Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

Если провести разрез немного наклонно, получится эллипс.

Если угол разреза будет таким же, как у самого конуса, получится парабола.

Если посмотреть на плоскость разреза, то парабола выглядит как изящная симметричная кривая. Линия симметрии называется осью параболы.

В своем труде Архимед поставил перед собой задачу вычислить площадь сегмента параболы. Говоря современным языком, сегментом параболы называется криволинейная область, лежащая между параболой и пересекающей ее прямой.

Термином «квадратура» называется определение площади какой-либо фигуры (изначально – построение квадрата, равновеликого этой фигуре), то есть поиск способа выразить ее через более простые формы – квадрат, треугольник, прямоугольник и прочие прямолинейные фигуры.

Архимед использовал потрясающую стратегию. Он представил сегмент параболы как бесконечное множество треугольных черепков, склеенных вместе, словно осколки разбитого глиняного горшка.

Эти осколки образуют бесконечную иерархию размеров: один большой треугольник, два поменьше, четыре еще меньше и так далее. Ученый планировал найти их площади, а затем сложить их и вычислить интересующую его площадь. Требовался калейдоскопический скачок художественного воображения, чтобы представить плавный сегмент в виде мозаики из угловатых кусков. Если бы Архимед был художником, он стал бы первым кубистом.

Для реализации своей стратегии Архимеду требовалось вычислить площадь всех осколков. Но как точно определить эти осколки? Ведь параболический сегмент можно разбивать на куски бесконечным числом способов – так же как бесконечным числом способов можно разбить тарелку на части. Самый большой осколок может выглядеть вот так, или так, или вот так:

Ученому пришла в голову блестящая идея. Блестящая потому, что она создавала закономерность, которую можно было сохранять на всех уровнях иерархии. Он представил, как секущая линия в основании сегмента скользит вертикально, сохраняя свой наклон, пока не будет соприкасаться с параболой в единственной точке неподалеку от вершины.

Такая особая точка называется точкой касания. Она определяет третью вершину большого треугольника, где две другие – точки пересечения секущей и параболы.

Архимед использовал эту же тактику для определения треугольников на каждом этапе в иерархии. Например, на втором этапе треугольники выглядели так:

Обратите внимание, что теперь роль наклонной линии, пересекавшей треугольник на предыдущем этапе, играют стороны большого треугольника.

Затем Архимед использовал известные геометрические факты о параболах и треугольниках, чтобы узнать, как площади треугольников одного уровня связаны с площадью треугольников предыдущего уровня. Он доказал, что площадь каждого нового треугольника составляет 1/8 площади породившего его треугольника. Таким образом, если считать, что площадь первого, самого крупного, треугольника 1 (пусть он будет нашей единицей площади), то площадь двух дочерних треугольников будет 1/8 + 1/8 = 1/4.

На каждом следующем этапе справедливо то же правило: дочерние треугольники всегда составляют в сумме четверть площади от родительского. Следовательно, общая площадь сегмента параболы, состоящая из всего бесконечного количества осколков, должна равняться

В этом бесконечном ряду каждый член вчетверо меньше предыдущего.

Существует простой способ вычислить сумму членов такого ряда, известного как геометрическая прогрессия. Хитрость состоит в том, чтобы избавиться от бесконечного числа слагаемых. Для этого умножим обе части уравнения на 4 и вычтем из получившегося равенства исходное. Смотрите: умножение всех членов ряда на 4 дает:

Чудо происходит между предпоследней и последней строками. В предпоследней строке, подобно фениксу, возродилось выражение для исходной площади: и поэтому мы получаем

4 × Площадь = 4 + Площадь.

Вычитая из обеих частей величину Площадь, получаем 3 × Площадь = 4, откуда Площадь = 4 / 3. Другими словами, площадь сегмента параболы составляет 4 / 3 от площади самого большого треугольника.

Рассуждение о сыре

Архимед не одобрил бы вышеприведенный трюк. Он получил тот же результат другим путем, используя рассуждение под названием двойное доказательство от противного. Он доказывал, что площадь сегмента параболы не может быть меньше 4 / 3 или больше 4 / 3, поэтому она должна быть равна 4 / 3. Как позднее советовал Шерлок Холмс, «отбросьте все невозможное, и то, что останется, будет истиной, какой бы невероятной она ни казалась»[59].

Принципиально важно здесь то, что Архимед устранил невозможное с помощью рассуждений, основанных на конечном количестве осколков. Он показал, что суммарная площадь всех осколков может отличаться от числа 4 / 3 сколь угодно мало – просто надо взять достаточно большое их количество. Поэтому Архимед не прибегал к бесконечности. Все в его доказательстве было железным и вполне соответствует современным стандартам строгости.

Суть его аргументов легко понять, если представить их в виде повседневных терминов. Предположим, что три человека хотят поделить между собой четыре одинаковых ломтика сыра.

Самым здравым решением было бы дать каждому по кусочку, а оставшийся разрезать на три равные части. Это честно: каждый получит по 1 + 1/3 = 4/3 ломтика.

Но предположим, что эти трое оказались математиками, которые слоняются вокруг стола с едой перед семинаром, разглядывая последние четыре ломтика сыра. Самый сообразительный из троих, по совпадению носящий имя Архимед, может предложить такое решение: «Ребята, берем по одному куску, а оставшийся будем делить. Евклид, разрезай его на четыре части, а не на три. Теперь опять берем каждый по четверти, а оставшийся делим. Продолжаем так делать, пока оставшаяся крошка не перестанет нас интересовать. Хорошо? Евдокс, прекрати ныть».

Сколько всего сыра съест каждый из них, если процесс будет продолжаться бесконечно? После первого этапа каждый математик съест один ломтик. После второго, когда поделили четверть, у всех по 1 + 1/4 ломтика. После третьего этапа каждый съест по 1+ 1/4 + 1/16 ломтика. И так далее. Если дележ будет продолжаться вечно, каждому достанется 1+ 1/4 + 1/16 + … ломтиков сыра. А поскольку эта величина равна трети от исходного количества сыра, то 1+ 1/4 + 1/16 + … = 4/3.

В «Квадратуре параболы» Архимед дал очень близкое рассуждение, включая диаграмму с квадратами разного размера, но нигде не прибегал к бесконечности и не пользовался аналогами многоточия, чтобы показать бесконечную сумму. Наоборот, он рассуждал в терминах конечных сумм, так что его изложение было безупречно строгим. Его ключевое соображение заключалось в том, что крохотный квадратик в правом верхнем углу – текущий остаток, который еще предстоит разделить, – можно сделать меньше любого заданного числа после достаточно большого, но конечного числа этапов. И, согласно аналогичным рассуждениям, величину 1+ 1/4 + 1/16 + … + 1/4n (общее количество сыра, которое получает каждый математик) можно сделать сколь угодно близкой к числу 4/3, если взять достаточно большое n. Поэтому единственно возможный ответ – 4/3.

Метод

В этот момент я начинаю испытывать настоящее расположение к Архимеду, поскольку в одном из своих сочинений[60] он делает то, на что решаются немногие гении: приглашает нас посмотреть, как он мыслит[61]. (Я использую здесь настоящее время, потому что этот труд воспринимается так, словно ученый говорит с нами сегодня). Он делится своей уязвимой интуицией и выражает надежду, что будущие математики станут использовать ее для решения задач, которые ускользнули от него. Сегодня этот секрет известен как метод[62]. Я никогда не слышал о нем на занятиях по анализу. Нас ему не учат. Но я нахожу его историю и саму изначальную идею захватывающей и уникальной.

Архимед пишет о «Методе» в письме своему другу Эратосфену, библиотекарю в Александрии и единственному математику того времени, способному его понять. Он признается, что хотя его метод и не обеспечивает реальной демонстрации результатов[63], которые его интересуют, он помогает установить истину. Это наделяет его интуицией. Как он говорит, «если мы с помощью этого метода заранее получили какие-то знания по нужному вопросу, получить доказательство проще, чем находить его без предварительного знания». Другими словами, разминаясь, играя с методом, Архимед приобретает ощущение территории. И это приводит его к надежным доказательствам.

Вот такой честный отчет о том, что значит заниматься творческой математикой. Математики не придумывают доказательств сразу. Сначала срабатывает интуиция. Строгость приходит позднее. Эту решающую роль интуиции и воображения часто не учитывают в школьных курсах геометрии, однако она важна для всей творческой математики.

Архимед с надеждой заключает, что «среди нынешних и будущих поколений найдутся те, кто с помощью описанного здесь метода сможет найти другие теоремы, которые не выпали на нашу долю»[64]. От этих слов у меня на глаза наворачиваются слезы. Этот непревзойденный гений, ощущающий конечность своей жизни на фоне бесконечности математики, признает, что еще предстоит очень много сделать и что существуют «другие теоремы, которые не выпали на нашу долю». Все мы, математики, это понимаем. Наш предмет бесконечен. Он учит смирению даже самого Архимеда.

Первое упоминание о методе появляется в начале сочинения о квадратуре параболы, перед кубистским доказательством с помощью осколков. Архимед признает, что именно метод привел его к этому доказательству и прежде всего к числу 4/3.

Что же это за метод и что в нем такого личного, блестящего и трансгрессивного? Метод механический; Архимед ищет площадь сегмента параболы, мысленно его взвешивая. Он думает об этой криволинейной области как о материальном предмете – я представляю его в виде тонкого листа металла, обрезанного до желаемой параболической формы, – а затем помещает его на один конец воображаемых весов. Или, если вам так удобнее, представьте его на конце воображаемой доски-качалки. Затем он выясняет, как уравновесить этот предмет с помощью фигуры, которую он уже умеет взвешивать, – треугольника. Отсюда он выводит площадь первоначального сегмента параболы.

Это еще более творческий подход, чем его кубистско-геометрическая техника осколков и треугольников, которую мы обсуждали ранее, поскольку в этом случае Архимед собирается построить для вычислений воображаемую доску-качалку, причем так, чтобы она соответствовала размерам параболы. В совокупности его идеи дадут ответ, который он ищет.

Он начинает с сегмента параболы и наклоняет его так, чтобы ось симметрии параболы была вертикальной.

Затем он строит качалку. Инструкция по эксплуатации гласит: нарисуйте большой треугольник внутри сегмента параболы и обозначьте его ABC. Как и в кубистском доказательстве, он будет служить стандартной мерой площади. Мы будем сравнивать с ним площадь сегмента и увидим, что она в 4/3 раза больше.

Теперь заключим наш сегмент в треугольник гораздо большего размера, ACD.

Верхняя сторона этого треугольника выбирается как касательная прямая к параболе в точке C. Основание треугольника – линия AC. Левая же сторона – линия, идущая от А вертикально вверх до пересечения с верхней стороной в точке D. С помощью обычной евклидовой геометрии Архимед доказывает, что площадь этого большого внешнего треугольника ACD вчетверо превышает ABC. (Этот факт станет важным позже, а пока возьмем его на заметку.)

Следующий этап – строительство остальной части качалки: доски, двух сидений и точки опоры. Доска – это линия, соединяющая два сиденья. Она начинается в точке C (первое сиденье), проходит через B, пересекает границу внешнего треугольника в F (это будет точка опоры) и продолжается далее до точки S (второе сиденье), которая определяется как FS = FC. Иными словами, F – середина отрезка SC.

И вот тут появляется ошеломляющая идея, лежащая в основе всей концепции. Используя известные факты о параболах и треугольниках, Архимед доказывает, что можно уравновесить большой внешний треугольник относительно сегмента параболы, если представлять его по одной вертикальной линии за раз. Он считает обе фигуры состоящими из бесконечного количества параллельных отрезков, похожих на бесконечно тонкие планки или ребра. Вот типичная пара вертикальных линий-ребер. Короткое ребро соединяет основание с параболой,

а длинное ребро – с верхней стороной внешнего треугольника.