Помоги проекту - поделись книгой:
Ученый так и не вернулся ни в Австрию, ни в Чехословакию. Годы спустя Венский университет предлагал ему должности и почести, но он не принял их.
Прежде чем последовать за Гёделем в Принстон, вернемся в сентябрь 1930 года и восстановим образ юноши, который скромно поднял руку на конгрессе в Кёнигсберге, чтобы провозгласить первую теорему о неполноте.
Естественный вопрос, который мы еще не формулировали, состоит в следующем: после десяти лет разработки своей программы, размышлений и трудов сдался ли Гильберт без борьбы? Не пытался ли он оспорить рассуждения Гёделя? Правда состоит в том, что доказательство Гёделя было принято мгновенно и единодушно всеми, включая Гильберта, поскольку Гёдель не только очень хорошо продумал доказательство, но и был очень осторожен в способе его представления.
Как мы уже сказали, в программе Гильберта принимались только те доказательства, которые можно проверить алгоритмически, и к сентябрю 1930 года это ограничение принимали все математики, включая интуиционистов, которые, по словам Аренда Гейтинга, "примут с распростертыми объятиями" бесконечность, если только доказательства будут соответствовать этому критерию.
И так же, как Гильберт в свое время внес предложение с расчетом на то, чтобы убедить интуиционистов, Гёдель изложил доказательство первой теоремы о неполноте так, чтобы было очевидно, что ее правильность можно проверить алгоритмически и что она удовлетворяет условиям программы Гильберта. Даже Гильберт не смог выразить сомнений по этому поводу.
Курт Гёдель, введение к "О формально неразрешимых предложениях... " (1931)
Как Гёдель сделал очевидным, что доказательство его теоремы проверяется компьютером? Он прибегнул к "семантикосинтаксическому дуализму".
В математической логике понятие, связанное с последовательностью символов, считается синтаксическим, если оно зависит только от символов, образующих эту последовательность, при этом неважно его значение, если оно вообще существует.
Например, если мы утверждаем, что последовательность букв Кипа mbwa nyekundu образована 18 символами (считая пробелы), мы говорим о синтаксическом понятии. Действительно, нашу правоту легко проверить с помощью простого подсчета символов, и нас не интересует, есть ли в этом ряду букв какой- то смысл. Другие примеры синтаксических понятий: "первая буква — /С" или "здесь нет буквы А".
Наоборот, если понятие семантическое, оно зависит от значения, которое передает последовательность. Например, если мы говорим, что Кипа mbwa nyekundu истинно, то ясно, что мы говорим о семантическом понятии, потому что не можем сказать, является оно "истинным" или "ложным", если предварительно не узнаем, какое значение заложено в этой последовательности букв (если оно там есть).
На самом деле смысл в высказывании есть: Кипа mbwa nyekundu на суахили означает "бывают красные собаки" (см. рисунок). Теперь мы можем задаться вопросом, истинно предложение или ложно, но все равно ответ дать непросто. Ведь что такое красная собака? Она должна была родиться со шкурой такого цвета или ее могли покрасить позже? Уж не говоря о том, что люди воспринимают цвета по-разному. Целью всех этих рассуждений является пояснение: синтаксические аспекты языка прозрачны, а вот семантические — связаны с путаницей и парадоксами. В соответствии с этой идеей основная предпосылка программы Гильберта состояла в требовании того, чтобы справедливость семантических аспектов математики контролировалась синтаксическими методами. Синтаксис, ясный и не вызывающий сомнений, должен был ограничивать семантику, грозящую парадоксами.
Свойство, относящееся к предложению, называют синтаксическим, если оно зависит только от самих символов, независимо от их значения (например, количество букв в предложении).
Оно является семантическим, если зависит от значения (например, утверждение об истинности или ложности предложения). Синтаксические свойства проверяются механически; семантические — нет.
Итак, Курт Гёдель представил доказательство первой теоремы о неполноте таким образом, что всем было очевидно: ее можно проверить с помощью компьютера. Он изложил свое высказывание и каждый шаг доказательства теоремы, апеллируя только к синтаксическим понятиям.
В предыдущей главе мы сформулировали первую теорему Гёделя о неполноте (теорему Гёделя) следующим образом.
В этой формулировке теоремы появляется семантическое понятие истинности. Поэтому Гёдель представил его в статье 1931 года не в такой форме. Формулировка Гёделя аналогична, но записана с помощью только синтаксических понятий.
Определим синтаксические понятия, которыми пользовался Гёдель, и переформулируем первую теорему о неполноте.
Для начала скажем, что "являться доказательством, соответствующим требованиям программы Гильберта" — это синтаксическое свойство, поскольку его можно проверить с помощью компьютера посимвольно. Следовательно, идея "доказуемого высказывания" также синтаксическая, поскольку высказывание Р доказуемо, если существует доказательство, заканчивающееся этим высказыванием.
Даже понятие "высказывание" может быть определено синтаксически. Для начала, в аристотелевском определении говорится, что высказывание — это выражение, которому можно назначить значение истинности (истинно или ложно). Так,
"х — простое число"
не является высказыванием, поскольку его значение истинности зависит от того, каково х. И напротив, из двух высказываний:
"Существует некоторое х} являющееся простым числом", "Для любого х справедливо, что х — простое число"
первое истинное, а второе ложное.
Итак, это семантическое понятие может быть сформулировано синтаксически: высказывание — это выражение, не имеющее переменных (букв х, у, z), которые могут быть свободно заменены числами. То есть это выражение, в котором либо нет переменных, как в случае "4 = 2 + 2", либо все они сопровождаются выражениями типа "для любого х справедливо, что..." или "существует некоторое х, которое...", как это происходит в предыдущих двух примерах. Является выражение высказыванием или нет — это условие можно проверить посимвольно, при этом нет необходимости рассматривать значение выражений. Итак, "высказывание" и "доказуемое высказывание" — два синтаксических понятия, которые Гёдель мог использовать при формулировании своей теоремы.
"В предложении "в этом предложении пять слов" содержится пять слов".
"В предложении "в этом предложении пять слов" содержится не пять слов".
Другое важное понятие для синтаксической формулировки первой теоремы о неполноте — это понятие непротиворечивости. Множество аксиом является непротиворечивым, если не существует ни одного высказывания Р такого, чтобы Р и не-Р были одновременно доказуемы на основе этих аксиом (с синтаксической точки зрения не-Р получается простым размещением слева от Р символа, обозначающего отрицание).
Хотя далее мы увидим, какая связь существует между тем, чтобы быть "непротиворечивым" и быть "истинным", очевидно, что непротиворечивость — это чисто синтаксическое понятие (поскольку зависит от синтаксического понятия доказуемости).
Если все аксиомы — истинные высказывания, то множество аксиом непротиворечиво. Действительно, из истинных предпосылок получаются только истинные выводы. Тогда только одно из высказываний Р и не-Р ложно; следовательно, если все аксиомы истинны, невозможно, чтобы Р и не-Р были доказуемы одновременно (ложное не будет доказуемым).
Значит ли это, что выражение "непротиворечивое множество аксиом" равносильно "множеству истинных аксиом"? Это тонкий вопрос, который заслуживает тщательного анализа.
Начнем с вопроса, является ли высказывание "2 — простое число" истинным. Почти любой человек сразу же скажет, что его истинность очевидна. Однако более правильным ответом будет "когда как". Это зависит от Вселенной, в контексте которой мы сейчас работаем. Если подразумевается, что речь идет о натуральных числах, то высказывание действительно истинно, но в другом контексте оно может быть ложным.
Вспомним, что число (отличное от единицы) является простым, если делится только на единицу и само на себя. Можно выразить это понятие по-другому: 2 — простое число, поскольку единственный способ представить его в виде произведения двух чисел тривиален: 2 = 2 x 1 (запись 2 = 1 x 2 считается совпадающей с ней, так как в ней используются те же числа). А вот число 15 не является простым, поскольку его можно представить, помимо тривиального способа 15 = 1 х 15, также как 15 = = 3 x 5.
Но точно ли единственный способ записать число 2 в виде произведения — это 2 = 2 х 1? В мире натуральных чисел — да. Но существуют и другие миры.
Расширим наш числовой мир и включим в него все числа, которые получаются умножением √2 на натуральное число (и на нуль), а затем прибавлением другого натурального числа (или нуля). Например, этот мир содержит числа 3 + 4 √2 или 7 √2. Также в нем содержится само число √2, которое записывается как 0+1 √2, и все натуральные числа, которые могут быть записаны как:
1 = 1 + 0 √2
2 = 2 + 0 √2
3 = 3 + 0 √2.
Итак, в этом мире 2 — не простое число, поскольку может быть записано как 2 = √2 х √2. Высказывание "2 — простое число" верно среди натуральных чисел, но ложно в мире, который мы определили по-другому (см. схему).
Какова связь между непротиворечивостью и истинностью? Ответ дан теоремой Лёвенгейма — Скулема (доказанной в 1915 году Леопольдом Лёвенгеймом для частного случая и в 1920 году Туральфом Скулемом для общего случая): множество аксиом является непротиворечивым, если существует какой-нибудь мир, в котором все аксиомы являются истинными высказываниями. Следовательно, множество, образованное двумя аксиомами:
непротиворечиво, поскольку существует мир, в котором обе аксиомы одновременно истинны. С синтаксической точки зрения это означает, что не существует такого высказывания Р, что Р и не-Р доказуемы на основе этих двух предпосылок одновременно.
Для любого х справедливо, что х + 0 = х; 2 не является простым числом
Но можем ли мы принять "2 не является простым числом" за аксиому? Не должны ли аксиомы быть очевидными сами по себе? В чисто синтаксическом мире, в котором истинности и ложности не существует, нет смысла говорить об очевидных высказываниях. Любое из них может быть взято за аксиому. Почему основополагающей является непротиворечивость? Что произойдет, если множество аксиом будет противоречивым? С семантической точки зрения это означает, что нет ни одного возможного мира, в котором все высказывания одновременно истинны. Но у противоречивости системы аксиом есть и синтаксическое следствие, поскольку если множество аксиом противоречиво, то на его основе можно доказать любое высказывание.
Предположим, что существует некое высказывание Р такое, что множество аксиом позволяет доказать как Р, так и не-Р, и возьмем любое высказывание Q. Мы хотим доказать, что Q доказуемо. Для этого вспомним несколько правил логики:
а) из "Р" всегда выводится "не-Q => Р";
б) из "не-Q => Р" выводится "не-Р => Q";
в) из "Р" и "Р ^ Q" выводится "Q" (это правило вывода, modus ponens).
Заметим, что все они сформулированы синтаксически и апеллируют к форме высказываний, а не к их значению. Предположим, как мы сказали, что Р и не-Р доказуемы. Получается следующее.
1. Р доказуемо, по гипотезе.
2. Выводится, что "не-<2=" Р" доказуемо, по правилу "а".
3. Следовательно, "не-Р=> Q" доказуемо, по правилу "б".
4. Не-P доказуемо, по гипотезе.
5. Из не-Р (пункт 4) и "не-Р =" Q" (пункт 3), по правилу вывода, выводится Q.
6. Следовательно, Q доказуемо.
Поскольку Q было произвольным высказыванием, можно сделать вывод, что любое высказывание доказуемо на основе аксиом. То есть любое высказывание доказуемо на основе противоречивого множества аксиом.
Заметим, что проделанные нами рассуждения чисто синтаксические и не затрагивают ни значения Р или Q, ни таких семантических понятий, как "истинно" или "ложно". Мы основывались только на синтаксических правилах логики и на виде высказываний. Таким типом аргументов Гёдель воспользовался для изложения доказательства своей теоремы.
Бертран Рассел в своем парадоксе на самом деле показал, что система аксиом, которую предложил Фреге, противоречива. Рассмотрим эту идею более подробно. Вспомним, что Рассел определил множество R, образованное всеми множествами, не являющимися членами самих себя.
Если R является членом самого себя, то выводится, что оно им не является. Это противоречие, которое возникает от предположения, что R — член самого себя, дает основание допустить: R не является членом самого себя. Но если предположить это, то логическим путем можно прийти к выводу, что все-таки является. Тогда получается, что R является членом самого себя. Парадокс Рассела на самом деле демонстрирует: существует такое высказывание, что и оно, и его отрицание доказуемы на основе аксиом Фреге. Другими словами, как уже говорилось, это демонстрирует противоречивость аксиом Фреге.
На основе противоречивого множества аксиом доказуемо что угодно. В связи с этим возникает новое синтаксическое понятие полноты. Множество аксиом является полным, если для любого высказывания либо оно, либо его отрицание (по крайней мере одно из них) доказуемо.
Тогда мы можем утверждать, что любое противоречивое множество аксиом является полным, поскольку при любом высказывании Р как Р, так и не-Р доказуемы. Но речь идет о тривиальной полноте, которая не дает никакой информации, поскольку абсолютно все доказуемо, даже те высказывания, которые противоречат сами себе, например "для любого х справедливо то, что х отличается сам от себя".
Более интересно рассмотреть множество аксиом, являющееся одновременно полным и непротиворечивым. Множество аксиом с такой характеристикой приблизилось бы к выполнению цели программы Гильберта. Действительно, если система непротиворечива, то ее высказывания истинны в каком-нибудь мире, а если она полна, то все истины, относящиеся к этому миру, доказуемы (см. схему).
Но в программе Гильберта искали аксиомы для арифметики, а не произвольного мира. Есть ли какой-нибудь синтаксический способ сформулировать эту цель? Да, такой способ есть.
Существуют некоторые арифметические высказывания, истинность или ложность которых можно проверить алгоритмически за конечное количество шагов, — интуиционисты могли бы считать их истинными или ложными без споров, в основном потому что они не затрагивают идею бесконечности (даже в потенциальном значении).
Например, следующие финитные высказывания
"2 + 3 = 5"
"3 х 7 = 21"
Поделиться книгой: