Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

Суть идеи состоит в том, что эти ребра идеально уравновешивают друг друга, как дети, качающиеся на доске, если они находятся в правильных точках. Архимед доказывает, что если сдвинуть короткое ребро до точки S, а длинное оставить на своем месте, то они уравновешиваются.

То же самое верно для любого вертикального кусочка. Неважно, какой вертикальный срез вы сделаете, короткое ребро всегда уравновесит длинное, если вы поместите его в точку S, а длинное оставите на месте.

Поэтому две фигуры уравновешивают друг друга: ребро за ребром. Если перенести все ребра параболы в S, то они уравновешивают все ребра внешнего треугольника ACD. Соответственно, вся масса параболы, перемещенная в S, уравновешивает внешний треугольник, находящийся там, где он есть.

Далее Архимед заменяет весь внешний треугольник одной эквивалентной точкой под названием центр тяжести треугольника. Эта точка – словно «заместитель» треугольника. Весь треугольник воздействует на доску качелей так, будто вся его масса сосредоточена в одной точке – центре тяжести. Этот центр, как Архимед уже показал в другой работе, лежит внутри треугольника на линии FC в точке, расстояние от которой до F ровно в три раза меньше, чем расстояние SF.

Итак, у нас получается рычаг, где вся масса параболы в точке S уравновешивает массу треугольника (сосредоточенную в одной точке), причем длинное плечо рычага втрое длиннее короткого. Следовательно, по закону рычага масса параболы втрое меньше площади треугольника. Это означает, что площадь сегмента параболы составляет треть от площади треугольника ACD. Однако ранее мы уже взяли на заметку тот факт, что ACD вчетверо больше ABC. Поэтому площадь сегмента параболы составляет 4/3 от площади треугольника ABC внутри него… Тот же результат, что мы получили, находя площадь с помощью бесконечного ряда из треугольных осколков!

Надеюсь, мне удалось передать всю психоделичность этого рассуждения. Здесь Архимед уже больше похож не на гончара, собирающего черепки, а на мясника. Он делит ткань параболической области, по одной вертикальной полоске за раз, и подвешивает эти бесконечно тонкие полоски на крюке в точке S. Общий вес мяса остается таким же, как если бы это был исходный цельный сегмент параболы. Просто он порезал исходную фигуру на множество вертикальных тончайших полосок, висящих на одном крюке. (Хм, странный образ. Возможно, нам лучше придерживаться терминологии доски-качалки?!)

Почему я назвал это рассуждение трансгрессивным? Потому что оно оперирует актуальной бесконечностью. На каком-то этапе Архимед открыто описывает внешний треугольник как «составленный из всех параллельных линий»[65]. Конечно, в греческой математике это было табу – вся эта бесконечная совокупность вертикальных линий, все эти вертикальные ребра. Он открыто представляет треугольник как уже завершенную бесконечность – совокупность ребер. И, делая это, выпускает голема на свободу.

Точно так же он описывает сегмент параболы – как «состоящий из всех параллельных линий, нарисованных внутри фигуры»[66]. Привлечение актуальной бесконечности, по его оценке, понижает статус этого рассуждения до эвристического – то есть это средство найти ответ, но не доказать его правильность. В письме Эратосфену он преуменьшает значение метода, говоря, что это не более чем своего рода указание на то, что вывод будет верным[67].

Каким бы ни был статус метода Архимеда, он обладает свойством e pluribus unum. Это латинское выражение, означающее «из многих – единое», используется как девиз на гербе США. Из бесконечного множества отрезков, составляющих параболу, возникает единая область. Думая о ней как о массе, Архимед перемещает ее, отрезок за отрезком, на левое сиденье доски-качалки. Теперь бесконечность отрезков представлена массой, сосредоточенной в одной точке. Единое заменяет многое, представляя его точно и верно.

То же самое справедливо и для уравновешивающего внешнего треугольника на правой стороне доски. Континуум вертикальных линий превращается в одну точку – центр тяжести. Она тоже заменяет целое. Бесконечность схлопывается в единое, e pluribus unum. Только это не поэзия и не политика, а истоки интегрального исчисления. Треугольники и сегменты парабол каким-то таинственным образом в каком-то смысле, который Архимед не смог строго определить, явно эквивалентны бесконечности из вертикальных линий.

Хотя Архимеда, похоже, смущает его заигрывание с бесконечностью, у него хватает смелости в этом признаться. Любой, кто пытается измерить криволинейную форму – найти длину границы или объем, который она заключает, – вынужден сражаться с пределом бесконечных сумм бесконечно малых частей. Осторожные люди могут попытаться обойти эту необходимость с помощью метода исчерпывания. Но на деле от нее никуда не деться. Справляться с криволинейными формами – так или иначе значит справляться с бесконечностью. Архимед открыто об этом говорит. Когда ему нужно, он может нарядить свои доказательства в респектабельные одежды, используя конечные суммы и метод исчерпывания. Но в глубине души он лукавит. Он признает, что мысленно взвешивает фигуры, мечтает о рычагах и центрах тяжести, взвешивая области и твердые тела отрезок за отрезком, по одному бесконечно малому кусочку за раз.

Архимед применил этот метод ко многим другим задачам о криволинейных формах. Например, для поиска центра тяжести полусферы, параболоида и сегментов эллипсоидов и гиперболоидов. Его любимый результат, который касался соотношения объемов и площадей поверхности шара и цилиндра[68], нравился ему настолько, что он завещал высечь его на могильном камне. Представьте себе шар, точно размещенный в цилиндрической коробке (шар, вписанный в цилиндр).

С помощью метода Архимед установил, что объем вписанного в цилиндр шара составляет 2/3 от объема цилиндра, а площадь поверхности этого шара – 2/3 от площади поверхности описанного цилиндра. Обратите внимание, что он не дал формул для объема или площади поверхности сферы, как мы сделали бы сегодня. Он выразил свой результат в виде пропорций. Это классический греческий стиль. Все выражается в пропорции. Область сравнивали с другой областью, а объем – с другим объемом. И когда в пропорциях получились небольшие целые числа, как здесь (3 и 2) или в случае сегмента параболы (4 и 3), это было источником непередаваемого удовольствия. В конце концов, эти же самые соотношения 3:2 и 4:3 имели особое значение для древних греков из-за их роли в пифагорейской теории музыкальной гармонии. Вспомните, что, если защипнуть две струны с соотношением длин 3:2, они звучат гармонично, будучи разделенными через интервал, известный как квинта. Аналогично струны в соотношении 4:3 дают кварту. Такие числовые совпадения между гармонией и геометрией, должно быть, восхищали Архимеда.

Его слова в трактате «О шаре и цилиндре» показывают, насколько ему нравится результат: «Разумеется, эти свойства были присущи этим телам всегда, но они остались неизвестными всем геометрам»[69]. Не обращайте внимания на нотки гордости, а сосредоточьтесь на его утверждении, что «свойства были присущи этим телам всегда, но они остались неизвестными». Здесь он выражает философию математики, близкую сердцам всех математиков. Мы чувствуем, что открываем математику. Результаты уже существуют и ждут нас. Они всегда были присущи телам. Мы их не изобретаем. В отличие от Боба Дилана или Тони Моррисона, мы не пишем музыку или романы, которых раньше не было, а открываем уже имеющиеся факты, которые присущи изучаемым нами объектам. Хотя у нас есть творческая свобода изобретать сами объекты – создавать такие идеализации, как сферы, круг и цилиндры, как только мы это делаем, они начинают жить собственной жизнью.

Когда я читаю, как Архимед радуется обнаружению соотношений для площади поверхности и объема шара, я испытываю аналогичные ощущения. Или, скорее, понимаю, что он чувствовал то же самое, что и все мои коллеги-математики. Хотя нам говорят, что «прошлое – это чужая страна»[70], она не может быть чужой во всех отношениях. Люди, о которых мы читаем у Гомера и в Библии, очень похожи на нас. То же самое, по-видимому, верно и в отношении древнегреческих математиков, по крайней мере Архимеда, единственного, кто впустил нас в свое сердце.

Двадцать два века назад, написав письмо своему другу Эратосфену, библиотекарю в Александрии, Архимед, по сути, отправил ему математическое послание в бутылке, которое тогда практически никто не мог оценить, но он надеялся, что оно благополучно преодолеет моря времени. Он делился своей интуицией, своим методом, желая, чтобы он помог будущим поколениям математиков «найти другие теоремы, которые не выпали на нашу долю». Шансы были против него. Времена всегда были жестокими. Царства рушились, библиотеки сжигались, рукописи портились. Ни одна копия «Метода» не пережила периода Средневековья. Хотя Леонардо да Винчи, Галилей, Ньютон и другие гении Возрождения и научной революции изучали то, что осталось от трудов Архимеда, у них не было возможности прочитать «Метод». Считалось, что он безвозвратно утерян.

