять десятки страниц. Поэтому, чтобы понять идею доказательства Гёделя, предположим в качестве гипотетического примера, что свойство, характеризующее коды доказуемых высказываний, — это свойство "быть простым числом, которое может быть записано как сумма или разность трех последовательных простых чисел". Тогда мы допускаем, что "х — это код доказуемого высказывания" равносильно "х — это простое число, которое может быть записано как сумма или разность трех последовательных простых чисел".
Прежде чем продолжить, разберем это свойство. Простые числа — это числа, которые делятся только на единицу и на самих себя. Существует бесконечное число простых чисел: 2,3,5, 7,11,13,17, 19, 23,... (как уже говорилось в предыдущей главе, по техническим причинам число 1 не считается простым).
Число 23, например, простое и может быть записано как сумма или разность трех последовательных простых чисел, поскольку 23 =17 +19 -13 (заметим, что 13, 17 и 19 идут друг за другом в цепочке простых чисел, при выполнении операций их записали в другом порядке). В нашем примере мы можем убедиться, что 23 — это код доказуемого высказывания. Наоборот, 149 — это простое число, которое не может быть записано как сумма или разность трех последовательных простых чисел. Но 149 в нашем гипотетическом примере — это код высказывания "4 — нечетное число". Следовательно, говорить, что "149 не является простым числом, которое можно записать как сумму или разность трех последовательных простых чисел" равносильно тому, чтобы сказать: "высказывание о том, что 4 — нечетное число, является недоказуемым" (и действительно, оно недоказуемо, потому что мы предположили: аксиомы — это истинные высказывания, следовательно, всякое ложное высказывание недоказуемо). Повторим это понятие, поскольку это сердце доказательства Гёделя. Высказывание:
Существует два уровня прочтения "149 не является простым числом, которое можно записать как сумму или разность трех последовательных простых чисел". С одной стороны, чисто арифметически это дословный уровень, на котором мы истолковываем высказывание, выражая свойства числа 149. С другой стороны, у нас есть высший уровень прочтения, метаматематический, зависящий от нумерации Гёделя, и на нем мы истолковываем высказывание, говоря, что утверждение "4 — нечетное число" недоказуемо.
Поделиться книгой: