Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии.

Рафаэль Лаос-Бельтра

«Мир математики»

№ 28

«Математика жизни.

Численные модели в биологии и экологии»

Предисловие

Жизнь — одно из самых прекрасных и сложных явлений на планете, изучением которого с начала XX века занимается далеко не одна биология. Физики, а затем и математики обнаружили ряд биологических явлений, которые можно описать на математическом языке. Николай Рашевский, Карл Людвиг фон Берталанфи и Алан Тьюринг положили начало плодотворному союзу математического формализма и науки о жизни, а компьютеры позволили ученым проводить количественные исследования биологических явлений. Так родилась новая дисциплина — математическая биология, или биоматематика. Математическая биология внесла и продолжает вносить свой вклад в развитие биологии как посредством теоретического изучения динамических систем (мозга, муравейника или экосистем), так и благодаря решению практических задач в ходе изучения раковых заболеваний, эпидемий СПИДа или свиного гриппа.

Сегодня ответы на множество вопросов биологии и биомедицины можно дать с помощью математического анализа. Так, размножение раковых клеток в опухолях определенного типа описывается функцией Гомпертца. Во многих процессах в сфере биотехнологий при мониторинге биореакторов используются дифференциальные уравнения. Даже такие проблемы современности, как возможное изменение климата Земли, изучаются с помощью математических моделей, в частности климатической модели Лоренца.

В этой книге представлен панорамный обзор различных аспектов биоматематики.

В первой главе мы говорим об основных достижениях этой науки и ее историческом развитии. Во второй главе показана возможность использования дифференциальных уравнений для описания динамики биологических явлений, то есть явлений, благодаря которым становится возможным сохранение жизни. Эти уравнения очень важны для человечества, так как позволяют решить бесчисленное множество задач, от демографических проблем, о которых писал еще Мальтус в 1798 году, до определения возраста ископаемых посредством радиоуглеродного анализа (этот метод предложил Уиллард Либби в 1950 году).

Математика, конечно же, не смогла остаться в стороне от еще одного притягательного явления. Хаос, о котором мы поговорим в третьей главе, присутствует повсеместно, будь то рост населения, поведение биржевых индексов или электроэнцефалограмма человека. В этой же главе мы рассмотрим еще одну тему, связанную с хаосом, — фракталы, их присутствие в природе (в частности, в виде снежинок или ветвей деревьев), способы графического представления фракталов с помощью компьютера. Хаос и фракталы нельзя изучить без краткого рассмотрения комплексных чисел, а не имея представления о комплексных числах, невозможно понять даже самые яркие и наглядные особенности мира фракталов.

В четвертой главе показано, что математическая биология по большей части основана на использовании числовых таблиц, или матриц, и основную роль в ней играют операции над матрицами. В завершение главы мы рассмотрим законы Менделя и познакомимся с одним из важнейших понятий биологии — полным факторным экспериментом. В пятой главе освещается еще одно математическое понятие, играющее особую роль благодаря множеству способов применения, — векторы. Мы опишем использование векторов в биомеханике, при моделировании нейронных сетей и решении систем линейных уравнений.

И в завершение удивительного путешествия вы узнаете о взаимосвязи математики и экологии. Сегодня ни один проект по охране окружающей среды не обходится без использования формального математического аппарата. В шестой главе мы определим понятие экосистемы и представим матричные популяционные модели, особенно полезные при изучении и сохранении популяций. Отдельно мы рассмотрим одну из классических моделей математической биологии — модель «хищник — жертва» Лотки — Вольтерры[1]. Следующий дискуссионный вопрос, на котором мы остановимся, звучит так: ждет ли нас глобальное изменение климата? Вы увидите, что проблема изменения климата имеет математическую природу, поэтому ответ на поставленный вопрос нельзя дать без знания климатических моделей и применяемого в них математического аппарата. Книга завершается анализом «Маргариткового мира» — математической модели, созданной Джеймсом Лавлоком в 1980-е годы на основе гипотезы Геи. Эта модель бросает вызов дарвинизму и классическим представлениям о сохранении жизни на планете.

Глава 1

Математическая биология в исторической перспективе

В начале XX века Россия напоминала бурлящий котел. Глубокий экономический кризис и социальное недовольство, возникшие после поражения в русско-японской войне 1904–1905 годов и начала Первой мировой войны с Германией в 1914 году, привели к Октябрьской революции. Из-за этих событий физик-теоретик украинского происхождения Николай Рашевский (1899–1972), который сегодня считается создателем математической биологии, вместе с супругой Эмилией покинул страну. Сменив несколько государств, в 1924 году Рашевские осели в США.

