Теория относительности и сверхсветовая скорость (издание второе)

Указанные выше определения времени собственного получены в результате использования простых геометрических правил для прямоугольных систем координат и требуют постулирования постоянства скорости света в любых системах отсчета. И предопределены они только тем обстоятельством, что скорость света является величиной конечной. Однако это сказывается не на характере протекания физических процессов, а на их визуальном исследовании. Принцип же лоренц-ковариантности считается проявлением общего закона природы, который не зависит от того, наблюдается или нет какой-либо физический процесс.

К каким же последствиям приводит возведение в принцип (закон природы) лоренц-инвариантных преобразований?

В соответствии с принципом эквивалентности (первый постулат специальной теории относительности) любая инерциальная система имеет право считаться лабораторной, то есть быть неподвижной системой координат. Более того, все лабораторные инерциальные системы должны быть неразличимыми. В противном случае существовала бы единственная выделенная лабораторная система координат, что противоречит первому постулату специальной теории относительности. Следовательно, длительность любого физического процесса должна быть той же самой во всех неподвижных инерциальных системах координат. В то же самое время, если какая-либо координатная система является лабораторной, длительность ней какого-либо процесса должна отличаться от сравниваемой с ней длительности этого процесса в других инерциальных (движущихся) системах с точки зрения неподвижного наблюдателя. При этом длительность любого процесса замеряется с помощью длительности особого эталонного процесса – одной секунды.

По определению, одна секунда – это интервал времени, равный 9192631770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133, находящегося в покое при 0°К. И данное определение является однозначно справедливым в любой лабораторной системе координат.

количеству периодов выбранного излучения является объективной и применимой как для установления величины одной секунды, так и для определения длительности любых иных процессов.

У нас имеются две четырехмерные системы координат X и X’, в каждой из которых одновременно наблюдается процесс движения из центров указанных систем одного и того же тела. Под термином «наблюдение за движением» понимается фиксация изменения положения тела относительно центра системы координат, осуществляемый, например, по изменению гравитационного или электрического потенциала поля, создаваемого телом, а не визуальное наблюдение. В последнем случае из-за конечности скорости света пришлось бы ограничиться только досветовыми скоростями изменения положения тела. При наблюдении движения обязательным является условие инвариантности интервала Эйнштейна, то есть равенства пройденных телом путей в каждой из систем координат. В системе X длина пути задается как расстояние от центра системы до точки с координатами , а в системе X’ – до точки с координатой . Координаты и можно выразить через независимые в трехмерном пространстве параметры t и t’ соответственно, а расстояние через произведение . Тогда в соответствии со специальной теорией относительности можно записать: , и , причем . Отсюда прямо следует, что . Но, поскольку , а , то . Для пространства с псевдоевклидовой метрикой, используемой в специальной теорией относительности . Причем здесь время t и t’ – это время протекания одного и того же процесса. В этом случае за время t, равное 1 секунде, по мнению наблюдателя из системы X наблюдатель из системы X’ должен насчитать большее число периодов излучения атома цезия-133, чем он может насчитать, если его время t’ равно одной секунде, используемой как эталон времени с системе X’. Принципиально важно, что с переходом от использования координат к независимым переменным t и t’ нами совершен переход от сравнения неподвижных относительно друг друга четырехмерных систем X и X’ к сравнению трехмерных инерциальных систем отсчета. Но в каждой инерциальной системе координат единица измерения времени определяется одним и тем же числом периодов излучения атома цезия-133. Следовательно, так как , то по мнению неподвижного наблюдателя движущийся наблюдатель использует более короткую единицу времени и один и тот же процесс на движущемся теле протекает быстрее, чем на неподвижном объекте. А это прямо противоречит экспериментально подтвержденным данным о замедлении длительности протекания процессов на движущемся объекте. Удивительно, но в современной физике именно этот эффект считается теоретически доказанным. Правда, для такого «доказательства» приходится считать движущуюся систему координат неподвижной и для описания движения тела ориентироваться на мнение наблюдателя, в системе которого движение тела осуществляется только по временной координате. А для трехмерных систем координат описывать движение тела, наблюдая за телом, находящимся в состоянии покоя, является недопустимым с точки зрения научной логики. Но это обстоятельство почему-то не привлекает внимания – так велико желание доказать правомерность преобразований Лоренца.

Совершенно противоположную ситуацию мы имеем в случае положительной формы инвариантного интервала: для неподвижного наблюдателя ход течения времени на движущемся объекте действительно замедляется, так как при том же самом количестве секунд каждая из секунд будет длиннее.

Еще одним важнейшим обстоятельством для релятивистских зависимостей является то, что они относятся только к тем явлениям и процессам, которые неразрывно связаны с конечностью скорости света. В связи с этим обнаружить эффект релятивистского замедления времени с помощью механических пружинных часов вряд ли не удастся. У космонавта на спутнике ход таких часов будет абсолютно равен их ходу у наблюдателя из Центра управления полетом, так как эти часы оттарированы в одних и тех же условиях. В точности такая же ситуация и с мерой длины – использование на спутнике парижского эталона метра не приведет к тому, что в полете сам метр и кабина спутника будут по длине меньше, чем на Земле – они будут в точности такими же, как и на Земле.

Переход от задачи сравнения инерциальных систем координат к задаче определения особенностей описания поведения движущегося тела при условии конечности скорости света и использовании одной единственной системы координат позволяет избавиться от неразрешимого противоречия между принципом однородности и изотропности пространства и постулатом о постоянстве скорости света в разных инерциальных системах координат. Данное противоречие является следствием изменения масштаба времени и якобы существующего эффекта сокращения длины стержня (вопрос об ошибочности теоретического обоснования данного эффекта был рассмотрен ранее) в зависимости от скорости движения объекта по отношению к неподвижному наблюдателю. Действительно, если скорость фотона определять с использованием различных по величине единиц измерения времени, то она может быть постоянной в разных системах координат только в случае согласованного изменения единиц измерения пространственных отрезков. И при использовании преобразований Лоренца в интегральной форме возникает эффект «сокращения длины стержня» вдоль одной из осей пространственных координат, который является свидетельством о нарушении принципа однородности (изотропности) пространства: величина метра будет зависеть от направления измерения длин отрезков в пространстве (их ориентации по отношению к скорости движения сравниваемых систем координат). В то же время для задачи определения особенностей описания поведения движущегося объекта при условии конечности скорости света не требуется сравнивать различные системы координат – в этой задаче сравниваются величины элементарных проекций движения тела на временную координату четырехмерного пространства одной и той же системы координат при различных ориентациях направления движения наблюдаемого тела. В этом случае каких-либо противоречий между принципом однородности пространства и условием о постоянстве скорости света не возникает. А само требование о постоянстве скорости света в различных инерциальных системах координат является необходимым дополнением первого постулата специальной теории относительности Эйнштейна в отношении независимости законов природы от того, представляет ли себя наблюдатель движущимся, или неподвижным в трехмерном пространстве. Совокупность данных условий является одной из возможных формулировок принципа равноправия выбора любой из сравниваемых систем координат в качестве лабораторной системы. И для этих систем не существует надуманного и нарушающего принцип изотропности пространства эффекта «сокращения длины стержня».

Аналогично проблеме изотропности надуманной является и проблема «причинности» при наличии сверхсветовых скоростей материальных объектов. Действительно, никого ведь не пугает наличие сверхзвуковой скорости, когда о событии мы можем услышать намного позже, чем оно произойдет. Для пилота самолета, летящего со сверхзвуковой скоростью, скорость звука внутри самолета будет в точности такой же, как если бы самолет стоял на взлетной полосе. А свет чем хуже? С чего это вдруг причина должна поменяться со следствием? Просто возникнут некоторые особые визуальные эффекты и только.

Далее, обратимся к классическому учебнику по физике [7] и просто процитируем непреложные для механики истины.

«Наиболее общая формулировка закона движения механических систем дается так называемым принципом наименьшего действия (или принципом Гамильтона). Согласно этому принципу, каждая механическая система характеризуется определенной функцией

или, в краткой записи, , причем движение системы удовлетворяет следующему условию.

Пусть в моменты времени и система занимает определенные положения, характеризуемые двумя наборами значения координат Тогда между этими положениями система движется таким образом, чтобы интеграл

имел наименьшее возможное значение. Функция L называется функцией Лагранжа данной системы, а интеграл – действием». «Как мы видели в §5, лагранжева функция замкнутой (или находящейся в постоянном поле) системы имеет вид:

где T – квадратичная функция скоростей». Функцию T «называют кинетической энергией, а функцию U – потенциальной энергией системы». И, кроме того, «величина

остается неизменной при движении замкнутой системы, т.е. является одним из интегралов ее движения». «Легко видеть, что масса не может быть отрицательной. В самом деле, согласно принципу наименьшего действия для действительного движения материальной точки, из точки 1 в точку 2 интеграл

имеет минимум. Если бы масса была отрицательной, то для траекторий, по которым частица сначала быстро удаляется от 1, а затем быстро приближается к 2, интеграл действия принимал бы сколь угодно большие по абсолютной величине отрицательные значения, т.е. не имел бы минимума». Последнее процитированное утверждение в полной мере относится не только к массе, но и ко всей функции Лагранжа свободно движущегося тела.

Интеграл движения свободно движущегося тела совпадает с его кинетической энергией T, равной функции Лагранжа, при этом последняя в классической механике является однородной дифференцируемой и квадратичной по скорости функцией. При отсутствии внешнего воздействия на тело или систему тел интеграл движения, определяемый через неоднородную (по скорости) функцию Лагранжа, в принципе, также должен совпадать с кинетической энергией и быть равным функции Лагранжа.

Ни инвариантный интервал, ни время собственное в любой из двух указанных ранее форм его представления не являются функцией Лагранжа материальной точки, хотя и содержат необходимый для определения функции Лагранжа состав независимых переменных, поскольку они заданы не через независимые переменные, а через их изменения. Следовательно, либо инвариантный интервал и время собственное могут быть каким-то образом использованы для определения функции Лагранжа, либо лоренц-инвариантность является новым законом природы (и математики), опровергающим вышеуказанное утверждение о том, что наиболее общая формулировка закона движения механических систем основана на принципе наименьшего действия и задается с помощью функции Лагранжа.

Второе из данных предположений не может даже рассматриваться серьезно, так как в области механического движения принцип наименьшего действия может быть нарушен только в результате сознательных действий, чего от неживой природы ожидать не приходится. А вот первое предположение с той или иной степенью общепризнанности рассматривается в физике, и результаты этого рассмотрения будут проанализированы ниже.

Но прежде, чем это сделать, необходимо высказать несколько замечаний.

Поскольку в специальной теории относительности мы имеем дело с четырехмерным пространством, то необходимо определиться с тем, что можно называть механическим движением тел в таком пространстве. Так как движение определяется как изменение длины пути за промежуток времени, то для корректного определения движения необходимо существование независимого времени в дополнение к четырем координатам нашего пространства. Специальная теория относительности не предусматривает такой возможности, поскольку инвариантный интервал не является временем по определению, а время собственное прямо не используется для определения скорости перемещения тела по временной координате. Скорость же света, используемая в качестве множителя в выражении длины временной координаты, не является скоростью движения – это не векторная, а скалярная величина в определении длины временной координаты. Выбор именно данной величины был обусловлен ее размерностью и тем, что скорость света является величиной постоянной в разных инерциальных системах. Казалось бы, в связи с этими обстоятельствами частная производная по времени для четвертой (временной) координаты не может быть определена в принципе. И, следовательно, нахождение функции Лагранжа для четырехмерного пространства было бы невозможным. Но все дело в том, что принятое за базу для классических преобразований Лоренца выражение не зависит от количества координат в пространстве. Оно должно быть справедливым, как для трехмерного, так и для четырехмерного пространств. В этом случае время t является независимой переменной, используемой в специальной зависимости. И, учитывая однородность времени, а также постоянство скорости света, время собственное в этом случае можно использовать как независимое время четырехмерной системы координат. Однако это утверждение вовсе не означает, что скорость движения тела в четырехмерном пространстве действительно определена для случая движения по временной координате. Нами просто принято условие, удобное для определения длины единичного отрезка четвертой координаты без определения независимого параметра – времени для такой системы координат. А то, что время собственное не является независимым временем четырехмерной системы координат прямо вытекает из того, что при его использовании невозможно определить состояние покоя, то есть отсутствие движения по каждой из координатных осей этого четырехмерного пространства. Но введение понятия об инвариантном интервале позволяет рассматривать время собственное в качестве параметра, независимость которого исключается именно введением указанного интервала. Данные обстоятельства приводят к тому, что задача определения функции Лагранжа для движения механических систем в четырехмерном пространстве в конечном итоге может быть сведена к задаче нахождения этой функции для трехмерного пространства с независимым временем. Это прямо вытекает из условия равенства при состоянии покоя в лабораторной системе координат времени собственного и времени координатного, которое является независимым временем трехмерной системы координат, а также взаимозависимости координатных времен в различных системах отсчета. При этом то, что это независимое для трехмерного пространства время является параметром, определяющим одну из координат четырехмерного пространства и совпадающим в одном из случаев с временем собственным, должно учитываться при нахождении функции Лагранжа для трехмерного пространства.

В физической литературе описано множество попыток определить функцию Лагранжа механического движения применительно к лоренц-инвариантному интервалу, в соответствии с которыми функция Лагранжа может иметь вид , либо независимо от размерности систем координат. Оба эти выражения находятся в явном противоречии с определением кинетической энергии (см. [7], с.16, 18, 26), величина которой для свободно движущегося тела должна совпадать с функцией Лагранжа. Подчеркнем, что кинетическая энергия тела определяется в специальной теории относительности как , то есть существует полная несовместимость определения релятивистской функции Лагранжа с ее сущностным содержанием.

Кроме того, в специальной теории относительности делается ничем не обоснованное исключение из теории, требующей определения кинетической энергии свободно движущегося тела через интеграл его движения, а сама кинетическая энергия определяется по особым правилам, основанным на существовании лоренц-инвариантного соотношения для энергии и импульса (инвариантная масса):

Совершенно очевидно, что при таком определении кинетической энергии ни функция Лагранжа, ни выражение для интеграла движения не используются. Однако одновременно с полным отказом от принципов классической физики делается попытка представить дело так, как будто никакого отказа от этих принципов нет.

Попробуем все же рассмотреть данный вопрос без отказа от принципов классической теории.

Прежде всего, следует отметить, что определение функции Лагранжа является обязательным результатом решения задачи об особенностях наблюдения за движущимся телом при условии конечности скорости света. В классической механике принято считать функцию Лагранжа равной разности кинетической и потенциальных энергий, а полную энергию механической системы – сумме этих энергий. В связи с этим функция Лагранжа при отсутствии внешнего потенциального поля может быть только положительной величиной. Данное условие необходимо сохранить и при определении функции Лагранжа для четырехмерного пространства. С учетом указанных обстоятельств, а также замечаний относительно независимого времени четырехмерного пространства систему уравнений Эйлера-Лагранжа для свободной материальной точки можно записать в виде . Здесь и далее использовано обозначение . Функция Лагранжа свободно движущегося тела не зависит в явном виде ни от радиус-вектора, ни от времени. Кроме того, функция Лагранжа не может зависеть также от направления вектора скорости и является функцией его абсолютной величины, то есть должна быть функцией от квадрата скорости движения тела . Для четырехмерной системы координат, ориентированной таким образом, чтобы движение тела определялось только изменением времени, (будем назвать ее «движущейся») можно определить функцию Лагранжа в виде: , что, с учетом постоянства скорости света, позволяет обеспечить соблюдение требования о равномерности данного движения. Коэффициент пропорциональности в виде единицы выбран, исходя из соображений перехода уравнений релятивистской динамики в динамику Ньютона, что будет видно из дальнейшего.

При определении функции Лагранжа в четырехмерных системах координат, не связанных с условием движения тела только по временной координате, необходимо учесть, что в них по сравнению с системой, где движение тела происходит только по временной координате, используются иные величины пространственных координат и для одного и того же инвариантного интервала. И движение тела, принадлежащего системе координат , наблюдается в лабораторной системе , в которой наблюдатель считает себя неподвижным, а тело движущимся не только по временной координате. При этом различие координатных сеток заключается в единицах измерения для при наличии условия связи между ними , позволяющего сравнивать эти сетки. Применительно к системе уравнений Эйлера-Лагранжа это означает, что , (так как , а ), а коэффициент определяет отношение измеренных с помощью одной и той же единицы длины размеров одной из сторон аналогичных ячеек в координатных сетках (их сравнительный масштаб). В то же время описание разных способов движения тела осуществляется сторонним наблюдателем с помощью единственно доступного ему метрического эталона (одинаковых ячеек). И ему вовсе необязательно использовать две различные системы отсчета, поскольку он видит движение тела только по своей координатной сетке, но не связанную с движущимся телом сетку. А так как наблюдатель не видит другую систему отсчета и руководствуется своими размерами ячеек, то эффект, определяемый различием масштабов сравниваемых систем координат, является для него целиком и полностью следствием различий в определении функции Лагранжа. В этом случае необходимой для учета разных способов описания движения тела процедурой замены переменных в системе уравнений Эйлера-Лагранжа является замена функции Лагранжа системы отсчета, где тело движется только по временной координате, на ее «масштабированное» выражение лабораторной системы координат при использовании (сохранении) единственно доступных наблюдателю независимых переменных. А поскольку функция Лагранжа свободно движущегося тела не может зависеть от координат, в том числе и от , то является справедливым утверждение, что , и общее выражение функции Лагранжа в этом случае имеет вид:

.

Тот же самый результат может быть получен, если действие определяется разными наблюдателями для своих четырехмерных пространств. Поскольку используемые нами четырехмерные системы координат являются неподвижными относительно друг друга, то и действие S для них является одним и тем же. А так как между указанными системами существует взаимосвязь, устанавливаемая через независимые времена трехмерных инерциальных систем отсчета, являющихся отображением четырехмерных систем координат в трехмерном пространстве, то это самое действие можно определить для разных четырехмерных систем с помощью указанных независимых времен для трехмерных систем отсчета. В этом случае . Следовательно, переходя от действия к функции Лагранжа на основе известной зависимости между ними, сразу же видно, что а .

Определять выражение для энергии по интегралу движения в четырехмерном пространстве нет ни практической необходимости, ни возможности, так как для этого пространства нет точного понимания, что собой представляют собственно четырехмерное движение и состояние покоя.

Для того чтобы найти выражение для функции Лагранжа в трехмерном пространстве, необходимо обратить внимание на следующее.

Движение тела только по временной координате определяет его кинетическую энергию как при отсутствии внешнего потенциального поля. И, учитывая, что обе используемые нами четырехмерные системы координат являются неподвижными, можно считать, что величина является сохраняющейся при движении теле по временной координате любой четырехмерной системы координат независимо от того, есть в ней движение тела по остальным пространственным координатам или нет. Тогда, учитывая, что кинетическая энергия является скалярной величиной, в выражении для функции Лагранжа четырехмерного пространства можно выделить трехмерную пространственную составляющую кинетической энергии:

И именно эту функцию может и должен применять неподвижный (лабораторный) наблюдатель, использующий трехмерную систему координат. А введенное Эйнштейном выражение является определением величины скрытой от непосредственного наблюдения кинетической энергии движения тела по временной координате, то есть «внутренней» энергией покоя тела в трехмерном пространстве.

Для того, чтобы использовать выражение четырехмерного интеграла движения в трехмерном пространстве необходимо основываться на независимом времени этого трехмерного пространства и трехмерной же скорости вместо четырехмерной скорости . Поскольку вместо производной необходимо использовать производную , следует учесть, что единицы измерения времени в лабораторной и движущейся системах координат для неподвижного наблюдателя количественно различаются. А так как течение времени в движущейся системе координат принято нами совпадающим с ходом времени собственного, и , то производная может быть заменена на с учетом отношения разных единиц измерения времени, которое равно to . А это значит, что уравнение для интеграла движения должно быть записано в виде Здесь .

Прямая подстановка выражения в указанное уравнение интеграла движения показывает, что кинетическая энергия свободно движущегося тела для наблюдателя из трехмерной лабораторной системы координат равна функции Лагранжа, определяющей движение тела, несмотря на то, что в отличие от классической механики данная функция является неоднородной.

Определением механического импульса в четырехмерном пространстве является выражение . Данное выражение нельзя непосредственно использовать для трехмерного пространства, так как мы имеем дело с различными независимыми переменными, отвечающими за течение времени в этих пространствах. Поэтому в правую часть данного определения необходимо ввести добавочный коэффициент , учитывающий изменение выражения для интеграла движения при замене одного независимого времени на другое. Кроме того, надо учесть, что замена скорости в выражении импульса для четырехмерного пространства не может быть осуществлена только заменой символов. Изменение единиц измерения времени должно быть учтено также и при замене скорости , определенной с помощью единиц измерения времени собственного, на трехмерную скорость , определяемую с помощью единиц измерения времени в лабораторной системе координат. Как это было отмечено выше, при определении выражения для интеграла движения в трехмерном пространстве должно быть учтено изменение размерности единиц измерения скорости в различных (по количеству переменных) системах координат , учитывающее изменение размерности единиц измерения времени. Поэтому в формуле для механического импульса необходимо использовать величину вместо переменной .

Что же касается функции Лагранжа, то изменение размерности единиц измерения времени при переходе от одной системы координат к другой системе учитывается путем изменения вида определения этой функции в разных системах координат. При этом необходимо подчеркнуть, что на скорость света изменение единиц измерения времени не влияет в соответствии со вторым постулатом специальной теории относительности. А величина относительной скорости является безразмерной, возникает только при определении функции Лагранжа в одной из систем координат (лабораторный наблюдатель и движущееся тело), и на нее не распространяется требование учета различия в единицах измерения времени при переходе от одной системы координат к другой.

И после всех уточнений выражение для механического импульса в трехмерном пространстве определяется следующим образом:

Следует отметить, что подобные выражения для импульса и времени собственного обсуждаются [2] при описании поведения гипотетических частиц – тахионов.

При малых значениях скорости тела (в трехмерном пространстве) кинетическая энергия, равно как и функция Лагранжа, будут выражены в привычной для классической механики форме без необходимости исключения каких-либо дополнительных величин:

при

При этом выполняется также известное из классической механики условие .

Данные обстоятельства объясняют правильность выбора единицы в качестве коэффициента при определении функции Лагранжа свободно движущегося только по временной координате в четырехмерном пространстве тела.

И поскольку для однородной и неоднородной функций Лагранжа определение силы через ускорение является одним и тем же, то:

Следовательно, выражение для силы совпадает с классическим выражением только при .

Отметим, что правила преобразования физических величин при переходе от четырехмерного пространства к трехмерному пространству не являются каким-то особым принципом (законом), который должен учитываться при построении физических теорий. В то же время, релятивистский принцип в форме лоренц-инвариантных преобразований импульса и энергии не дает возможности считать классическую механику частным случаем релятивистской механики и означает полный отказ от принципов классической механики, к тому же связанный с введением предельной скорости движения материальных объектов.

Но может быть релятивистский принцип лоренц-инвариантности справедлив в отношении электродинамики? Попробуем разобраться в этом вопросе.

Соответствие уравнений электродинамики принципу лоренц-инвариантности определяется выражением , для которого справедливы следующие зависимости: