Помоги проекту - поделись книгой:
Алекс Беллос
Капуста, неверные мужья и зебра. Загадки и головоломки для развития критического мышления
Научный редактор Александр Минько
CAN YOU SOLVE MY PROBLEMS Copyright © 2016 by Alex Bellos
Cartoon copyright © 2016 by Andrew Joyce
© Издание на русском языке, перевод, оформление. ООО «Манн, Иванов и Фербер», 2021
Введение
Все мои проблемы начались с Шерил.
Она была сложной девочкой. Настоящая подстрекательница. Большая любительница поддразнить. Но я не мог не думать о ней. Во многих отношениях она изменила мою жизнь.
Здесь я хотел бы уточнить, что Шерил не существует. Она – главное действующее лицо задачи по математике на экзамене в сингапурской школе. Эта задача захватила мое воображение и вовлекла в исследование мира головоломок, приведшее к написанию этой книги.
Вы найдете задачу о дне рождения Шерил, а также исчерпывающую историю наших отношений (речь идет о задаче 21) чуть позже. А пока, прежде чем отправиться в путешествие по моим любимым задачам, предлагаю решить две увлекательные головоломки, которые подогреют ваш интерес к этой теме.
Во-первых, посмотрите на представленный ниже рисунок. Числа на нем расположены согласно определенному правилу. Установив его, вы найдете отсутствующее число. Число семь в последнем кружочке не опечатка.
Я считаю эту головоломку неотразимой. Она интригующа и не требует глубоких знаний математики. Задача прямо-таки подзадоривает вас решить ее, а когда вы находите ответ (если находите), у вас возникает возбуждающее, манящее чувство удовлетворения. Ноб Йошигахара – знаменитый японский изобретатель головоломок XX столетия – считал ее своим шедевром. Попытайтесь отыскать решение, прежде чем я раскрою его в конце этого раздела.
Вторая головоломка – о марсианских каналах. На карте Красной планеты отображены недавно открытые города и водные пути. Отправляйтесь в дорогу из города T на Южном полюсе. Передвигайтесь по каналам и, посетив каждый город только один раз и вернувшись в исходную точку, составьте предложение на английском языке.
Этой задаче, придуманной плодовитым американским изобретателем головоломок Сэмом Лойдом, более ста лет. Лойд писал: «Когда головоломка была впервые опубликована в журнале, свыше пятидесяти тысяч читателей заявили: “There is no possible way”[1]. И все же она очень простая». Вы будете кусать себе локти, если прочитаете решение, прежде чем попытаетесь найти его самостоятельно.
Если вы сделали паузу, чтобы заняться решением какой-то из этих двух задач, мне вряд ли нужно вам объяснять, почему разгадывание головоломок столь увлекательное занятие! Когда вы фокусируетесь на поиске решения, отвлекающие факторы исчезают. Необходимость использовать свой разум оказывает жизнеутверждающее воздействие. А дедуктивные размышления, выраженные в виде простых логических шагов, успокаивают, особенно на фоне алогичности реальной жизни. Кроме того, хорошие головоломки ставят вполне осуществимые цели, достижение которых приносит высшее удовлетворение.
Одним из следствий моей встречи с Шерил стала интернет-колонка головоломок в Guardian, которую я начал вести. Для поиска лучших головоломок я организовал переписку как с их любителями, так и с профессиональными создателями, а также погрузился в чтение книг. Меня всегда увлекали математические загадки, но до начала этой исследовательской работы я в полной мере не осознавал их разнообразия, концептуальной глубины и богатой истории. В частности, я не понимал, что тысячу лет назад основная роль математики (помимо решения скучных задач коммерческого плана, таких как подсчет и измерение) сводилась к обеспечению интеллектуальных развлечений и увлекательного времяпрепровождения. (Возможно, все так и осталось, учитывая, что число любителей судоку существенно превышает количество профессиональных математиков.) Головоломки составляют параллельную историю математики, которая отображает великие открытия и вдохновляет блистательные умы.
В этой книге представлены 125 специально отобранных головоломок, созданных за прошедшие два тысячелетия, плюс истории их происхождения и влияния. Я выбрал только те, которые считаю наиболее захватывающими, увлекательными и стимулирующими работу мысли. Их можно рассматривать как математические только в самом широком смысле, потому что их решение требует логического мышления, а не глубоких знаний математики. Все они пришли из Китая, средневековой Европы, викторианской Англии и современной Японии, а также из других мест и времен. Одни представляют собой традиционные загадки, другие созданы ведущими профессиональными математиками своего времени. Но во многих случаях происхождение задачи трудно определить. Подобно анекдотам и сказкам, головоломки постоянно меняются, поскольку каждое новое поколение приукрашивает, адаптирует, упрощает, расширяет и видоизменяет их.
Лучшие головоломки сродни настоящей поэзии. Они, с присущей им элегантностью и лаконичностью, пробуждают интерес, разжигают дух соперничества, проверяют нашу изобретательность, а порой даже открывают универсальные истины. Для решения хорошей головоломки не требуется никаких специальных знаний – только творческий подход, остроумие и способность ясно мыслить. Математические загадки захватывают наше воображение, поскольку отвечают стремлению человека осмыслить этот мир; доставляют нам удовольствие, потому что, решая их, мы постигаем смысл происходящего. При этом, какими бы поверхностными и надуманными ни были головоломки, стратегии, используемые нами для их решения, расширяют наш арсенал средств борьбы со многими проблемами в жизни. И самое важное – головоломки дают волю нашей интеллектуальной игривости. Они забавны и пробуждают любознательность. Представленный мной диапазон головоломок требует совершенно разных подходов к их решению. В одних случаях все будет зависеть от озарения, в других вам придется довериться интуиции, а в третьих… Но об этом мы еще поговорим.
Каждая глава посвящена определенной теме, а задачи следуют примерно в хронологическом порядке. Головоломки не упорядочены по сложности. Впрочем, зачастую определить уровень сложности довольно трудно, ведь то, что один человек воспринимает как пытки, другому кажется элементарным, и наоборот. Я объясню вам решение нескольких головоломок и подскажу, как разгадать еще несколько, но над остальными вам предстоит работать самостоятельно. (Ответы можно найти в конце книги.) Одни задачи достаточно просты. Над другими вы будете ломать голову несколько дней. Самые трудные обозначены символом
Перед каждой главой я привожу десять блицвопросов, чтобы настроить вас на нужный лад. Первый, третий и пятый разделы включают задачи повышенного уровня сложности, используемые организацией United Kingdom Mathematics Trust[2] в ходе национальных конкурсов по математике для школьников 11–13 лет. Все верно, для каждого ребенка по десять задач. Вы готовы к этому?
А теперь вернемся к задачам, которые я предложил в самом начале.
При взгляде на «числовое дерево» вы сразу же обратите внимание на его верхнюю левую часть. Как числа 72 и 99 могут дать 27?
Понятно! 99–72 = 27.
Другими словами, число в кружочке – это разность между числами в двух кружочках, которые указывают на него стрелками.
Обратите внимание: та же схема применима и к числу 18, которое следует дальше: 45–27 = 18.
То же верно и для числа 21: 39–18 = 21.
Это означает, что отсутствующее число должно быть равно разности между числами 36 и 21, то есть 36–21 = 15.
Для полноты картины продолжаем двигаться дальше по дереву: 28–15 = 13.
Замечательно! Закономерность сохраняется. Мы почти добрались до конца.
И вот тут нас поджидает сюрприз.
Последнее число 7 не равно разности между 21 и 13 – двумя числами, которые на него указывают.
Проклятье! Наше первоначальное предположение ошибочно. Число в кружочке
Как еще числа 72 и 99 могут образовать 27?
Ответ настолько прост, что вы могли его не заметить.
7 + 2 + 9 + 9 = 27.
Необходимо сложить все цифры, из которых состоят эти два числа.
Та же схема работает и в следующей строке:
2 + 7 + 4 + 5 = 18.
И в следующей. Стало быть, отсутствующее число должно быть таким: 2 + 1 + 3 + 6 = 12.
Последние два кружка тоже подчиняются данной закономерности: 1 + 2 + 2 + 8 = 13 и 1 + 3 + 2 + 1 = 7.
