Эврика! Радость открытия. Архимед

После первого оборота спираль ограничивает площадь, равную 1/3 площади окружности, в которую спираль вписана.

СПИРАЛИ

Спирали — это кривые, образуемые точкой, совершающей вращение вокруг некоего центра, одновременно удаляясь от него с каждым оборотом. Разнообразные спирали можно наблюдать в природе: у растений, в раковинах моллюсков и так далее — неудивительно, что математики давно заинтересовались ими. Среди творений рук человеческих тоже часто встречаются спирали — например, на виниловых дисках или в виде пружин. Вот некоторые типы спиралей:

РИС. 1

РИС. 2

РИС.З

РИС. 4

— архимедова, или арифметическая спираль (рисунок 1). Она описывается уравнением r=а + bθ;

— спираль Ферма, или параболическая спираль (рисунок 2): r=θ½;

— гиперболическая спираль (рисунок 3). Это инверсия архимедовой спирали, ее уравнение: r=а/θ;

— логарифмическая, или изогональная спираль (рисунок 4): r=log_b(r/a).

Две древние проблемы

Тремя знаменитыми проблемами древности были удвоение куба, трисекция угла и квадратура круга. Некоторые специалисты утверждают, что глубинной целью, которую Архимед преследовал в своем трактате «О спиралях», было найти решение двух из этих задач. Действительно, с помощью спирали можно справиться с трисекцией угла и квадратурой круга, хотя при этом придется пренебречь одним из начальных условий. Задачу надо было решать исключительно с помощью циркуля и линейки, а построение спирали нуждается в кинематических операциях. В 1837 году французский математик Пьер Ванцель доказал невозможность трисекции угла и удвоения куба при помощи только линейки и циркуля. Потом в 1882 году немецкий математик Фердинанд фон Линдеман доказал, что π — иррациональное число, а следовательно, и решение задачи квадратуры круга с помощью этих инструментов тоже невозможно. Если же выйти за пределы условий и применить архимедову спираль, то трисекцию угла можно выполнить следующим образом (рисунок 8).

РИС. 8

РИС. 9

— Угол, который предстоит делить, образован лучами ОА и ОВ.

— Луч О А вращается вокруг точки О, по нему равномерно перемещается точка Р, образуя таким образом архимедову спираль.

— При совпадении лучей ОА и ОВ отрезок ОР делится на три равные части точками R и Q.

— Проводятся окружности с центром О и радиусами OR и OQ которые пересекают спираль соответственно в точках U и V.

— Проводятся лучи из точки О, проходящие через U и V. Так мы получили трисекцию угла.

Задача о квадратуре круга, которая заключается в требовании построить квадрат, равный по площади заданному кругу, тоже может быть решена с помощью архимедовой спирали, хотя и опять же с некоторым нарушением условий (рисунок 9).

— Через точку Р проводится касательная к спирали PQ.

— Строится отрезок, соединяющий Р и центр спирали О.

— Из точки О проводится перпендикуляр к отрезку ОР до пересечения с прямой PQ в точке Q.

— Строится сегмент окружности PS с центром О и радиусом ОР.

— Можно доказать, что отрезок OQ равен по длине кривой PS.

— Отсюда выводится, что касательная к спирали в точке R будет пересекаться с горизонтальной осью, причем длина отрезка, образованного точкой О и точкой пересечения касательной и оси, будет равна четверти длины окружности с радиусом OR.

— С учетом утверждения о площадях круга и прямоугольного треугольника (см. стр. 88) задача о квадратуре круга решена.

Квадратура параболы

В трактате «О квадратуре параболы» Архимед излагает различные теоремы, ранее, как он пишет во введении, еще не изученные. Это значит, что он их сформулировал сам. Из утверждений, изложенных Архимедом в данном труде, популярная литература чаще всего упоминает утверждение 24, касающееся квадратуры параболы:

«Площадь поверхности, ограниченной параболой и пересекающей ее прямой, на 1/3 больше площади треугольника с основанием, равным отрезку данной прямой и высотой, равной параболе» (рисунок 10).

Архимед послал эту работу Досифею Пелузийскому — это был первый труд, отправленный им кому бы то ни было после смерти его друга Конона Самосского. Трактат «О квадратуре параболы» содержит 24 утверждения. В первых пяти Архимед представляет некоторые свойства этой кривой; в утверждениях с 6-го по 16-е он проводит механический анализ параболы, основываясь на законе рычага. В утверждении 17 впервые говорится о его решении задачи квадратуры параболы с помощью механического метода, а в следующих утверждениях ученый использует метод исчерпывания, чтобы окончательно доказать правильность найденного решения (утверждение 24).

Таким образом, Архимед решает задачу квадратуры сначала механическим методом, а потом, считая его недостаточно строгим, добивается того же результата с помощью классического геометрического метода исчерпывания. Интересно отметить, что квадратура параболы является первой известной работой Архимеда, в которой тот применяет механический метод. Существует еще и третье решение этой квадратуры, которое содержится в трактате «О методе механических теорем».

Как уже говорилось, чтобы доказать утверждение 24, Архимед использовал метод исчерпывания (рисунок 11). Начинает он, принимая результат за данное, то есть с утверждения, что S_p — площадь параболы, S_T — площадь треугольника АВС, и тогда S_p= 4/3 S_T. Шаги доказательства таковы.

РИС. 10

РИС. 11

— Провести хорду параболы (АС) и построить треугольник с основанием, совпадающим с этой хордой и третьей вершиной, совпадающей с вершиной параболы (В). При этом у параболы появляются еще две хорды АВ и СВ.

— Аналогично построить треугольники ADB и ВЕС.

— Такую операцию можно продолжать до бесконечности, причем получаемый многоугольник будет все более и более приближаться к параболе.

— В утверждении 21 доказывается, что каждый треугольник, построенный по такому принципу, имеет площадь, равную 1/4 от площади предыдущего треугольника. То есть получается S_ADB =S_ВЕС = 1/4S_{треугольника}

— Архимед предположил, что мы можем достаточно долго заполнять пространство между треугольником и параболой построением новых треугольников на вновь образованных хордах.

— Основываясь на этой идее, он смог доказать, что площадь под параболой не может быть больше 4/3 площади изначального треугольника, но не может она быть и меньше 4/3.

— Таким образом, с помощью метода доказательства от противного выводится соотношение S_p =4/3S_Т, что и требовалось доказать.

Складывая почти до бесконечности

Самый древний пример того, что можно считать провозвестником вычисления бесконечно малых величин, мы встречаем у Зенона Элейского (490-430 до н.э.). Рассмотренная им процедура (дихотомия, последовательное деление пополам) представляла собой прецедент для работы греческих математиков в последующие века.

Архимед вплотную подошел к идее пределов в различных своих работах, где он употреблял метод исчерпывания. Одна из таких работ — «О квадратуре параболы». Речь идет о том, что складывание бесконечного числа величин дает в результате конечное число. Хотя Архимед и не мог суммировать все слагаемые, ему, несомненно, удалось достичь удовлетворительного приближения к искомой сумме интуитивным способом. Эта сумма вычисляется в утверждении 23, предпоследнем пункте трактата, как раз перед утверждением, в котором второй раз в данном тексте представлена квадратура параболы. Опираясь на этот результат, он смог доказать решение задачи о квадратуре параболы методом доказательства от противного. В сущности, утверждение 23 служит базой для решения задачи, то есть его можно рассматривать как инструмент вычисления для достижения поставленной цели. Утверждение 23 гласит:

«Если некоторые величины соотносятся друг с другом как один к четырем, то сумма всех величин и еще одна треть самой маленькой величины составит четыре трети самой большой».

Объясним это более понятным образом. Берем квадрат и делим его на четыре равные части. Складываем квадрат с его четвертью. Четверть тоже делим на четыре части и так далее до бесконечности, каждый раз прибавляя четверть к предыдущей сумме. Затем суммируются площади всех этих частей и прибавляется 1 /3 самой маленькой из них. Результат всегда будет составлять 4/3 площади изначального квадрата (см. рисунки 12 и 13 на следующей странице; на рисунке 12 представлено только одно деление, а на рисунке 13 — все деления).

Как можно увидеть, результат всегда равен А + 1/3 А, то есть сумма всех последовательных делений, проделанных указанным способом, равна 1/3 площади изначального большого квадрата. Здесь Архимед приходит интуитивным образом к следующему выражению, описывающему п делений квадрата:

В наше время такая последовательность называется геометрической прогрессией, в которой каждый следующий элемент получается путем умножения предыдущего на определенное постоянное число, называемое знаменателем прогрессии. Общая формула геометрической прогрессии такова: а_n = а₁ • r(n-1)

В нашем случае имеем  

a₁ = A

r = 1/4 → a_n = 1/(4(n-1)) • А.

РИС. 12

РИС. 13

Таким образом, подставив значения n, мы получаем все слагаемые последовательности:

Можно сложить все элементы данной бесконечной последовательности, учитывая, что эта последовательность сходящаяся, с помощью формулы для суммы бесконечной убывающей геометрической последовательности:

Как видите, это значение, которое получил Архимед, не пользуясь нашими формулами. Каким-то образом он заметил, что где бы ни прервать последовательность, остаток ее будет составлять 1/3 от того слагаемого, на котором последовательность была прервана, независимо от того, что это было за слагаемое. Неизвестно, как он пришел к такому выводу. Возможно, что результата, представленного в трактате, ученый добился просто методом проб и ошибок. Главное, что он смутно предвидел принцип предела и остановился в одном шаге от него со своим методом, применяемым до сих пор для нахождения общей формулы рекуррентной последовательности.