А затем каким-то чудом его нашли.

В октябре 1998 года потрепанный средневековый молитвенник был выставлен на аукцион Christie’s и продан анонимному частному коллекционеру за 2,2 миллиона долларов. Под латинскими молитвами просматривались едва различимые геометрические чертежи и математический текст, написанный на греческом языке в X веке. Книга оказалась палимпсестом: в XIII веке ее пергаментные листы были вымыты и очищены от греческого текста ради написанных поверх литургий на латыни. К счастью, греческий текст не был полностью уничтожен. Это оказалась единственная сохранившаяся копия «Метода» Архимеда[71].

На палимпсест Архимеда[72], как сейчас называют эту рукопись, впервые обратили внимание в 1899 году, когда он находился в православной библиотеке в Константинополе. Ренессанс и научную революцию он пролежал незамеченным в лавре Саввы Освященного недалеко от Вифлеема. Сейчас он находится в художественном музее Уолтерса в Балтиморе, где был с любовью отреставрирован и исследован с применением новейших технологий воссоздания изображений[73].

Архимед сегодня: от компьютерной анимации до лицевой пластики

Наследие Архимеда живо и сегодня[74]. Взгляните на анимированные фильмы[75], которые так любят смотреть наши дети. Персонажи «Шрека», «В поисках Немо» или «Истории игрушек» кажутся такими живыми и настоящими отчасти потому, что воплощают идею Архимеда: любую гладкую поверхность можно надежно аппроксимировать треугольниками. Например, вот три триангуляции головы манекена[76]:

Питер Шрёдер

Чем больше треугольников мы возьмем и чем меньше их размер, тем лучше становится приближение.

То, что верно для манекенов, верно и для огров, и для рыб-клоунов, и для игрушечных ковбоев. Подобно тому как Архимед использовал мозаику из бесконечного количества осколков, чтобы представить сегмент гладкой криволинейной параболы, современные аниматоры из DreamWorks создают круглый живот Шрека и его милые трубообразные уши из десятков тысяч многоугольников. Еще больше потребовалось для сцены турнира, где Шрек[77] сражался с местными громилами: каждый ее кадр требовал свыше 45 миллионов многоугольников[78]. Но в готовом фильме их следов нигде нет. Как учит нас принцип бесконечности, прямое и угловатое может олицетворять изогнутое и гладкое.

Когда примерно через десять лет вышел фильм «Аватар»[79], уровень многоугольной детализации стал запредельным. По настоянию режиссера Джеймса Кэмерона аниматоры использовали около миллиона многоугольников, чтобы изобразить каждое растение в воображаемом мире Пандоры. А учитывая, что действие происходило в пышных виртуальных джунглях, там насчитывалось множество растений… и множество многоугольников. Неудивительно, что производство «Аватара» обошлось в триста миллионов долларов. Это был первый фильм, в котором многоугольники использовались миллиардами[80].

В самых ранних компьютерных анимационных фильмах многоугольников было куда меньше. Тем не менее в то время вычисления казались ошеломляющими. Возьмем «Историю игрушек»[81], вышедшую в 1995 году. Одному аниматору тогда требовалась неделя, чтобы синхронизировать восьмисекундный кадр. На создание всего фильма ушло четыре года и 800 тысяч часов компьютерного времени. Как говорил в интервью журналу Wired соучредитель студии Pixar Стив Джобс, «над этим фильмом работает больше людей с ученой степенью, чем над любым другим в истории кино»[82]. Вскоре после «Истории игрушек» вышел первый анимационный ролик с человеком в главной роли – «Игра Джери»[83]. Эта забавная и грустная история одинокого старичка, который играет сам с собой в шахматы в парке, получила в 1998 году «Оскар» за лучший короткометражный анимационный фильм.

Entertainment Pictures / Alamy

Как и другие персонажи, созданные компьютером, Джери был сконструирован из угловатых форм. В начале этого раздела я показал компьютерную графику лица из все большего количества треугольников. Примерно таким же образом аниматоры студии Pixar смоделировали голову Джери из сложного многогранника, состоявшего из примерно 4500 вершин, соединенных ребрами и гранями, как драгоценный камень. Аниматоры сильнее и сильнее делили эти грани, чтобы получить все более детальное изображение. Этот процесс занял намного меньше компьютерной памяти, чем методы, использованные ранее, и позволял делать анимацию гораздо быстрее[84]. На тот момент это был революционный прорыв в компьютерной анимации, но по духу – продолжение идей Архимеда. Напомним: для того чтобы оценить число π, Архимед начал с шестиугольника, затем перешел к двенадцатиугольнику. После следующего деления получился многоугольник с 24 сторонами, затем 48-угольник и наконец 96-угольник; так происходило постепенное приближение к предельной фигуре – окружности. Точно так же, многократно разделяя свой многогранник, аниматоры Джери аппроксимировали морщинистый лоб персонажа, его торчащий нос и складки кожи на шее. Повторяя этот процесс достаточное количество раз, они смогли сделать Джери таким, каким он должен быть – похожим на куклу персонажем, передающим широкий спектр человеческих чувств.

Через несколько лет конкурент Pixar, компания DreamWorks, сделала следующий шаг на пути к реализму и эмоциональной выразительности в своей истории о дурно пахнущем, ворчливом героическом огре по имени Шрек.

Entertainment Pictures / Alamy

Хотя Шрек никогда не существовал вне компьютера, выглядел он почти как человек. Отчасти потому, что аниматоры постарались воспроизвести анатомию человека. Под виртуальной кожей они создали виртуальные мышцы, жир, кости и суставы. Все было сделано настолько добросовестно, что, когда Шрек открывал рот, чтобы сказать что-нибудь, кожа на его шее образовывала второй подбородок[85].

Это подводит нас к другой области, где идея Архимеда о приближении прямолинейными формами оказалась полезной, – пластической хирургии лица[86] для пациентов с неправильным прикусом, смещением челюстей и другими врожденными пороками. В 2006 году немецкие математики Петер Дойфлхард, Мартин Вайзер и Стефан Захов сообщили о результатах своей работы по применению анализа и компьютерного моделирования для прогнозирования результатов сложных операций на лице.

Первым шагом было построение точной карты структуры лицевых костей пациента. Для этого использовалась компьютерная (КТ) или магнитно-резонансная (МРТ) томография. Результаты давали информацию о трехмерной конфигурации лицевых костей черепа, с помощью которой исследователи строили компьютерную модель лица пациента. Эта модель была не просто геометрически точной; она была биомеханически точной. Она включала реалистичные оценки свойств кожи и мягких тканей – жиров, мышц, сухожилий, связок и кровеносных сосудов. С помощью компьютерной модели хирурги могли проводить операции на виртуальных пациентах, подобно тому как пилоты оттачивают мастерство на летных тренажерах. Виртуальные кости лица, челюсти и черепа можно резать, перемещать, наращивать или полностью удалять. Компьютер рассчитывал, как в ответ на появление новой костной структуры будут перемещаться и перестраиваться виртуальные мягкие ткани.

Результаты такого моделирования полезны по нескольким причинам. Они предупреждают хирургов о возможных неблагоприятных воздействиях процедуры на такие уязвимые структуры, как нервы, кровеносные сосуды и корни зубов. Они также показывают, как будет выглядеть лицо пациента после операции, поскольку модель предсказывает, как переместятся мягкие ткани после выздоровления пациента. Еще одно преимущество – это позволяло хирургам лучше подготовиться к реальной операции в свете смоделированных результатов. А пациенты могли более взвешенно принимать решение о необходимости операции.

Идеи Архимеда проявились, когда исследователи смоделировали гладкую двумерную поверхность черепа с помощью огромного количества треугольников. Мягкие ткани создавали собственные геометрические проблемы. В отличие от черепа, мягкие ткани полностью заполняют трехмерный объем. Они наполняют сложное пространство между кожей лица и черепом. Ученые представили эту ткань сотнями тысяч тетраэдров – трехмерных аналогов треугольников. На изображении внизу поверхность черепа аппроксимируют примерно 250 000 треугольников (они слишком малы, чтобы их разглядеть), а объем мягких тканей включает 650 000 тетраэдров.

