У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте.

Интуиционисты утверждали, что появление парадоксов напрямую обязано введению понятия актуальной бесконечности и это понятие, как утверждали еще Аристотель и Галилей, противоречиво само по себе. Вся теория Кантора не имеет смысла и должна быть оставлена, а математика — в том, что касается бесконечности, — должна вернуться к положению, существовавшему до 1870 года.

Основой математики должны быть натуральные числа и операции с ними — сложение и умножение. Эти числа не нуждаются в определении, поскольку понятие о них априори заложено в нашем сознании. Числа должны пониматься не как законченная бесконечная совокупность, а как результат непрерывного процесса (упомянутый ранее пример с народом), который начинался с числа 1 и продолжался неопределенное время за счет применения понятия последующего элемента (1 — первый элемент, 2 — элемент, следующий за 1, 3 — элемент, следующий за 2, и так далее).

Для утверждения о том, что существует математический объект, отличный от натуральных чисел, необходимо, чтобы его можно было построить за конечное число шагов на основе натуральных чисел с помощью строго определенной процедуры. Объекта, который невозможно построить таким образом, просто не существует. В некотором смысле интуиционисты возвращались к идее, содержащейся в сентенции Леопольда Кронекера: «Бог создал целые числа, все остальное — дело рук человека».

ЛЁЙТЗЕН ЭГБЕРТ ЯН БРАУЭР

Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр родился в Роттердаме, Голландия, 27 февраля 1881 года, за два года до публикации статьи Кантора, в которой впервые была введена в математику актуальная бесконечность. В1904 году, сразу после окончания университета, Брауэр доказал несколько оригинальных результатов о непрерывном движении в четырех измерениях, которые были опубликованы Амстердамской королевской академией наук. В его докторской диссертации, опубликованной в 1907 году, речь шла о проблеме оснований математики. В этой работе он ввел первые понятия об интуиционизме. Также ученый внес значительный вклад в топологию, где доказал знаменитую теорему о неподвижной точке, носящую его имя. Что любопытно, доказательство этой теоремы не выполняет интуиционистских стандартов. В1935 году Брауэр занялся политикой и практически отдалился от математических исследований, хотя в том же году основал журнал Compositio Mathematica и продолжал деятельность в качестве его издателя. Брауэр скончался 2 декабря 1966 года в Бларикюме (Голландия) в результате автокатастрофы.

С другой стороны, согласно интуиционистам, для того чтобы определение свойства было справедливым, должна существовать механическая процедура (которую можно реализовать на компьютере, поскольку алгоритм — это не что иное, как последовательность действий), и с ее помощью можно проверить, выполняется ли свойство. Например, свойство «быть простым числом» для интуиционистов справедливо, поскольку его всегда можно проверить за конечное количество шагов. Чтобы узнать, является ли число 17677 простым, достаточно разделить его на все числа, меньшие его. Если во всех случаях деления есть остаток, то число простое. Процедура, которую мы описали, не самая лучшая (есть более быстрые методы), но она всегда дает правильный ответ за конечное количество шагов.

Чтобы рассмотреть пример свойства, не принимаемого интуиционистами, определим число р, используя знаки числа π = 3,14159265... (которое, как мы знаем, является иррациональным, то есть имеет бесконечное непериодическое количество знаков после запятой). Число р определяется следующим образом: если среди знаков числа π появится хотя бы одна последовательность ровно из 15 нулей подряд, то р — это цифра (отличная от нуля), следующая после первого появления этих нулей. Если никогда не появятся 15 нулей подряд, то р равно 0. Отметим, что среди знаков числа π, вычисленных на сегодняшний день, последовательность из 15 нулей еще не появилась.

Существует ли число р? Чему оно равно? В 1900 году Гильберт написал, что если мы определим математический объект и это определение не противоречит само себе, то мы можем утверждать, что объект существует.

Почти любой современный математик ответит, что р существует. Более того, все они согласятся, что хотя мы не знаем точно, чему оно равно, можно утверждать: это число от 0 до 9. Именно в тот момент, когда мы узнаем, появится или не появится эта последовательность из 15 нулей в числе π, мы узнаем точное значение р. Однако для интуиционистской философии р не существует, поскольку оно определено на основе свойства, которое невозможно проверить за конечное количество шагов, так как у числа π бесконечное количество знаков после запятой, и для проверки требуется просмотреть их все. Если бы среди знаков числа π, вычисленных до сих пор, появилось 15 нулей подряд, то р существовало бы и мы знали бы его точное значение. Более того, если в будущем эти 15 нулей кто-то найдет, в тот же момент р начнет существовать.

Сегодня р не существует, но, возможно, оно появится в будущем. То же самое мы могли бы сказать о еще не написанном романе любого современного писателя. В этом сравнении нет ничего странного, поскольку для интуиционистов математика — это динамический, творческий процесс, подобный литературе, хотя он и управляется более строгими правилами. Математика создается (при соблюдении определенных правил), а не открывается.

Последующие поколения будут рассматривать теорию [бесконечных] множеств как болезнь, от которой мы излечились.

Анри Пуанкаре, французский математик, 1908 год

Поскольку сейчас р не существует, у него нет значения. Следовательно, ошибочно говорить, что оно находится в пределах от 0 до 9. Любое утверждение относительно р не имеет смысла. Некорректно говорить: «р либо четное, либо нечетное» или «оно равно или не равно 1».

Интуиционисты также задавались вопросом о статусе иррациональных чисел. Эти числа рассматривались только как никогда не достижимый результат последовательных приближений. Например, для интуиционистов числа π не существует в виде законченной совокупности (еще один аргумент в пользу несуществования р).

Между 1905 и 1920 годами Брауэр формулировал глобальную программу для математики на основе этих идей. В течение этих лет он писал статьи и книги, в которых объяснял, как осуществить его подход на практике. Постепенно эта программа начала обретать последователей среди самых видных математиков того времени, таких как Анри Пуанкаре (1854-1912). К 1920 году теория Кантора (скончавшегося в 1918 году) подвергалась серьезному риску быть забытой. Но за интуиционизм выступали не все математики. Одним из них был Давид Гильберт, который быстро принял теорию бесконечности.

В 1890 году он поддержал кандидатуру Кантора на пост председателя Немецкого математического общества. Кроме того, ученые дружили и вели интенсивную переписку.

Семья Гёделя. Слева направо: Марианна, Курт, Рудольф- старший и Рудольф- младший.

Немецкий математик Георг Кантор, которому приписывается создание теории множеств.

Гёдель в Вене в первой половине 1920-х годов, когда он доказал свою первую теорему о неполноте.

ДАВИД ГИЛЬБЕРТ

Давид Гильберт родился 23 января 1862 года в Кёнигсберге, Германия (сегодня Калининград, Россия), и в 1885 году стал доктором математики в университете того же города. Через десять лет ему предложили должность в Гёттингене (одном из двух самых важных исследовательских центров в Германии наряду с Берлином), которую он потом занимал до конца карьеры. В числе прочего ученый внес значительный вклад в алгебру, геометрию, анализ и основания математики.

В 1899 году Гильберт переформулировал «Начала» Евклида, исправив некоторые логические пробелы, не замеченные в течение более 2100 лет. Его итоговая работа, «Основания геометрии»,— это выдающийся труд в истории математической логики. И конечно, знаковым является доклад Гильберта на Втором Международном математическом конгрессе, прошедшем в Париже в 1900 году. Одна фраза из доклада стала бессмертной. В ней ученый выразил убежденность в том, что неразрешимых математических проблем не существует: «Мы должны знать, и мы будем знать» (Wirmiissen wissen, wir werden wissen). Гильберт скончался в Гёттингене 14 февраля 1943 года.

В 1900 году Гильберту было предложено прочитать инаугурационный доклад на Втором Международном математическом конгрессе в Париже. Это была почетная задача, которая говорила о признании, которое ученый заслужил своей блистательной карьерой. До сих пор, даже век спустя, доклад Гильберта широко известен, и его полный текст можно найти в интернете. Анализу этого выступления были посвящены целые книги.

В своем докладе Гильберт представил 23 нерешенные математические проблемы, принадлежащие к разным областям этой науки, решение которых, как он думал, определит направление математических исследований XX века. Первая проблема связана с теорией Кантора и известна как континуум-гипотеза. Она была впервые поставлена самим Кантором в 1880-х годах, причем сам ученый так и не решил ее. Позже мы вернемся к этой проблеме, поскольку Гёдель в 1940 году нашел частичное решение, которое затем было дополнено Полом Коэном.

Решение поместить континуум-гипотезу на первое место в списке следует трактовать как открытую поддержку Гильбертом теории множеств Кантора. В первые годы полемики об основаниях математики Гильберт держался в стороне, возможно надеясь на то, что интуиционистская точка зрения падет под тяжестью собственного веса. Но к 1920 году логицизм начал приходить в упадок, а интуиционизм набирал все больше сторонников. Именно поэтому в итоге Гильберт решил выступить лично. Под лозунгом «Никто не сможет изгнать нас из рая, который создал для нас Кантор» ученый решил остановить интуиционизм. Для этого он предложил третье решение проблемы, поставленной парадоксом Рассела. Оно было направлено на то, чтобы привлечь внимание сторонников интуиционизма и одновременно оставить нетронутой теорию Кантора.

Привлечь интуиционистов, но в то же время спасти теорию Кантора? Казалось, это невозможная задача, поскольку интуиционисты открыто отвергали актуальную бесконечность как абсурдное понятие. Но Гильберт был Гильбертом, и с помощью своего ума, ловкости и хитрости он добился своей цели.

ПРОГРАММА ГИЛЬБЕРТА

В 1920 году Курту Гёделю было 14 лет, и в своем родном городе Брно он, возможно, мечтал о научной карьере. В то же время в Геттингене 58-летний Давид Гильберт начал примирение интуиционистов с актуальной бесконечностью. Эта работа займет десять лет.

Как уже было сказано, интуиционистская мысль находилась полностью во власти идеи конечности. Они считали, что существуют только объекты, которые можно построить механически на основе натуральных чисел за конечное количество шагов. Иррациональные числа, такие как π или √2, могли рассматриваться лишь как недостижимый результат последовательных вычислений, основанных на специфических формулах.

Предложение Гильберта, по сути, заключалось в том, чтобы привести требование конечности математических объектов к математическим рассуждениям. Мы можем перефразировать его мысль следующим образом. Установим такие методы рассуждения, чтобы правильность нашей аргументации можно было проверить алгоритмически за конечное количество шагов (алгоритм — это механический процесс, выполнимый компьютером). Кроме того, убедимся тем же «конечным» способом, что наши доказательства никогда не приведут к парадоксу. Как только мы достигнем этой цели, в наших теориях можно будет говорить о любом объекте, даже об актуальной бесконечности.

В программе Гильберта, которую также называют формальной программой, утверждается, что любая математическая теория должна быть основана на аксиомах, то есть на некоторых базовых утверждениях, принятых в качестве истинных. Любое другое утверждение должно быть доказано на основе этих аксиом с помощью рассуждений, справедливость которых можно будет проверить механически за конечное число шагов. Кроме того, непротиворечивость этих аксиом (то, что они никогда не приведут нас к парадоксу, как это произошло с Фреге) также должна быть проверена тем же механическим, или алгоритмическим, способом.

Для начала целью Гильберта была разработка такой программы для арифметики — теории, относящейся к свойствам сложения и умножения натуральных чисел (в ней идет речь о самых простых числах и самых простых операциях). Гильберт, как и интуиционисты, поддерживал идею о том, что основой всей математики должна быть арифметика, а не теория множеств. Если установить прочную базу для арифметики, будет легко добиться таких же прочных оснований для всех остальных теорий.

-----------врезка----------

ПРИБЛИЖЕНИЯ К √2

Для интуиционистов √2 существует только как недостижимый результат, к которому асимптотически приводят последовательные приближения. Эти приближения, в свою очередь, должны быть вычислены по определенным, четким правилам. Существуют многочисленные формулы, позволяющие вычислить последовательные приближения к √2. Одна из самых древних и в то же время самых простых формул была известна Герону Александрийскому уже в I веке. В переводе на современный язык в правиле Герона для приближения к √2 говорится следующее.

— Шаг 1: возьмите любое положительное число.

— Шаг 2: назовите выбранное число х и вычислите 1/2(x + 2/x).

— Шаг 3: примените ту же формулу к полученному результату.

— Шаг 4: продолжайте применять ту же самую формулу столько раз, сколько пожелаете.

Если на первом шаге мы выбрали 5, в первый раз получим 2,7. Подставив 2,7 в формулу, получим 1,72037037..., затем 1,4414553..., затем 1,41447098..., и так далее, все больше приближаясь к √2.

Проблема нахождения системы аксиом для арифметики была представлена Гильбертом в докладе 1900 года (вторая проблема в списке), хотя в ее формулировку не было включено существование механической проверки рассуждений. Зато вопрос алгоритма появлялся в десятой проблеме, в которой спрашивалось, всегда ли возможно механически определить, имеет ли решение особый тип уравнений, называемых диофантовыми. Как мы видим, в докладе ученого появились, хотя и по отдельности, две центральные идеи формальной программы.

Иногда говорят, что Гильберт считал, будто работа математика должна сводиться к механическому процессу: он, словно компьютер, должен вычислять, но не думать. Но это не так. Механический характер носит только проверка справедливости аргументов, использованных математиком, а не открытие самих аргументов. Чтобы подчеркнуть эту разницу, Гильберт говорил о двух науках: математике и метаматематике. Объектом второй науки, механической и связанной с конечностью, была бы проверка методов первой.

АКСИОМЫ ПЕАНО

Давид Гильберт в качестве одной из кардинальных проблем представил нахождение множества аксиом арифметики, которые позволили бы доказать все истины теории (не упоминая необходимости механической проверки правильности использованных рассуждений). В своем докладе Гильберт не указал на существующие работы по этой теме. Это упущение вызвало недовольство Джузеппе Пеано — итальянского математика, присутствовавшего на лекции Гильберта. В1889 году он предложил аксиомы арифметики, считая, что они позволят вывести все истинные арифметические высказывания. Аксиомы Пеано, как они известны сегодня, имеют в качестве первичных элементов число 1, знаки сложения (+) и умножения (·) и функции последующего элемента (S).

— Аксиома 1: S(x) никогда не равно 1, то есть 1 не является последующим членом ни для какого числа.

— Аксиома 2: если S(x) = S(y), то х = у.

— Аксиома 3: х + 1 = S(x).

— Аксиома 4: х + S(y) = S(x + у).

— Аксиома 5: х · 1 = х.

— Аксиома 6: х · S(y) = х · у + х.

— Аксиома 7: если можно доказать, что 1 выполняет некое свойство, х его выполняет и S(x) — тоже, то можно сделать вывод: это свойство справедливо для всех натуральных чисел.

Последняя аксиома, также называемая схемой индукции, выражает тот факт, что все натуральные числа получаются на основе единицы повторяющимся применением функции последующего элемента. Если свойство справедливо для числа 1 и мы можем быть уверены, что оно будет распространяться на каждое число, выраженное последующим элементом, то это свойство будет справедливо для всех натуральных чисел. Следствие из теоремы Гёделя состоит в том, что если учитывать условие алгоритмической проверки всех рассуждений, то будут существовать арифметические истины, недоказуемые на основе этих аксиом. Таким образом, арифметика будет неполной.

С 1920 по 1930 год Гильберт опубликовал ряд статей, в которых постепенно излагал свою программу и показывал, как ее можно осуществить на практике. Другие математики увлеклись этой идеей и внесли значительный вклад в ее осуществление. Сам Гёдель в 1929 году, защищая докторскую диссертацию, показал, что можно установить методы рассуждения, правильность которых может быть проверена алгоритмически. В том же году польский математик Мойжеш Пресбургер представил ряд аксиом, непротиворечивость которых можно было проверить алгоритмически. Они позволяли доказать хотя и не все арифметические истины, но их значительную часть. Это были две важные победы формальной программы.

В то же время интуиционизм терял авторитет среди математиков. Многие из тех, кто симпатизировал общим идеям Брауэра, начинали чувствовать, что их реализация на практике, предполагавшая отказ от рассуждений из области теории множеств, принесет больше потерь, чем преимуществ. Формальная программа, в свою очередь, предлагала альтернативу, которая была допустима с философской точки зрения и осуществима на практике.

К 1930 году стало ясно, что Гильберт победил. Оставалось только помочь интуиционистам сохранить лицо и достойно сдаться. В Кёнигсберге, родном городе Гильберта (выбор, конечно, не случаен), был организован конгресс, посвященный основаниям математики. Он проводился с пятницы 5 сентября по воскресенье 7 сентября; на понедельник было назначено награждение Гильберта званием почетного гражданина Кёнигсберга. Все было готово к великой победе учителя.

В пятницу представляли свои работы менее значимые, неизвестные математики. В субботу выступали более значимые, среди них был Ханс Хан, руководитель докторской диссертации Гёделя. Брауэр, который враждовал с Гильбертом по причинам, выходившим далеко за рамки академической науки, не присутствовал; интуиционистскую точку зрения излагал Аренд Гейтинг. Гильберт, имевший проблемы со здоровьем, также отсутствовал, и его главным представителем был его ученик Джон фон Нейман. На конгрессе присутствовал и представитель логицизма, философ Рудольф Карнап. В воскресенье конгресс закрылся пленарным заседанием, на котором были подведены итоги точек зрения интуиционизма, формализма и логицизма. Резюме подвел Гейтинг. Завершая выступление, он сказал, что отношения между интуиционизмом и формализмом наконец-то прояснились и больше нет необходимости продолжать борьбу между этими школами: «Если выполнится программа Гильберта, даже интуиционисты примут бесконечность с распростертыми объятиями». Интуиционисты сдались. Гильберт победил.

Какое значение могут иметь жалкие остатки, немногочисленные, неполные, не связанные друг с другом единичные результаты, которые были выработаны интуиционистами, по сравнению с могущественным размахом современной математики.

Давид Гильберт об интуиционистской школе

Все очевидцы говорят, что именно в этот момент неизвестный молодой математик скромно поднял руку, прося слова. Он был худым, носил очки и, похоже, очень нервничал. Этот молодой человек, Курт Гёдель, объявил, что доказал следующую теорему: если требуется, чтобы доказательства проверялись механически, то невозможно задать аксиомы арифметики, которые позволили бы доказать все истины теории; всегда будут истинные утверждения, которые будет невозможно доказать на основе предложенных аксиом. (Сегодня это утверждение известно как первая теорема Гёделя о неполноте.) Более того, если предложенные аксиомы позволяют доказать довольно обширную часть арифметических истин, то невозможно проверить их непротиворечивость механическими методами. (Это вторая теорема Гёделя о неполноте.) Другими словами, программа Гильберта абсолютно нереализуема.

Мы можем представить себе сцену, которой на самом деле не было, но которая отражает состояние духа формалистов в тот воскресный вечер. Представим себе, что Гильберт звонит по телефону Джону фон Нейману, чтобы спросить его, как все прошло, и тот отвечает: «У меня одна хорошая новость и одна плохая. Хорошая — интуиционисты сдались. Плохая — Гёдель говорит, что и мы проиграли».

Как Гёделю удалось доказать свою теорему? Как можно доказать, что, независимо от предлагаемых аксиом, всегда будет существовать утверждение истинное, но недоказуемое на их основе? Доказательство Гёделя, один из самых больших интеллектуальных подвигов XX века, будет центральной темой следующей главы.

ГЛАВА 2

Первая теорема Гёделя

В первой теореме Гёделя о неполноте говорится, что при любом заданном множестве аксиом арифметики всегда будет существовать истинное арифметическое высказывание, которое невозможно доказать на основе этих аксиом, если пользоваться только теми методами доказательства, которые удовлетворяют программе Гильберта. Доказательство этой теоремы, по сути, состоит в том, чтобы получить самореферентное высказывание, которое говорит о себе: «Я недоказуемо».

После окончания Первой мировой войны Австро-Венгерская империя была разделена на части. Некоторые из них, такие как Австрия, Венгрия, Югославия и Чехословакия, стали отдельными странами. Другие вошли в состав уже существовавших государств, таких как Италия или Румыния. После этого раздела город Брно, в котором жила семья Гёделя, был присоединен к Чехословакии. Курт вспоминал, что с этого момента его отец всегда чувствовал себя австрийцем в изгнании. Возможно, это ощущение в какой-то степени повлияло на решение послать обоих сыновей учиться в Венский университет, чтобы они хотя бы таким образом могли вернуться на родину.

Гёдель поступил в Венский университет в 1923 году с намерением изучать физику. Можно предположить, что врожденное любопытство с самого раннего детства привело его к вопросам о том, почему вещи, подброшенные вверх, падают, или почему некоторые предметы плавают, а другие нет, или почему светит Солнце, — все они связаны с физикой. Однако основная причина, по которой он решил посвятить себя этой науке, по- видимому, сформировалась, когда Гёделю было 15 лет, после того как он прочитал о теории цвета Гёте и о противостоянии подходу Ньютона.

Очень мало известно о личной жизни Гёделя в студенческие годы. Он едва не женился на женщине, которая была на десять лет его старше, но родители воспротивились, и Курт отказался от своего намерения. Нет информации о других личных отношениях или близкой дружбе. По-видимому, юноша посвящал большую часть времени учебе. Но в университете его намерение посвятить себя физике вскоре пропало. В те годы в Вене преподавал Филипп Фуртвенглер, немецкий математик, специализировавшийся на высшей арифметике. Он родился в 1869 году в Эльце (Германия), в 1896-м защитил докторскую диссертацию в Геттингене под руководством Феликса Клейна, одного из самых выдающихся математиков конца XIX века.

Занятия Филиппа Фуртвенглера отличались блеском и ясностью. Число студентов, которые записывались на его курс, было таким большим (оно доходило до 400 человек одновременно), что ученики были вынуждены делиться на две группы, и урок проводился дважды, для каждой из них. У Фуртвенглера был поперечный паралич, и он со своего кресла на колесах диктовал помощнику, что тот должен написать на доске.

ТЕОРИЯ ЦВЕТА ГЁТЕ

Иоганн Вольфганг фон Гёте (1749- 1832) — немецкий романист, драматург и поэт, один из главных представителей романтизма. Помимо литературного творчества, Гёте также занимался наукой и стал автором работ по физике, зоологии и ботанике.

Многие его идеи вызвали споры, некоторые из них разрешились в последующие десятилетия. Например, его классификация растений и понятия о морфологии животных были использованы Чарльзом Дарвином и другими натуралистами XIX века. В книге Zur Farbenlehre («К теории цвета»), написанной в 1810 году, Гёте утверждал, что изучение цвета не должно сводиться к физическим аспектам света, но также должно включать в себя размышления о человеческом восприятии. Для Гёте оптика Ньютона была неполной и представляла собой только частный случай в рамках его собственной теории. Идеи Гёте о свете не заинтересовали физиков его времени; обычно они даже не включаются в работы по истории науки. Однако сегодня признано, что Гёте был прав, различая оптический аспект в том виде, как его изучал Ньютон, и более широкое явление — восприятие цветов человеком.

Портрет Гёте руки немецкого художника Йозефа Карла Штилера.

На юного Курта так подействовали занятия Фуртвенглера, что он оставил решение изучать физику и обратился к математике. Это, без сомнения, выдающийся пример того, как преподаватель может повлиять на жизнь ученика. Только через 25 лет в Принстоне у Гёделя появится возможность вспомнить о своей любви к физике. В 1949 и 1950 годах он опубликовал две важные работы по теории относительности — эти труды Гёделя, единственные не связанные с математической логикой, безусловно, стали результатом его бесед с Эйнштейном.

Небольшое совпадение: Филипп Фуртвенглер закончил обучение в Геттингене в 1896 году и оставался там до 1912-го, когда переехал в Венский университет. Между тем в 1895 году в Геттинген прибыл Давид Гильберт, считавшийся молодой надеждой немецкой математики. Хотя точных сведений об этом нет, мы уверены, что они были знакомы — Филипп Фуртвенглер, благодаря которому Гёдель посвятил себя математике, и Давид Гильберт, чья математическая работа 1920-х годов была «разрушена» теоремами Гёделя. Узнал ли когда-нибудь Фуртвенглер, что именно он вдохновил Гёделя посвятить себя математике? Нам это неизвестно.

ВЕНСКИЙ КРУЖОК

Вернемся к Гёделю и его университетским годам. В то время, в начале 1920-х годов, интеллектуальная жизнь Вены протекала более или менее неформально, в виде кружков (Kreise). Такие группы (которых, вероятно, были десятки, и многие из них назывались одинаково) собирались еженедельно в городских кафе, чтобы обсуждать различные темы, касающиеся философии, политики или психоанализа (в те годы в Вене жил и работал Фрейд).

Самый важный кружок был основан в 1922 году Морицем Шликом, который, кроме того, преподавал Гёделю философию науки. Сначала Шлик дал группе название «Ассоциация Эрнста Маха», но позже она была известна просто как «Венский кружок» (Der Wiener Kreis). В состав группы входили, среди прочих, философы Рудольф Карнап и Людвиг Витгенштейн, а также философ и математик Ханс Хан (который руководил докторской диссертацией Гёделя). Карл Поппер также участвовал в некоторых дискуссиях. Одна из его самых важных работ, Logik der Forschung («Логика научного исследования»), впервые появилась среди публикаций кружка.