У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте.

Вступить в группу можно было строго по приглашению; Гёдель получил его от Шлика в 1926 году и регулярно ходил на встречи до 1928 года — только как слушатель. Когда Гёдель получил приглашение присоединиться к кружку, он был еще студентом, и это много говорит об авторитете, который он имел среди преподавателей.

Темы обсуждений в Венском кружке касались философии науки в целом и языка науки в частности. Также обсуждали математику, в особенности решения проблемы кризиса оснований, предложенные Расселом, Брауэром и Гильбертом. Явно именно там Гёдель приобрел первые глубокие знания о формальной программе.

Участие Гёделя в Венском кружке привело его в 1928 году к окончательному решению посвятить себя математической логике. На следующий год он закончил свою докторскую диссертацию о проблеме, связанной с программой Гильберта (хотя речь еще не шла о знаменитой теореме о неполноте, которую он представил в сентябре 1930 года на конгрессе в Кёнигсберге).

МОРИЦ ШЛИК

Мориц Шлик — немецкий философ, родился в 1882 году. Он изучал физику вместе с Максом Планком в Берлинском университете; его докторская диссертация, представленная в 1904 году, называлась «Об отражении света в неоднородной среде». Однако Шлинк посвятил свою жизнь не физике, а философии. Его первая научная работа, «Мудрость жизни», была опубликована в 1908 году, а через два года появилось эссе Das Wesen der Wahrheit nach der modernen Logik («Природа истины согласно современной логике»). Через некоторое время Шлинк переключил свое внимание на эпистемологию и философию

науки, и этим темам более не изменял. В 1922 году он занял кафедру философии в Венском университете и в это же время основал Венский кружок как центр для обсуждения новых философских горизонтов, далеких от метафизики и сосредоточенных на эмпиризме. Встречи кружка прекратились в 1936 году, с убийством Морица Шлика студентом университета (некоторые историки утверждают, что студент был психически нездоров, другие — будто он был сторонником нацистов, хотя обе версии не исключают друг друга).

Гёдель представил свою диссертацию в Венском университете 6 февраля 1930 года. В том же году он опубликовал ее в виде статьи. Эта его первая научная публикация появилась в томе 37 (1930) журнала Monatshefte für Mathematik und Physik под заголовком «Полнота аксиом логического функционального исчисления». Теорема, которая в ней доказана, сегодня известна как теорема Гёделя о полноте. В то время она была воспринята как знак выполнимости программы Гильберта.

ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ

Чтобы понять теорему Гёделя о полноте, мы должны прежде углубиться в теорию математического доказательства по программе Гильберта. Напомним, что согласно ей нужно найти множество аксиом, которые позволили бы доказать все арифметические истины с помощью рассуждений, проверяемых алгоритмически. Но что точно представляет собой арифметика? Каковы истины, которые мы хотим доказать?

Цель моей теории — установить раз и навсегда определенность математических методов.

Давид Гильберт, «О бесконечности»· (1925)

Арифметика — это область математики, в которой говорится о свойствах сложения и умножения натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...; она включает в себя такие понятия, как простые, совершенные, треугольные или четные числа. Теория образована всеми утверждениями (также называемыми предложениями, или высказываниями), связанными с этими понятиями, например «1 + 1 = 2», «2 — четное число», «5 — простое число», «любое число, делящееся на 4, четное» или «сумма двух нечетных чисел дает в результате четное число». Аксиомы, которые искал Гильберт, были бы множеством базовых истин, из которых можно вывести, при уже изложенных условиях, все остальные истинные арифметические утверждения, в том числе упомянутые выше.

С другой стороны, что означает алгоритмическая проверка справедливости рассуждений, доказывающих эти истины? Это означает, что по крайней мере в начале должно быть возможным так запрограммировать компьютер, чтобы за конечное количество шагов он мог определить, является ли доказательство справедливым. В соответствии с этой идеей мы вводим доказательство в машину, она обрабатывает его по предварительно написанной программе и через некоторое время (возможно, долгое, но в любом случае конечное) говорит нам, справедливо рассуждение или в нем содержится ошибка.

В целом проверка правильности математического доказательства — непростая работа, иногда даже для специалистов. Например, когда в 1995 году Эндрю Уайлс представил свое доказательство последней теоремы Ферма, которому он посвятил семь лет, специалисты, его проверявшие, нашли логический пробел — шаг, который, насколько они понимали, не был должным образом обоснован. Уайлс, естественно, этой ошибки не заметил, и ему потребовался год на ее исправление. В конце концов в 1996 году он представил полное доказательство.

Продемонстрируем менее сложный пример. Пусть а и b — два числа, которые мы считаем равными и при этом отличными от нуля. На основе того факта, что а = b, мы можем получить «доказательство» того, что 1 = 2 (для большей ясности пронумеруем логические шаги рассуждения).

1.	а = b	По гипотезе.
2.	a · b = b · b	Умножили оба члена на Ь.
3.	a · b = b²	Заменили b · b на b².
4.	a · b - a² = b² - a²	Вычли а² из обоих частей.
5.	a · (b - a) = (b + a) · (b - a)	Использовали известные алгебраические равенства.
6.	a = b + a	Сократили (b - а) в обеих частях.
7.	a = a + a	Заменили b на а> поскольку числа равны.
8	a = 2 · a	Использовали равенство а + а = 2 · а.
9.	1 = 2	Разделили обе части на число а.

Очевидно, что это рассуждение неверно, но где ошибка? Она находится в переходе от шага 5 к шагу 6. В равенстве

а · (b - а) = (b + а) · (b - а)

мы сокращаем скобки (b - а) и делаем вывод, что а = b + а. Это ошибочно, потому что (b - а) равно 0 (поскольку а = b), а 0 нельзя делить. Если представить это в виде чисел и предположить, например, что а и b равны 2, переход от 5 к 6 соответствует тому, чтобы сказать, что из 2 · 0 = 4 · 0 (что истинно) следует 2 = 4.

Но как мы можем научить компьютер обнаруживать ошибки такого типа? Компьютер — это только машина; он не рассуждает, а слепо следует программе, записанной в его памяти. Для того чтобы компьютер мог проверить правильность математического рассуждения, необходимо перевести это рассуждение в последовательность высказываний, каждое из которых либо аксиома, либо выводится из предыдущих высказываний посредством применения точных и заранее установленных логических правил.

Рассмотрим пример математического доказательства, выраженного таким образом. Для начала нам нужны некоторые аксиомы, которые будут служить нам отправной точкой. В 1889 году, задолго до открытия парадокса Рассела, итальянский математик Джузеппе Пеано предложил набор аксиом, которые (как он предполагал) позволяют доказать все арифметические истины. Эти аксиомы основывались на операциях сложения (+), произведения (·), а также понятии последующего элемента (обозначаемого буквой S).

Пеано понимал, что последовательность натуральных чисел получается на основе числа 1 посредством повторного применения функции последующего элемента. Таким образом, 2 определяется как последующий элемент для 1, что обозначается S (1) = 2; 3, по определению, — последующий элемент для 2, то есть S (2) = 3; и так до бесконечности.

Для нашего примера достаточно взять две аксиомы Пеано, относящиеся к сложению.

Аксиома 1: каким бы ни было число х, х + 1 = S(x).

Аксиома 2: какими бы ни были числа х и у, S(x + у) = х + S(у).

В первой аксиоме говорится, что последующий элемент числа х всегда получается прибавлением к нему 1. Вторую аксиому можно воспринимать как (x+y) + 1 = x + (y +1). На основе этих двух аксиом докажем, что 4 = 2 + 2.

Логическая структура доказательства того, что 4*2 + 2. Стрелки показывают применения правил вывода.

Но действительно ли нужно доказывать, что 4 = 2 + 2? Разве это не очевидный факт? Хотя это действительно очевидно, по программе Гильберта любое истинное утверждение, не являющееся аксиомой, должно доказываться на их основе. За исключением высказываний, которые явно указаны как аксиомы, нет других утверждений, которые сами по себе считаются истинными.

Итак, докажем, что 4 = 2 + 2, но запишем рассуждение таким образом, чтобы его мог обработать компьютер. Добавим несколько комментариев, чтобы мы, люди, могли следить за идеей (см. схему).