Задача о быках

При чтении данной книги легко заметить, что выбранный стиль изложения весьма близок к научной статье, ведь ее аудитория явно интересуется математикой более, чем это можно ожидать от среднестатистического читателя. Однако «Задача о быках» выбивается из нашего стиля, поскольку изложена в виде стихов. Некоторые специалисты даже подвергали сомнению ее авторство, не только, впрочем, из-за ее поэтической формы, но и из-за самого содержания. И действительно были основания сомневаться в том, что Архимед мог решить данную задачу сам, хотя его операции с большими числами с помощью мириад проливают некоторый свет на возможные для ученого пути ее решения. Эта маленькая работа представляет собой 28 элегических дистихов, основанных на стихах Гомера. Состоящий из двух строк дистих — обычная форма для древнегреческой поэзии. Манускрипт был найден в 1773 году немецким поэтом Готхольдом Эфраимом Лессингом в герцогской библиотеке Вольфенбюттеля (Германия).

АХИЛЛЕС И ЧЕРЕПАХА

Зенон Элейский был греческим философом элейской школы и прославился своими парадоксами. Один из самых известных — это парадокс об Ахиллесе и черепахе. В нем говорится об ахейском воине Ахиллесе, столь хорошем бегуне, что его звали быстроногим. Зенон описывает довольно своеобразное состязание: соревнование между Ахиллесом и черепахой. Он предположил, что земноводное медленнее героя в два раза. Гордый Ахиллес дал черепахе фору в половину дистанции. Как говорит Зенон, когда Ахиллес достиг середины пути, черепаха уже успела проползти его четверть, то есть половину того расстояния, которое ей надо было преодолеть. Таким образом ситуация возвращается к своему началу: когда Ахиллес добегает до точки старта черепахи, она продвигается еще дальше, и так до бесконечности, следовательно выходит, что герой не догонит ее никогда. Архимед нашел ответ на этот парадокс, хотя и не сумел придать ему математическое оформление: сумма бесконечного количества слагаемых может оказаться конечным числом, то есть не бесконечностью. Говоря иначе, Зенон из Элеи не располагал таким важнейшим математическим инструментом, как исчисление бесконечно малых величин. Ахиллес догонит черепаху, потому что хотя отрезок можно делить на бесконечное число фрагментов, но, учитывая, что эти фрагменты все более мелкие, сумма их представляет конечное число. В наше время проблема обычно представляется в следующем виде:

Когда Ахиллес достигнет позиции АВ/2, где сначала находилась черепаха, она уже будет в точке АВ/4. В тот момент, когда Ахиллес добежит до позиции АВ/4, которую занимала черепаха, она будет уже в АВ/В и так далее.

Скоро потом ты увидишь Тринакрию остров;

Издавна Гелиос тучных быков и баранов пасет там на пышных,

Искусство нарезки параболоидов

В трактате «О коноидах и сфероидах» Архимед исследует тела, образованные сечением фигур вращения. Этот текст также предваряется письмом Досифею, в котором дается краткое резюме того, что адресат найдет в книге, — типичное вступление для Архимеда. После начальных определений и одной леммы видим 32 утверждения.

Параболоид (рисунок 14) — это трехмерная фигура, образованная вращением параболы вокруг своей оси; гиперболоид (рисунок 15) — трехмерная фигура, образованная вращением вокруг своей оси гиперболы; а эллипсоид (рисунок 16) — трехмерная фигура, которую образует вращающийся вокруг своей оси эллипс.

Иллюстрация утверждения 19 из трактата «О коноидах и сфероидах». Здесь можно видеть, как вписывается в параболоид и описывается вокруг него множество цилиндров одинаковой высоты.

Первые 20 утверждений носят вспомогательный характер. Утверждения 21-32 представляют собой самую важную часть трактата. В трактате «О коноидах и сфероидах» даются начала интегрального исчисления. Вводятся базовые принципы вычисления объемов криволинейных фигур вращения. Тем не менее до самого понятия интегрирования дело не дошло, потому что еще не была сформулирована концепция предела. Таким образом, основная идея текста состоит в приведении фигур вращения ко все более маленьким цилиндрам, как можно полнее вписывающимся в их объем (исчерпывание) или как можно ближе «облегающим» их снаружи (сжатие). Архимедов метод исчерпывания предстает здесь во всем своем блеске. Ученому нужно показать, что он может эффективно ограничить параболоид изнутри и снаружи. Это он и делает в утверждении 19: «Можно вписать в параболоид и описать вокруг него две фигуры, состоящие из цилиндров одинаковой высоты, так, чтобы описанная фигура превышала по объему вписанную на величину, меньшую любой заранее заданной». Это значит, что параболоид вписывается в «стопку» цилиндров-дисков» одинаковой толщины (узкие уплощенные цилиндры, ширина которых больше высоты, как у таблеток). И еще одна «стопка» цилиндров той же высоты вписывается в параболоид изнутри. Таким образом, объем параболоида будет больше общего объема вписанных в него цилиндров и меньше объема описанных. Как показано на рисунке, чем больше число таких «дисков» (при уменьшении их высоты), тем более приближается их общий объем к искомой величине. Принцип тут весьма похож на тот, что использовался при решении задачи квадратуры круга.