Эврика! Радость открытия. Архимед

Если мы вспомним выражение, знакомое всем со школы (I = π • d), то увидим, что Архимед нашел значение я с точностью до второго знака после запятой, то есть у него π = 3,14. Это приближение использовалось все Средние века, а в некоторых случаях мы работаем с ним и сегодня, хотя и знаем, что на самом деле π — иррациональное число с бесконечным числом знаков после запятой.

Техника, которую применил Архимед для нахождения данного соотношения, была основана на методе исчерпывания, описанном выше. То есть он взял окружность и вписал в нее шестиугольник. Между периметром шестиугольника и окружностью осталось пространство, не покрытое шестиугольником. Затем он описал еще один шестиугольник вокруг окружности. Между периметром данного шестиугольника и окружностью осталось пространство, не покрытое окружностью. Естественно, из этого следует, что длина окружности больше периметра вписанного в нее шестиугольника и меньше периметра шестиугольника, описанного вокруг нее.

Можно провести аналогичное умозрительное построение, если использовать понятие площади, причем так будет даже нагляднее. Целью в таком случае будет вычислить площадь круга, ограниченного данной окружностью. Мы знаем, что эта площадь высчитывается по уравнению S = πr². Заметим, что если принять радиус за единицу (r = 1), то площадь будет равна π. Иначе говоря, если мы вычислим площадь окружности с радиусом 1, то получим число π. Архимед предполагал построить круг и как вписывать в него, так и описывать вокруг него правильные многоугольники, начиная с шестиугольника. Площадь круга S_c будет больше площади вписанного шестиугольника SH_p и меньше площади описанного SH_G (см. серые сегменты на рисунке 1). Этим методом невозможно точно определить площадь, но можно установить ее пределы: 2,5981 < S < 3,4641, то есть она больше площади маленького шестиугольника (2,5981) и меньше площади большого (3,4641). Гениальная находка Архимеда состояла в том, чтобы удвоить число углов многоугольника, доведя его до 12-угольника (рисунок 2). В данном случае значение площади круга лежит между двумя более близкими величинами, так что расчет становится более точным, поскольку площади обоих многоугольников приближаются друг к другу.

РИС. 1

РИС. 2

Архимед продолжил удваивать число углов дальше и в конце концов дошел до многоугольника с 96 сторонами! Это позволило ему доказать, что значение площади круга лежит между 3+10/71 и 3+1/7:

«Окружность любого круга составляет три его диаметра и еще менее 1/7 и более 10/71 его части» («Об измерении круга», утверждение 3):

3 + 10/71 < S_c <3 + 1/7, то есть, 3,1408 < S_c < 3,14029.

Таким образом, площадь круга с радиусом 1 составит 3,14, с точностью до двух знаков после запятой. Тут важно отметить: Архимед знал, что он вывел неточное значение. Ведь помещая площадь между двумя разными значениями, ученый прекрасно понимал, что выполняет только приближение.

Окружность в квадрате

Согласно еще одному интересному рассуждению, которое можно найти в трактате «Об измерении круга», площадь вписанного в квадрат круга относится к площади этого квадрата как 11/14. И в данном контексте мы тоже приходим к тому же значению π — приблизительно 3,14. Рассмотрим следствие из этого положения. Во- первых, давайте внимательнее посмотрим на чертеж справа.

Площадь круга: S_круга = πr².

Площадь квадрата: S_{квадрата} = (2r)²=4r².

Соотношения, которые их связывают:

площадь круга/площадь квадрата = πr²/4r² = π/4

То, что выяснил Архимед:

площадь круга/площадь квадрата = 11/14

Очевидно, что это одна и та же величина, и мы помним, что все выкладки Архимеда приблизительны:

π/4 ~ 11/14 ~ 3.14

Доказательство от противного

В трактате «Об измерении круга» утверждается:

Каждый круг равен прямоугольному треугольнику, один из катетов которого равен радиусу круга, а другой — длине окружности.

Имеется в виду равенство их площадей. Для доказательства (см. рисунок) ученый приводит следующие соображения.

— «Предположим, что площадь круга больше площади треугольника: S_круга > S_{треугольника}». Архимед показывает, что такое неравенство невозможно.

— «Предположим, что площадь круга меньше площади треугольника: S_круга < S_{треугольника}». Архимед доказывает, что невозможно и это.

— Учитывая, что площадь круга не может быть ни меньше, ни больше площади треугольника, они должны быть равны: S_круга = S_{треугольника}.

Пользуясь нынешним алгебраическим языком, вышесказанное можно доказать гораздо легче:

— S_круга = πr².

— S_{треугольника} = (основание • высота)/2 = 2πr*r/2 = πr²

— Что означает: S_круга = S_{треугольника}.

Пусть это изобразят на моем надгробии!

В утверждении 34 трактата «О шаре и цилиндре» содержится результат, которым, как нам точно известно, более всего гордился Архимед:

Соотношение объемов цилиндра и вписанного в него шара равно 3/2. Соотношение площадей поверхности цилиндра и вписанного в него шара также равно 3/2 (см. рисунок):

V_{цилиндра} 3/2 V_шара

S_{цилиндра} = 3/2 S_шара

Он смог найти абсолютно точное отношение между объемами шара и цилиндра, в который тот вписан. Речь идет о случае, когда диаметр шара равен как диаметру основания цилиндра, так и его высоте. Объем цилиндра получается в полтора раза (3/2) больше объема шара. Такое же соотношение и у площадей их поверхностей. Как мы уже говорили, Архимед даже завещал выбить изображение шара, вписанного в цилиндр, на своем надгробном памятнике вместо эпитафии. В I веке до н. э. Цицерону, по его словам, удалось увидеть это надгробие. До нашего времени оно, к сожалению, не дошло.

РИС.З

РИС. 4

Чтобы получить нужный результат, Архимед использовал различные определения, постулаты и утверждения, попутно найдя важные соотношения площадей других фигур. «О шаре и цилиндре» — это трактат, состоящий из двух книг, написанных в разные годы его жизни. Первая книга служит теоретической основой для второй, представляющей собой ответы на вопросы Досифея, которому она и посвящена. Первая книга заключает в себе 44 утверждения, шесть определений и пять постулатов. Кроме того, некоторые утверждения содержат важные следствия: например, рассматриваемое соотношение между шаром и цилиндром представлено в форме следствия из двух утверждений. Речь идет об утверждениях 33 и 34.

«Утверждение 33. Поверхность любого шара в четыре раза больше площади его большого круга» (рисунок 4).

Большой круг — это круг, который делит шар на две равные половины. Данное утверждение (рисунок 4) можно пояснить следующим умозрительным образом. Если мы сложим четыре раза площадь S_CM большого круга (S_CM= πr²), то сумма будет равна площади поверхности всего шара S_E (S_E = 4πr²). Это означает, что потребовалось бы равное количество краски, чтобы покрасить поверхность шара и четыре больших круга.

«Утверждение 34. Любой шар [по объему] в четыре раза больше конуса, база которого равна большому кругу, а высота — радиусу шара».

В алгебраической записи показать данное соотношение объемов можно так (рисунок 5). Объем V_c конуса с радиусом r и высотой r равен

Vc = 1/3πr³

а объем шара V_E с радиусом r равен

V_E=4/3πr³.

Таким образом: V_E = 4 V_c. То есть объем шара с радиусом r равен объему четырех конусов с радиусом основания r и высотой r. Другими словами, чтобы наполнить весь шар с радиусом r 4 л воды, потребуются 4 конуса с радиусом r и высотой r, вмещающие по 1 л каждый.

РИС. 5

РИС. 6

В качестве следствия из утверждения 34 Архимед выводит заключение, упомянутое в начале главы и действительное для объемов и площадей:

«Поверхность шара составляет 3/2 поверхности цилиндра с основанием, равным большому кругу шара, и высотой, равной его диаметру» (рисунок 6).

Чтобы вычислить площадь поверхности цилиндра, надо сложить площади его боковой поверхности и двух оснований. Боковая поверхность равна по площади прямоугольнику с основанием 2кг и высотой 2r. Следовательно, ее площадь будет составлять 4πr².

С другой стороны, два основания представляют собой круги с радиусом г, так что площадь каждого равна πr². Сложив площади боковой поверхности и удвоенную площадь основания, получаем площадь поверхности цилиндра: S_c = 6πr².

Итак, из расчетов следует, что площадь цилиндра равна шести площадям круга с таким же радиусом. И значит, один шар равен четырем кругам, а шесть кругов — полутора шарам. Нам понадобится одинаковое количество краски, чтобы покрасить шесть кругов радиусом r, полтора шара радиусом r или один цилиндр с радиусом основания r и высотой 2r. Надо прибавить, что полученные отношения действительны также и для объемов, то есть объем цилиндра составляет 3/2 объема вписанного в него шара (рисунок 7).

Легче и нагляднее представить себе это соотношение следующим образом: если один шар вмещает 2 л воды, то в описанный вокруг него цилиндр войдет 3 л.

Вот почему часто говорят, что отношение цилиндра к шару — три к двум.

РИС. 7

ДЕЛОССКАЯ ЗАДАЧА

В V веке до н. э. Афины опустошила эпидемия чумы, одной из жертв которой стал знаменитый Перикл (495-429 гг. до н. э.), афинский политический деятель, которому удалось собрать в Афинах множество талантливых людей со всех концов греческого мира. Тогда группа афинян решила идти к оракулу Аполлона в Дельфах, чтобы узнать, как можно остановить чуму. По преданию, полученный ответ был таков: надо сделать новый кубический алтарь взамен старого так, чтобы по объему он был ровно в два раза больше. В этой легенде — в одном из двух ее вариантов — ставится знаменитая задача удвоения куба, известная как «делосская задача»: как построить куб объемом в два раза больше заданного, используя только линейку и циркуль. Из книги Архимеда «О шаре и цилиндре» понятно: он вполне осознавал, что для удвоения куба невозможно идти по интуитивно напрашивающемуся пути — просто удвоить его ребро. Ведь если ребро куба I₁ = а, его объем будет составлять V₁ = а³; удвоив же ребро I₂ =2а, мы получим объем нового куба V₂ = (2а)³ = 8а³, а это значит, что V₂ = 8V₁. Объем куба не удвоился, а «увосьмерился», как показано на рисунке.

Сегодня мы знаем, что решить «делосскую задачу» с помощью исключительно линейки и циркуля невозможно, потому что ее решение представляет собой иррациональное число. Так, чтобы удвоить куб с ребром а, ребро нового куба должно равняться

Спираль Архимеда

Спираль — это кривая, образованная точкой, которая удаляется от центра и одновременно вращается вокруг него. Архимед изучал особенный тип спирали, которая теперь известна именно как спираль Архимеда (см. рисунок), характеризующаяся способом своего построения:

Спираль Архимеда представляет собой кривую, образованную точкой, которая с постоянной скоростью удаляется от вершины луча, вращающегося с постоянной угловой скоростью вокруг своей вершины.

Луч а вращается вокруг точки О с постоянной угловой скоростью ω, в то же время точка Р движется с постоянной скоростью V вдоль луча а. Простой способ нарисовать такую спираль — это разбить плоскость двумя перпендикулярными прямыми и провести биссектрисы получившихся прямых углов, а затем начертить концентрические окружности с центром на пересечении прямых и на равном расстоянии друг от друга. При вращении прямая проходит последовательно через пересечения прямых с окружностями.

В трактате «О спиралях» Архимед изучает спираль, впоследствии получившую его имя, и некоторые из ее свойств. Данный текст считается одним из самых сложных трудов древнегреческих мыслителей. Недаром в античности он оставался в забвении, а некоторые математики XVII — XVIII веков считали его ошибочным, поскольку оказались не в состоянии его понять. Его значимость заключается не только в его математических достоинствах, но и в философских аспектах. Речь идет в первую очередь о первом из известных документов, где рассматривается касательная к кривой, отличной от окружности. С математической точки зрения это очень важно, ведь поднятая Архимедом тема могла бы стать введением в курс дифференциального исчисления. Такое предположение становится очевидным, если учесть, что в своих доказательствах Архимед подошел почти вплотную к интегральному исчислению.

Трактат «О спиралях» состоит из 28 утверждений и посвящен Досифею Пелузийскому, которому адресовано и предваряющее основной текст письмо. Первые 11 утверждений — вспомогательные, Архимед использует их для доказательства других, более ему интересных. Такой метод работы характерен в целом для Архимеда — использовать предварительные утверждения как ступеньку для выхода на более высокий уровень. Он и сам в предисловии выделяет четыре наиболее важных результата и характеризует остальные как вспомогательные. После первых 11 утверждений Архимед приводит список из шести определений, и первое из них является собственно определением спирали Архимеда, которое мы излагали выше. Утверждения с 12-го по 20-е касаются свойств касательных к спирали, а также соотнесенности длины ее витков с оборотами, совершаемыми ею. В этой части работы Архимед показывает, как выстроить касательную к спирали в заданной точке. Наконец, в утверждениях с 21-го по 28-е Архимед рассматривает площади фигур, образованных кривой при последовательных оборотах, — данные утверждения представляют собой наиболее интересные результаты для исследователей. Учитывая сложность трактата, мы остановимся лишь на одном из них, под номером 24:

«Поверхность, ограниченная описанной спиралью при первом обороте, составляет третью часть круга, которого она касается».

Вышесказанное Архимед доказывает методом исчерпывания (см. рисунок), а также он использует доказательство от противного, заключив, что площадь образованной фигуры не может быть ни больше, ни меньше трети круга.