1. S(x + у) = х + S(y) Аксиома 2.

2. S(2 + 1) = 2 + S(1) Подставили х=2 и у= 1 в аксиому 2.

3. S(2 + 1) = 2 + 2 Заменили S(1) на 2 в предыдущем шаге.

Комментарий: в следующих трех шагах представлено небольшое поддоказательство того, что 2 + 1 = 3; таким образом, в шаге 3 мы можем заменить S(2 + 1) на S(3).

4. х +1 = S(x) Аксиома 1.

5. 2 + 1 = S(2) Подставили = 2 в аксиому 1.

6. 2 + 1 = 3 В предыдущем шаге заменили 5(2) на З.

Комментарий: теперь мы можем заменить 5(2 + 1) на 3 в третьем шаге.

7. S( 3) = 2 + 2

8. 4 = 2 + 2 Заменили S(3) на 4 в предыдущем шаге.

Нужна ли такая точность для доказательства того, что два плюс два равно четыре? Да, это необходимо, если мы хотим, чтобы компьютер был способен проверять правильность рассуждений. Компьютер не думает; следовательно, мы должны вести его за руку, шаг за шагом показывая ему, используя заранее установленные правила, что именно мы сделали на каждом этапе рассуждений.

Действительный мир есть мир, постоянно изменяющийся. [...] Но такие изменения, независимо от их силы, никогда не разрушат истинности отдельного логического или арифметического закона.

Рудольф Карнап. «Философские основания физики»

Что будет делать компьютер, чтобы проверить, правильно ли наше доказательство? Для начала он возьмет первое высказывание и проверит, является ли оно аксиомой. Эта проверка происходит от символа к символу, точно так же как текстовый редактор проверяет орфографию, буква за буквой сверяя слова со словарем, загруженным в память компьютера.

Вспомним, что каждое высказывание должно либо быть аксиомой, либо выводиться из предыдущих высказываний. В нашем примере машина убедилась бы, что первое высказывание — это одна из аксиом в списке (первое высказывание должно быть аксиомой, его нельзя вывести из предыдущих высказываний, просто потому что их нет). Компьютер, конечно же, не понимает значения аксиомы, он только проверяет, что первое высказывание присутствует в списке, предварительно в него загруженном.

После первой проверки машина переходит ко второму высказыванию, S(2 + 1) = 2 + S(1), и проверяет, что это не аксиома (поскольку ее нет в списке). Тогда это второе высказывание должно сводиться к первому с помощью какого-либо логического правила. Чтобы осуществить эту проверку, в память компьютера должен быть загружен список правил логики, то есть правил, которые показывают, какие выводы можно сделать из определенных предпосылок (см. схему).

В случае нашего доказательства правило, позволяющее перейти от шага 1 к шагу 2, заключается в том, что если высказывание начинается с «какими бы ни были числа х и y...», то в следующем выражении буквы х и у могут быть свободно заменены любыми числами. В нашем примере буква х заменена числом 2, а у — числом 1.

Эти логические правила находятся вне арифметики, они справедливы для любой области математики, поэтому выражающие их высказывания называются универсально справедливыми высказываниями (или логическими аксиомами, поскольку они выражают правила логических рассуждений).

Мы уже упомянули одно из этих правил. Другие примеры: «если х = у, то у = х» и «если два числовых выражения равны, то любое из них может быть заменено на другое». Именно это — последнее — правило оправдывает переход от шага 2 к шагу 3, где S(1) заменяется на 2.

Схема механической проверки доказательства.

Но когда существует потенциально бесконечное число универсально справедливых высказываний, как мы можем загрузить их все в память компьютера? Если это нельзя сделать, то компьютер неспособен проверить справедливость любого рассуждения, и, следовательно, программа Гильберта оказывается неосуществимой. При этом ни один компьютер не способен содержать бесконечное число высказываний.

ФОРМАЛЬНЫЙ ЯЗЫК

Как программа Гильберта, так и доказательство Гёделя предполагают, что все арифметические высказывания написаны на формальном языке с помощью заранее установленных символов. Существуют возможные варианты символов, один из наборов которых следующий.

Квантор всеобщности , читается «для каждого». Указывает, что обозначаемое свойство справедливо для любого числа.

=>: Символ импликации; «Р => Q» означает «если Р, то Q».

┐:Символ отрицания;"┐ Р" означает "не-Р".

=: Знак равенства.

1: Число один.

S: Означает "последующий элемент".

+; Символ суммы.

(·): Символ произведения.

(): Скобки.

х₁ х₂, х₃,...: Переменные.

В некоторых представлениях предпочитается брать в качестве первого элемента 0, но это не является существенным. При использовании символов, которые мы привели, число 2 записывается как S(1), то есть следующий за 1. Число 3 записывается как S[S(1)], то есть следующий за следующим за 1. И так далее.

К счастью, в теореме о полноте Гёдель доказал, что хотя количество логических правил потенциально бесконечно, любое рассуждение можно осуществить, используя только 12 из них. Если загрузить в память компьютера эти 12 правил, он будет способен проверить правильность любого доказательства.

Когда в начале 1930 года эта теорема была опубликована, казалось, что необходимая логическая основа для программы Гильберта обеспечена: можно механически проверить правильность арифметических доказательств. Проблема, которую оставалось решить, состояла в том, чтобы найти множество аксиом, которое (на основе этих 12 правил) позволило бы доказать все арифметические истины.

Теорема о полноте не произвела на математический мир большого эффекта. Считалось, что Гёдель просто подробно описал доказательство того, что все и так считали верным, — такой большой была вера в успешную реализацию программы Гильберта. Оставалась только проблема нахождения аксиом арифметики.

ТЕОРЕМА О НЕПОЛНОТЕ

Когда была установлена логическая база, дававшая возможность осуществлять доказательства, проверяемые алгоритмически, оставалось только найти аксиомы, которые позволили бы доказать все арифметические истины. К несчастью для программы Гильберта, эта цель недостижима. Теорема, в которой изложена эта невозможность, известна как первая теорема Гёделя о неполноте, или просто теорема Гёделя:

"Если выбрать в качестве аксиом любое множество истинных арифметических высказываний и требовать, чтобы доказательства, которые можно сделать на их основе, могли быть проверены алгоритмически, то будет по крайней мере одно истинное высказывание, которое не может быть доказано на основе этих аксиом".

Гёдель доказал эту теорему в 1930 году и, как мы уже знаем, впервые открыто изложил ее на конгрессе в Кёнигсберге 7 сентября того же года. Статья с выведением доказательства была послана в журнал Monatshefte für Mathematik und Physik ("Ежемесячник по математике и физике") в ноябре и появилась в томе 38 (1931). Значение этой публикации для логики сравнимо только с "Метафизикой" Аристотеля. Изложение доказательства было таким ясным и прозрачным, что не вызвало ни малейшей полемики.

12 ЛОГИЧЕСКИХ ПРАВИЛ

В своей докторской диссертации, представленной в 1930 году, Гёдель доказал, что любое рассуждение, которое можно проверить алгоритмически, может быть построено всего на 12 логических правилах, которые мы приводим ниже. Далее выражение "Р => Q" означает "если Р, то Q", а " x Р(х)" — "каждое х выполняет свойство Р".

1. Если справедливо высказывание Q, то, каким бы ни было Р, справедливо высказывание "Р => Q".

2. Если справедливо "Р => (Q => R)" и также справедливо "Р => Q", то справедливо "Р=> R".

3. Если справедливо "не-Q => не-Р", то также справедливо "Р => О".

4. Если справедливо" x P(x)", то справедливо "Р(n)", где n — любое число.

5. Если справедливо " x Р => Q(x)", то справедливо "Р => [ x Q(x)]", если только х не используется в Р.

6. Каким бы ни было число х, справедливо, что х = х.

7. Какими бы ни были числа х и у, справедливо, что если х = у, то у = х.

8. Какими бы ни были числа х, у, z, справедливо, что если х = у и у = z, то х = z.

9. Если х = у, то можно заменить х на у в любом числовом выражении.

10. Если х = у, то можно заменить х на у в любом высказывании.

11. Если справедливо Р и справедливо "Р => Q", то справедливо Q.

12. Если справедливо Р(х) для произвольного х, то справедливо" x P(х)".