Стефан Захов, институт Цузе в Берлине (ZIB)

Массив тетраэдров позволил исследователям предсказать, как поведут себя после операции мягкие ткани пациента. Грубо говоря, мягкие ткани – это упругий материал, немного похожий на резину или эластан. Если вы ущипнете себя за щеку, она изменит форму, а когда отпустите, вернется к естественному состоянию. Еще с 1800-х годов математики и инженеры использовали анализ, чтобы смоделировать, как различные материалы будут растягиваться, изгибаться или скручиваться, если их сжимать, растягивать или резать различными способами. Эта теория лучше всего развита в традиционных областях техники, где она используется для изучения напряжений и деформаций в мостах, зданиях, крыльях самолетов и многих других конструкциях из стали, бетона, алюминия и прочих жестких материалов. Немецкие исследователи адаптировали традиционный подход к мягким тканям и обнаружили, что он работает достаточно хорошо для того, чтобы быть полезным хирургам и пациентам.

Их основная идея заключалась в следующем. Представим мягкие ткани в виде сети тетраэдров, связанных между собой подобно бусинкам, соединенным эластичными нитями. Эти бусинки изображают небольшие кусочки ткани. Они соединены эластично, потому что в реальности атомы и молекулы в тканях соединены химическими связями. Эти связи сопротивляются растяжению и сжатию, что и обеспечивает упругость. Во время виртуальной операции хирург разрезает кости на виртуальном лице и передвигает некоторые их фрагменты. Когда кусок кости перемещается на новое место, он тянет за собой присоединенные ткани, а те, в свою очередь, тянут соседние ткани. В результате из-за этих сил сеть меняет конфигурацию. По мере движения участков ткани они меняют силы, оказываемые на соседей, поскольку связи между участками растягиваются или сжимаются. Затронутые соседи перенастраиваются сами и так далее. Отслеживание всех возникающих сил и смещений требует колоссальных вычислений, которые может выполнить только компьютер. Шаг за шагом алгоритм корректирует мириады сил и перемещений в крошечных тетраэдрах. В конечном счете все силы уравновешиваются и ткани приходят в новое состояние равновесия. Это и будет новой формой лица пациента, предсказанной моделью.

В 2006 году Дойфлхард, Вайзер и Захов проверили прогнозы своей модели для примерно тридцати клинических случаев и пришли к выводу, что она работает замечательно. В качестве одной из мер ее успешности было правильно предсказанное – с точностью до миллиметра – положение 70 % поверхности кожи на лице пациента. Только для 5–10 % поверхности отклонение от прогноза составляло более трех миллиметров. Другими словами, модели можно было доверять. И это, конечно, гораздо лучше, чем действовать наугад. Вот пример с одним пациентом до и после операции. На четырех иллюстрациях показан его профиль до операции (крайний рисунок слева), компьютерная модель лица в этот момент (второй рисунок слева), спрогнозированный результат операции (второй рисунок справа) и фактический результат (крайний рисунок справа).

Посмотрите на положение его челюсти до и после операции. Результаты говорят сами за себя.

Стефан Захов, институт Цузе в Берлине (ZIB)

К загадке движения

Я пишу эти строки на следующий день после метели. Вчера было 14 марта, День числа π[87], и у нас навалило тридцать сантиметров снега. Сегодня утром, четвертый раз расчищая подъездную дорожку, я с завистью наблюдал, как небольшой трактор с роторным снегометом легко прокладывал по улице путь. С помощью вращающегося винта он забирал снег, а потом выбрасывал его во двор моего соседа.

Подобное использование вращающегося винта для перемещения чего-либо также восходит к Архимеду, по крайней мере согласно традиции. В его честь мы называем такой механизм архимедов винт[88]. Говорят, что ученый придумал его во время поездки в Египет (хотя, возможно, ассирийцы использовали его намного раньше) для подъема воды в ирригационные каналы. Сегодня в механических устройствах для поддержания работы сердца применяют насосы, использующие архимедов винт: они поддерживают циркуляцию крови при повреждениях левого желудочка.

Однако очевидно, что Архимед не хотел, чтобы его помнили за винты, военные машины или любые другие практические изобретения: он не оставил нам о них никаких записей. Больше всего он гордился своими математическими открытиями, что также заставляет меня задуматься, о каком его наследии уместно поразмышлять в День числа π. За двадцать два столетия, прошедших с тех пор, как Архимед нашел границы числа π, новые приближения появлялись много раз, но при этом всегда использовались математические методы, введенные Архимедом: приближения многоугольниками или бесконечные ряды. В более широком смысле его наследие – первое принципиальное использование бесконечных процессов для определения количественных характеристик криволинейных форм. В этом ему не было равных ни тогда, ни сейчас.

Однако геометрия криволинейных форм имеет свои пределы. Нам нужно также знать, как в этом мире происходит движение – как смещаются ткани после операции, как кровь течет по артериям, как мяч летит по воздуху. Об этом Архимед промолчал[89]. Он дал нам знания по статике, о телах, уравновешенных на рычаге и устойчиво плавающих в воде. Он был мастером равновесия. Территория впереди таила в себе загадки движения.

Глава 3. Открытие законов движения

Когда Архимед умер, вместе с ним практически умерло и математическое изучение природы. Прошло полторы тысячи лет, прежде чем появился новый Архимед. В Италии эпохи Возрождения молодой ученый по имени Галилео Галилей начал с того места, на котором остановился великий грек. Он наблюдал, как двигаются предметы, когда летят по воздуху или падают на землю, и искал в их движении числовые закономерности. Он проводил тщательные эксперименты и анализировал их. Измерял время колебания маятников и спуска шариков по наклонным поверхностям и находил удивительные правила для обоих случаев. А тем временем молодой немецкий математик Иоганн Кеплер изучал движение планет. Оба ученых были очарованы обнаруженными в своих работах закономерностями и ощущали присутствие чего-то гораздо более глубокого. Они знали, что натолкнулись на нечто важное, но не могли понять его значения. Открытые ими законы движения были написаны на незнакомом языке, коим и было дифференциальное исчисление. Это были первые намеки на него, сделанные человечеству.

До работ Галилея и Кеплера природные явления редко воспринимались в математических терминах. Архимед открыл математические принципы равновесия и плавучести в своих законах рычага и гидростатического равновесия, однако их применение было ограничено статическими ситуациями, где не было движения. Галилей и Кеплер рискнули выйти за пределы статического мира Архимеда и исследовать, как движутся объекты. Их попытки разобраться в увиденном стимулировали появление нового вида математики, которая могла бы обращаться с движением, происходящим с переменной скоростью. Такая математика должна была описывать, например, изменение скорости шарика, катящегося по наклонной плоскости, или скорости планет, ускоряющихся по мере приближения к Солнцу и замедляющихся по мере удаления от него. В 1623 году Галилей описывал Вселенную как «величественную книгу… которая всегда открыта нашему взору»[90], но предупреждал, что «читать ее может лишь тот, кто сначала освоит язык и научится понимать знаки, которыми она начертана. Написана же она на языке математики, и знаки ее – треугольники, окружности и другие геометрические фигуры, без которых нельзя понять ни единого из стоящих в ней слов и остается лишь блуждать в темном лабиринте»[91]. Кеплер выражал еще большее преклонение перед геометрией. Он полагал, что она так же вечна, как божественный разум[92], и предоставила Богу закономерности[93] для сотворения мира. Задача Галилея, Кеплера и других близких им по духу математиков начала XVII века состояла в том, чтобы взять их любимую геометрию, так хорошо приспособленную для описания мира покоящегося, и распространить ее на мир меняющийся. Проблемы, с которыми они столкнулись, были больше чем математическими; им пришлось преодолевать философское, научное и богословское сопротивление.

Мир по Аристотелю

До XVII века движение и изменение были мало понятны. И не только потому, что их трудно изучать; они просто считались отвратительными. Платон учил[94], что цель геометрии – приобрести знание о том, что существует вечно, а не возникает на мгновение, а затем исчезает. Его философское презрение к преходящим вещам перешло в более крупных масштабах в космологию его самого выдающегося ученика – Аристотеля.

Согласно учению Аристотеля[95], которое доминировало в западной мысли почти два тысячелетия (и было принято католицизмом после того, как Фома Аквинский убрал из него языческие элементы), небеса вечны, неизменны и совершенны. Неподвижная Земля находится в центре божьего творения, а Солнце, Луна и планеты вращаются вокруг нее по идеальным окружностям, увлекаемые движением небесных сфер. В соответствии с такой космологией все в земном царстве ниже сферы Луны испорчено и поражено гниением, разложением и смертью. Превратности жизни, подобно опаданию листьев, по самой своей природе преходящи, мимолетны и беспорядочны.

Хотя космология с Землей в центре выглядела обнадеживающей и здравой, неудобной проблемой представлялось движение планет. Слово «планета» означает «блуждающая»[96]. В древности планеты считались блуждающими звездами; вместо того чтобы находиться в одной точке неба подобно звездам Пояса Ориона и Ковша Большой Медведицы, которые никогда не двигаются относительно друг друга[97], планеты, казалось, перемещались по небу. За несколько недель и месяцев они переходили из одного созвездия в другое. Большую часть времени они двигались на восток относительно звезд, но иногда казалось, что они замедляются, останавливаются и пятятся назад, на запад (астрономы называют такое движение ретроградным[98]).

Например, было замечено, что Марс за время своего почти двухлетнего оборота по небу в течение примерно 11 недель двигается в обратном направлении. Сегодня мы можем запечатлеть это попятное движение с помощью фотографии. В 2005 году фотограф Тунч Тезел сделал серию из 35 снимков Марса с интервалом примерно в неделю и объединил изображения, скоординировав их по звездам на заднем плане. На итоговом комбинированном снимке 11 точек в середине показывают ретроградное перемещение Марса.

Тунч Тезел

Сегодня мы понимаем, что такое попятное движение – всего лишь иллюзия. Оно вызвано перемещением Земли, проходящей мимо более медленно движущегося Марса.

Это же происходит, когда вы идете на обгон автомобиля. Представьте, что вы мчитесь по автостраде в пустыне, а вдалеке виднеются горы. Пока вы догоняете более медленную машину, вам кажется, что она движется вперед относительно гор. Но когда вы ее догнали и проезжаете мимо, на мгновение кажется, что она двигается назад на их фоне. Затем, как только вы отъедете достаточно далеко, снова будет казаться, что она двигается вперед.

Такое наблюдение привело греческого астронома Аристарха[99] к идее гелиоцентрической системы мира почти за два тысячелетия до Коперника. Он справился с загадкой ретроградного движения. Однако Вселенная с Солнцем в центре сама по себе вызывала вопросы. Если Земля движется, почему мы с нее не падаем? И почему звезды кажутся неподвижными? Они же должны двигаться: по мере того как Земля вращается вокруг Солнца, их положение должно слегка меняться. Опыт подсказывает, что когда вы посмотрите на какой-то предмет, потом сдвинетесь и посмотрите еще раз, то предмет переместится на фоне более далеких объектов. Этот эффект называется параллаксом. Чтобы проверить, поставьте палец вертикально перед лицом. Закройте один глаз, затем второй. Кажется, что палец сдвигается на фоне более дальних предметов. Точно так же, когда Земля двигается по орбите вокруг Солнца, звезды должны смещаться на фоне более далеких звезд. Единственный способ разобраться с этим парадоксом (как понял сам Архимед[100], изучая космологию Аристарха) – принять, что все звезды чрезвычайно далеки, по сути, бесконечно далеки от Земли. Тогда движение нашей планеты не даст обнаружить сдвиг, потому что параллакс будет слишком мал, чтобы его можно было зметить. В то время такое рассуждение было трудно принять: никто не мог вообразить, что Вселенная настолько необъятна, а звезды настолько дальше планет. Сегодня мы знаем, что все именно так, но тогда это казалось немыслимым.

Поэтому картина мира с Землей в центре при всех ее недостатках выглядела более правдоподобно. Греческий астроном Птолемей скорректировал ее, введя эпициклы, экванты и прочие дополнительные факторы[101], чтобы теория могла разумно описывать движение планет и обеспечивала соответствие календаря и сезонных изменений. Система Птолемея[102] была неуклюжей и сложной, но работала достаточно хорошо, чтобы дожить до позднего Средневековья.

В 1543 году вышли две книги, которые ознаменовали начало научной революции. В том же году фламандский доктор Андреас Везалий сообщил о результатах вскрытия человеческих трупов – практике, запрещенной в предыдущие столетия. Его данные противоречили многовековым представлениям об анатомии человека. В тот же год Николай Коперник наконец разрешил опубликовать свою радикальную теорию о том, что Земля вращается вокруг Солнца. Он затягивал этот момент практически до своей смерти (и умер, когда книга увидела свет), поскольку боялся, что католическая церковь придет в ярость от подобного утверждения. И он оказался прав в своих опасениях. Когда Джордано Бруно[103] предположил среди прочих ересей, что Вселенная бесконечно велика и в ней бесконечно много миров, инквизиция осудила его и сожгла на костре в Риме в 1600 году.

На сцену выходит Галилео

В это смутное время, когда опасные идеи бросали вызов авторитетам и догмам, в Пизе, в родовитой, но обедневшей семье 15 февраля 1564 года родился мальчик, Галилео Галилей[104]. Его отец, теоретик музыки и лютнист, заставил сына учиться медицине, поскольку эта профессия была гораздо прибыльнее, чем его собственная. Но в университете Галилео обнаружил, что его страсть – математика. Он основательно увлекся трудами Архимеда и Евклида и досконально их изучил. Однако окончить университет ему не удалось (у отца больше не было возможности платить за обучение), он занялся самообразованием и через четыре года стал профессором математики в Пизанском университете, а еще через три года получил место профессора математики в Падуанском университете. Он был блестящим преподавателем, его выступления были ясны, задиристы и остроумны. Студенты стекались толпами на его лекции.

Галилео встретил жизнерадостную женщину по имени Марина Гамба[105], с которой многие годы прожил в гражданском браке. У них были две дочери и сын, однако в брак они не вступили; для него это считалось бы бесчестьем – из-за молодости Марины и ее низкого социального статуса[106]. Скудная зарплата преподавателя математики, затраты на воспитание троих детей и дополнительная ответственность за судьбу незамужней сестры вынудили Галиля отдать дочерей в монастырь, и это разбило его сердце[107]. Его любимицей[108], радостью в жизни была старшая дочь Вирджиния. Позже он описывал ее как «женщину с утонченным умом, исключительной доброты, нежнее всего привязанную ко мне». Став монахиней, она приняла имя Мария Челесте – в честь Девы Марии и увлечения отца астрономией[109].

Сегодня Галилея, пожалуй, чаще всего вспоминают в связи с его работой с телескопом и как сторонника теории Коперника о движении Земли вокруг Солнца, что противоречило взглядам Аристотеля и католической церкви. Хотя Галилей не изобретал телескоп, он усовершенствовал его и стал первым, кто сделал с его помощью выдающиеся научные открытия. В 1610-м и 1611 годах он наблюдал лунные горы, пятна на Солнце и четыре спутника Юпитера (с тех пор были открыты и другие).

Все эти наблюдения противоречили господствующим догмам. Горы на Луне означали, что вопреки учению Аристотеля она не была сияющей совершенной сферой. Аналогично пятна на Солнце означали, что оно не было совершенным небесным телом и имело дефекты. А поскольку Юпитер и его четыре спутника выглядели как собственная планетная система, где маленькие тела вращались вокруг более крупной центральной планеты, было очевидно, что не все небесные тела вращаются вокруг Земли.

Кроме того, эти спутники как-то умудрялись оставаться у Юпитера во время движения по небу. А ведь одним из стандартных аргументов против гелиоцентризма было то, что если Земля вращается бы вокруг Солнца, то Луна должна от нее отстать. Однако Юпитер с его спутниками показал, что это рассуждение ложно.

Это не означает, что Галилей был атеистом или нерелигиозным человеком. Он был добрым католиком и полагал, что открывает великолепие божьего труда, документируя его в соответствии с истиной, а не с традиционными представлениями Аристотеля и его более поздних схоластических толкователей. Однако католическая церковь так не считала. Труды Галилея были сочтены ересью. В 1633 году он предстал перед инквизицией, где его заставили отречься от своих взглядов. Его приговорили к пожизненному заключению, которое затем заменили домашним арестом, и остаток жизни Галилей прожил в своем доме в Арчетри около Флоренции. Он с нетерпением ждал встречи с любимой дочерью Марией Челесте, однако вскоре после его возвращения она заболела и умерла – в возрасте тридцати трех лет. Галилей был опустошен и на какое-то время утратил интерес к работе и жизни.