Секреты числа пи [Почему неразрешима задача о квадратуре круга] (Мир математики. т.7.)

Часть чего-либо бесконечного также может быть бесконечной и иметь то же кардинальное число.

Натуральные, рациональные и алгебраические числа

Люди много веков жили, повернувшись спиной к бесконечности. С подобным безразличием покончил немецкий математик высшего класса и непревзойденного ума, хоть и несколько эксцентричный. Его звали Георг Кантор.

Кардинальными числами конечных множеств являются натуральные числа. Кардинальные числа бесконечных множеств намного больше. Специалисты называют их трансфинитными, что дословно означает «находящиеся за пределами конечного». Наименьшее из трансфинитных чисел — это ||, которое Кантор обозначил как . Оно соответствует кардинальному числу множества натуральных чисел, иначе говоря,

|{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11,}| = || = .

Происхождение этого необычного знака таково:  (читается «алеф») — первая буква еврейского алфавита. Ноль, указанный как индекс, означает, что речь идет о наименьшем из всех алеф (алеф-нуле). Существует много кардинальных чисел, каждое имеет свой индекс:

Число  отражает множества, которые соответствуют . Например, это могут быть четные числа, нечетные числа, числа, кратные 3, кратные 5, и многие другие. Множества, соответствующие , называются счетными, поскольку их элементы можно пронумеровать или подсчитать, как показано ниже:

* * *

ГЕОРГ КАНТОР (1845–1918)

Этот немецкий математик русского происхождения считается одним из величайших умов человечества. Он известен как создатель современной теории множеств и трансфинитных чисел. Его передовые идеи навлекли на себя нападки многих могущественных недоброжелателей, что заметно препятствовало академической карьере Кантора. Депрессии, которым был подвержен Кантор (он умер в психиатрической больнице), вероятно, были вызваны невозможностью проверить некоторые из его гипотез. Сегодня нам известно, что ответов на некоторые вопросы, которыми задавался Кентор, не существует, но определенные методы, которые он использовал в доказательствах, могут по праву называться гениальными.

* * *

Но здесь нас подстерегает множество сюрпризов: бесконечное множество

 = {…, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ….}

математики называют множеством целых чисел, и  является частью . Очевидно, что всякое натуральное число является целым. Но что можно сказать о кардинальных числах этих множеств? Чему равно кардинальное число ? Если мы посмотрим на рисунок ниже, демонстрирующий процесс пересчета целых чисел,

то увидим, что || = || = , поэтому множество  также является счетным.

Сделаем еще один шаг вперед: рассмотрим множество дробей, или так называемых дробных чисел. Дробь определяется числителем и знаменателем и записывается в виде а/Ь. Если а кратно Ь, то а/Ь обозначают целым числом с, которое равно делению а на Ь без остатка:

а/Ь = с.

Фактически одним и тем же числом могут обозначаться разные дроби:

756/378 = 524/262 = 6/3 = 2.

Однако очевидно, что существуют и другие дроби, которые нельзя выразить целым числом, например 1/2 или 5/3. Существует больше дробных чисел, чем целых, так как всякое целое число можно представить в виде дроби. Имеем

Символ  означает «строгое включение подмножества». Это своеобразная разновидность знака < для множеств.

Множество дробных чисел обозначается буквой . Можно убедиться, что  является частью . Или же, если так будет удобнее читателю,

Можно было бы ожидать, что кардинальное число  больше, чем кардинальное число , но вы уже видели, что здравый смысл не всегда применим к бесконечности.

Кантор «пронумеровал» дроби с помощью извилистой линии, изобразив нечто похожее на этот рисунок:

Нет никаких сомнений, что на рисунке помещаются все дроби, так как в каждом ряду содержатся все возможные числители, а в каждом столбце — все возможные знаменатели. Если мы хотим найти число а/Ь, то это очень просто сделать, перейдя к строке а и столбцу Ь. Также не вызывает сомнений, что каждой дроби (иными словами, каждому рациональному числу) соответствует последовательность стрелок, идущая к нему. Поэтому достаточно пронумеровать стрелки (1, 2, 3, 4, 5…), чтобы прийти к результату:

Сделаем еще один шаг. Говорят, что число является алгебраическим, когда оно является корнем многочлена

а_nхn + а_n-1хn-1 +… + а₁х + а₀,

все коэффициенты которого (а_n, а_n-1…, а₁, а₀) являются рациональными числами.

Существует великое множество алгебраических чисел. По сути, любое рациональное число является алгебраическим. Если мы рассмотрим произвольное рациональное число а/Ь, уравнение

х — а/Ь = 0

имеет решение х = а/Ь, а его коэффициенты являются рациональными числами: a₁ = 1 и а₀ = — а/Ь.

Существует множество других алгебраических чисел: так, число √2 является иррациональным и является корнем уравнения х2 — 2 = 0, то есть удовлетворяет всем необходимым условиям. Алгебраическим также является такое известное число, как золотое число Ф — оно является корнем уравнения х2 — х — 1 = 0.

В 1874 году Кантор был еще молод и не страдал от психических расстройств. В одной из своих работ он доказал, что множество алгебраических чисел (будем обозначать его ), включающее все рациональные числа, является счетным множеством. Следовательно,

При этом каждое из этих множеств строго больше последующего:

Появление вещественных чисел

Мир чисел огромен. Пока что мы видели лишь его часть, которая является счетной.

Возможно, лучший способ рассказать о числах — это рассмотреть подробно их десятичную запись. Исследуем подробно множество всех десятичных чисел. Вообще говоря, десятичное число вида

34658,124796

является лишь формой записи следующего выражения

3∙104 + 4∙103 + 6∙102 + 5∙101 + 8∙100 + 1∙10-1 + 2∙10-2 + 4∙10-3 + 7∙10-4 + 9∙10-5 + 6∙10-6

Цифры слева от запятой соответствуют положительным степеням 10, справа от запятой — отрицательным степеням. Вспомним, что

a∙10-n = a/10n

Десятичная система счисления — это позиционная система счисления по основанию 10. Это лишь способ записи чисел, но сколь удобный способ! Это поистине великое достижение человечества.

СИМОН СТЕВИН (1548–1620)

Этот голландский ученый родился в бельгийском городе Брюгге. Он был военным инженером, занимался музыкой, физикой, математикой и бухгалтерией. Он вошел в историю как изобретатель двойной бухгалтерской записи, которая в значительной мере способствовала прогрессу в экономике и торговле. Но его вклад в математику еще важнее: в своем труде De Thiende («Десятая») он представил десятичную форму записи чисел. Эта система была слишком сложна, поэтому широкое распространение получили более поздние версии, например вариант, предложенный Джоном Непером,

Страница книги De Thiende, на которой приведен пример десятичной записи Стевина, не слишком удобной для повседневного использования. Единицы обозначаются кружком, обведенным вокруг 0, десятки — другим кружком вокруг 1, сотни — кружком вокруг 2 и так далее.

* * *

Десятичная дробь может быть конечной или бесконечной. Ниже приведен пример для обоих случаев:

1,234567890101112131415161718192021223242526…

127,789564.

Первое число — бесконечная десятичная дробь. Вторая дробь также содержит бесконечное количество знаков после запятой, но в ином виде:

127,789564 = 127,789564000000000000000000…

Фактически мы можем записать число 127,789564 более «сложным» способом:

= 127,789563999999999999999999…

Тем не менее в этих случаях речь идет о конечной десятичной дроби. Простейшие десятичные числа — это натуральные числа (): они являются положительными и не имеют знаков после запятой. За ними следуют целые числа (), которые могут быть отрицательными, но также не имеют знаков после запятой. Рациональные числа () включают в себя эти множества и имеют любопытную десятичную запись: цифры рационального числа имеют период, то есть некая группа цифр с определенного момента начинает повторяться. Вспомним, что рациональные числа являются дробями, или дробными числами, которые записываются в виде а/Ь, где а — целое, a Ь — натуральное число. Чтобы перейти от этой формы к десятичной записи, нужно разделить а на Ь, и каков же будет результат? Остаток не может превышать Ь, и после деления, выполненного Ь раз, числа начнут повторяться снова и снова. Это прекрасно видно на примере простейших дробей, в частности

11/7 = 1,571428571428571428…,

где период, или множество повторяющихся цифр, всегда равен 571428. Иногда период имеет гигантские размеры, но это не означает, что десятичное число будет иметь бесконечное количество знаков — они будут повторяться бесконечное число раз.

В этот момент неизбежно возникает вопрос: если периодические дроби соответствуют рациональным числам, то как быть с непериодическими десятичными дробями? Все очень просто: они являются не рациональными, а иррациональными.

ДИАГОНАЛЬНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Рассуждения Кантора, которые лежат в основе доказательства счетности множества десятичных дробей (то есть ), останутся в истории как доказательство его гениальности. Они оригинальны, но в то же время понятны. Это доказательство приобрело такую известность, что получило собственное название: диагональный метод, метод диагонализации, или диагональное доказательство. Посмотрим, почему это доказательство называется «диагональным».

Мы выполним действия, которые в математике именуются «сведением к абсурду», когда некая гипотеза предполагается истинной, а затем показывается, что из нее вытекает абсурдное заключение. Это означает, что исходная гипотеза ложна. Предположим (ниже мы докажем ложность этого утверждения), что множество десятичных дробей (т. е. вещественных чисел) является счетным. Будем говорить о счетности не всего множества , а лишь десятичных дробей, лежащих на интервале (0; 1), то есть удовлетворяющих условию 0 < х < 1, - лишь малой части . Предположим, что десятичные дроби пронумерованы и перечислены друг под другом, не обязательно по порядку, так, как показано ниже:

В этом списке должны фигурировать все десятичные дроби, заключенные в промежутке между 0 и 1, так, чтобы нельзя было записать никакую десятичную дробь л, которая бы не содержалась в этом списке. Кантор, основываясь на этом утверждении, создал новую десятичную дробь D

D = 0, d₁ d₂ d₃ d₄ d₅… d_n…,

которой не было в списке. Для каждого n он определил d_n, отличное от того, которое находится в строке n и столбце n.

d отличается от десятичной дроби, которая соответствует числу 1? Да, поскольку d отличается от этой дроби в первом знаке после запятой.

d отличается от десятичной дроби, которая соответствует следующему числу в списке? Да, поскольку d отличается от второй дроби во втором знаке после запятой.

d отличается от десятичной дроби, которая соответствует третьему числу в списке? Да, поскольку d отличается от третьей дроби во третьем знаке после запятой.

Это же верно и для четвертой, пятой и n-й дробей:

d_n не равно r_n

D отличается от всех десятичных дробей в списке, следовательно, оно не содержится в этом списке. Но разве мы не говорили, что в этом списке содержатся все десятичные дроби? Имеется противоречие с исходным утверждением, которое гласит, что все десятичные дроби пронумерованы и перечислены в списке. В действительности это не так. Это доказывает, что множество всех десятичных дробей не является счетным.

|| > ||

* * *

Существует множество иррациональных чисел, начиная с √2 и всевозможных комбинаций корней, например , и заканчивая универсальными константами, например π. Будет логичным спросить: «Сколько всего иррациональных чисел?»

Обозначим множество всех десятичных дробей , иными словами, объединение рациональных и иррациональных чисел: