Математика и искусство

(6.8)

т. е. октава делится на два неравных консонансных интервала — квинту и кварту. Интервал, дополняющий данный интервал до октавы, называется его обращением. Таким образом, квинта есть обращение кварты и наоборот.

Наконец, найдем интервальный коэффициент между струнами квинты l₃ и кварты l₄, который вместе со своим интервалом называется тоном (не нужно путать тон-интервал и тон-звук данной высоты):

(6.9)

т. е. тон-интервал равен отношению квинты к кварте.

Заметим, что в отличие от обычного Расстояния на прямой r₂₁ = х₂ — x₁ определяемого как разность координат конца и начала, интервальный коэффициент — вЫсотное расстояние — определен как отношение составляющих его тонов Тогда три тона f₁ <f₂ <f₃, расположенных на равных расстояниях r и образующих арифметическую прогрессию x₁, х₂ = x₁ + r, x₃ = x₁ + 2r. Поэтому интервальные коэффициенты складываются и вычитаются "геометрически", а сами интервалы — "арифметически", как обычные расстояния, а именно:

сумма двух интервалов равна произведению их интервальных коэффициентов:

(6.10)

разность двух интервалов равна частному их интервальных коэффициентов:

(6.11)

разделить интервал на n равных частей означает извлечь корень степени n из его интервального коэффициента:

(6.12)

и т. д.

Чтобы перейти от интервальных коэффициентов к интервалам-расстояниям, достаточно ввести логарифмический интервал L = log_a I и логарифмическую частоту F = log_a f. Тогда, логарифмируя определение (6.1) и равенства (6.10) — (6.12) получаем привычное определение и правила действия с расстояниями:

(6.13)

В главе 9 при построении равномерно-темперированного строя особенно удобно будет взять логарифмы по основанию 2. Тогда интервал октавы f₁ = 1, f₂ = 2 перейдет в логарифмический интервал 0≤L≤1 (log₂l=0, log₂2 = l).

Решение проблемы деления октавы подсказало Архиту сразу два доказательства иррациональности . В самом деле, если попытаться разделить октаву на два равных интервала I, то, полагая в (6.8) I₂₃ = I₃₁ = I, имеем

Но при таком соотношении длин струн прослушивается явный диссонанс. Поскольку же консонанс определяется отношением целых чисел вида (n+1):2, то напрашивается мысль, что число не может быть выражено отношением двух целых чисел, т. е. является иррациональным.

Второе доказательство иррациональности менее музыкально, но более математично. Чтобы найти квадратный корень числа, не являющегося полным квадратом, Архит разлагает его на два неравных сомножителя (2 = 1*2), затем образует из этих сомножителей среднее арифметическое 3/₂ и среднее гармоническое 4/₃ и составляет из этих чисел музыкальную пропорцию (6.7):

Произведение средних членов этой пропорции равно данному числу 2, а их разность меньше, чем разность нулевого приближения 2 — 1 = 1. Следовательно, можно рассматривать как приближенные значения .

(3/₂ с избытком, 4/₃ с недостатком ] .

Проделав ту же процедуру над первыми приближениями, получим вторые приближения:

причем

а затем — и третьи приближения:

причем

1,414216-1,414211=0,000005.

Поскольку данную процедуру можно повторять неограниченно, то ясно, что число иррациональное. Попутно мы убеждаемся в справедливости пифагорейской мысли о том, что чем больше целые числа в отношении, тем точнее они выражают иррациональное число (см. с. 96). Наконец, вспоминая, что значение равно 1,414213..., мы видим, что "музыкальный" метод Архита очень быстро сходится к точному значению и уже третье приближение дает пять верных знаков после запятой!

Но вернемся к нашим интервалам. Итак, октава делится на два неравных консонанса квинту и кварту, а квинта — на консонанс кварту и диссонанс тон. Тон-интервал и был принят за интервал между соседними по высоте звуками (ступенями) при построении пифагоровой гаммы. Здесь и находится ключ к построению лада. По мнению советского музыковеда Л. А. Мазеля, интервал квинты, разделенный на кварту и тон, является основным музыкальным элементом. Выбрав тон в качестве основной ладообразующей ступеньки, античным теоретикам осталось только отложить от основного звука , затем — еще один тон , а оставшийся интервал между вторым тоном и тоном кварты назвать полутоном Название это вполне оправдано, так как деление тона-интервала пополам по формуле (6.12) дает т. е. полутон практически равен половине тона*. Так была получена основа всей древнегреческой музыки — тетрахорд — четырехструнный звукоряд в пределах кварты.

