Измерения и меры

Рис. 17. Пример случайных погрешностей при стрельбе.

Рис. 18. Пример систематических погрешностей.

Если сопоставить рисунки 17 и 18, то нетрудно заметить различие в характере погрешностей. На мишени рис. 17 попадания расположены без видимой закономерности, они более или менее равномерно распределены вокруг центра. Иными словами, характер погрешностей здесь случаен, то есть они имеют множество причин. На мишени рис. 18 следы пуль видны в стороне от центра, причём в их положении имеется определённая закономерность: стрелок систематически попадал в один и тот же край цели. Следовательно, в этом случае наблюдается уже не случайная, а систематическая погрешность (хотя и в этом случае есть, конечно, разброс).

Рис. 19. Промахи.

Теперь взгляните ещё на одну мишень — на рис. 19. Она принадлежит плохому стрелку. Большинство «попаданий» у него оказалось за рамкой мишени. Это явные промахи.

Мы познакомились с тремя видами погрешностей. Все эти погрешности могут встретиться и при измерениях.

Допустим, что, взвешивая какой-либо предмет на весах, мы ошиблись в отсчёте делений шкалы и получили заведомо неправильный результат (например, 300 граммов вместе 500). Это типичный промах. Промах легко обнаружить и устранить, повторяя измерение.

Представим теперь, что пружина весов ослабла. Какое бы тело мы ни взвесили на таких весах, оно всегда окажется «тяжелее», чем есть на самом деле. Это уже систематическая погрешность.

Величины систематических погрешностей характеризуют правильность измерений. Чем меньше эти погрешности, тем правильнее измерения.

Но если бы нам удалось даже совершенно устранить систематические погрешности, всё равно наблюдался бы некоторый разброс результатов при повторных измерениях, подобный разбросу попаданий на мишени рис. 17. Этот разброс носит случайный характер и вызывается совокупностью многих причин, которые невозможно совершенно исключить, как бы тщательно ни проводилось измерение.

Величина случайных погрешностей характеризует точность измерений. Чем меньше эти погрешности, тем точнее измерения. Влияние случайных погрешностей на результаты измерений может быть учтено математическим путём с помощью так называемой теории вероятности. Её мы коснёмся в следующем разделе.

О НЕВОЗМОЖНОМ, ДОСТОВЕРНОМ И ВЕРОЯТНОМ

Представьте, что вас спросят: «Не погаснет ли завтра солнце?» «Конечно, нет, — ответите вы. — Это событие невозможное». Какова же вероятность невозможного события? Ясно, что она равна нулю, поскольку такое событие никогда не произойдёт.

На другой вопрос — «Взойдёт ли солнце утром?» — вы, не задумываясь, скажете: «Безусловно, взойдёт. Это абсолютно достоверно». Вероятность достоверного события считают равной 100 % или, для простоты, единице, так как оно неизбежно произойдёт.

Итак, бывают события невозможные и достоверные. Но бывают также события, которые могут произойти, а могут и не произойти. Мы, например, говорим: «завтра, вероятно, будет хорошая погода»; этим мы показываем, что её может и не быть. Ведь погоду пока ещё нельзя предсказать наверняка, даже прогнозы специальных метеорологических бюро сбываются, как мы знаем, далеко не всегда.

Вероятность события, которое может произойти, а может и не произойти, больше нуля, но меньше единицы. Как же вычисляют вероятность таких событий?

Проделаем несложный опыт. Опустим в ящик два карандаша, совершенно одинаковых по размеру и форме, но разного цвета, например красный и синий. Перемешаем карандаши и, не глядя, вынем один из них. Какова вероятность того, что это будет красный карандаш? Поскольку карандаши одинаковы, мы не можем отдать предпочтение одному из них. Оба карандаша «равноправны» — они имеют одинаковую возможность оказаться вынутыми. Значит, вероятность вынуть красный карандаш равна 1/₂. Такова же вероятность того, что будет вынут синий. Оба случая здесь равновозможны.

Теперь опустим в ящик 10 одинаковых карандашей, помеченных номерами 1, 2, 3 и т. д. Какова вероятность того, что первым будет вынут карандаш под номером, скажем, 6? Избранный нами карандаш составляет десятую долю общего количества карандашей, находящихся в ящике. Поэтому вероятность того, что он будет первым, равна 1/₁₀, а вероятность того, что мы вынем не его, а какой-либо из остальных карандашей, составляет 9/₁₀. Сумма же этих вероятностей равна единице. Это говорит о том, что один из карандашей мы всё-таки вынем наверняка.

Если бы в ящике находилось 100 карандашей с разными номерами, то вероятность вынуть определённый карандаш с заранее загаданным номером равнялась бы 1/₁₀₀, если бы 1000 карандашей, то 1/₁₀₀₀ и т. д.

Если вероятность какого-то события равна, положим, 1/₁₀, то это значит, что один шанс (шанс — вероятность, возможность) из десяти за то, что это событие случится.

Попробуем решить одну интересную задачу. Представьте, что в закрытом ящике находится 10 карандашей красного, синего и зелёного цвета. Нам неизвестно, сколько из них окрашено в красный цвет, сколько в синий и сколько в зелёный. Как определить, сколько карандашей каждого цвета находится в ящике, если разрешается вынимать одновременно только один карандаш (так, чтобы внутри ящика всегда оставалось не менее девяти карандашей)?

Оказывается, решить эту задачу довольно просто. Если вынутый карандаш снова опускать обратно, запомнив его цвет, потом, перемешав карандаши, вынимать новый, и так проделать много раз, то окажется, что число вынутых карандашей каждого цвета будет пропорционально их числу в ящике. Так, если приблизительно 1/₂ вынутых карандашей имеет зелёный цвет, 1/₅ красный и 3/₁₀ синий, то в ящике находятся 5 зелёных карандашей, 2 красных и 3 синих. Ведь чем больше карандашей определённого цвета, тем больше вероятность вынуть карандаш, окрашенный именно в этот цвет.

Вот те краткие сведения из теории вероятностей, которые необходимы нам для того, чтобы разобраться в характере случайных погрешностей.

ПОЧЕМУ ГОВОРЯТ: «СЕМЬ РАЗ ОТМЕРЬ, ОДИН — ОТРЕЖЬ»?

На рис. 20 изображён несложный прибор, который поможет нам ответить на этот вопрос. Вы видите наклонную доску, укреплённую на подставке. В верхнюю, треугольную часть доски вбито большое число булавок. В нижней прямоугольной части имеется ряд узких продольных пазов, хорошо видимых на рисунке. У вершины «треугольника» закреплена обыкновенная воронка.

Если в воронку опустить шарик, то он, катясь по наклонной доске, будет встречать на пути булавки и при каждом столкновении отклоняться влево или вправо, пока не попадёт в один из пазов.

На первый взгляд кажется, что если опускать в воронку строго одинаковые шарики, то все они проделают один и тот же путь и очутятся в одном и том же пазу. На деле же так не получается.

Рис. 20. Прибор для изучения случайных погрешностей.

Рис. 21. Кривая Гаусса.

Существует множество явлений, влияющих на движение шарика. Достаточно, например, едва заметно толкнуть доску, чтобы его путь изменился. Причины, вызывающие изменение пути, носят случайный характер. Поэтому всякое отклонение от наиболее вероятного пути представляет собой случайную погрешность.

Посмотрим, что получится, если опускать в воронку один за другим большое количество шариков. Из многочисленных опытов выяснилось, что шарики размещаются в пазах по вполне определённому закону, образуя фигуру наподобие той, что изображена на рис. 21, а. Чем больше шариков, тем ближе очертания этой фигуры к кривой, показанной на рис. 21, б. Здесь по вертикали откладывается число шариков, а по горизонтали влево и вправо от середины кривой — отклонение от наиболее вероятного пути, то есть величина случайной погрешности. Таким образом, кривая рис. 21, 6 изображает распределение случайных погрешностей.

Впервые эта закономерность была установлена в прошлом веке выдающимся немецким математиком Гауссом, и поэтому она носит его имя. О чём говорит кривая Гаусса?

Из неё следует, во-первых, что малые погрешности встречаются чаще, чем большие, и, во-вторых, что при многократных измерениях одинаково часто наблюдаются случайные погрешности, которые равны по величине, но отклоняют результат измерения в разные стороны от действительной величины.

И на самом деле, поскольку погрешности носят здесь случайный характер, то вероятность отклонения как в сторону преувеличения, так и в сторону преуменьшения одинакова (в обоих случаях она равна 1/₂).

Отсюда следует, что если сложить полученные значения измеряемой величины, то при достаточно большом числе измерений случайные погрешности, равные по величине, но действующие в разные стороны, уравновесят друг друга. Если теперь сумму полученных значений разделить на число измерений, то в результате получится величина, близкая к действительному значению. Эту величину называют средним арифметическим полученных значений.

Чем больше число измерений, тем ближе среднее арифметическое к действительному значению измеряемой величины. Таким образом, с увеличением числа измерений точность измерения возрастает благодаря устранению случайных погрешностей. Вот, оказывается, в чём смысл мудрой народной пословицы.

