Ж. Л. Лагранж.
Лагранж Шарль
Лагра'нж (Lagrange) Шарль (28.2.1804, Париж, — 22.12.1857, Лейден), французский политический деятель, мелкобуржуазный демократ. Активно участвовал в Июльской революции 1830. Являлся одним из главных руководителей Лионского восстания 1834, после подавления восстания был приговорён к тюремному заключению. В 1839 амнистирован. Руководил вооруженной борьбой в дни Февральской революции 1848. В июне 1848 избран депутатом Учредительного, а в мае 1849 — Законодательного собрания. После государственного переворота Луи Бонапарта 1851 выслан из Франции.
Лагранжа метод множителей
Лагра'нжа ме'тод мно'жителей, метод решения задач на условный экстремум; Л. м. м. заключается в сведении этих задач к задачам на безусловный экстремум вспомогательной функции — т. н. функции Лагранжа.
Для задачи об экстремуме функции f (х1, x2,..., xn) при условиях (уравнениях связи) ji(x1, x2, ..., xn) = 0, i = 1, 2,..., m, функция Лагранжа имеет вид
.
Множители y1, y2, ..., ym наз. множителями Лагранжа.
Если величины x1, x2, ..., xn, y1, y2, ..., ym суть решения уравнений, определяющих стационарные точки функции Лагранжа, а именно, для дифференцируемых функций являются решениями системы уравнений
, i = 1, …, n; , i = 1, …,m,
то при достаточно общих предположениях x1, x2, ..., xn доставляют экстремум функции f. Функция Лагранжа L применяется также при исследовании задач вариационного исчисления и математического программирования. Впервые Л. м. м. был предложен в 1797 Ж. Лагранжем в связи с задачами дифференциального исчисления.
Лит.: Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 2, М., 1970.
Лагранжа уравнения
Лагра'нжа уравне'ния,
1) в гидромеханике — уравнения движения жид кой среды, записанные в переменных Лагранжа, которыми являются координаты частиц среды. Из Л. у. определяется закон движения частиц среды в виде зависимостей координат от времени, а по ним находятся траектории, скорости и ускорения частиц. Обычно этот путь исследования оказывается достаточно сложным, и при решении большинства гидромеханических задач идут другим путём, используя Эйлера уравнения гидромеханики. Л. у. применяют главным образом при изучении колебательных движений жидкости.
Л. у. являются уравнениями в частных производных и имеют вид:
(i = 1, 2, 3),
где t — время, х, у, z — координаты частицы, a1, a2, a3 — параметры, которыми отличаются частицы друг от друга (например, начальные координаты частиц), X, Y, Z — проекции объёмных сил, р — давление, r — плотность.
Решение конкретных задач сводится к тому, чтобы, зная X, Y, Z, а также начальные и граничные условия, найти х, у, z, р, r как функции t и а1, a2, a3. При этом надо использовать ещё неразрывности уравнение (тоже в переменных Лагранжа) и уравнение состояния в виде r = f(Р) (для несжимаемой жидкости r — const).
2) В общей механике — уравнения, применяемые для изучения движения механической системы, в которых за величины, определяющие положение системы, выбирают независимые между собой параметры, называют обобщёнными координатами. Впервые получены Ж. Лагранжем в 1760.
Движение механической системы можно изучать, используя или непосредственно уравнения, которые даёт 2-й закон динамики, или получаемые как следствия из законов динамики общие теоремы (см. Динамика). Первый путь приводит к необходимости решать большое число уравнений, зависящее от числа точек и тел, входящих в систему; кроме того, эти уравнения содержат дополнительные неизвестные в виде реакций наложенных связей (см. Связи механические). Всё это приводит к большим математическим трудностям. Второй путь требует применения каждый раз разных теорем и для сложных систем приводит в итоге к тем же трудностям.
Л. у. дают для широкого класса механических систем единый и достаточно простой метод составления уравнений движения, не зависящий от вида (сложности) конкретной системы. Большое преимущество Л. у. состоит в том, что число их равно числу степеней свободы системы и не зависит от количества входящих в систему точек и тел. Например, машины и механизмы состоят из многих тел (деталей), а имеют обычно 1—2 степени свободы; следовательно, изучение их движения потребует составления лишь 1—2 Л. у. Кроме того, при идеальных связях из Л. у. автоматически исключаются все неизвестные реакции связей. По этим причинам Л. у. широко используются при решении многих задач механики, в частности в динамике машин и механизмов, в теории колебаний, теории гироскопа и др. Кроме этого, в случае, когда на систему действуют только потенциальные силы, Л. у. приводятся к виду, позволяющему использовать их (при соответствующем обобщении понятий) не только в механике, но и в др. областях физики.
Для голономных систем Л. у. в общем случае имеют вид:
(i = 1,2, ..., n),
где qi — обобщённые координаты, число которых равно числу n степеней свободы системы, — обобщённые скорости, Qi — обобщённые силы, Т — кинетическая энергия системы, выраженная через qi и .
Для составления уравнений (1) надо найти выражение Т и вычислить по заданным силам Qi. После подстановки Т в левые части уравнения (1) будут содержать координаты qi и их первые и вторые производные по времени, т. е. будут дифференциальными уравнениями 2-го порядка относительно qi. Интегрируя эти уравнения и определяя постоянные интегрирования по начальным условиям, находят зависимости qi(t), т. е. закон движения системы в обобщённых координатах.
Когда на систему действуют только потенциальные силы, Л. у. принимают вид:
(i = 1,2, ..., n),
где L = Т — П — т. н. функция Лагранжа, а П — потенциальная энергия системы. Эти уравнения используются и в др. областях физики.
Уравнения (1) и (2) называют ещё Л. у. 2-го рода. Кроме них, есть Л. у. 1-го рода, имеющие вид обычных уравнений в декартовых координатах, но содержащие вместо реакций связей пропорциональные им неопределённые множители. Особыми преимуществами эти уравнения не обладают и используются редко, главным образом для отыскания реакций связей, когда закон движения системы найден другим путём, например с помощью уравнений (1) или (2).
Лит. см. при ст. Механика. О Л. у. в гидромеханике см. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В., Теоретическая гидромеханика, 6 изд., ч. 1, М., 1963.
С. М. Тарг.
Лагранжа формула
Лагра'нжа фо'рмула, одна из основных формул дифференциального исчисления; то же, что конечных приращений формула. Найдена Ж. Лагранжем (1797).
Лагранжа функция
Лагра'нжа фу'нкция, кинетический потенциал, характеристическая функция L(qi, , t) механической системы, выраженная через обобщённые координаты qi, обобщённые скорости и время t. В простейшем случае консервативной системы Л. ф. равна разности между кинетической Т и потенциальной П энергиями системы, выраженными через qi и , т. е. L = T(qi, , t) — П(qi). Зная Л. ф., можно с помощью наименьшего действия принципа составить дифференциальные уравнения движения механической системы.
Лагтинг
Ла'гтинг (lagting), 1) в Норвегии верхняя палата парламента (стортинга); избирается стортингом в составе одной четверти его членов, остальные три четверти депутатов образуют нижнюю палату — одельстинг. 2) На Фарерских островах — выборный орган местного управления.
Ла-Гуайра
Ла-Гуа'йра (La Guaira), город на С. Венесуэлы. 24,5 тыс. жителей (1969). Крупный морской порт на Карибском море (3/5 импорта страны; грузооборот свыше 1 млн. т в год). Железными и автодорогами соединён с Каракасом. Центр рыболовства. Обработка импортного сырья. Основан в 16 в.
Ла-Гулет
Ла-Гуле'т, французское название г. Хальк-эль-Уэд в Тунисе, употреблявшееся в период колониального господства Франции.
Лагуна
Лагу'на (итал. laguna, от лат. lacus — озеро),
1) неглубокий естественный водный бассейн, соединяющийся с морем узким проливом (или проливами) или отделённый от моря полосой наносной суши — баром. Вследствие слабой связи с морем или полного обособления Л. имеют иную, чем в море (более высокую или более низкую), солёность и специфические лагунные отложения, а также флору и фауну. Л. образуются в результате отчленения участка прибрежной акватории моря или озера береговым баром или косой или другой береговой аккумулятивной формой. Л., отчленённые баром, вытянуты параллельно берегу. Берега лагунного типа могут простираться на тысячи километров (например, берега Мексиканского залива). В СССР лагунные берега распространены на Чёрном (к С. от Дуная) и Каспийском (восточный берег) морях, на Сахалине, Камчатке, Чукотском полуострове.
2) Участок моря, заключённый между коралловыми рифами и берегом материка или острова, а также внутри атолла.
Лагунные отложения
Лагу'нные отложе'ния, осадки лагун. Среди осадков опреснённых лагун преобладают песчаные, глинистые, а иногда глинисто-карбонатные илы, обогащенные органическим веществом; в ископаемом состоянии им соответствуют песчано-глинистые отложения с маломощными прослоями мергелей и известняков; часто содержат также прослои и линзы углей. В лагунах с ненормально высокой солёностью воды отлагается чёрный ил с резким запахом сероводорода, сложенный преимущественно кристалликами различных хемогенных образований; в состав ископаемых соленосных Л. о. входят пласты сульфатных и хлористых солей натрия, гипс, ангидрит, а из карбонатных пород — доломитовые известняки, доломиты и иногда магнезит. Оба типа Л. о. характеризуются либо отсутствием ископаемой фауны, либо её угнетёнными и специализированными формами с пышным развитием немногих видов при крайнем однообразии состава фауны. Л. о. отличаются быстрой сменой пород и фаций в горизонтальном и вертикальном направлениях, что указывает на переходные условия их образования, с одной стороны, к типичным морским, а с другой — к континентальным. Из полезных ископаемых с ними чаще всего связаны соли, гипс, ангидрит и угли. В отложениях лагун, расположенных в кольцевых кораллах-атоллах, представлены карбонатные осадки, сцементированные известью.
Лагутин Борис Николаевич
Лагу'тин Борис Николаевич (р. 24.6.1938, Москва), советский спортсмен-боксёр, заслуженный мастер спорта (1963), преподаватель. Окончил институт физкультуры в Москве (1963) и МГУ (1971). Член КПСС с 1966. Чемпион 18-х (1964, Токио), 19-х (1968, Мехико) и призёр 17-х (1960, Рим) Олимпийских игр, чемпион Европы (1961, 1963) и СССР (1959, 1961 — 64, 1968) в первом среднем весе. Награжден 2 орденами, а также медалями.
Лад
Лад, система взаимосвязей звуков, выраженная в звукоряде. Последовательность ступеней Л. образует его гамму. Необходимое условие существования Л. — качественное различие его ступеней. Каждая из них несёт особую ладовую функцию (см. Функции ладовые), которая обусловливается тяготением неустойчивых звуков к устойчивым (опорным). Основным устоем служит тоника, определяющая тональность лада. Народная музыка, особенно одноголосная, основывается на секундовой взаимосвязи звуков, однако определённую роль в ней играет и квинто-квартовая взаимосвязь, формирующая диатоническую основу Л. (см. Диатоника) и образующая побочные ладовые опоры: на V ступени (автентические лады с квинтовым остовом) или на IV ступени (плагальные лады с квартовым остовом). Эти ладовые опоры представляют зародыш гармонических функций ступеней Л. — доминантовой и субдоминантовой (см. Доминанта и Субдоминанта). Дополнительная опора на III ступени ведёт к образованию гармонической тоники лада — мажорного или минорного трезвучия. Гармонической функции приобрели большое значение в композиторской профессиональной музыке. Они проявляются главным образом в направленности V ступени (доминанты) в тонику, а также в более сложном взаимоотношении тоники с субдоминантой. Причина такой направленности, приведшей к образованию автентической каденции, коренится в акустической природе звука. Тяготение неустоев к устоям следует понимать лишь как тенденцию, которая проявляется в музыке по преимуществу косвенно и реализуется обычно в завершающих каденциях. Л. по существу является обобщённо-абстрагированной системой музыкального мышления и служит для него лишь необходимой логической основой. Л. обладает только общими потенциальными выразительными свойствами, которые сказываются прежде всего в его наклонении (см. Наклонение) — мажорной или минорной окраске (см. Мажор и Минор). В основе диатоники лежат натуральные лады, из которых основополагающим в мажоре стал ионийский лад как полностью соответствующий функциональным отношениям аккордов. Аналогичное место занял полный минор, основанный на эолийском ладе, но включающий вводнотоновое повышение VII ступени (гармонический минор) и служащее для сглаживания интервала увеличенной секунды повышение VI ступени (мелодический минор). На этой почве выросла сложная мажоро-минорная система, включающая признаки остальных натуральных ладов. В относительно сложных муз. произведениях осуществляется модуляция в др. тональности, изменяется звуковой состав Л., один лад сменяется другим (например, минор мажором), происходит усложнение Л. с помощью альтерации его ступеней, которая вносит в звукоряд все 12 полутонов в качестве надстройки над диатоникой. Структура ладов отражает национальные и исторические особенности музыкального искусства и подчиняется общим закономерностям акустики и музыкального восприятия. Наряду с национальными особенностями в ладах разных народов имеется много общего, что содействует взаимопониманию и взаимодействию различных музыкальных культур. С начала 20 в. традиционные ладовые системы в творчестве композиторов стали подвергаться значительным изменениям, что служит предметом исследования музыковедов-теоретиков. Учение о Л. разрабатывается преимущественно в СССР.
Ю. Н. Тюлин.
Лада Йосеф
Ла'да (Lada) Йосеф (17.12.1887, Грусице, — 14.12.1957, Прага), чешский график и живописец, народный художник (1947). Учился в Праге в Художественно-промышленной школе (с 1905), испытал влияние графики М. Алеша. Автор многочисленных иллюстраций, карикатур, рисунков для мультфильмов, выполненных сочными, энергично упрощенными контурными линиями, часто с подцветкой, а также пейзажей («Триптих с чешским пейзажем», 1935, Национальная галерея, Прага). Творчеству Л. присущи простота и ясность, близость к народному творчеству, жизнерадостный юмор. Популярны акварели к «Озорным сказкам» (1946), полные поэтической непосредственности акварели к собственной книге «Воспоминания детства» (1953), остросатирические, создающие галерею социальных характерных типов рисунки тушью к «Похождениям бравого солдата Швейка» Я. Гашека (1924).
Лит.: Йозеф Лада. Книга о художнике, Л., 1971; Novotný 1. A., Ladová ilustrace, Praha, 1957.
Й. Лада. «Будьте здоровы!» (карикатура на буржуазную юстицию). Тушь, акварель.
Ладакх
Лада'кх, горный хребет к С. от Гималаев, в бассейне верхнего Инда. Длина свыше 600 км, высота до 7728 м (г. Гурла-Мандхата). В географической литературе к Л. иногда относят только участок хребта к С.-З. от долины р. Сатледж с максимальной высотой 6332 м. Сложен преимущественно гнейсами и гранитами, а также осадочными породами. Преобладают скалистые зубчатые вершины, северо-восточные склоны более пологие, чем юго-западные; на высоте 5500—5700 м — поверхности выравнивания, перекрытые моренами. В гребневой зоне многочисленные снежники и ледники. На юго-западном склоне разреженные кустарники, низкорослые ивы, кедры; на северо-востоке преобладают ландшафты холодных пустынь.
Ладакхи
Лада'кхи, ладаки, народ, населяющий Ладакх — северо-восточную часть штата Джамму и Кашмир (Индия). Численность свыше 56 тыс. человек (1971, перепись). Антропологически Л. — монголоиды. Язык относится к китайско-тибетским языкам. По религии большинство Л. — ламаисты. Основные занятия — земледелие (в долинах рек) и скотоводство (в горных районах). До середины 20 в. большое значение в экономике Л. имела транзитная торговля между Индией и странами Центральной Азии — Китаем, Монголией, Тибетом; они водили караваны и владели перевалочными базами. По материальной культуре Л. близки к тибетцам. Социальные отношения феодальные и патриархально-феодальные. Наряду с моногамией ещё имеет некоторое распространение братская полиандрия. Землю и другое имущество наследует старший сын.
Лит.: Народы Южной Азии, М., 1963; Рустамов У. А., Современный Кашмир. Очерки истории, экономики и культуры, Таш., 1960.
Ю. И. Журавлёв.
Ладан (ароматич. смола)
Ла'дан (от греч. ládanon), ароматическая смола, получаемая при подсочке коры дерева босвеллия (Bosvellia carterii), семейства бурзеровых, из Восточной Африки и Аравийского полуострова. Затвердевая, Л. распадается на желтоватые кусочки; в составе Л. содержатся камеди, эфирные масла, горечи и др. Л. частично растворим в воде и органических растворителях; при нагревании возгоняется. Применяют для ароматических курений в религиозных обрядах.
Ладан (пос. гор. типа в Черниговской обл.)
Ла'дан, посёлок городского типа в Прилукском районе Черниговской области УССР. Расположен на р. Удай (бассейн Днепра), в 18 км к Ю.-В. от ж.-д. станции Прилуки (на линии Бахмач — Пирятин). Заводы противопожарного оборудования и кирпичный. Вечерний машиностроительный техникум.
Ладани Анна Михайловна
Лада'ни Анна Михайловна (родилась 14.12.1914, селе Великие Лучки, ныне Мукачевского района Закарпатской области), звеньевая колхоза им. В. И. Ленина Мукачевского района Закарпатской области УССР (с 1947), дважды Герой Социалистического Труда (1949, 1958). Член КПСС с 1950. В звене Л. получают высокие урожаи. В 1948 в среднем с 1 га получено подсолнечника по 26,2 ц (10 га), кукурузы (в ц с 1 га): в 1957—102,2 (15 га), в 1960—115,3 (15 га), в 1968—110,2 (25 га), в 1969—112,3 (25 га). Л. — делегат 22-го съезда КПСС и 21—24-го съездов КП Украины, Член Ревизионной комиссии ЦК КП Украины (1956—71). Депутат Верховного Совета Украинской ССР 1—7-го созывов. Награждена 2 орденами Ленина, орденом Трудового Красного Знамени, медалью, а также золотыми и серебряными медалями ВСХВ.
Ладанник
Ла'данник (Cistus), род растений семейства ладанниковых. Кустарники высотой до 2 м, с супротивными цельными опадающими листьями. Цветки диаметром до 8 см, белые, розовые, красные или пурпуровые, в полузонтиках, реже одиночные. Плод — коробочка. Около 20 видов на Канарских островах, в Средиземноморье и далее на В. до Закавказья и Ирана. Л. — характерные растения средиземноморского маквиса. В СССР 2 вида: Л. крымский (С. tauricus), растущий на Южном берегу Крыма и в Западном Закавказье, и Л. шалфеелистный (С. salvifolius) — в Западном Закавказье. Некоторые виды Л. разводят как декоративные.