* (Интервал, тона (полутона) в теории музыки принят в качестве единицы арифметического измерения интервалов, а сами интервалы тона и полутона в отличие от их интервальных коэффициентов называют большой и малой секундами.)

Ясно, что имеется только три возможности для положения полутона в пределах тетрахорда, что и определяло характер и название тетрахорда:

дорийский: полутон — тон — тон;

фригийский: тон — полутон — тон;

лидийский: тон — тон — полутон.

Названия тетрахордов указывают на соответствующие области Греции и Малой Азии, каждая из которых пела в своем ладу.

Конечно, четырех струн в пределах кварты было мало для ведения мелодии, поэтому тетрахорды соединялись. Мы уже выяснили, что октава состоит из двух кварт и тона; следовательно, в пределах октавы можно расположить два тетрахорда, разделенных интервалом в тон. Объединяя с помощью разделительного тона два одноименных тетрахорда, получили октаву, которую греки называли "гармония". Именно в античной теории музыки слово "гармония" обрело свое современное значение — согласие разногласного. Таких основных видов гармонии по числу тетрахордов получалось три:

Здесь 1 обозначает тон, 1/2 — полутон, разделительный тон обведен кружком. Эти античные гармонии сопоставимы с современными гаммами. В самом деле, каждый, знакомый с азами музыкальной грамоты, узнает в лидийской гармонии обычный натуральный мажор (2 тона — полутон, 3 тона — полутон, или на белых клавишах фортепиано до-ре-ми-фа-соль-ля-cи-дo), а в дорийской и фригийской — почти натуральный минор*.

* ("Почти" потому, что в сравнении с натуральным минором (1 — 1/2 — 1 — 1 — 1/2 — 1 — 1) у дорийской гаммы понижена вторая ступень, а у фригийской — повышена шестая.)

Пифагоров строй лидийской гаммы и его математические характеристики

Зная размеры интервалов, образующих, например, лидийскую гармонию и правила действия с ними, легко получить математическое выражение этой гаммы, т. е. построить ее пифагоров строй. Приняв частоту нижнего тона за единицу f₁ = 1, oнаходим первый тетрахорд: f₁ = 1, f₂ = 9/₈, f₃ = 9/₈*9/₈=81/₆₄, f₄=4/₃. Второй тетрахорд получается сдвигом первого на квинту: f₅ = 3/₂f_l = 3/₂, f₆ = 3/₂f₂ = 27/₁₆, f₇ = 3/₂f₃ = ₂₄₃/₁₂₈, f₈ = 3/₂f₄ = 2. Окончательно для интервальных коэффициентов имеем

(6.14)

Это и есть канон Пифагора. По преданию, канон Пифагора впервые нашел практическое применение при настройке лиры легендарного Орфея.

Существовал и другой способ расположения тетрахордов в октаве. Античные теоретики "склеивали" тетрахорды так, что верхний звук одного тетрахорда являлся нижним звуком второго. Тогда дополняющий до октавы тон помещали внизу или наверху такой системы. Если этот тон помещался внизу, то к названию тетрахорда прибавляли приставку гипо-(под-), а если наверху — приставку гипер- (над-). Так получалось еще 6 гармоний, среди которых две пары (гипо-фригийская — гиперлидийская и гиподорийская — гиперфригийская) оказывались совершенно одинаковыми. Отбросив две лишние гаммы, оставалось семь основных ладов. Эти лады имели огромное значение не только в античной музыке, но и через тысячу лет продолжали жить в средневековых ладах, а через две тысячи лет живут в современных натуральных ладах. Правда, средневековые монахи перепутали названия своих ладов в сравнении с античными, что часто порождает различные недоразумения. В таблице 1 собраны все основные античные лады, указан порядок следования в них интервалов, считая, что нижний звук расположен слева, а верхний — справа, приведены их древнегреческие и средневековые названия и указано их наклонение. Разделительный тон обведен кружком.

Таблица 1. Порядок следования интервалов тон (1) и полутон (1/2) в античных ладах (снизу вверх), древнегреческие и средневековые названия ладов и их наклонения

Если вспомнить, что сейчас господствуют только два лада — мажор и минор, то остается только удивляться, насколько утонченным было античное музыкальное сознание. Каждый лад греки наполняли определенным этико-эстетическим содержанием, его "этосом", устанавливая ясную связь между музыкальными образами и состояниями души. Музыке приписывали магические и даже врачебные Функции, но особенное значение придавалось музыке как средству воспитания.

Пляшущая менада. Рельеф

Так, развивая в работе "Государство" теорию идеального государства, Платон исключительное значение придает воспитательной роли музыки. Примечательно, что здесь Платон перекликается с другим выдающимся мыслителем, жившим на другом конце Земли за двести лет до Платона,- древнекитайским философом Конфуцием (ок. 551-479 гг. до н. э.), сказавшим: "Если хотите знать, как страна управляется и какова ее нравственность — прислушайтесь к ее музыке". Платон для мирной жизни оставляет один строгий дорийский лад, считая его подлинно греческим, мужественным, деятельным. Для чрезвычайного события, каковым, например, является война, Платон оставляет фригийский лад как наиболее страстный. Лидийский же лад он называет печальным, погребальным, соответствующим женской, а не мужской психике и потому неуместным в идеальном государстве. Остальные лады как слишком утонченные Платон также отбрасывает, неукоснительно проводя в воспитании принцип строгости и простоты. Безусловно, это не означает, что Платон плохо разбирался в музыке. Напротив, в музыке он находил чистый и возвышенный, "платонический" идеал прекрасного, идеал, лишенный вычурности, размягченности, грубых и разнузданных страстей.

Аристотель в "Политике" судит о ладах, пожалуй, еще строже Платона, признавая только дорийский лад как лад, способный тренировать психику. Тем не менее Аристотель делает подробную "этическую" классификацию ладов, различая пады, которые вызывают психическое равновесие (дорийский), напротив, нарушают зго (гипофригийский — "застольный" лад), возбуждают волю и стремление к действию (гиподорийский — лад греческой трагедии), вызывают восторженное и экстатическое состояние (фригийский, гиполидийский).

Прекрасное описание "этоса" греческих ладов мы находим в книге древнеримского писателя Апулея (ок. 124 — ?) "Флориды": "Жил когда-то флейтист по имени Антигенид. Сладостен был каждый звук в игре этого музыканта, все лады были знакомы ему, и он мог воссоздать для тебя, по твоему выбору, и простоту эолийского лада, и богатство ионийского, и грусть лидийского, и приподнятость фригийского, и воинственность дорийского".

Впрочем, стоп! Нет ли здесь противоречия? Дорийский лад называется воинственным, а ведь это, по существу, наш минор! Поскольку именно дорийский лад считался истинно греческим, то получается, что основной характер греческой музыки печальный, минорный. Для греков же дорийский лад является выражением бодрости, жизнерадостности и даже воинственности. Вот как объясняет это кажущееся противоречие выдающийся современный знаток античности, последний философ русского "серебряного века" профессор А. Ф. Лосев (1893-1988)[14]: "Греческое искусство — неизменное жизнеут-верждение. Благородная сдержанность и даже печаль не оставляют грека и тогда, когда он веселится, когда он бодро строит жизнь, когда он воюет и погибает. "Веселые" же лады так или иначе тяготеют к этому прекрасному, благородному, бодрому, важному и в то же время величественно-печальному ладу — дорийскому. Дорийский лад — это скульптурный стиль греческой музыки... Так задумчива, печальна и благородна вся греческая скульптура".

Ну а лидийский лад? Ведь это в точности наш мажор, тогда как Апулей называет его грустным, а Платон — погребальным! Что ж, в оценке лидийского лада с Платоном не соглашался уже Аристотель, находя в лидийском ладу наивную детскость и прелесть и относя его к ладам, вызывающим психическое равновесие. С течением времени лидийский лад утратил плачевный характер, и античные теоретики стали чаще говорить о "сладкой лидийской мелодии" или о "разнообразной лидийской мелодии".

Таким образом, мы видим, что вопрос об "этосе" ладов не решается однозначно и во многом определяется традицией применения того или иного лада. И в наше время слушатель, воспитанный, например, на тонкой и своеобразной индийской музыке, вообще не отличит мажора от минора, не говоря уж об их "этосе". Конечно, мажорный лад отличается более светлыми и радостными тонами и тому есть объективные причины, о которых мы расскажем в главе 10. Но реализация этих возможностей зависит от массы других факторов (темп, ритм, мелодический рисунок и т. д.), и поэтому есть много веселых, энергичных произведений в миноре и грустных, задумчивых — в мажоре. Вспомним хотя бы "Патетическую сонату" до минор Бетховена, этот огненно-страстный монолог Героя, зовущего на яростную схватку и даже на смерть. Многие художники подобрали многие эпитеты к этой сонате (хотя, пожалуй, лучший из них — патетическая — принадлежит самому Бетховену), но только грустной — минорной — ее назвать никак нельзя. Напротив, Ноктюрн № 2 соч. 9 ми бемоль мажор Шопена пронизан настроением нежной мечтательности. Это подернутые дымкой грусти воспоминания автора, но отнюдь не веселая — мажорная — пьеса. В заключение попытаемся сказать несколько слов об "этосе интервалов", ибо именно анализу музыкальных интервалов и посвящена настоящая глава. Попытаемся, потому что данный вопрос еще более спорный и неразработанный, чем "этос ладов". И все-таки...

До сих пор мы ничего не говорили о "самом совершенном консонансе" — приме (унисоне) (l₂/l₁ = 1, т. е. две струны издают звук одинаковой высоты), ибо с точки зрения математики этот интервал не представляет интереса. Однако в оркестре этот простейший интервал играет огромную роль, придавая данному звуку объемность и яркость. Вспомним хотя бы бесподобную игру в унисон ансамбля скрипачей Большого театра.

Следующий совершенный консонанс — октава. При одновременном звучании октава также дает впечатление объемности звука, а при последовательном — ощущение простора и широты. Прекрасной тому иллюстрацией является "Песня о Родине" композитора И. О. Дунаевского (1900-1955). В ее запеве ("От Москвы до самых до окраин...") дважды звучит восходящая октава (l₁/l₂ = 2), рисуя необъятные просторы нашей Родины. Здесь же после двух октав идет восходящая квинта. Квинта (l₁/l₂ = 3/2) также звучит широко, но более рельефно и динамично, чем октава.

Мелодии многих революционных песен и гимнов начинаются интервалом восходящей кварты (l₁/l₂ = 4/3), например "Интернационал", "Гимн Советского Союза", "Марсельеза". Здесь интервал кварты звучит решительно и активно, как призыв к действию.

Особый "этос" у интервала секунды: при одновременном звучании он диссонирует и неприятен, но при последовательном предыдущий звук как бы переливается в последующий, образуя естественное течение мелодии от одного звука к другому. В мелодии интервалы между двумя опорными звуками часто заполняются последовательными секундовыми интервалами. Например, песня "Во поле береза стояла" начинается интервалом квинты, заполненным последовательными секундами, что создает впечатление спокойного и величавого течения мелодии, как величавы и спокойны картины русской природы.

А наиболее неприятным и неблагозвучным является интервал тритон или полуоктава (l₁/l₂ = ). Своей неблагозвучностью этот интервал "подсказал" Архиту "музыкальное доказательство" иррациональности .

Не правда ли, удивительные открытия сделали мы в этой главе? В музыкальной гамме мы обнаружили все математические пропорции, а для доказательства иррациональности использовали музыкальную гамму. Мы нашли математический скелет музыкальной гаммы и увидели, насколько тонко (задолго до нашей эры!) древние греки чувствовали музыку. Но безудержный полет фантазии увлекал античных мыслителей все дальше, в заоблачные дали, в поиски всемирной "космической музыки". И хотя поиски эти оказались бесплодными, а античная космология с современной точки зрения кажется слишком наивной, не нужно спешить смеяться над нашими предшественниками; гораздо полезнее извлечь уроки из их опыта, о чем и говорится в эпиграфе к следующей главе.

7. "Космическая музыка": от Платона до Кеплера

Современник, даже когда его влечет старина, склонен считать своих предков людьми простодушными и недалекими. Он замечает в них прежде всего то, чего им не хватало с современной точки зрения, и обычно не замечает того, чего ему самому не хватает по сравнению с ними.

М. Алпатов

В наш бурный век космической тематикой вряд ли кого удивишь, тем более читателей, родившихся во время полетов человека в космос. "Космическая музыка" — это нечто вибрирующее, электронное из фильмов о летающих тарелках и инопланетянах — тоже стала привычной. Но вот то, что задолго до нашей эры, во времена, когда человечество "летало" только на восковых крыльях в мифах о Дедале и Икаре, была своя "космическая музыка", многим, возможно, покажется удивительным.

По преданию, слово "космос", первоначально означавшее прекрасно устроенный, ввел в обиход Пифагор. "Скажи мне, ...разве есть что-либо стройное и прекрасное, что не было бы подражанием миру. Отсюда имя "Космос", которое греки дали ему",- вторил Пифагору через полтысячелетия Апулей. Из античности термин "космос" перешел в современную науку как синоним слова "вселенная".

Итак, космос для пифагорейцев — это гармоничное, пропорциональное строение мира. Сами же пропорции, как мы уже видели, мыслились греками музыкально" поэтому и весь космос оказывался гармонично устроенным и музыкально звучащим телом. Согласно пифагорейским представлениям, планеты располагались на небесных сферах и совершали вместе с ними круговое вращение. Тогда, как и все движущиеся тела, вследствие трения об эфир они издавали звуки, которые соединялись в музыкальные созвучия. Так Рождалась чудесная музыка — "мировая Музыка", или "гармония сфер", без коброй мир бы распался. Сама же музыка — это первое из искусств, доставляющих людям радость,- являлась, по их Мнению, отражением гармонии, царящей сРеди небесных сфер.

Система мира по Филолаю

Учение о музыке сфер — самый туманный и вместе с тем поэтичный мотив пифагорейской эстетики. Он имел тысячи вариантов, оттенков и тысячелетнюю традицию, начиная от Пифагора и Платона до "Гармонии мира" Иоганна Кеплера, написанной уже в XVII веке. Разумеется, учение о "космической музыке" для нас, современников космических полетов, не более как красивая сказка, и расскажем мы эту сказку, чтобы показать, насколько сильным было музыкальное начало во всем античном мировоззрении. Кроме того, как и во всякой сказке, в этом учении рассыпаны зерна истины, позволяющие увидеть глубокие параллели в развитии человеческой мысли.

Первое письменное изложение пифагорейских идей появилось около 420 г. до н. э. в сочинении "О природе". "Природа, сущая в космосе, гармонично слажена из беспредельного и определяющих начал. Так устроен весь космос и все, что в нем" — так начинается эта книга, приписываемая Филолаю, ученику непосредственного ученика Пифагора — Гиппаса. Здесь же мы находим и первое письменное свидетельство о музыкально-числовом строении космоса.

По Филолаю, центром мироздания является некий Центральный Огонь, вокруг которого на десяти концентрических сферах в порядке удаления от него вращаются так называемая Противоземля, затем Земля, Луна, Солнце, пять планет (Меркурий, Венера, Марс, Юпитер, Сатурн — их последовательность Филолаем не указана)[15] и, наконец, Сфера неподвижных звезд. Центральный Огонь и Противоземля невидимы, ибо заслонены поверхностью Земли. Солнце, по Филолаю, только отражает свет и тепло Центрального Огня. Противоземля же введена им отчасти для объяснения солнечных затмений, отчасти для достижения требуемой числовой мистикой "священной десятки" — вместе с Противоземлей сфер получается десять. В пифагорейской системе Земля не является центром мироздания, а вместе с другими планетами движется вокруг Центрального Огня — прообраза Солнца. Вот почему, когда в XVI веке церковь развернула борьбу с гелиоцентрическим учением Коперника, это учение именовалось пифагорейским.

Внутреннее устройство пифагорейского космоса напоминало своеобразную музыкальную шкатулку: каждая из десяти движущихся сфер издавала некоторый звук. "Когда несутся Солнце, Луна и еще столь великое множество таких огромных светил со столь великой быстротою, невозможно, чтобы не возникал некоторый необыкновенный по силе звук",- утверждает неизвестный пифагорейский автор возможно Филолай. Высота звука определялась скоростью движения сферы, зависящей от расстояний между сферами, а последние находились в той же пропорции, что и интервалы музыкальной гаммы. Таким образом, колеблемый движением сфер эфир издает чудесную мировую музыку. Однако человеческое ухо не слышит этой ни с чем не сравнимой музыки. Как рожденный на берегу моря человек перестает в конце концов различать беспрестанный рокот волн, так и слух человека привык и не замечает гармонического звучания небесных сфер.

Итак, согласно пифагорейцам, небесная музыка изначально незримо живет в человеке. Вот почему человеческая душа охотно откликается на обычную земную музыку, которая является лишь подражанием небесной; вот почему из всех искусств музыке в античности отводилась исключительная роль.

В своем конспекте гегелевской "Истории философии" В. И. Ленин по поводу пифагорейского учения отмечает "связь зачатков научного мышления и фантазии &##225; lа религии, мифологии" (т. 29, с. 225). Особое внимание В. И. Ленин уделяет пифагорейскому учению о гармонии сфер, подчеркивая, что здесь имеется "намек на строение материи!" (т. 29, с. 224).

Дальнейшее развитие пифагорейское учение о гармонии сфер получило в трудах Платона. Платоновский диалог "Тимей", эта квинтэссенция древнего пифагорейства, является лучшим образцом античной космологии. Однако многое в "Тимее" изложено туманными и заумными намеками. Уже в древности эти места вызывали бесконечные споры, разночтения и комментарии, которые длятся и до сего времени.

Платон исходит из геоцентрической системы космоса: центром мироздания Для него является неподвижная Земля, вокруг которой на семи сферах[16] вращаются Луна, Солнце, Венера, Меркурий, Марс, Юпитер, Сатурн. Далее следует сФера неподвижных звезд. Как видим, несостоятельность Центрального Огня и Противоземли ко времени Платона была Уже осознана.

Система мира по Платону

На базе этой системы мироздания Платон развивает теорию небесного гептахорда — семиструнника, т. е. теорию семи подвижных сфер, настроенных в музыкальных отношениях. Согласно Платону, творец Вселенной — Демиург, создав вещество Вселенной, разделил его на две части: одна часть пошла на построение сферы неподвижных звезд, а вторая была математически строго разделена на семь частей для образования сфер Луны, Солнца и пяти планет. По этому поводу в "Тимее" Платона мы читаем: "Делить же он начал следующим образом: прежде всего отнял от целого одну долю, затем вторую — вдвое большую, третью — в полтора раза больше второй и в три раза больше первой, четвертую — вдвое больше второй, пятую — втрое больше третьей, шестую — в восемь раз больше первой, а седьмую — больше первой в двадцать семь раз". В результате получился ряд чисел

1 2 3 4 9 8 27, (7.1)

описывающий гармонию небесных сфер, или небесный гептахорд. Однако ни порядок расположения сфер, несущих светила, ни порядок отсчета чисел в ряде (7.1) Платоном указан не был. Поэтому на протяжении последующих двух тысячелетий члены платонова гептахорда имели самую разнообразную физическую интерпретацию.

Самым простым и соблазнительным было трактовать числа (7.1) как относительные расстояния от Земли до Луны, Солнца, Венеры, Меркурия, Марса, Юпитера и Сатурна соответственно. Тогда эти числа представляли и относительные высоты тонов, так как высота тона, издаваемого сферой, мыслилась пропорциональной скорости вращения сферы, а скорость вращения — пропорциональной расстоянию до неподвижной Земли. Таким образом, чем дальше находилась планета от Земли, тем больше была ее скорость и тем выше издаваемый ею тон. Скорее всего, эти рассуждения были навеяны простым опытом: камень, раскручиваемый на веревке, со свистом разрезает воздух и прекрасно демонстрирует все описанные закономерности. Правда, при такой трактовке относительное расстояние до Марса (9) получалось больше, чем до Юпитера (8), и, чтобы "исправить" эту ошибку, числа 9 и 8 в (7.1) просто переставили. Вот почему во многих текстах платонов гептахорд фигурирует в искаженном виде: 1, 2, 3, 4, 8, 9, 27.

И все-таки оставалось непонятным: откуда вообще взялся этот странный ряд чисел? Это загадка, которую исследователи, начиная с Аристотеля, чаще всего трактовали как некий курьез, если не просто глупость, не требующую даже разъяснений. "Однако,- как справедливо замечал А. Ф. Лосев,- такой антиисторический подход не может быть у современного исследователя, который, конечно, настолько далек от древнего пифагорейства, что даже не испытывает потребности его критиковать, а должен рассмотреть его со всеми объективно-историческими причинами, делающими его существование понятным".

Ключ к Платонову гептахорду, по-видимому, спрятан в самом пифагорейском понимании числа, а именно: единицы — как символа неделимого начала, двойки — как символа неопределенной бесконечности и тройки — как символа определенности. Но для Платона это слишком просто, и в качестве символа беспредельности он берет куб со стороной 2. Тогда его геометрические параметры (длина, площадь грани и объем) дают числа 2, 4, 8. А в качестве символа определенности Платон берет куб со стороной 3 и параметрами 3, 9, 27. Тогда взаимное переплетение этих двух троек чисел плюс начало всего — единица — и дают то единство "беспредельного и определяющих начал", о которых говорил Филолай.