Теория расчета оболочек нефтяных аппаратов

Как видно, в тензоре в сферических координатах не учитывают касательные напряжения по боковым граням. Кроме того, для сравнения укажем, что эти напряжения присутствуют в расчетной модели теории тонких оболочек.

За счет этого расчетная модель, на которой строится осесимметричная задача теории упругости, являющаяся теорией толстых оболочек является некорректной.

Для плоской задачи теории упругости происходит такое же некорректное отбрасывание касательных напряжений за счет симметрии, как указано в работе Безухова [19,с.138]: «Если распределение напряжений симметрично относительно оси… Из условий симметрии вытекает, что касательное напряжение τ_rθ =0».

Это ошибка. Условия симметрии не названы.

Наличие напряжений не препятствует никаким условиям симметрии. Напряжения удерживают сегмент от вырова из кольца. Почему-то считается, что касательные напряжения по нижним граням в наличии и удерживают параллельные круги обечайки от смещения, а касательные напряжения по боковым граням, обеспечивающие сохранение этого параллельного круга от вырова из него сегментов должны отсутствовать.

Напряжения должны быть как в случае общего вида плоской задачи теории упругости. Если смотреть на сегмент сверху в плане:

__

Ильюшин [7,с.177] пишет: «Изменение прямого угла между гранями ВА и AD при деформации не происходит» и далее отсюда следует, что и удлинение равно нулю.

Это неверно. Между гранями не прямой угол, грань ВА криволинейная, является дугой. При деформации радиус дуги увеличивается. А следовательно и удлинение не равно нулю.

Далее Ильюшин пишет [7,с.177]: «Рассмотрим случай… Обобщенный закон Гука был ранее записан нами в декартовых координатах. Но так как мы рассматриваем деформированное и напряженное состояние в точке, то этот закон имеет тот же вид в любой криволинейной ортогональной системе координат…». Закон Гука должен быть записан в сферических координатах для твердого тела, но не для точки.

Для кубического элемента твердого тела (описываемого тензором) верно, для кольцевого сегмента полностью неверно так как касательные напряжения по одной из площадок препятствуют смещению колец обечайки цилиндра, а по второй площадке препятствуют отделению сегмента из состава кольца:

На основании симметрии кольцевого сегмента, его нельзя считать в качестве кубического элемента. А, следовательно, нельзя считать кольцевые напряжения по сторонам кольцевого сегмента в качестве главных напряжений.

Касаемо сравнения геометрий приведем следующее:

1) в теории упругости [5] указывается об условии равновесия кубического элемента, заключающегося в том, что должны быть равны площади перпендикулярных граней для равенства моментов от касательных напряжений (касательные напряжения по смыслу определяются как сумма касательных напряжений от элементарных площадок, расположенных по стороне элемента);

2) в теории упругости, как показано в работе академика Новожилова В.В. [6.с.88] приводится принцип (на рисунке) на примере параллелепипеда, состоящий в том, что со сменой системы координат, меняется геометрия фигуры.

Сегмент не может быть кубическим элементом на основании:

по пункту 1 – сегмент не будет в состоянии равновесия, т.к. приняв высоту сегмента и кубического элемента одинаковой, в «плане» площадь поверхности сегмента окажется больше площади поверхности кубического элемента. И тем самым интегральная сумма от напряжений на элементарных площадок по площадям, будут не равны.

по пункту 2 – из фигуры в «плане» в форме трапеции с криволинейными основаниями нельзя получить квадрат. Автору настоящей работы такой способ неизвестен.

__

Цилиндр рассматривается в цилиндрической системе координат. Но в построении теории закон Гука используется в его записи для прямоугольной системы координат.

Академик Ильюшин [7.с.177] об этом указывает, что закон применяется для точки и поэтому для точки будет в форме прямоугольных координат выглядеть одинаково и в криволинейной ортогональной системе координат.

Геометрия кубического элемента связана с формулировкой закона Гука. И поэтому полностью некорректно элемент кольцевого сегмента рассмотрен в том же качестве, что и кубический элемент. Т.к. закон Гука для кольцевого сегмента, превышающего размерами точку, не выполняется. И, следовательно, грани кольцевого сегмента не являются сторонами кубического элемента. А следовательно и напряжения по сторонам сегмента не являются главными напряжениями.

Покажем ниже ориентацию тензора главных напряжений при совмещении его с кольцевым сегментом. И тем самым различие в направлениях главных напряжений с кольцевыми напряжениями (выбраны для примера).

Применим подход теории балок, по которому внутри сегмента «в плане» выделим квадратный контур. На стороны контура спроецируем напряжения со сторон трапецеидального сегмента. Затем внутри квадратного сегмента найдем направление элемента главных напряжений. В результате получим совмещение в одной точке из кольцевого сегмента и кубического элемента главных напряжений, на котором (совмещении) будет видно отличие в направлениях между кольцевыми напряжениями и главными напряжениями.

В основании задачи Ламе заложена безмоментаная расчетная модель, к построению расчетного аппарата возникает вопрос замены кольцевого сегмента кубическим элементом.

С учетом отсутствия моментного варианта теории (следует из расчетной модели), теорию толстых оболочек по задаче Ламе следует заменить на теорию толстых оболочек, построенную аналогично теории тонких оболочек. В такой теории толстых оболочек снимается ограничение теории тонких оболочек по погрешности, не позволяющее выполнять расчеты толстостенных оболочек сосудов.

6. Универсальная (общая) теория оболочек

Сосуды и аппараты, как известно, российскими нормами делятся на сосуды до 21МПа и сосуды высокого давления до 130МПа. Условной границей деления сосудов является отношение толщины стенки к диаметру, равное 0,1. Эта цифра означает, что для теории тонких оболочек, заложенной в нормах расчета сосудов до 21МПа, принята погрешность 10%. В случае сосудов высокого давления, для которых точность теории тонких оболочек неудовлетворительная, в нормах заложена теория толстых оболочек, построенную на основе решения задачи Ламе (задача расчета полого цилиндра от давления). При выводе теории тонких оболочек из теории упругости применены упрощения, в результате которых трехмерная задача теории упругости сводится к двумерной задаче [3]. В отличии от этого, решение задачи Ламе для толстых оболочек представляет собой непосредственное применение формул теории упругости к случаю цилиндрической оболочки под давлением. В результате имеется обстоятельство, когда сосуды до 21МПа и сосуды высокого давления рассчитываются по существенно отличающимся теориям.

За счет учета в расчетной модели моментов, теория тонких оболочек является моментной и позволяет решать задачи с краевыми нагрузками (такие как сопряжение оболочек корпуса с перепадом геометрии, узлы врезок штуцеров). Отметим, что в нормах сосудов до 21МПа используется упрощенный безмоментный вариант теории.

В расчетной модели задачи Ламе моменты не введены, поэтому теория толстых оболочек на основе задачи Ламе является только безмоментной.

Академик Новожилов В. В. Указывает о разделении теории расчета оболочек в зависимости от принятого деления оболочек по толщине (по критерию 0,1) на теорию оболочек произвольной толщины и теорию тонких оболочек. Здесь под теорией оболочек произвольной толщины фактически имеется в виду теория толстых оболочек, расчетный аппарат которой построен аналогично подходу теории тонких оболочек типа Кирхгофа-Лява (повторимся, нормы применяют теорию толстых оболочек по решению задачи Ламе).

Теория оболочек произвольной толщины (по факту теория толстых оболочек по типу теории тонких оболочек, но с устранением погрешности последней) является универсальной теорией оболочек. Очевидно, что универсальность заключается в возможности расчета как тонких оболочек сосудов до 21МПа, так и толстых оболочек сосудов высокого давления. Причем точность расчета сосудов до 21Мпа может повыситься так как точность универсальной теория оболочек выше, чем теории тонких оболочек.

Теория тонких оболочек выводится из теории упругости введением ряда допущений по сведению трехмерной задачи к двухмерной задачи. Теория оболочек по сути является технической теорией. Мысль академика Новожилова В. В. О том, что теория тонких оболочек воспринимается как надстройка к теории упругости верна, а вот что должен быть поход к рассмотрению теории тонких оболочек совместно с теорией упругости, неверно. Из строгой теории упругости вывели техническую теорию и затем две этих теории рассматриваются совместно. Теории должны иметь одинаковую физическую обоснованность для совместного применения и одинаковую точность. Так как теория оболочек выведена из теории упругости при введении упрощений, теория оболочек меньше физически обоснована. А, следовательно, и совместное рассмотрение теорий просто некорректно.

Корректным является теорию тонких оболочек использовать как техническую теорию для расчетов, это же касается и универсальной теории оболочек. Применение технической теории ограничивается областью возможного применения и точностью теории (и точностью результатов расчета).

Универсальная теория оболочек, имеющая моментное решение и позволяющая рассчитывать оболочки произвольной толщины является лучшим решением для расчета по подходу и по расчетному аппарату теорий оболочек. По-видимому универсальная теория является завершающим этапом в построении теорий оболочек.

Внедрение универсальной теории оболочек в нормы позволит разработать один общий нормативный документ на расчет сосудов до 21МПа и сосудов высокого давления.

В результате этого, сократиться число нормативной документации, упроститься процесс проектирования в том числе за счет того, что сосуды высокого давления перестанут восприниматься в отдельности от сосудов до 21МПа. Затем, можно рассмотреть возможность включения сосудов до 21МПа а сосуды высокого давления до 130МПа.

7. Оценка прочности тонкостенных сосудов

Напряженное состояние металла стенки тонкостенного сосуда (сосуда на внутреннее давление до 21МПа) оценивается по третьей теории прочности, как указывается в работе [25]. Также в этой работе указано о получении расчетных формул для тонкостенных сосудов из безмоментной теории тонких оболочек.

Приведем данные по третьей теории прочности по работе Н.М. Беляева [26,с.136]. Эта теория также обозначается как теорией наибольших касательных напряжений, теория вязкого разрушения. Теория применяется для пластических материалов, к которым относятся стали, применяемые для изготовления сосудов и аппаратов стальных сварных.

Критерием прочности по третьей теории являются касательные напряжения, которые действуют по площадкам среза при растяжении и разрушении материала из-за пластических деформаций. Текучесть или разрушение (опасное состояние материала) наступает когда наибольшее касательное напряжение станет равным некоторой константе. Причем, Н.М. Беляев отмечает о независимости от вида напряженного состояния, то есть плоского или трехмерного. К недостаткам теории относится не учет среднего главного напряжения, так как по данным Беляева опыты подтверждают влияние этого напряжения.

Условие прочности по третьей теории прочности по общеизвестной формуле:

В эту формулу надо подставлять главные напряжения, как указывается во всей литературе.

Понятие главных напряжений относится к теории упругости. А вот понятие кольцевых и меридиональных напряжений уже относится к теории тонких оболочек. Это разные виды напряжений, из нельзя путать одно с другим и подставлять одни вместо других. Правильно по кольцевым и меридиональным напряжениям найти главные напряжения и затем по ним проводить проверку выполнения условия прочности.

Теория упругости и теория оболочек не являются одной общей теорией. Теория упругости является более глубокой и фундаментальной наукой по сравнению с теорией тонких оболочек. Приведем по этой проблеме мнение академика В.В. Новожилова, известного автора по математической теории оболочек. В его работе [6.с.205] указывается, что теория тонких оболочек воспринимается как «гипотетическая надстройкой над теорией упругости» за счет постулирования допущений, сводящий трехмерную задачу к двухмерной. По мнению Новожилова проблемы теории оболочек как тонких так и толстых необходимо решать используя теорию упругости.

В теории упругости при описании напряженного состояния вокруг точки выделяется элемент сплошной среды. Размеры этого элемента должны быть такими, чтобы обеспечивалось условие сплошности [27]. В точку этот элемент не стягивается, как некомпетентно писал один из моих оппонентов. И даже при стягивании в точку, направления кольцевых и главных напряжений не совпадут.

В теории тонких оболочек проблема оценки напряженного состояния не затрагивается. И возникновение проблемы подстановки кольцевых и меридиональных напряжений вместо главных напряжения является даже не ошибкой в классической теории, а неверным обращением с расчетными формулами инженерами.

Покажем эту ошибку в оценке напряженного состояния стенки тонкостенного сосуда (сосуда до 21 МПа).

Для этого покажем различие в направлениях кольцевых напряжений и главных напряжений, совмещенных в одной области. Аналогично тому, как при изгибе балки показывается отличие в направлениях главных напряжений от изгибающих [26].

В теории оболочек из стенки выделяется сегмент в виде трапеции с криволинейными основаниями, по граням которого действуют напряжения.

Совместим этот выделенный сегмент с кубическим элементом и покажем для упрощения только вид в плане (сверху):

На рисунке: Q – равнодействующая сил внутреннего давления, уравновешивается касательными напряжениями по граням кубического элемента. По этим же граням действуют нормальные напряжения, не совпадающие с кольцевыми напряжениями по направлению.

Касательные напряжения по противоположным граням заменим на равнодействующую силу, приложенную напротив силы Q (т.е. точка приложения выбрана посередине между векторами сил):

Теперь найдем ориентацию кубического элемента, по граням которого действуют только главные напряжения. То есть найдем площадки главных напряжений по методике [5], [26]. Для этого используем круг Мора. В результате получим:

Как видно из рисунка, установлено направление главных напряжений и площадок, по которым они действуют.

Теперь совместим найденные направления главных напряжений с направлениями кольцевых напряжений (аналогично тому, как в сопротивлении материалов это производится при изгибе балки [26]):

Как видно из рисунка, направления главных напряжений не совпадают с направлениями кольцевых напряжений. И кольцевые напряжения не являются главными напряжениями.

В теории упругости поднимается вопрос о нахождении напряжений по любым площадкам внутри кубического элемента. Площадку с кольцевым напряжением в качестве такой произвольной площадки под произвольным углом рассматривать нельзя.

Против приведенных данных возражение на основании [10,с.96] не выдерживает критики. В этой работе в рассмотрении условий пластичности для плоского напряженного состояния (а стенка не в плоском напряженном состоянии по третьей теории прочности) написано следующее:

«… главные оси тензора напряжений для плоского напряженного состояния обозначим через ξ и η.» и далее «… напряжения и будут отождествляться с , или .».

Эта запись означает, что оси ξ и η являются главными осями – осями главного тензора напряжений. А для главного тензора напряжений, главные напряжения в теории упругости в зависимости от величины обозначаются , или . И действительно, будет тождество на том основании, что те же самые оси и те же самые напряжения, на с другим обозначением.

В точку ни сегмент, ни кубически элемент не стягивается. Так как эти два твердых тела имеют минимальные размеры, но такие, чтобы обеспечивалось условие сплошности среды, то есть надмолекулярные размеры. Оппонировать с введением пределов «lim» и приравниванием главных напряжений к кольцевым является некорректным.

Также отметим, что кубический элемент сплошной среды находится в равновесии так как касательные напряжения по граням создают относительно ребер куба равные крутящие моменты. Равенство моментов происходит за счет равенства площадей граней куба. А у сегмента площади верхних сторон и боковых отличаются. Следовательно, сегмент в отличии от куба не может находится в равновесном состоянии.

Оценка прочности МКЭ имеет большее теоретическое обоснование.