Отличная квантовая механика

Теперь мы переходим к обсуждению линейных операторов, представляющих собой ключевой элемент квантовой физики[28]. Они играют двоякую роль. Прежде всего операторы описывают эволюцию: с течением времени квантовые состояния изменяются, и это изменение математически выражается операторами. Второе, несколько менее очевидное, приложение линейных операторов состоит в формальном описании квантовых измерений. В этом разделе мы начнем с первой их роли.

Упражнение 1.22. Найдите матрицу оператора |+⟩⟨—| в каноническом базисе и базисе {|R⟩, |L⟩}.

Упражнение 1.23. Найдите в каноническом базисе матрицу линейного оператора Â, отображающего

a) |H⟩ на |R⟩ и |V⟩ на 2 |H⟩;

b) |+⟩ на |R⟩ и |—⟩ на |H⟩.

Примером физической операции, которую можно связать с квантовым оператором, может служить волновая пластинка, изменяющая состояние поляризации фотона. Чтобы рассчитать этот оператор, мы должны принять некоторое соглашение. Как сказано в разд. В.3, волновая пластинка изменяет относительную фазу необыкновенной (параллельной оптической оси) и обыкновенной (перпендикулярной оптической оси) поляризаций на угол ∆ϕ, который равен π для полуволновой пластинки и π/2 для четвертьволновой. Кроме того, она вводит общий сдвиг фазы для всей волны.

Эти оптические фазовые сдвиги в применении к единичному фотону превращаются в квантовые фазовые сдвиги. Общим фазовым сдвигом, одинаковым для всех компонентов поляризации, можно пренебречь (см. разд. 1.3). Мы, однако, должны договориться, как с ним обращаться в наших выкладках. Будем считать, что волновая пластинка не дает фазового сдвига на обыкновенный компонент поляризации, тогда как необыкновенный ее компонент претерпевает фазовый сдвиг ∆ϕ. Иными словами, волновая пластинка с оптической осью, ориентированной под углом θ к горизонтали, производит следующие преобразования:

Упражнение 1.24. Найдите в каноническом базисе матрицы операторов, связанных с полуволновой и четвертьволновой пластинками с оптической осью, ориентированной под углом α к горизонтали, при помощи следующего пошагового алгоритма:

a) Напишите оператор Â_∆ϕ, связанный с преобразованием (1.4), в виде уравнения (A.25).

b) Выразите каждый бра- и кет-вектор в ответе пункта a) в матричной форме в каноническом базисе и вычислите матрицу результирующего оператора.

c) Подставьте значения ∆ϕ для полуволновой и четвертьволновой пластинок.

Ответ:

Упражнение 1.25. Пользуясь результатом предыдущего упражнения, убедитесь в верности следующих утверждений:

a) при применении к фотону, линейно поляризованному под углом θ, полуволновая пластинка с оптической осью, ориентированной под углом α, дает фотон, линейно поляризованный под углом 2α — θ, в соответствии с рис. В.4;

b) четвертьволновая пластинка с оптической осью, ориентированной горизонтально или вертикально, превращает фотон с круговой поляризацией в фотон с поляризацией под ±45° и наоборот в соответствии с упр. В.9.

Отступление 1.6. Как получить фотон?

Вот самый очевидный, но неверный ответ на этот вопрос: использовать ослабленный сигнал лазера. Предположим, у нас есть импульсный лазер со средней мощностью P и частотой повторения импульсов R. Тогда каждый импульс лазера содержит n = P/Rℏω фотонов, где ω — частота излучения лазера. Поэтому можно, казалось бы, разместить на пути лазерного луча ослабитель (темное стекло), который уменьшал бы его мощность в n раз, так чтобы каждый импульс содержал ровно один фотон.

Эти рассуждения ошибочны, поскольку не учитывают, что реальное число фотонов в импульсах, проходящих через ослабитель, будет стохастическим в соответствии с распределением Пуассона (см. разд. Б.3). Хотя в среднем, возможно, действительно получится один фотон на импульс, это не означает, что каждый импульс будет содержать ровно один фотон. Иногда фотонов в импульсе вообще не окажется, иногда там будет один фотон, иногда два или больше.

Несмотря на это возражение, в некоторых случаях ослабленный лазер служит полезной заменой настоящего источника фотонов. В частности, в практической квантовой криптографии лазер ослабляется до чрезвычайно низкого уровня, так чтобы вероятность того, что каждый импульс содержит хотя бы один фотон, стала весьма малой. Тогда вероятность содержания в импульсе более одного фотона пренебрежимо мала, и безопасность связи не страдает.

Чтобы гарантировать генерацию единичного фотона «по требованию», нужны более хитроумные схемы. Например, единичный двухуровневый атом, будучи возбужденным, автоматически вернется в основное состояние, излучив при этом ровно один фотон. Практическая реализация такого источника, однако, представляет серьезные трудности. Во-первых, необходимо поймать единичный атом и неподвижно удерживать его в ходе всего эксперимента. Во-вторых, фотон будет излучен в случайном направлении. Чтобы заставить атом излучать в каком-то конкретном направлении, физики иногда окружают его резонатором Фабри — Перо. Этот метод развился в целое научное направление, называемое квантовой электродинамикой в резонаторе.

Чтобы обойти необходимость в захвате атома, эксперименты проводят с твердотельными атомоподобными источниками, такими как единичные дефекты кристаллической решетки или квантовые точки. Идея та же: взять объект, в котором возможен только один квант возбуждения с определенной энергией. Пока я пишу эту книгу, подобные эксперименты стремительно развиваются в сторону большей эффективности и лучшей воспроизводимости получаемых фотонов.

Многие физики используют мощный альтернативный подход к приготовлению единичных фотонов — спонтанное параметрическое рассеяние (spontaneous parametric down-conversion). Это нелинейный квантово-оптический процесс, который происходит, когда сильный лазерный луч проходит сквозь кристалл с нелинейными оптическими свойствами. Каждый фотон луча может при этом спонтанно расщепиться на два менее энергичных фотона. Данное событие имеет очень низкую вероятность. Однако у него есть фундаментальное свойство: в нем каждый раз рождается именно пара фотонов. Так что если мы зарегистрируем один из этих фотонов, то будем знать наверняка, что появилась также и его копия, — и можем с ней экспериментировать.

Такое устройство называется источником объявленных одиночных фотонов (heralded single photon source), потому что обнаружение одного фотона «объявляет» о присутствии второго. Этот источник не способен производить фотоны «по требованию»; он только сигнализирует о появлении спонтанно испущенного фотона, не разрушая его. Поэтому его применение в квантовых технологиях ограничено. Однако, поскольку у нас пока нет надежного способа приготовления единичных фотонов по заказу, источники объявленных фотонов широко используются в экспериментальных квантово-оптических исследованиях.

Упражнение 1.26.Операторы Паули[29] определяются как

или в матричной записи

Предложите реализацию этих операторов средствами волновых пластинок.

Подсказка: найдите состояния, на которые операторы Паули отображают |H⟩ и |V⟩, затем используйте упр. 1.24.

Упражнение 1.27. Матрица оператора Адамара Ĥ в каноническом базисе равна:

a) Выразите этот оператор в нотации Дирака.

b) На какие состояния Ĥ отображает |H⟩ и |V⟩?

c) Как можно реализовать этот оператор с помощью волновых пластинок?

1.8. Проекционные операторы и ненормированные состояния

Ранее мы постулировали, что физические квантовые состояния имеют норму 1. Давайте теперь расширим это соглашение. Норма вектора состояния |a⟩ может быть меньше единицы; это означает, что состояние |a⟩ существует не точно, а с вероятностью, равной квадрату его нормы:

pr_a = ║ |a⟩ ║2 = ⟨a|a⟩. (1.8)

Такие состояния называют ненормированными.

Рассмотрим проективное измерение состояния |ψ⟩ в базисе {|𝑣_i⟩}. Каноническая формулировка постулата об измерениях гласит, что измерение превращает |ψ⟩ в одно из |𝑣_i⟩ с вероятностью (1.3). Воспользовавшись расширенным соглашением, мы можем сказать, что это измерение превращает |ψ⟩ в набор ненормированных состояний Каждое пропорционально |𝑣_i⟩, но вероятность его существования равна квадрату его нормы:

Это можно записать иначе:

где мы ввели проекционный оператор (projection operator или projector):

Например, неразрушающее измерение состояния в каноническом базисе дает следующие ненормированные состояния:

Состояние представляет горизонтально поляризованный фотон, существующий с вероятностью pr_H = 4/5, а состояние — вертикально поляризованный фотон, существующий с вероятностью pr_V = 1/5.

Интерпретировать измерения на языке проекционных операторов часто оказывается удобным, как мы увидим позже.

Упражнение 1.28. Найдите матрицу проекционного оператора, связанного с базисным состоянием |𝑣₂⟩ в базисе {|𝑣_i⟩} для гильбертова пространства размерности N = 4.

1.9. Квантовые наблюдаемые

1.9.1. Наблюдаемые операторы

Постулат квантовой физики об измерениях, определенный нами в разд. 1.4, гласит, что квантовое измерение выполняется в ортонормальном базисе, а результат этого измерения есть случайный элемент этого базиса. Сделаем еще шаг вперед и свяжем с каждым элементом |𝑣_i⟩ базиса действительное число 𝑣_i. Тогда вместо «результатом измерения является состояние |𝑣_i⟩» мы будем говорить «результатом измерения является величина 𝑣_i».

Для некоторых измерений такая связь естественна. Например, состояние с определенным положением, такое как |x_i⟩ = |x = 3 м⟩, естественным образом связано со значением координаты частицы (x_i = 3 м). Для других измерений, вроде измерения поляризации фотона, естественной связи между элементами базиса и числами не существует, но такую связь можно ввести искусственно. К примеру, если мы измеряем в каноническом базисе, то можем связать число 1 с состоянием |H⟩, а число –1 с состоянием |V⟩.

Информацию о базисе измерения и связанных с ним величинах удобно выразить, скажем, в виде оператора:

Этот оператор называется наблюдаемым оператором, или просто наблюдаемым (observable). Как мы знаем (разд. A.8), элементы |𝑣_i⟩ базиса измерений (собственного базиса наблюдаемого) представляют собой собственные состояния, или собственные векторы наблюдаемого, а соответствующие им величины 𝑣_i являются его собственными значениями. Воспользовавшись (1.12), можно ввести наблюдаемый оператор для почти любого измерения или измеряемой величины: положения, импульса, момента импульса, энергии и т. п. Как мы увидим в ближайших разделах, наблюдаемые операторы в квантовой физике имеют первостепенное значение.

Из этого общего утверждения есть одно важное исключение. Время в квантовой физике никогда не рассматривается как оператор. Не существует ни собственных состояний времени, ни квантов времени. Время — это просто непрерывная переменная.

Упражнение 1.29. Найдите наблюдаемые, связанные с базисами {|H⟩, |V⟩}, {|+⟩, |—⟩} и {|R⟩, |L⟩} (т. е. с измерительными приборами на рис. 1.2) и собственными значениями ±1 (соответственно) в нотации Дирака. Найдите матрицы этих операторов в базисе {|H⟩, |V⟩}.

Ответ: операторы Паули (1.6):

|H⟩⟨H|—|V⟩⟨V| = σ_z; (1.13a)

|+⟩⟨+|—|—⟩⟨—| = σ_x; (1.13b)

|R⟩⟨R|—|L⟩⟨L| = σ_y. (1.13c)

Итак, мы увидели обе роли операторов в квантовой механике: это преобразования квантовых состояний и описания измерительных приборов. Естественно спросить, схожи ли физические реализации одних и тех же операторов в разных ролях. Пример выше показывает, что это не так. Измерительные приборы, реализующие оператор Паули, показаны на рис. 1.2. При этом операторы Паули как средства преобразования состояния реализованы в упр. 1.26. Видно, что конфигурации в том и другом случаях совершенно различны.

Упражнение 1.30. Покажите, что:

a) операторы, соответствующие физическим наблюдаемым (1.12), являются эрмитовыми;

b) любой эрмитов оператор может быть связан с некоторым физическим наблюдаемым, т. е. его можно выразить в виде (1.12) с действительными собственными значениями и собственными состояниями, образующими ортонормированный базис.

Упражнение 1.31. Выполните спектральное разложение матриц Паули (1.7) с использованием методов линейной алгебры. Проверьте соответствие вашего результата определению, данному в упр. 1.29.

Мы видим, что каждое измерение может быть связано с некоторым эрмитовым оператором и каждый эрмитов оператор может быть связан с некоторым измерением. Более того, наблюдаемый оператор содержит в компактной форме полную информацию о базисе измерения и связанных с ним собственных значениях. Если дается эрмитова матрица наблюдаемого оператора, мы можем извлечь из нее эту информацию посредством спектрального разложения[30].

1.9.2. Среднее значение и неопределенность наблюдаемого

Предположим, мы измеряем наблюдаемое в состоянии |ψ⟩. Результат этого измерения имеет вероятностный характер: мы будем наблюдать каждую величину 𝑣_i с вероятностью pr_i = |⟨𝑣_i|ψ⟩|2. Мы можем отнестись к измеренной величине наблюдаемого как к случайной величине (приложение Б) и найти ее статистические характеристики: математическое ожидание и дисперсию.

Упражнение 1.32. Наблюдаемое измеряется в состоянии |ψ⟩.

a) Покажите, что математическое ожидание этого измерения равно

Выражение в правой части этого уравнения называется также квантовым средним значением наблюдаемого в состоянии |ψ⟩.

b) Покажите, что дисперсия величины равна:

и что эта дисперсия может быть вычислена по формуле:

Как и в теории вероятностей, неопределенность квантовой величины равна квадратному корню из его дисперсии.

Странное понятие наблюдаемого оператора, введенное в предыдущем подразделе, оказывается весьма полезным. Оно не только несет в себе полную информацию об измерении, но и обеспечивает простой способ вычисления статистических свойств этого измерения в применении к заданному состоянию. Решим простой пример.

Упражнение 1.33§. Вычислите среднее значение, дисперсию и неопределенность наблюдаемого в состоянии |+⟩.

Чтобы интерпретировать приведенный ответ, вспомним, что наблюдаемое может быть измерено с использованием установки на рис. 1.2 a. Наблюдаемое принимает значение +1, если фотон проходит (проецируется на состояние горизонтальной поляризации), и –1, если фотон отражается (проецируется на состояние вертикальной поляризации). Диагонально поляризованный фотон имеет равные шансы как пройти, так и отразиться, так что среднее значение результата измерений будет равно нулю. Что касается дисперсии, то в каждом измерении мы получаем величину либо +1, либо –1, так что среднеквадратичное отклонение от нуля должно быть равно единице.