Головоломки и развлечения

Магическая звезда

Шестиконечная числовая звезда, изображенная на рисунке, обладает «магическим» свойством: все шесть рядов чисел имеют одну и ту же сумму:

4 + 6 + 7 + 9 = 26

4 + 8 + 12 + 2 = 26

9 + 5 + 10 + 2 = 26

11 + 6 + 8 + 1 = 26

11 + 7 + 5 + 3 = 26

1 + 12 + 10 + 3 = 26.

Но сумма чисел, расположенных на вершинах звезды, другая:

4 + 11 + 9 + 3 + 2 + 1 = 30.

Не удастся ли вам усовершенствовать эту звезду, расставив числа в кружках так, чтобы не только прямые ряды давали одинаковые суммы (26), но чтобы ту же сумму (26) составляли числа на вершинах звезды?

Числовое колесо

Цифры от 1 до 9 надо разместить в этой фигуре так, чтобы одна цифра была в центре круга, прочие — у концов каждого диаметра и чтобы сумма трех цифр каждого ряда составляла 15.

Трезубец

В клетках изображенного здесь трезубца нужно расставить числа от 1 до 13 так, чтобы сумма цифр в каждом из трех вертикальных рядов (I, II, III) и в одном горизонтальном (IV) была одинакова.

Попробуйте это сделать.

Ответы

Из семи цифр

Задача имеет не одно, а три разных решения. Вот они:

123 + 4–5 — 67 = 55;

1 — 2–3 — 4 + 56 + 7 = 55

12 — 3 + 45 — 6 + 7 = 55.

Девять цифр

Вот каким способом можете вы получить 100 из разряда девяти цифр и трех знаков плюс и минус:

123 — 45–67 + 89 = 100.

Это — единственное решение; никакое другое сочетание девяти цифр и знаков плюс и минус, употребленных три раза, не дает в результате 100.

Достигнуть того же результата, употребив знаки сложения и вычитания менее трех раз, невозможно.

Пятью двойками

22 + 2 + 2 + 2 = 28.

Четырьмя двойками

Число 37

Решений имеется два:

Деление на 11

Чтобы решить эту задачу, надо знать признак делимости на 11. Число делится на 11, если разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и сумма цифр, стоящих на нечетных местах, делится на 11 или равна нулю.

Испытаем, для примера, число 23 658 904.

Сумма цифр, стоящих на четных местах:

3 + 5 + 9 + 4 = 21;

сумма цифр, стоящих на нечетных местах:

2 + 6 + 8 + 0 = 16.

Разность их (надо вычитать из большего меньшее) равна:

21 — 16 = 5.

Эта разность (5) не делится на 11; значит, и взятое число не делится без остатка на 11.

Испытаем другое число — 7 344 535:

3 + 4 + 3 = 10;

7 + 4 + 5 + 5 = 21;

21 — 10 = 11.

Так как 11 делится на 11, то испытуемое число кратно 11.

Теперь легко сообразить, в каком порядке надо писать девять цифр, чтобы получилось число, кратное 11 и удовлетворяющее требованиям задачи.

Вот пример: 352 049 786.

Испытаем:

3 + 2 + 4 + 7 + 6 = 22;

5 + 0 + 9 + 8 = 22.

Разность 22–22 = 0; значит, написанное нами число кратно 11.

Наибольшее из всех таких чисел есть: 987 652 413.

Наименьшее: 102 347 586.

Числовой треугольник

Решение показано на рисунке. Средние цифры каждого ряда можно переставить и получить, таким образом, еще ряд решений.

Еще числовой треугольник

Решение этой головоломки можно увидеть на рисунке. Средние цифры каждого ряда можно переставить и получить, таким образом, еще ряд решений.

Восьмиконечная звезда

Решение можно увидеть на рисунке:

Магическая звезда

Чтобы облегчить себе отыскание требуемого расположения чисел, будем руководствоваться следующими соображениями.

Сумма чисел на концах искомой звезды равна 26; сумма же всех чисел звезды — 68. Значит, сумма чисел внутреннего шестиугольника равна 78–26 = 52.

Рассмотрим затем один из больших треугольников. Сумма чисел каждой его стороны равна 26; сложим числа всех трех сторон — получим 26 × 3 = 78, причем каждое из чисел, стоящих на углах, входит дважды. А так как сумма чисел трех внутренних пар (то есть внутреннего шестиугольника) должна, мы знаем, равняться 52, то удвоенная сумма чисел на вершинах каждого треугольника равна 78–52 = 26; однократная же сумма равна 13.

Поле поисков теперь заметно сузилось. Мы знаем, например, что ни 12, ни 11 не могут занимать вершины звезды. Значит, испытания можно начинать с 10, причем сразу определяется, какие два числа должны занимать остальные вершины треугольника: 1 и 2.

Подвигаясь таким путем далее, мы наконец разыщем требуемое расположение. Оно показано на рисунке.

Числовое колесо

Решение показано на рисунке.

Трезубец

Вот требуемое расположение чисел. Сумма чисел в каждом из четырех рядов равна 25.

Немного физики на спичках

Спички и булавка

Как вы думаете, что тяжелее: спичка или средней величины булавка? Угадать трудно. Вы можете сколько угодно взвешивать в руке спичку и булавку, а все-таки не определите, какая из этих вещиц тяжелее. Разрешить вопрос могут только точные весы. Оказывается, что средняя булавка раза в 1 1/2 тяжелее спички. Не без изумления увидел я в первый раз, как булавка уравновешивает 1 1/2 спички…

Зная это, мы можем решить такую физическую задачу: если в воду бросить спичку с воткнутой в нее булавкой, то будет ли спичка держаться в воде или потонет? На первый взгляд кажется, что булавка как будто не в состоянии увлечь спичку на дно. Однако, если вспомним, что булавка тяжелее спички в 1 1/2 раза, то поостережемся такого заключения. Ведь материал спичечной соломки вдвое легче воды; значит, достаточно отягчить спичку еще таким же грузом, как она сама, чтобы заставить ее утонуть. Булавка дает ей в 1 1/2 раза больше этой необходимой добавки, и, следовательно, спичка с воткнутой булавкой должна погрузиться на дно. Правда, вес булавки уменьшается под водой на 1/8 долю (материал булавки, железо, в восемь раз тяжелее воды), но это не имеет здесь существенного значения, так как булавка остается все же примерно в 1 1/4 раза тяжелее спички.

Зажечь спичку каплей воды

Этот опыт основан на следующем свойстве дерева. Надломите осторожно спичку так, чтобы обе части оставались связанными волокнами. Затем отогните обе половинки спички назад, под очень острым углом (почти до соприкосновения). В сухом состоянии такая спичка сохраняет неизменным острый угол и не стремится выпрямиться. Но стоит капнуть немного воды на место излома, и волокна древесины, напитавшись водой, начнут выпрямляться; обе половинки спички станут взаимно удаляться, пока острый угол между ними не превратится примерно в прямой.

Как же этим свойством воспользоваться, чтобы зажечь спичку каплей воды? Секрет, конечно, в обстановке опыта. Возле зажженной свечи поставьте бутылку, заткнутую пробкой. С помощью булавки прикрепите к пробке надломанную спичку, как показано на рисунке.

Если теперь на место излома пустить каплю воды, спичка начнет распрямляться, спичечная головка поднимется, очутится в пламени свечи — и зажжется. Капля воды здесь послужила, хоть и косвенно, причиной воспламенения спички.

Живые фигурки

Способностью согнутых спичек выпрямляться при смачивании можно воспользоваться и для другого интересного опыта. Из плотной бумаги, например из открытки, вырежьте части человеческой или какой-либо иной фигуры. Наметьте точки, вокруг которых эти части должны вращаться, и приложите надломанные спички к фигурке так, чтобы вершина острого угла их приходилась как раз в точке вращения. Каплями растопленного сургуча закрепите спички в этом положении. Вы получите целую фигурку, пока еще неподвижную.