ВРЕДНАЯ «ТОЧНОСТЬ»

Производя измерения, нужно стремиться к тому, чтобы они были как можно точнее. Но иногда неоправданная погоня за точностью приводит к заблуждениям и ошибкам. Вот как это получается.

Представьте себе, что вам нужно узнать, во сколько раз один отрезок прямой линии длиннее другого. Вы берёте обыкновенную линейку с миллиметровыми делениями и поочерёдно измеряете оба отрезка.

Положим, результат одного измерения — 80 миллиметров, а другого — 30 миллиметров. Теперь нужно разделить большую величину на меньшую. Получается 2,6666666666… Сколько ни продолжать деление, в остатке всё время оказывается цифра 6. Значит, ответ нужно округлить.

Но на каком знаке после запятой остановиться? Ведь можно написать 2,7, или 2,67, или 2,667 и т. д. Неопытный человек, стремясь получить как можно более точный результат, напишет после запятой целую вереницу цифр, что-нибудь вроде 2,666667. Точен ли такой ответ?

Пользуясь обычной линейкой, можно производить измерения с погрешностью приблизительно до 0,5 миллиметра. Поэтому в действительности длины измеренных отрезков несколько отличаются от 80 и 30 миллиметров. Пусть фактическая длина одного отрезка — 80,356 миллиметров, а другого — 29,679 миллиметра. Посмотрим, чему равен теперь результат деления. Оказывается, он существенно иной — 2,707… Выходит, число 2,666667 ошибочно. Гораздо ближе к истинному был бы в нашем примере как раз наиболее округлённый ответ — 2,7.

Значит, злоупотребляя числом знаков после запятой, мы создаём лишь видимость точности, вводим себя и других в заблуждение. Такая точность просто вредна.

Но если мы измерим отрезки штангенциркулем с погрешностью до 0,1 мм, то один знак после запятой будет уже недостаточен. Чтобы сохранить точность измерения, нужно поставить после запятой две цифры — 2,73.

А если бы измерения велись с помощью микрометра или ещё более точного измерительного инструмента, то после запятой следовало бы поставить ещё больше знаков.

И это будет уже настоящая, оправданная точность.

ЕЩЕ РАЗ О МЕТРЕ

Мы уже говорили, что метр в конце концов перестал быть «природной» мерой. Однако учёные не оставили заманчивую мысль связать меру длины с каким-нибудь неизменным образцом, взятым из природы.

Таким образцом оказался световой луч. Но что общего между светом и длиной? Чтобы убедиться в том, что между этими понятиями существует самая тесная связь, нужно познакомиться с природой света.

Кто из нас не любовался красивой многоцветной радугой, появляющейся иногда на небе после дождя?

Секрет радуги был раскрыт ещё в XVII веке чешским учёным Марци, проделавшим такой опыт. В тёмную комнату через небольшое отверстие проникал узкий солнечный луч. Он падал на одну из стен, образуя на ней световой зайчик. Марци поместил на пути луча стеклянную призму — кусок стекла с тремя гранями (рис. 22). И вдруг на стене вместо зайчика появилась искусственная радуга — многоцветная полоса, в которой красная полоска сменялась оранжевой, за ней виднелась жёлтая, затем зелёная, голубая, синяя и фиолетовая. Радуга — это те же световые лучи, прошедшие через призму, но только роль призмы играют здесь дождевые капли.

Более подробно изучал разложение солнечного света на цветные лучи великий английский учёный Ньютон (1643–1727 гг.). Он нашёл, что если на пути луча поставить не одну призму, а две, как показано на рис. 23, то радужная полоса исчезнет, и снова возникнет полоска белого солнечного света. Стало ясно, что «белые» солнечные лучи состоят из ряда цветных лучей. Совокупность этих лучей, образующих радужную полосу, Ньютон назвал спектром. Отдельные цветные лучи спектра призмой уже не разлагаются, значит, в отличие от лучей белого света они не сложные, а простые.

Рис. 22. Опыт Марци.

Рис, 23. Опыт Ньютона.

В прошлом веке было установлено, что свет — это особые электромагнитные волны, возникающие в результате изменений электрических и магнитных сил и распространяющиеся в пространстве с огромной скоростью (около 300 тысяч километров в секунду).

Как и волны, наблюдаемые, например, на поверхности воды, электромагнитные волны бывают разной длины (рис. 24). В зависимости от этого они обладают различными свойствами. Электромагнитные волны длиной от тысяч метров до нескольких миллиметров — это радиоволны, применяемые в радиовещании, связи, телевидении, радиолокации. Они возникают в пространстве вокруг провода, по которому течёт переменный электрический ток (направление и сила такого тока всё время изменяются; он как бы непрестанно колеблется). Чем быстрее «колеблется» электрический ток (то есть чем выше частота его колебаний), тем короче длина радиоволны, им порождаемой.

Электромагнитные волны длиной приблизительно от 0,4 до 0,7 микрона мы воспринимаем как свет. Волны длиной 0,7 микрона — это лучи красного цвета; 0,6 — жёлтого; 0,5 — зелёного; 0,4 — фиолетового[4].

Ещё в 1829 году французский учёный Бабинэ предложил световую волну в качестве нового «природного» эталона метра. Но его идея получила признание только в конце прошлого века. Её осуществлению препятствовало отсутствие таких источников света, спектры которых содержали бы лучи со строго определённой, резко выраженной длиной волны. Подобный источник был найден американским физиком Майкельсоном.

Это раскалённые пары кадмия (кадмий — металл, в некоторых отношениях похожий на цинк). Спектр световых лучей, испускаемых раскалёнными парами кадмия, состоит из четырёх узких цветных линий, разделённых тёмными промежутками (рис. 25).

Рис. 24. Длина волны.

Учёным удалось чрезвычайно точно измерить длины световых волн каждой из этих линий. Например, длина волны красной линии при температуре 20 °C оказалась равной 0,64385033 микрона. Следовательно, в одном метре содержится 1553153,51 волн такой длины. Многие повторные измерения подтвердили правильность этого результата.

Рис. 25. Спектр световых лучей, испускаемых раскалёнными парами кадмия.

Правда, новый «природный» эталон ещё не получил прав гражданства. Учёные не пришли к окончательному выводу, какую же световую линию использовать для такого эталона. Дело в том, что около десяти лет назад были найдены линии, более узкие и чёткие, чем красная линия кадмия. Это зелёная линия паров ртути и жёлто-зелёная линия газа криптона. Считают, что применение этих линий взамен красной линии кадмия повысит точность измерений в 2–3 раза. Но какой из них отдать предпочтение, ещё не решено.

Переход к световому эталону метра — дело ближайшего будущего. И тогда можно будет с полным правом утверждать, что метр — единица «неизменная и в любое время восстанавливаемая».

ЕЩЁ РАЗ О КИЛОГРАММЕ

Как уже упоминалось, Международная метрическая комиссия признала килограмм единицей веса. Но давайте вспомним, что же такое вес.

Обычно считается, что если, например, вес гири равен одному килограмму, то она везде будет весить именно столько, ни больше, ни меньше. Такое представление, однако, ошибочно. Чтобы убедиться в этом, нужно знать, за счёт чего возникает вес. Если приподнять над землёй какой-нибудь предмет и затем отпустить его, то он неизбежно упадёт. Какая же сила заставляет тела падать? Эта сила — притяжение Земли.

Притягивают друг друга и все остальные тела на Земле, но притяжение это настолько ничтожно, что мы его попросту не замечаем.

А задумывались ли вы над тем, почему Земля неотступно вращается вокруг Солнца, Луна вокруг Земли и т. д.? Раскрутите камень на верёвочке, а после разожмите руку — камень улетит прочь. То же случилось бы и с Землёй, если бы её не удерживала своего рода «верёвочка» — притяжение Солнца.

Небесные тела движутся по строго определённым путям, словно поезда по рельсам. Это результат взаимного притяжения светил.

Таким образом, притяжение тел — всеобщий закон природы. Он был открыт Ньютоном и получил название закона всемирного тяготения. Притяжение Земли — одно из проявлений этого закона.

Сила, с которой тело притягивается к Земле, и называется его весом. Эта сила всегда направлена к центру Земли. Она тем больше, чем больше масса тела (то есть чем больше тело содержит вещества) и чем меньше расстояние от этого тела до центра земного шара (рис. 26). По мере удаления от центра Земли сила тяжести уменьшается пропорционально квадрату расстояния. Например, когда расстояние возрастает в два раза, вес уменьшается в четыре.

Если бы Земля имела форму совершенно правильного шара, то все точки её поверхности были бы одинаково удалены от центра. Однако земной шар несколько сплюснут у полюсов[5]. Поэтому на полюсах тела притягиваются к Земле сильнее, чем на экваторе. А это означает, что одно и то же тело в различных местах земной поверхности имеет разный вес.

Ещё сильнее изменился бы вес тела, если бы оно перенеслось с Земли на другую планету. Так, на Луне человек весил бы немногим более десяти килограммов: Луна менее массивна, чем Земля, и поэтому её притяжение слабее.

Выходит, вес — величина не такая уж определённая. В зависимости от условий она может изменяться, а иногда и вовсе исчезать.

Рис. 26. По мере удаления от центра Земли сила тяжести падает пропорционально квадрату расстояния.