— В высшей степени!! — крикнул капитан и бросился меня целовать. Молодец, Нулик! Как я сразу не догадался, что пленники заколдованы возведением в степень? Принести сюда радикал!

Я спросил, что такое радикал. И пока матросы за ним ходили, узнал вот что. У чисел есть корни. Не такие, как у цветов и деревьев, а совсем другие.

Помножим 5 на 5. Получим 25. Что мы сделали? Мы возвели число пять во вторую степень.

А теперь извлечём из числа 25 корень второй степени. Что это значит? Это значит подобрать такое число, которое после возведения во вторую степень даст 25. И мы уже знаем, что это число 5.

Стало быть, возведение в степень и извлечение корня — действия взаимно обратные, как умножение и деление, сложение и вычитание.

Числа можно возводить в любую степень. Для того чтобы 5 возвести в третью степень, надо умножить его самого на себя три раза (5*5*5 = 125), в четвёртую — четыре раза, и так без конца, сколько захочешь.

Число, которое возводится в степень, называется основанием степени, число, в которое возводится основание, — показателем степени.

Если хочешь возвести основание в степень, справа от него, чуть выше, надо поставить показатель степени: 53 = 125.

Если же хочешь извлечь корень из числа, его надо подвести под радикал — знак извлечения корня (вот он какой)

и поставить над радикалом показатель корня. При этом число, которое стоит под радикалом, называется подкоренным числом.

Трудность заключалась в том, что заколдованные, то есть возведённые в степень, пленные числа забыли свои основания. Это-то нам и надо было узнать.

В это время матросы принесли радикал и набор показателей корня. Оставалось выяснить, в какие степени возведены числа. Но как это сделать? Пираты ни за что нам этого не скажут!

Капитан призадумался. И тут я услышал какой-то стон. Он доносился из шлюпки, покрытой брезентом. Мы бросились туда, подняли брезент и увидели ещё одного пленника. Вернее, пленницу — Четвёрку. Она была крепко связана, во рту торчал носовой платок. Оказалось, пираты только одну её не успели заколдовать, а она запомнила все показатели степеней, в которые были возведены остальные числа.

Четвёрку освободили, главарь пиратов страшно заскрежетал зубами, а наш капитан стал подводить пленников под радикал. Четвёрка каждый раз называла показатель корня, и я тут же водворял его над радикалом.

Сперва подвели под радикал число 8. Я поднял показатель 3, и вот уже вместо восьми перед нами весёлая Двойка. Ведь корень третьей степени из восьми равен двум:

Затем под радикал подвели число 81. Я поднял над радикалом показатель 4, и из-под него выпорхнула Тройка. Потому что

А когда под радикалом очутилось число 512, а над радикалом 3, расколдованной оказалась Восьмёрка:

Работа по расколдованию шла быстро. Вскоре мы освободили всех пленников и отправили их на пиратском судне по домам. Но прежде я пошёл в каюту и обо всём написал маме. И подписался так: «Нулик, победитель пиратов».

А вместе с письмом отправил Стакса и Топса. А то, боюсь, как бы их тоже не похитили какие-нибудь пираты.

ЛЕТАЮЩИЙ ОСТРОВ

20 нуляля

Что сегодня было! До сих пор не могу опомниться. Такое случается только в сказках!

Утром мы должны были по расписанию подойти к одному острову. И подошли. Но никакого острова не увидели.

— Кит знает что! — возмутился капитан и стал протирать свою подзорную трубу. — Неужели штурман ошибся в расчётах и привёл нас не туда?

Но штурман был ни при чём. Он-то привёл нас точно по назначению. Это остров куда-то исчез!

— Может быть, ему вздумалось прогуляться? — пошутил я.

Но капитан сказал, что сейчас не до шуток, что острова, конечно, совершают прогулки, но, насколько он знает, это происходит чрезвычайно редко и во всяком случае не тогда, когда они ждут гостей.

И тут мы услышали какой-то гул. Он доносился сверху. Я поднял голову и… Что я увидел! Нет, вам нипочём не догадаться!

Высоко в небе летел вертолёт, из люка спускался длинный трос с крюком на конце, а на крюке висел… остров! Треугольный остров! Он действительно слетал погулять и теперь возвращался на место.

Все мы страшно обрадовались, закричали, замахали бескозырками. Тем временем остров плавно опускался и, наконец, легонько стукнулся о борт нашего судна.

Спустили трап. У капитана были какие-то дела, и он остался в порту, а мы с коком отправились осматривать остров.

Мы себя чувствовали довольно уверенно, потому что один раз уже видели треугольный остров и знали, что у всякого треугольника имеются три вершины. Были они и здесь. В каждой из трёх вершин острова располагалась гавань, обозначенная какой-нибудь латинской буквой: гавань А, гавань В и гавань С.

— Давай сперва отправимся к вершине прямого угла, — предложил Пи. — Тогда нетрудно будет понять, где здесь гипотенуза, а где — катеты.

От гавани к гавани, вдоль каждой из трёх сторон острова, тянулись красивые зелёные бульвары. Мы обошли все, но ни один из них почему-то не назывался ни катетом, ни гипотенузой, а просто буквами: бульвар АВ, бульвар ВС и бульвар СА. Кроме того, все бульвары сходились в гаванях только под острыми углами, — мы не нашли ни одного прямого. Что же это такое? А то, догадался я, что это не прямоугольный треугольник, а остроугольный.

Мы решили это проверить у капитана и вернулись в гавань А. Капитан уже освободился. Он подтвердил, что этот треугольник действительно остроугольный, и предложил совершить небольшую прогулку.

Из гавани А расходились три нарядные, пряменькие улицы, выходящие на бульвар ВС.

— Давайте сделаем так, — предложил капитан. — Пусть каждый пойдёт по одной из этих улиц. Только, чур, одинаковым шагом. Вот так! Проверим, кто раньше всех придёт на бульвар.

По совести, я немного сплутовал и шёл быстрее, чем условились. Но как же я удивился, когда, придя на бульвар ВС, увидел, что капитан уже там!

Удивился этому и кок, который пришёл последним.

Впрочем, ничего удивительного не было. Просто капитан хорошо знал этот остров. Он решил над нами немного подшутить и пошёл по самой короткой из трёх улиц, которая, называется Высотой.

Капитан объяснил, что высотой треугольника называют отрезок прямой, который проводят из вершины угла А на противоположную ей сторону ВС. А провести надо так, чтобы при этом получились прямые углы. Такую прямую называют перпендикуляром. Вот перпендикуляр и есть кратчайшее расстояние от точки А до прямой ВС.

Я немного обиделся на капитана: зачем он выбрал себе самую лучшую улицу? Но капитан сказал, что и две другие ничуть не хуже и что у каждой из них есть свои особенности.

Та, по которой шёл я — у неё ещё такое красивое название Биссектриса, — делит угол треугольника при вершине А точно пополам.

— А какие особенности у моей улицы? — спросил Пи.

— Эта улица привела тебя на самую середину бульвара, и называется она Медианой.

Вот какие замечательные улицы выходят из гавани А! Но оказалось, что такие же улицы выходят и из гавани В, и из гавани С. Ведь у треугольника три вершины, — значит, три высоты, три биссектрисы и три медианы.

Я попросил капитана вернуться в гавань А по Биссектрисе. Он не возражал, и вскоре мы дошли до перекрёстка, где сходились две другие Биссектрисы.

— Как? Все три Биссектрисы встретились в одном месте? — недоумевал я. — Наверное, это случайно!

Представьте себе, что это было вовсе не случайно. В треугольнике все три Биссектрисы всегда пересекаются в одной точке.

— О, это замечательная точка! — добавил капитан.

Мы поинтересовались, чем же она замечательна.

— А тем, — ответил капитан, — что в любом треугольнике расстояния от этой точки до каждой из трёх сторон треугольника все совершенно одинаковы.

Тогда Пи сказал, что Медиана, конечно, не хуже Биссектрисы и что все три Медианы, наверное, тоже пересекаются в одной точке. Мы не поленились проверить его предположение и убедились, что три Медианы в самом деле пересекаются в одном месте.

Но самое интересное было впереди. В точке пересечения трёх Медиан мы обнаружили ввинченное в землю толстое кольцо — то самое кольцо, за которое вертолёт поднимал остров в воздух. Отчего же кольцо ввинчено именно здесь? Да оттого, что на пересечении Медиан находится центр тяжести треугольника. Будь кольцо где-нибудь в другом месте, остров неминуемо перевернулся бы или наклонился. Но он висел ровнёхонько, стало быть, центр тяжести был у него найден правильно.

На треугольном острове много других интересных улиц, только мы не успели их осмотреть. Прибежал штурман Игрек и напомнил, что по расписанию Фрегату пора отчаливать. Но нам всё-таки удалось уговорить капитана пройтись напоследок по Высоте. И тогда мы увидели, что все три Высоты треугольника тоже пересекаются в одной точке.

Когда Фрегат отчалил, мы с Пи по памяти стали чертить план острова. Сперва вычертили треугольник. Провели из вершины А высоту. Затем стали проводить биссектрису: разделили угол А пополам и… Странное дело! Биссектриса совпала с высотой. Потом разделили сторону ВС пополам, провели медиану. И можете себе представить, она тоже совпала и с высотой, и с биссектрисой. Та же история повторилась, когда мы проводили высоты, медианы и биссектрисы из вершин В и С. Таким образом, вместо девяти линий у нас получилось только три, и ясное дело, все они пересеклись в одной общей точке.

Сперва мы никак не могли понять, отчего это произошло. Но потом всё-таки догадались. Поразмыслите над этим и вы.

ТАК УЖ УСЛОВИЛИСЬ!

21 нуляля

Сегодня у меня выдался свободный часок. Я лежал в шезлонге, грелся на солнышке и смотрел на облака. Люблю смотреть на облака: они всё время куда-то плывут, всё время меняются. Глядя на них, хорошо думать.

Вот плывёт облако, похожее на слона. Я смотрю на него и думаю: почему слон называется слоном? Почему не мухой? И почему слоном называют ещё шахматную фигуру? И почему шахматный слон ходит только по диагонали? А пешка — только вперёд?

— С каких это пор ты сам с собой вслух разговариваешь? — спросил капитан.

Вот те раз! А я и не заметил; И когда капитан подошёл, тоже не заметил. А он, наверное, давно уже тут, потому что слышал все мои размышления.

— Вот ты спрашиваешь, почему слон называется слоном? Так же можно спросить, почему стол называется столом, а кит — китом? И вообще, откуда берутся слова? И зачем они нужны? А ты подумал, что было бы, если бы слов не было? Как бы тогда люди понимали друг друга? Если бы слова уже не были выдуманы, их обязательно пришлось бы выдумать. Потому что словами люди условно обозначают окружающие их предметы, явления, действия. Недаром же «условность» и «слово» происходят от одного корня! Не будь условных обозначений, мы не смогли бы ничего объяснить друг другу.

Но тут я сказал, что, по-моему, капитан ошибается. Потому что если бы люди хотели друг друга понимать, они не изобрели бы так много языков, а говорили бы только на одном, общем для всех. А то повыдумывали и английский, и французский, и японский…

Однако капитан объяснил, что никто нарочно никаких языков не выдумывал, они возникли сами по себе, в далёкой древности, у каждого народа — свой.

— Хотя, впрочем, — заметил он, — твоя мысль о едином языке не так уж плоха. Она приходила в голову многим. И, как знать, может быть, настанет такое время, когда людям разных национальностей не придётся звать на помощь переводчиков и копаться в словарях. Потому что все они будут говорить на едином, международном языке.

Я, конечно, поинтересовался, скоро ли это будет.

— Ну, это я тебе не могу сказать, — засмеялся капитан. — Попытки создать единый язык уже были, но они пока что ни к чему не привели. И всё-таки один такой международный язык уже есть. Правда, язык этот особенный. Его не употребляют, когда хотят сказать «здравствуйте» или «дайте мне, пожалуйста, чашку кофе». И всё же это один из самых важных и прекрасных языков на свете — язык математики. И, как всякий язык, он тоже состоит из условных названий и обозначений.

Язык этот появился не сразу. В древние времена, когда не было ни телефонов, ни радио, ни телевидения, когда книги переписывались от руки, учёные были разобщены. И в каждой стране наука развивалась по-своему. Разные учёные придумывали разные условные обозначения для одних и тех же понятий. Так, в древнем Вавилоне числа записывались по-одному, в Риме по-другому, в Индии — по-третьему…

Но, по мере того как наука развивалась, а связи между народами укреплялись и расширялись, учёные всё больше понимали, что необходимо найти общий язык, общие, и притом самые удобные, условные обозначения. И это им удалось. Так возник великий единый язык математики, на котором объясняются и отлично понимают друг друга учёные всего мира.

Каким бы словом ни называлось число ДВА на разных языках (по-немецки «цвай», по-французски — «де», по-английски — «ту»), в математике оно обозначается одним знаком: 2. И знак этот понятен всем. Точно так же любой поймёт, что это (капитан вынул из кармана записную книжку и нарисовал две чёрточки: =) знак равенства, а это вот

знак неравенства.

А ещё математики условились, что если число стоит под знаком

значит, из этого числа надо извлечь корень третьей степени. Если же над этим знаком показатель корня не написан

это означает, что из подкоренного числа надо извлечь корень второй степени.

— Почему же во всех случаях показатель корня пишется, а в этом случае нет? — спросил я.

— Да потому, — объяснил капитан, — что 2 — наименьший из всех целых показателей корня и его УСЛОВИЛИСЬ не писать. Для экономии. Ведь язык математики — самый экономный на свете. Иногда одним маленьким значком он может выразить огромное, можно даже сказать, необъятное понятие. Как ты думаешь, что это такое? — Капитан нарисовал вот такую загогулину:

Я сказал, что это похоже на восьмёрку, которая прилегла вздремнуть. Брови капитана полезли на лоб.

— Восьмёрка?! Нет, брат, подымай выше! Этой крохотной завитушкой математики обозначают бес-ко-неч-ность!

— А что это такое? — Капитан нарисовал ещё один знак:

— Помнишь?

— А как же! — обрадовался я. — Это знак интеграла!

Я спросил, много ли условных обозначений в математике.

— Да уж не беспокойся, — усмехнулся капитан, — хватает!

— Вот возьму выучу их все и стану математиком! — похвастался я.

Но капитан сказал, что этого, пожалуй, недостаточно. Мало запомнить все математические обозначения, надо ведь ещё понять, что ими выражено, и научиться этими понятиями пользоваться. А здесь одной памяти мало. Здесь надо уметь математически мыслить. Мы помолчали.