Это совершенно гениальная головоломка, поскольку Йошигахара нашел два арифметических правила, действующих для одних и тех же чисел на
Вам удалось разгадать головоломку с марсианскими каналами? Значит, вы можете построить предложение «There is no possible way». Для этого нужно
Ну что, приступим?!
10 увлекательных головоломок. Умнее ли вы 11-летнего ребенка?
1. На рисунке показан вид одного и того же куба с трех разных сторон. Какая буква находится на грани, противоположной грани с буквой U?
Варианты ответов: а) I; б) P; в) K; г) M; д) O.
2. Длина носа Пиноккио 5 сантиметров. Каждый раз, когда он говорит неправду, длина его носа удваивается. Когда Пиноккио соврет девять раз, длина его носа примерно будет равна длине:
Варианты ответов: а) костяшки домино; б) теннисной ракетки; в) бильярдного стола; г) теннисного корта; д) футбольного поля.
3. В слове thirty (30) 6 букв, а 30 = 6 × 5. Аналогично в слове fourty (40) 5 букв, а 40 = 5 × 8. Какие из следующих слов обозначают числа, не кратные количеству букв в этом слове?
Варианты ответов: а) six (6); б) twelve (12); в) eighteen (18); г) seventy (70); д) ninety (90).
4. Эми, Бен и Крис стоят в ряд. Если Эми стоит слева от Бена, а Крис справа от Эми, то какое из следующих утверждений верно?
Варианты ответов: а) Бен – крайний слева; б) Крис – крайний справа; в) Эми стоит посредине; г) Эми – крайняя слева; д) ни одно из предыдущих утверждений не верно.
5. Какие из изображений можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя им по линии второй раз?
6. Чему равен остаток при делении числа 354 972 на 7?
Варианты ответов: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5.
7. У каждого ребенка в данной семье есть хотя бы один брат и хотя бы одна сестра. Какое минимальное количество детей в этой семье?
Варианты ответов: а) 2; б) 3; в) 4; г) 5; д) 6.
8. Сколько раз цифра 8 встречается в произведении 987 654 321 × 9?
Варианты ответов: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 9.
9. В каждом прямоугольнике частично заполненной пирамиды необходимо записать число, равное сумме двух чисел в прямоугольниках, расположенных непосредственно под ним. Какое число находится на месте х?
Варианты ответов: а) 3; б) 4; в) 5; г) 7; д) 12.
10. Сколько разных цифр присутствует в периодической десятичной дроби, соответствующей дроби
Варианты ответов: а) 2; б) 3; в) 4; г) 5; д) 6.
Глава 1. Капуста, неверные мужья и зебра. Логические задачи
Итак, логика. Обоснованно было бы начать разговор с того, что логическая дедукция – это ключевое правило всех математических головоломок. Безусловно, логика – основа всей математики. Однако в терминологии занимательной математики логические задачи – это головоломки, при решении которых используются только дедуктивные рассуждения, без каких бы то ни было арифметических вычислений, алгебраических преобразований или рисования фигур на клочке бумаги. Головоломки – самый доступный тип математических загадок, поскольку они не предполагают специальных знаний и их можно сформулировать в юмористической форме. Но, как вы увидите далее, решать их не всегда просто, потому что они требуют нестандартного мышления.
И это происходит по меньшей мере со времен Карла Великого[3], короля франков.
В 799 году Карл Великий, который правил большей частью Западной Европы, получил от своего учителя и советника Алкуина письмо, в котором говорилось: «Я отправил несколько занимательных задач, чтобы тебя позабавить».
Алкуин был величайшим ученым своей эпохи. Он вырос в Йорке, где учился в городской кафедральной школе, а впоследствии стал ее руководителем. Слухи о репутации этого британца дошли до Карла Великого. Король уговорил ученого возглавить придворную академию в Ахене, где Алкуин создал крупную библиотеку и начал реформу образования во всей Каролингской империи. Позднее Алкуин покинул двор Карла Великого и стал аббатом монастыря в Туре; именно тогда он и написал вышеупомянутое письмо своему бывшему господину.
Алкуину приписывают изобретение слитного письма, позволившего ему и его многочисленным писарям быстрее писать. Некоторые считают, что именно он первым использовал специальный символ (диагональную волнистую линию) в качестве знака пунктуации для обозначения вопроса. Просто удивительно, что вопросительный знак придумал человек, являющийся одной из самых значимых фигур в ранней истории создания головоломок.
Документ, на который ссылался Алкуин в своем письме, не сохранился, однако историки убеждены, что это был сборник примерно из пятидесяти задач под названием Propositiones ad Acuendos Juvenes («Задачи для развития молодого ума»), самая ранняя уцелевшая рукопись которого датируется следующим столетием. Кто еще, утверждают историки, мог написать эту работу, кроме Алкуина, самого выдающегося учителя своего времени?
«Задачи для развития молодого ума» – замечательный документ, представляющий собой наибольший сборник головоломок времен Средневековья, а также первый текст на латыни, содержащий оригинальный математический материал. (Римляне строили дороги, акведуки, общественные бани и системы канализации, но не занимались математикой.) А начинается сборник с шутливой задачи:
Ответ – 246 лет и 210 дней. Улитка умерла бы более чем за два столетия до конца пути.
Еще одна головоломка звучит так:
Маленькие умники! Оставляю эту головоломку вам для самостоятельного решения.
Шутливые формулировки Алкуина звучали новаторски. Впервые юмор использовался для того, чтобы заинтересовать учеников арифметикой. Однако важность сборника «Задачи для развития молодого ума» обусловлена не только новаторской стилистикой, но и тем, что он включал задачи новых типов. Некоторые из них требовали дедуктивных рассуждений при полном отсутствии вычислений. Наиболее известная головоломка Алкуина считается самой знаменитой математической загадкой всех времен.
Человек приходит на берег реки с волком, козой и несколькими кочанами капусты. Ему нужно переправиться через реку, но в единственной имеющейся лодке одновременно может поместиться только он сам и что-то одно из того, что у него есть. Оставить волка с козой или козу с капустой нельзя, поскольку в обоих случаях что-то будет съедено. Как человеку перебраться на другой берег реки за минимальное количество переправ?
Эта головоломка замечательна по двум причинам. Во-первых, ситуация довольно комична. Вы все утро тащились по грунтовой дороге, отчаянно пытаясь не подпускать волка к козе, а козу к капусте. А дальше – еще хуже: вам предстоит переправиться через реку в небольшой лодке. И все же самым забавным и интересным в этом сценарии я считаю само решение задачи, которое заставляет человека действовать вопреки вашим ожиданиям.
Попытайтесь решить эту головоломку. В одной книге XIII века сказано, что это под силу даже пятилетнему ребенку. Или порассуждайте вместе со мной.
Предположим, путешественник находится на левом берегу реки. Изначально у него есть три объекта, из которых он может взять с собой в лодку всего один. Если он возьмет волка, коза останется с капустой и съест ее. Если возьмет капусту, волк съест козу. Методом исключения приходим к выводу, что во время первой переправы через реку путешественник может взять с собой только козу, поскольку волк не ест капусту. Наш герой переправляет козу на правый берег и возвращается за следующим объектом.
Теперь путешественнику предстоит сделать выбор между волком и капустой. Допустим, он решает взять капусту и переправляется через реку в третий раз. Он добрался до правого берега, но не может оставить капусту с козой. Что же ему делать? Он ничего не добьется, вернувшись на левый берег с капустой, поскольку только что ее перевез. Значит, ему придется вернуться с козой. Этот шаг противоречит здравому смыслу: для того чтобы путешественник переправил через реку все свое имущество, ему необходимо перевезти что-то через реку на другой берег, затем обратно, а затем снова на тот же берег.
После четырех переправ на левом берегу находятся волк и коза, и путешественник привязывает козу, в пятый раз отправляясь через реку, на сей раз с волком. Волк, перевезенный на правый берег, по-прежнему не посягает на капусту. Остается совершить последнее путешествие на левый берег, чтобы забрать бородатое жвачное животное, – и наш герой справляется с задачей за семь переправ.
Поделиться книгой: