Теоретические основы инвестиций в акции, облигации и стандартные опционы

то первое слагаемое в соотношении (1.4) для чистой приведенной стоимости представляется возможным упростить

и формула для определения внутренней ставки доходности акции преобразуется к виду

Таким образом, в методе дисконтирования дивидендов согласно соотношению (1.6) под внутренней ставкой доходности понимается дивидендная доходность акции.

Модель постоянного роста дивидендов. В этой модели предполагается, что дивиденды будут расти от периода к периоду в одной пропорции, т. е. с одинаковым темпом роста. Например, если дивиденды, выплаченные в предыдущем году, составляли, то в текущем году ожидаются выплаты в размере, а в следующем — и т. д.

Тогда соотношение для чистой приведенной стоимости (1.4) преобразуется к виду

Поскольку

то первое слагаемое в соотношении для чистой приведенной стоимости можно упростить

и формула для определения внутренней ставки доходности будет иметь вид

Модель переменного роста дивидендов. Главной особенностью данной модели является необходимость прогноза выплат дивидендов до некоторого момента времени, после которого ожидается рост выплат дивидендов с постоянным темпом. В этом случае поток дивидендов можно условно расчленить на две составляющие части — до и после момента времени

По аналогии с изложенным выше для определения внутренней ставки доходности акции необходимо решить численными методами уравнение

Следует отметить, что теоретически возможно множество вариантов моделей потока дивидендов. Тем не менее, данное обстоятельство не может существенно усложнить расчёты чистой приведенной стоимости и внутренней ставки доходности акции или портфеля акций. К основной проблеме относится надёжный прогноз будущего денежного потока дивидендов и ставки дисконтирования.

Кроме того, обязательным условием для применения в теории и на практике рассмотренных моделей является наличие информации о цене покупки акции или портфеля акций. До момента покупки — продажи активов инвестору достоверно известны дивидендные выплаты и динамика курсов каждого актива в течение рассматриваемого периода времени. Такие данные публикуются в известных специализированных изданиях. Но до момента купли — продажи инвестор может только предполагать уровень цены, по которой будет приобретен или продан тот или иной актив. Цена покупки — продажи, а, следовательно, и другие расчётные показатели актива инвестору будут достоверно известны только апостериори.

1.3. Автономный и портфельный риски инвестиций

Риск в экономике определяется как «опасность, подверженность потере или ущербу». Риск определяет вероятность того, что произойдёт некое неблагоприятное событие.

Риск, связанный с активом, можно рассматривать с двух позиций:

как автономный риск, когда актив рассматривается изолированно от других активов;

как портфельный риск, когда актив рассматривается во взаимосвязи с другими активами.

Таким образом, автономный риск — это риск, с которым инвестор столкнётся, если инвестиции будут осуществлены только в один актив. На самом деле финансовые активы практически никогда не держатся инвесторами по отдельности — они объединяются в портфели. Но для того, чтобы оценить портфельный риск, необходимо уметь рассчитывать и автономные риски для всех финансовых активов.

Чтобы проиллюстрировать автономный риск, связанный с финансовыми активами, предположим, что инвестор покупает краткосрочные векселя Казначейства США, обеспечивающие доходность 5 % на сумму 100 тыс. долл. США [5]. В этом случае доходность такой операции предсказывается точно и такую инвестицию можно считать безрисковой.

Если бы сумма 100 тыс. долл. США была вложена в акции только что образованной компании, которая планирует начать бурение в новом нефтегазоносном районе, то доходность такого капиталовложения вычислить не представляется возможным. Средняя доходность вложений в подобный бизнес в США составляет примерно 20 %. Инвестор должен также иметь в виду, что фактическая доходность может изменяться в пределах от +1000 % до отрицательной величины –100 %. Поскольку существует серьёзная опасность получения отрицательного дохода (убытков), акции такой компании будут считаться рискованными [5].

Ни одна инвестиция не будет осуществлена, если средняя доходность недостаточно высока для того, чтобы компенсировать риск инвестиции. Например, вряд ли найдутся инвесторы, которые пожелают приобрести акции нефтяной компании в рассмотренном примере, если средняя доходность этих акций окажется 5 %, как и векселей Казначейства США.

Для инвестора очевидным негативным событием является отрицательность доходности актива. Поэтому в качестве меры автономного риска, согласно определению, логично использовать уровень вероятности такого события.

В целях упрощения расчётов в качестве меры автономного и портфельного риска Г.Марковиц предлагает использовать СКО дохода актива. Такая мера риска принята как постулат в портфельной теории. Обоснование выбора СКО дохода актива в качестве меры автономного и портфельного риска поясняется примером [1, с. 171], который анализируется ниже.

Предположим, что имеются два портфеля активов А и В, доходы от которых имеют нормальную плотность распределения (1.2). Функция распределения уровня дохода портфеля или вероятность того, что случайный уровень дохода не превзойдёт значения, определяется как

Тогда при цене покупки портфеля вероятность отрицательной доходности портфеля (т. е. вероятность того, что) рассчитывается по формуле

Функции распределения уровней доходов портфелей и, т. е. вероятности того, что доходы портфелей А и В окажутся ниже установленного уровня, рассчитанные с использованием таблицы значений интеграла вероятностей (см. приложение 1) представлены в табл. 1.1 (см. табл. 7.1 в [1]).

Таблица 1.1

Функции распределения уровней доходов портфелей А и В

,

тыс. долл.

70

80

90

100

110

120

130

0

0

0,04

0,21

0,57

0,88

0,99

0,02

0,05

0,14

0,27

0,46

0,66

0,82

Для наглядности функции распределения уровней доходов портфелей А и В показаны графически на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Функции распределения уровней доходов портфелей А и В

В рассматриваемом примере [1] цена покупки портфелей одинакова и составляет тыс. долл., портфель А имеет МО доходности, а портфель В —. Это означает, что МО доходов портфелей составляют и тыс. долл. соответственно. Кроме того портфель А имеет СКО дохода тыс. долл., а портфель В — тыс. долл. Инвестору необходимо выбрать наиболее перспективный портфель активов — А или В.

Другими словами, инвестор должен сопоставить два портфеля с различными инвестиционными качествами и выбрать (обоснованно или интуитивно) наилучший. Для инвестора такая задача является типовой.

Анализ представленных в табл. 1.1 и на рис. 1.1 зависимостей, показывает, что инвестор может принять решение на основе сравнения вероятностей отрицательных доходностей портфелей [1].

Например, при цене покупки портфелей тыс. долл. вероятности отрицательной доходности портфелей составляют и. То есть вероятность отрицательной доходности у портфеля А ниже, чем у портфеля В. На этом основании в [1] сделан вывод, что портфель А с меньшим СКО дохода является менее рискованным, и по этой причине инвестор должен отдать этому портфелю предпочтение. Данный вывод обобщается для всех портфелей без исключения, а СКО дохода принимается в качестве меры инвестиционного риска портфеля активов.

Проанализируем изложенное более детально. Исходя из практических соображений, инвестор может выбрать и другой подход, основанный на сравнении вероятностей положительных доходностей. Например, используя графики зависимостей на рис. 1.1, получаем и, и. То есть вероятности недостижения МО доходностей в 8 % и 12 % у портфеля А выше, чем у портфеля В. С этой точки зрения портфель с большим СКО является более доходным и, следовательно, для инвестора более привлекательным.

На практике инвестор принимает то или иное решение не на основе сравнения СКО дохода, а, по крайней мере, на основе трёх взаимозависимых параметров активов:

цены покупки;

математического ожидания доходности;

риска (вероятности отрицательной доходности).

Естественно, при прочих равных условиях инвестор выберет наиболее дешёвый и доходный портфель с минимальной вероятностью отрицательной доходности.

В некоторых частных случаях на основе анализа зависимостей, представленных на рис. 1.1, типовая задача выбора портфеля решается на основе логических умозаключений, например:

Предположим, что цены покупки портфелей одинаковы и составляют тыс. долл. В точке пересечения зависимостей и вероятности отрицательных доходностей обоих портфелей одинаковы и равны. При равенстве двух параметров инвестор однозначно отдаст предпочтение портфелю В, который имеет большее МО доходности (МО доходности портфеля А составляет).

Предположим, что цена покупки портфеля А составляет тыс. долл., а портфеля В — тыс. долл. При таких ценах покупки вероятности отрицательной доходности портфелей равны и составляют В этом случае инвестор отдаст предпочтение более дешёвому и доходному портфелю В ,

Предположим, что цена покупки портфеля А составляет тыс. долл., а портфеля В — тыс. долл. При таких ценах покупки портфелей вероятности отрицательной доходности составляют и, а их МО доходности — и. В этом случае инвестор отдаст предпочтение более дешёвому и доходному портфелю с минимальной вероятностью отрицательной доходности, т. е. портфелю А.

Таким образом, в результате достаточно простых умозаключений инвестор может отдать предпочтение как портфелю А, так и портфелю В. Значение вероятности отрицательной доходности в соответствии с соотношением (1.7) зависит не только от величины СКО дохода, но и от цены покупки портфеля и МО дохода. Следовательно, СКО дохода не может служить в качестве меры инвестиционного риска изолированно от цены покупки портфеля и МО дохода, а мерой автономного и портфельного рисков может быть только вероятность отрицательной доходности актива или портфеля активов.

В общем случае решение проблемы выбора портфеля на основе логического анализа взаимозависимых параметров активов не представляется возможным. Например, задача выбора наилучшего из двух портфелей А и В (рис. 1.1) при одинаковых ценах покупки тыс. долл. на основе подобных логических умозаключений вряд ли разрешима. Для решения такой задачи необходим инструмент определения МО доходности актива, при которой компенсируется риск отрицательной доходности.

1.4. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение доходности портфеля активов

С целью снижения инвестиционного риска инвесторы распределяют капитал, как правило, между несколькими видами ценных бумаг, т. е. формируют портфель активов.

Следует отметить, что поскольку текущие курсы ценных бумаг являются случайными величинами, то и текущие стоимость и доходность портфеля активов также случайны. Из теории вероятностей известно следующее свойство композиции (суммы) случайных величин: при композиции достаточно большого числа случайных величин с произвольными плотностями распределения суммарная плотность распределения результирующей случайной величины оказывается сколь угодно близка к нормальной вне зависимости от того, каковы были плотности распределения слагаемых [2]. При композиции двух или более случайных величин с нормальными плотностями распределения результирующая случайная величина всегда имеет нормальную плотность распределения [2]. Причём МО и дисперсия (квадрат СКО) результирующей случайной величины рассчитываются как суммы МО и дисперсий (квадратов СКО) слагаемых случайных величин. Следовательно, текущие стоимость и доходность портфеля активов можно полагать нормально распределёнными.

Необходимость формирования портфеля активов обусловлена двумя причинами.

Во — первых, всегда существует риск дефолта (неплатежа) эмитентов ценных бумаг. Очевидно, портфель, содержащий сравнительно небольшое количество активов (например, одну ценную бумагу), обладает катастрофическим риском. Это означает, что в случае дефолта одного из эмитентов инвестор понесёт недопустимо большие потери, сравнимые со стоимостью всего портфеля.

В литературе встречается термин «хорошо диверсифицированный портфель» — портфель, в котором предельно сокращён максимальный объём инвестиций в один рискованный актив. Подразумевается, что владелец такого портфеля в случае наступления негативного события психологически готов к относительно небольшим и прогнозируемым потерям. Считается, что хорошо диверсифицированный портфель должен содержать не менее 20 видов активов. При таком количестве видов активов в портфеле в случае дефолта одного из эмитентов инвестор не теряет шансы на получение дохода.

Во — вторых, диверсификация инвестиций приводит к уменьшению СКО стоимости и доходности портфеля и, как следствие, к снижению риска отрицательной доходности портфеля. Согласно портфельной теории Г.Марковица инвестор стремится оптимизировать структуру портфеля таким образом, чтобы МО доходности было максимальным, а СКО доходности — минимальным. Такой портфель должен содержать около 30–40 видов ценных бумаг компаний, действующих в различных отраслях [5, 6].

Определим МО и СКО доходности портфеля активов, используя при этом известные положения теории вероятностей — теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин [2].

Математическое ожидание доходности портфеля активов. В соответствии с соотношением (1.3) для оценки МО доходности портфеля, содержащего видов активов, необходимо определить цену покупки портфеля, МО капитального дохода и дивидендный доход портфеля.

При наличии в портфеле нескольких видов активов цена покупки портфеля составляет