Ладанниковые
Ла'данниковые (Cistaceae), семейство двудольных растений. Кустарники, полукустарники и травы, часто своеобразно опушенные. Листья простые, большей частью супротивные и цельные. Цветки одиночные или в соцветиях, обычно обоеполые, правильные. Чашелистиков и лепестков по 5, реже по 3; тычинок, как правило, много. Гинецей из 5 или 3 плодолистиков (реже их до 10). Завязь верхняя. Плод — коробочка. 6—8 родов (около 80 видов), главным образом в умеренных областях Северного полушария, особенно в Средиземноморье. В СССР 3 рода (более 20 видов); распространены преимущественно на Кавказе, на сухих солнечных местах. Важнейшие роды Л. — ладанник и солнцецвет (Helianthemum). Среди Л. много декоративных растений.
Лит.: Hutschinson I., The genera of flowering plants, v. 2, Oxf., 1967.
Ладва
Ладва, посёлок городского типа в Прионежском районе Карельской АССР. Расположен на р. Ивинка (бассейн Свири), в 14 км к В. от ж.-д. ст. Ладва (на линии Петрозаводск — Волхов). Лесная промышленность, молочно-овощеводчсский совхоз.
Ладва-Ветка
Ла'два-Ве'тка, посёлок городского типа в Прионежском районе Карельской АССР. Расположен на р. Ивинка (бассейн Свири). Ж.-д. станция (Ладва) на линии Петрозаводск — Волхов. Леспромхоз.
Ладенбург Альберт
Ла'денбург (Ladenburg) Альберт (2.7.1842, Мангейм, — 15.8.1911, Бреславль, ныне Вроцлав, ПНР), немецкий химик-органик и историк химии. Профессор университетов в Гейдельберге (с 1872), Киле (с 1874) и Бреславле (1889—1909). Изучал азотистые гетероциклические соединения, в том числе алкалоиды. В 1886, получив с помощью метода А. Н. Вышнеградского кониин, осуществил первый полный синтез алкалоида.
Соч. в рус. пер.: Лекции по истории развития химии от Лавуазье до нашего времени, Од., 1917.
Лит.: Джуа М.. История химии, пер. с итал., М., 1966, с. 287 и др.
Ладзари Костантино
Ладза'ри, Лаццари (Lazzari) Костантино (1857, Мантуя, — 1927, Рим), деятель итальянского рабочего движения. По профессии журналист. Участвовал в основании в 1882 Итальянской рабочей партии и в 1892 Итальянской социалистической партии (ИСП). В начале 20 в. с обострением борьбы течений в ИСП — один из лидеров левого крыла; в 1912—19 секретарь партии. Вёл борьбу против реформистов, однако, стремясь избежать раскола ИСП, занимал центристские позиции. Во время 1-й мировой войны 1914—18 выдвинул пацифистский лозунг «не участвовать и не саботировать», ставший официальной платформой ИСП. Участник Циммервальдской (1915) и Кинтальской (1916) конференций. Выступал за присоединение ИСП к Коминтерну. Стал руководителем группы сторонников Коминтерна в ИСП («третьеинтернационалистов»), но к итальянской компартии не примкнул. Депутат парламента (1919—26). В период господства фашизма активный участник антифашистской оппозиции.
Ладинский ярус
Лади'нский я'рус, верхний из двух ярусов среднего отдела триасовой системы [см. Триасовая система(период)]. Название предложено австрийским геологом А. Битнером (1892). В типовом разрезе (Доломитовые Альпы) Л. я. представлен мергелями с цефалоподами и прослоями вулканических туфов, переходящими по простиранию в доломиты и рифовые известняки с кораллами и диплопорами. Широко распространён в СССР (Восточно-Европейская платформа, Кавказ, Урал, Средняя Азия, Дальний Восток) и за рубежом (Западная Европа, Малая Азия, Северная Америка).
Ладины
Лади'ны (нем. Ladiner, итал. ladini), народ, входящий в группу ретороманцев. Живут в восточной части Швейцарии и в итальянском Тироле. Общая численность около 40 тыс. человек. Говорят на диалекте ретороманского языка; в Швейцарии пользуются также немецким языком, в Италии — итальянским и немецким. Верующие Л. — протестанты и католики. По происхождению Л. — потомки древних ретов, романизированных в первых веках н. э. Занимаются животноводством и земледелием.
Лит.: Народы зарубежной Европы, т. 2, М., 1965.
Ладовый ритм
Ла'довый ритм, музыкально-теоретическая концепция, созданная Б. Л. Яворским в начале 20 в. Термин «Л. р.» означает развёртывание лада во времени. Концепция эта основывается на выделении в музыке неустойчивых и устойчивых звуков; тяготение неустойчивых звуков к разрешению в устойчивые рассматривается как основополагающее для музыкальной динамики и построения ладов (см. Лад). Источник неустойчивости Яворский видел в интервале тритона. Со своим разрешением тритон образует первичное единство устойчивости и неустойчивости — «единую симметричную систему»; две такие системы на расстоянии полутона дают «двойную симметричную систему». Соединение этих систем образует различные лады. Теория Л. р. дала углублённую трактовку лада, позволила обосновать лады, выходящие за пределы мажоро-минора (увеличенный, уменьшенный, цепной, переменные, дважды-лады). Уязвимая сторона теории Яворского — конструирование ладов на тритоновой основе, что ведёт к трактовке старинных, лишённых тритона ладов (например, пентатоники) как неполных видов более сложных ладовых образований. Ладотональные отношения Яворский рассматривал в связи с формой и ритмическими пропорциями (отсюда название концепции). Целостная концепция Л. р. не сохранила своего значения, но многие её понятия получили развитие в советской музыкально-теоретической мысли.
Лит.: Яворский Б., Строение музыкальной речи, М., 1908; его же, Упражнения в образовании ладового ритма, 2 изд.. М.. 1928; Протопопов С., Элементы строения музыкальной речи, М., 1930; Яворский Б., Воспоминания, статьи и письма, т. 1, М., 1964.
В. А. Цуккерман.
Ладога
Ла'дога Старая, древнерусский город на левом берегу р. Волхов, в 12 км от Ладожского оз. (ныне — Старая Ладога — село Волховского района Ленинградской области), неоднократно упоминается в русских летописях и скандинавских сагах. До 10 в. опорный пункт на торговом пути из Балтийского моря на Волгу (в Болгары) и на Днепр («из варяг в греки»); в 11—15 вв. крепость и торгово-ремесленный центр Новгородской феодальной республики, а с 1478 Московского великого княжества. Экономическое значение Л. упало после того, как северным портом Московского государства стал Архангельск; военное значение сохранялось до 17 в. В 1703 город был перенесён Петром I к устью р. Волхов (Новая Ладога); от древней Л. сохранилось городище. Его древнейшая часть — «каменный город» — была обнесена в начале 12 в. каменной стеной с 5 башнями (перестроена в 15—16 вв.), другая часть — так называемое земляное городище — окружена земляными валами начала 18 в. В древней части городища сохранилась 1-главая 4-столпная З-апсидная церковь Георгия конца 12 в. (позже перестраивалась; фрагменты фресок 12 в. новгородской школы); древнейшие наслоения в этой части городища не сохранились. На земляном городище открыты остатки деревянных построек (начиная с 8 и последующих веков), руины каменной церкви Климента (середина 12 в.), следы кузнечного, косторезного, ювелирного, гончарного и др. производств и их разнообразные изделия, монеты и различные изделия восточного и западно-европейского происхождения. В Л. сохранилась церковь Успения в Богородицком конце (12 в.). В 60-х гг. 20 в. в крепости, древнейшем памятнике русского военного зодчества, осуществлены реставрационные работы. Раскопки на городище Л. ведутся с перерывами с 80-х гг. 19 в. Материалы раскопок хранятся в ленинградском Эрмитаже. Городище является археологическим заповедником.