Рождение математической биологии

Оказавшись на американской земле, Рашевский приступил к работе в исследовательской лаборатории компании Westinghouse, где занялся изучением деления клеток. Таким образом, деление клеток впервые было рассмотрено с точки зрения физики и математики — подобный подход в те годы считался невероятно передовым.

В 1934 году Николай Рашевский (или, как его стали называть к этому времени, Николас Рашевски) получил должность старшего преподавателя кафедры физиологии Чикагского университета. Вскоре благодаря этому ученому произошли два события, имевшие большое значение для развития математической биологии.

В 1938 году была опубликована его первая научная статья по биоматематике, знаменитая «Биофизическая математика: физико-математические основы биологии».

В 1939 году Рашевски создал первый научный журнал, посвященный исследованиям в математической биологии, — The Bulletin of Mathematical Biology («Вестник математической биологии»).

С тех пор математическая биология прошла долгий и непростой путь, пока наконец не обрела статус полноценной научной дисциплины.

Николас Рашевски основал Общество математической биологии, а в 1939 году стал редактором первого журнала по этой дисциплине. Первоначальное название журнала — The Bulletin of Mathematical Biophysics («Вестник математической биофизики») — позднее сменилось на The Bulletin of Mathematical Biology («Вестник математической биологии»).

В последующие годы Рашевски занимался теоретической работой и применил теорию множеств и логику высказываний в исследованиях биологических систем. Он изучал различные общества и способы организации живых существ, а также иерархии, которые они образуют. Сегодня ответы на стоявшие перед ним вопросы кажутся очевидными: рассмотрим, к примеру, последовательность молекулы —> клетки —> ткани —> органы —> системы —> индивид —> популяция. Рашевски создал теорию биологических отношений — реляционную биологию, а также ввел понятие «множество организмов». Все эти открытия до недавнего времени оставались незамеченными большинством биологов, которых в основном интересовали полевые исследования или работа в лаборатории. Подлинный размах и возможности теоретического аппарата, терпеливо выстроенного Рашевски, стали очевидны лишь с возникновением так называемой биологии сложных систем. А развитие этой дисциплины, в свою очередь, было бы невозможным без распространения компьютеров.

Наверное, одной из важнейших особенностей первого этапа развития математической биологии, который мы будем дальше называть этапом зарождения биоматематики, стало влияние на нее физики. Это неудивительно, если учесть, что в 1921 году Рашевски преподавал теорию относительности в Праге. Подобно Эйнштейну, посвятившему последние годы жизни работе над «единой теорией», в 1960-е Рашевски пытался создать единую теорию биологии. Он мечтал выразить на языке математики биологические принципы, описывающие жизнь во всех ее проявлениях, будь то растения, животные или микроорганизмы.

Подобно другим физикам того времени, например Шрёдингеру, Рашевски также задавался вопросом: что такое жизнь? К сожалению, полет его фантазии оборвал сердечный приступ в 1972 году, а ответ на этот вопрос до сих пор не получен, хотя со смерти ученого прошло уже много лет.

Австрийская банкнота с портретом Эрвина Шрёдингера (1887–1961), лауреата Нобелевской премии по физике 1933 года и автора книги «Что такое жизнь?», опубликованной в 1944 году и оказавшей огромное влияние на развитие биологии.

В отличие от теоретического направления математической биологии, пионером которого был Рашевски, работы других ученых, например Карла Людвига фон Берталанфи, носили более прикладной характер. Фон Берталанфи родился в Австрии в 1901 году, учился в университетах Инсбрука и Вены, работал в Лондонском университете, различных канадских институтах, а закончил карьеру в Университете штата Нью-Йорк. Он внезапно умер от сердечного приступа в том же 1972 году, что и его коллега Рашевски. Хотя основным вкладом фон Берталанфи в науку стала общая теория систем, о которой мы поговорим позже, ему принадлежат и различные открытия в математической биологии. Так, в 1938 году он сформулировал знаменитое уравнение роста, которое в наши дни применяется в рыбоводческих хозяйствах.

Фон Берталанфи связал размер рыбы L(t) с ее возрастом t (L_K — максимальный размер, L₀ — начальный размер, k — постоянная роста):

L(t) = L_K — (L_K — L₀)e-kt.

Теория эволюции

Эволюция — одна из важнейших тем биологии, которой уделяется большое внимание и в математической биологии с момента ее зарождения в 1930-е годы. В целом эволюция — это физиологические и другие изменения, претерпеваемые живыми существами с течением времени. По прошествии миллионов лет в результате этих изменений, а также изменений окружающей среды одни виды выживают, другие — вымирают.

Известно, что изменения живых существ вызваны определенными биологическими механизмами. Среди всех теорий, известных на сегодняшний день, наибольший успех имела теория естественного отбора Чарльза Дарвина, представленная им в 1859 году, в расцвет викторианской эпохи, в книге «Происхождение видов».

На этой фотографии Чарльз Дарвин изображен в возрасте 51 года, вскоре после публикации своего революционного труда «Происхождение видов».

Согласно теории Дарвина, живые существа, будь то растения, животные или микроорганизмы, представляют собой различные решения задачи адаптации к окружающей среде. Под окружающей средой понимаются различные условия существования, начиная от океанов или озер и заканчивая наземно-воздушной средой. При этом в каждой отдельно взятой среде наблюдается большое разнообразие живых существ: например, джунгли, дубовый лес или пустыня очень отличаются между собой. Согласно Дарвину, чем лучше «решение», которое представляет собой живой организм, точнее биологический вид, тем лучше он приспособлен. А чем выше приспособленность организма, тем больше его шансы на выживание и, следовательно, на достижение репродуктивного возраста. Репродукция, по Дарвину, является наградой: если организму удалось размножиться, гены счастливчика будут переданы следующему поколению.

Но как живые организмы находят новые решения в изменяющейся или неблагоприятной среде? Ответить на этот вопрос помогает генетика. За поиск новых решений отвечают механизмы, случайным образом меняющие генетический код, — мутации.

Чем выше изменение генов в определенных пределах, тем лучше для вида: его представители получают большой набор возможных «решений», который поможет им адаптироваться к будущим изменениям окружающей среды. По Дарвину, окружающая среда отбирает виды, наиболее пригодные для обитания в ней.

Развитие математических методов теории эволюции

В второй половине XIX века, после публикации книги Дарвина, в Великобритании возникла английская биометрическая школа, к которой принадлежали такие видные ученые, как Фрэнсис Гальтон и Карл Пирсон. Представители этой школы впервые применили в биологии методы статистики. Позднее, в 1930 году, Рональд Эйлмер Фишер, внесший огромный вклад в развитие биоматематики и биостатистики, сформулировал основную теорему естественного отбора, в которой дарвиновская теория эволюции путем естественного отбора объясняется на языке математики.

Согласно Фишеру, при определенных условиях и за определенное время t ритм или скорость, с которой повышается средняя приспособленность конкретного вида, равна разнообразию возможных значений генов. Обозначим средний рост приспособленности через ΔW¯ среднюю приспособленность — через W¯ множество возможных значений генов (генных вариаций) — через σ2_w и получим обычную запись теоремы Фишера в математической биологии:

ΔW¯ = σ2_w/W¯

Эта теорема — прекрасный пример того, сколь важную роль сыграла математика в последующем развитии биологии. Фишеру всего в одной формуле удалось точно выразить описанные выше идеи. В итоге биологические задачи начиная с 1930-х годов начали выражаться на языке математики, и развитие количественных методов биологии было уже не остановить. Еще одним важным событием для математической биологии стала модель, известная как модель «хищник — жертва» Лотки — Вольтерры (ее предложил Альфред Джеймс Лотка в 1925 году и Вито Вольтерра годом позже). Это одна из самых ярких математических моделей математической биологии и одна из самых популярных моделей в экологии. Мы подробнее расскажем о ней в главе 6.

Роль компьютера в математическом анализе жизни

По окончании Второй мировой войны в Великобритании и США появились первые компьютеры. Два союзных государства начали борьбу за право называться их родиной, и толчком к началу этого соперничества стала возможность использования компьютеров прежде всего в военных целях. Новая техника создавалась для борьбы с общим врагом — СССР. Напомним, что именно эти годы стали началом эпохи холодной войны, и изменение политической обстановки повлияло на работы ученых во всем мире.

Хотя историки науки считают, что первый компьютер, известный как ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer — «электронный числовой интегратор и вычислитель»), был сконструирован в США в 1946 году, сегодня мы знаем, что до него существовал «Колосс», созданный в Великобритании в 1944 году.

В 1950 году Алан Тьюринг, один из самых плодовитых британских ученых XX столетия, сконструировал компьютер АСЕ (сокр. от англ. Automatic Computing Engine — «автоматическая вычислительная машина») в Национальной физической лаборатории. Этот компьютер имел возможности хранения данных и работы программ, весьма схожие с возможностями первых компьютеров Macintosh, созданных только в 1980-е годы. Компьютер Тьюринга был британским конкурентом американского EDVAC (от Electronic Discrete Variable Automatic Computer — «универсальный автоматический компьютер с дискретными переменными»), созданного на базе ENIAC. В конструировании EDVAC участвовал еще один гениальный ученый того времени — Джон фон Нейман.

«Колосс» — первый компьютер в истории, построенный в Великобритании в 1944 году.

Британским ответом на EDVAC стал EDSAC (Electronic Delay Storage Automatic Computer — «электронный автоматический вычислитель с памятью на линиях задержки») — еще один компьютер с похожими характеристиками. В это же время в США был сконструирован UNIVAC (Universal Automatic Computer — «универсальный автоматический компьютер») — прямой потомок ENIAC и EDVAC. Изготовившая его компания Remington Road стала первым в мире производителем коммерческих компьютеров.

Открытия Алана Тьюринга

В 1948 году в Университете Манчестера находился один из самых мощных компьютеров того времени, а в 1951 году университет получил компьютер Ferranti Mark I, на котором работал Тьюринг. С 1952 года до своей смерти в 1954 году Тьюринг был одним из первых ученых, кто использовал компьютер для математического моделирования биологических задач.

Компьютер Ferranti Mark I, на котором работал Алан Тьюринг (на фото справа, стоит).

В то время Тьюринга очень интересовало математическое изучение морфогенеза.

Одна из самых любопытных задач этой дисциплины заключается в том, чтобы объяснить, как живые организмы обретают конечную форму: почему ветви деревьев образуют именно такую структуру, почему членистоногие словно состоят из отдельных кусочков, а кольчатые черви — из колец. Еще одна классическая задача морфогенеза заключается в изучении узоров, например на коже некоторых позвоночных — полосок у зебр или круглых пятен у далматинцев.

Тьюринг первым попытался решить биологические задачи с помощью компьютера, став одним из пионеров вычислительной биоматематики. Таким образом, его исследования придали этой дисциплине более прикладной характер, сблизив ее с привычными биологическими исследованиями в лаборатории. Биологи и другие ученые под влиянием работ Тьюринга также начали изучать жизнь с математической точки зрения. Подобные исследования проводились в разные годы XX века; проводятся они и сейчас. Кроме того, Тьюринг открыл новую область математической биологии, предложив первую математическую теорию морфогенеза. В одной из своих работ для анализа формы растений он использовал числа Фибоначчи.

Последовательность Фибоначчи 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и т. д. образуется по следующему правилу: если принять первое число Фибоначчи, a₁, равным 0, второе число, a₂, равным 1, то каждое последующее число будет определяться как сумма двух предыдущих. Иными словами, а_n = а_n-1 + а_n-2. Любопытно, что числа Фибоначчи описывают количество лепестков цветов, расположение чешуек шишек и листьев растений.

Число спиралей на этой шишке в каждом направлении (8 и 13 соответственно) выражается последовательными числами Фибоначчи.

Эта особенность растений получила название филлотаксиса Фибоначчи. Так, числа Фибоначчи описывают расположение листьев растений, при котором их освещенность будет оптимальной. Представьте, что лист соперничает с соседними за доступ к солнечному свету. Каким будет оптимальное расположение листьев, обеспечивающее наибольшую освещенность каждого листа? Ответ дает последовательность Фибоначчи.

Продолжив исследования, Тьюринг совершил свое самое знаменитое открытие в этой области — он создал математическую модель «реакция — диффузия». Свои идеи ученый изложил в статье «Химическая основа морфогенеза», опубликованной в престижном научном журнале Лондонского королевского общества в 1952 году. Тьюринг был математиком, а не биологом, поэтому он попытался объяснить интересовавшее его явление с помощью дифференциальных уравнений. Он задался вопросом: каким образом в однородной ткани клеток, в зачаточном состоянии очень похожих друг на друга, например клеток кожи позвоночных, образуются полоски или пятна? С биологической точки зрения эти полоски или пятна — проявление различий между пигментными и непигментными клетками. Как следствие, полоски на шкуре зебры будут результатом нарушения изначального единообразия зародышевых клеток кожи.

Тьюринга интересовал биологический механизм, ведущий к появлению подобных узоров. Ученый предполагал, что полученный узор представляет собой нестабильное состояние, поскольку стабильным состоянием является единообразие зародышевых клеток без характерного узора. С помощью компьютера Ferranti Mark I Тьюринг провел ряд экспериментов по моделированию и доказал, что полученный узор на коже зависит от значений параметров математической модели.

Полоски на шкуре зебры — один из примеров, описываемых уравнениями «реакция — диффузия» Тьюринга.

Параметр математической модели — это значение, соответствующее какому-либо свойству, которое нельзя оценить напрямую, в ходе наблюдений. Тьюринг выявил несколько закономерностей, очень похожих на те, что описывают распределение щупалец гидры или расположение лепестков цветка. Предположив, что клетки имеют круглую форму, Тьюринг смоделировал многоклеточный зародыш — бластулу.

Бластула — один из этапов развития зародыша, на котором уже можно заметить появление узоров. Тьюринг изучил зародыши амфибий и ежей, которые сегодня благодаря своим особым свойствам широко используются в качестве моделей при изучении морфогенеза. Ученый предположил, что узоры образуются в результате процессов реакции — диффузии. Согласно его гипотезе, в зародышевой ткани, то есть в группе клеток, сгруппированных на плоскости, будут присутствовать пигментные клетки, продуцирующие вещество морфоген. Как только молекулы этого загадочного вещества распространятся в результате диффузии по зародышевой ткани, они вступают между собой в реакцию. Распределение продуктов этой химической реакции определяет так называемое поле концентраций — отпечаток, согласно которому и формируется узор зародышевых клеток. Следовательно, полоски, пятна и любые другие узоры, которые мы можем увидеть на шкуре животных, есть не более чем реплики поля концентраций. Мы не будем рассматривать знаменитые уравнения реакции — диффузии Тьюринга во всех подробностях, а только приведем их:

Эти выражения объясняют, как с течением времени изменяется объем или концентрация двух веществ, предложенных Тьюрингом, которые он назвал морфогеном-активатором (М_А) и морфогеном-ингибитором (М₁). Как мы уже отмечали, эти два вещества производятся только пигментными клетками. В свою очередь, f(М_А, М₁) и g(М_А, М₁) — две функции, обозначающие реакцию между активатором и ингибитором, а выражения  и  указывают, как эти два класса морфогенов распространяются по ткани. Так, когда морфогены высвобождаются пигментными клетками, начинается процесс их диффузии, подобный диффузии песчинок сахара в стакане с водой. По Тьюрингу, морфоген-активатор стимулирует воспроизводство себя самого и морфогена-ингибитора. Еще одна любопытная особенность этой реакции заключается в том, что морфоген-ингибитор распространяется на большее расстояние, чем морфоген-активатор. Расстояния, на которые распространяются морфогены, зависят от D_А и D₁ — коэффициентов диффузии морфогенов — активатора и ингибитора соответственно.

В 1954 году, в возрасте 41 года, Алан Тьюринг покончил с собой. Так оборвалась жизнь одного из величайших ученых XX века. Его гениальность доказывает и тот факт, что химические вещества, существование которых он предсказал математически (так называемые морфогены), были открыты экспериментально лишь много лет спустя, в начале 1990-х. Кроме того, некоторые узоры из изученных Тьюрингом на компьютере Ferranti Mark I были обнаружены на чешуе рыбы полукруглый ангел, или Pomacanthus semicirculatus. В настоящее время морфогенез — одна из областей математической биологии, и удивительным путем, на который первым вступил Алан Тьюринг, проследовали такие видные ученые, как Мюррей, Мейнхардт и другие.

* * *

ЖИЗНЬ — ЭТО ИНФОРМАЦИЯ

За год до кончины Тьюринга, в 1953 году, Уотсон и Крик предложили спиралевидную модель ДНК. Ранее Джон фон Нейман и Алан Тьюринг, предвосхитив создание этой модели, писали: «Жизнь — это информация». Тем не менее модель ДНК, которая сегодня принимается всеми учеными, в свое время произвела фурор. Ее цепочка образована четырьмя азотистыми основаниями, которыми кодируются гены: А — аденин, Т — тимин, Г — гуанин и Ц — цитозин.

Параллельно с этим произошло еще одно важное событие — появилась информатика как наука. В компьютерах используется двоичная система счисления, и это означает, что вся информация кодируется последовательностями, состоящими всего из двух цифр, 0 и 1. Как следствие, компьютер — это машина, с помощью которой можно естественным образом исследовать жизнь, открывать ее элементы, проникать в тайны тончайших ее механизмов и делать прогнозы. С момента создания компьютер стал инструментом, позволившим установить тесную взаимосвязь между математикой и биологией. Со временем вычислительный подход, основанный Тьюрингом, не только способствовал укреплению этой взаимосвязи, но и привел к слиянию биологии и математики в новую дисциплину — математическую биологию.