Теория расчета нефтяных центробежных насосов

Между масштабом больших вихрей L и масштабом мелких вихрей η, диссипация энергии ε определяет статистический режим турбулентности (так как вязкость влияет только на мелкие масштабы).

Фрост в работе [8,с.34] указывает, что в терминах теории вероятностей описать явление турбулентности нельзя без общих гипотез, в основе которых эмпирические данные. Далее он указывает о том, что с использованием сложного экспериментального оборудования понимание процессов явления турбулентности улучшается.

Резюме

Мысль У. Фроста можно продолжить в следующем направлении: с применением мощных вычислительных компьютеров для моделирования в специальных программных пакетах, понимания физики процесса турбулентности также улучшится.

Так, например, можно попробовать сопоставить результаты прямого численного решения уравнений Навье-Стокса с гипотезами (моделями физики процесса) турбулентности академика А.Н. Колмогорова.

5 Расчет турбулентного течения

Для описания турбулентного течения потока используются четыре подхода [8,c.336]:

– прямое численное решение уравнений Навье-Стокса,

– применение аналитических теорий турбулентности,

– применение моделей переноса турбулентности,

– применение моделей замыкания движений мелкого масштаба.

5.1 Прямое численное решение уравнений Навье-Стокса

При прямом численном уравнений Навье-Стокса, уравнения решаются для несжимаемой жидкости [8,с.311].

Для решения используются граничные периодические условия. То есть учитывается изменение функций при переходе между соседними кубическими элементами сплошной среды, как показано в работе [9,с.14].

При решении уравнений с граничными условиями методом конечных элементов с применением расчетной сетки по 3D-модели, уравнения Навье-Стокса переписываются в разностной форме для узлов сетки.

Возможно решение уравнений численным спектральным методом. По этому методу решение уравнений Навье-Стокса (с учетом граничных условий) аппроксимируется в форме усеченного ряда Фурье [8,с.312].

Конечно-разностный метод расчета сравнивается со спектральным по пяти параметрам [8,с.314]:

– скорость сходимости,

– эффективность (затраты на расчет для заданной погрешности результата),

– граничные условия (точность конечно-разностных методов нарушается около границ за счет необходимости расчёта точек вне области течения, поэтому сетка корректируется вдоль границ и усложняется),

– разрывы (сглаживание разрывов при локальных ошибках),

– априорная оценка точности (для конечно-разностных методов точность сравнивается на сетках с разным числом конечных элементов).

Важной проблемой является расчет течения около поверхности рабочего колеса (импеллера) или корпуса насоса вследствие тонкого пограничного слоя жидкости. Для решения этой проблемы необходимо подробное рассмотрение течения по стенке, установление его параметров и применение этих параметров для граничных условий к расчету крупного масштаба турбулентного потока [10,с.344].

Аналитические теории турбулентности строятся на статическом подходе к описанию турбулентности [8,с.337]. Динамические параметры в этих теориях являются средними характеристиками течения потока.

Модели переноса турбулентности являются упрощенными моделями турбулентности [8,с.337] с эмпирическими параметрами, получаемыми по результатам эксперимента. Динамика взаимодействия между масштабами турбулентной пульсации рассматривается ограниченно.

5.2 Метод расчета

Direct

Numerical

Simulation

Метод прямого численного моделирования DNS – Direct Numerical Simulation предложен в работе [11] Orszag, S. A. и Patterson G. S. в 1972 г.

Многие авторы отмечают о том, что этот метод наиболее требователен к вычислительным ресурсам. Однако, в настоящее время существуют центры с суперкомпьютерами, выполняются параллельные вычисления и используются другие способы для выполнения затратных расчетов. На основании этого, метод DNS может быть внедрен в практику расчета проточной части насосов для получения наиболее точного результата расчета.

По методу DNS решаются уравнения Навье-Стокса напрямую непосредственно без применения моделей турбулентности (например, модели «k-ε») в отличии от других методов расчета.

При решении уравнений Навье-Стокса находят для любой точки в потоке скорость течения и давление. Результатом расчета по методу DNS является нахождение этих параметров потока.

По методу DNS возможно выполнение расчета течения для различных значений числа Re.

6 О решении проблемы турбулентности

Академик Колмогоров А.Н. в работе [12] описал единственно верно модель структуры турбулентного потока. В этой же работе отмечается, что нобелевский лауреат, академик Ландау Л.Д. высказался о корректности предложенной Колмогоровым А.Н. модели. Согласно этой модели происходит передача энергии от вихрей макромасштаба более мелким и до колмогоровского масштаба. На колмогоровском масштабе энергия тратится на вязкое трение. Колмогоровский масштаб по сути совпадает с элементарным масштабом (см. выше), описанным вокруг произвольно взятой точки внутри потока.

Очевидно, что корректная постановка численного расчета состоит в расчете мелких масштабов с переходом к макроскопическому масштабу, являющимся интегральным в численном расчете.

По такой приблизительно схеме работает метод DNS, в котором происходит переход до интегрального (макроскопического) уровня. По методу DNS напрямую решается система уравнений Навье-Стокса.

Для метода DNS некоторые авторы (ссылки не приводим) отмечают трудоемкость и длительность вычислений. Поэтому на момент написания монографии для выполнения расчета численными методами находят применение менее требовательные к вычислительным ресурсам. Все эти методы уступают методу DNS и не являются теоретически точными и строгими.

7 О выборе расчетной программы

Компьютерная программа, применяемая для расчета турбулентного потока в проточной части насоса, должна являться по умолчанию стандартом для гидродинамических расчетов проточной части.

Для программы положение стандарта по умолчанию достигается:

– возможностью пакета программ выполнять междисциплинарные расчеты из разных областей теоретической физики, которые необходимы для расчета сложного технического изделия. Например: гидродинамики и теории упругости для насоса, теории электромагнетизма для электродвигателя погружного насоса и др.;

– широким распространением в различных областях промышленности и опыт применения для реализации сложных технических изделий;

– знакомство и знание с программой большого числа инженеров из разных компаний в разных отраслях промышленности;

– внедрение программы в курс обучения в высших учебных заведениях.

Программный пакет является самостоятельным программным продуктом, предназначенным непосредственно для расчетов конечно-разностными методами, содержать на высоком уровне математический аппарат и вычислительный функционал.

Программные модули, встроенные в пакеты 3D-моделирования таких характеристик не имеют. Их применять для численного расчета насосов не следует. Пакеты 3D-моделирования следует использовать для построения твердотельных моделей. А в расчетных пакетах должна быть предусмотрена возможность загрузки твердотельной модели для её обработки и выполнения численного расчета.

Численный расчет можно обозначить как виртуальный эксперимент, аналог натурного эксперимента.

Для корректного проведения виртуального эксперимента требуется высокая квалификация инженера-расчетчика, требующая наличия глубоких знаний из области вычислительной гидродинамики.

Резюме

Достоверность результатов расчета подтверждает применяемый программный пакет численного расчета. Для инженера, выполняющего расчет требуются знания в области вычислительной гидродинамики.

8 Теория расчета, заложенная в программном пакете

В программных пакетах уравнения Навье-Стокса, то есть дифференциальные уравнения в частных производных, решаются конечно-разностным методам. Из конечно-разностных методов для решения задач гидродинамики используется метод конечных объемов (МКО).

Решение дифференциальных уравнений Навье-Стокса состоит из замены дифференциальных уравнений с назначенными граничными условиями на алгебраические дискретные уравнения и применение конечно-разностного метода решения.

В конечно-разностном методе, как указывается в работе [14,с.26], производная заменяется на алгебраическое отношение . При стремлении размеров ячейки сетки к нулю конечно-разностное отношение стремиться к производной , т.е. решение стремиться к решению дифференциального уравнения. При этом пределом является предел всего разностного уравнения, а не только его отдельных производных.

Операция дискретизации позволяет получить алгебраические уравнения, которые решаются вычислительными средствами применяемого компьютера.

Флетчер в работе [15,с.73] показал пример дискретизации на примере уравнения теплопроводности

на уравнение [15]

В этом уравнении параметр показывает параметр Т в узле (j, n) сетки.

Таким образом, в каждом из узлов находится значение , проблема нахождения непрерывного решения дифференциального уравнения решается нахождением суммы значений . Δ

Решение должно плавно изменяться в промежутках между узловыми точками элементов сетки. Решение в точках, не совпадающих с узловыми точками сетки, находится интерполяцией решений, полученных для окружающих её узловых точек [15,с.74].

Пример построения расчетной (дискретной) сетки по данным [15,с.74]:

Рис.2 – Расчетная сетка

Из указанного выше уравнения можно найти неизвестное по известным значениям на слое n (временном слое). Такая формула будет являться алгоритмом решения. Полное решение для сетки является суммой решений для всех узлов [13,с.74]:

Процесс дискретизации вносит ошибку. Для окрестности узла, в пределах которой вычисляется производная, ошибка дискретизации находится разложением в ряд Тейлора [12,с.82]. Главный член ряда достаточной корректно оценивает ошибку дискретизации при малой величине ΔА (стороне ячейки). Ошибка дискретизации является критерием оценки ошибки решения в зависимости от уменьшения размеров ячеек расчетной сетки.

9. Метод конечных объемов

По методу конечных объемов в пространстве проточной части насоса строится расчетная сетка, структурными элементами которой являются конечные объемы. Трехмерный конечный объем может быть представлен в виде куба, тетраэдра, гексаэдра. В элементе конечного объема уравнения решаются для точки, находящейся геометрическом центре этого элемента. Метод можно назвать «методом частиц в ячейках» [14,с.48].

Рис.3 Пример ячейки элемента конечного объема и приращения решения для смежных ячеек

Метод конечных объемов обеспечивает для исходный дифференциальных уравнений Навье-Стокса выполнение законов сохранения в интегральной форме, то есть обладает свойством консервативности [14,с.51]. Законы сохранения могут быть записаны для различных величин, например, массы, импульса и др.

Скорость накопления величины А (см. рис.3) в ячейке равна сумме конвективного и диффузионного притока в единицу времени [14,с.52]. По граням смежных ячеек решение интеграла должно быть одинаковым.

10 Практика численного расчета и характеристики насоса

Расчет проточной части центробежного насоса среди прочих авторов детально рассмотрен в монографии А.А. Алямовского [13]. Приведем представляющие интерес сведения по используемому в этой работе подходу к расчетам.

В 3D-модели вводят ограничения для создания внутренней области проточной части, например, добавляют заглушки и др. конструктивные элементы. Указывается, что заглушки необходимы для реалистичности и нужны во избежание образования вихрей на границе давления, которые ухудшают сходимость расчета. Данное положение не является обязательным к выполнению инженером-расчетчиком.

После введения ограничений для проточной части, указывается вращающаяся зона внутреннего объема. Течение в рабочем колесе (импеллере) рассчитывается во вращающейся системе координат [13,с.331], при этом в расчете для поверхностей корпуса насоса существует возможность назначить их неподвижными.