Отличная квантовая механика

Упражнение 1.14. Фотон в состоянии измеряется в диагональном базисе. Найдите вероятность каждого результата как функцию от ϕ.

Это упражнение, так же как и упр. 1.7, еще раз демонстрирует важную разницу между фазовым множителем, примененным к части квантового состояния или к квантовому состоянию целиком. В первом случае добавочная фаза влияет на измеряемые свойства объекта, во втором — нет.

Хотя одиночное измерение дает нам некоторую информацию о начальном состоянии квантовой системы, информация эта очень ограничена. Предположим, например, что мы измерили фотон в каноническом базисе и обнаружили, что он прошел через PBS. Можем ли мы из этого сделать вывод, что первоначальный фотон находился в состоянии |H⟩? Нет, не можем. Он мог находиться в любом состоянии ψ_H |H⟩ + ψ_V |V⟩; коль скоро ψ_H ≠ 0, существует некоторая вероятность получения щелчка в пропускающем канале. Поэтому единственное, что мы узнаем из данного измерения, — это то, что фотон не был вертикально поляризован.

Теперь предположим, что мы провели одно и то же измерение неоднократно, каждый раз приготавливая наш фотон в одинаковом состоянии[18]. Теперь мы знаем намного больше! Мы знаем, сколько щелчков получено нами от «горизонтального» детектора, а сколько — от «вертикального», т. е. у нас появилась статистика измерений. По этим данным мы можем рассчитать, с некоторой ошибкой, pr_H = |ψ_H|2 и pr_V = |ψ_V|2, т. е. узнать кое-что об абсолютных величинах компонентов состояния. Но и ψ_H, и ψ_V — комплексные числа, и их аргументы (углы на комплексной плоскости) по-прежнему неизвестны. К примеру, если мы наблюдаем pr_H = pr_V = 1/2, то состояние |ψ⟩ может быть или |R⟩, или |L⟩, или |+⟩, или |—⟩, или еще каким-нибудь из множества вариантов. Что нам с этим делать?

Как видно из следующего упражнения, надлежит провести дополнительные серии измерений в других базисах. Полученная статистика даст новые уравнения, которые можно решить и найти ψ_H и ψ_V с точностью до неопределенности, связанной с общим фазовым множителем.

Упражнение 1.15. Предположим, что множественные измерения поляризации фотонов, идентично приготовленных в состоянии |ψ⟩, проводятся в каноническом, диагональном и круговом базисах и при этом определяются все шесть соответствующих вероятностей (pr_H, pr_V, pr₊, pr _—, pr_R, pr_L). Покажите, что этой информации достаточно, чтобы полностью определить |ψ⟩ и выразить его разложение в каноническом базисе через pr_H, pr₊ и pr_R. Приведите пример, показывающий, что измерений только в каноническом и диагональном базисах для этого было бы недостаточно, — т. е. найдите два различных состояния, которые дадут одинаковые pr_H и pr₊.

Метод получения полной информации о квантовом состоянии путем проведения серий измерений в нескольких разных базисах на множестве идентичных копий измеряемого состояния называется томографией квантового состояния (quantum state tomography). Его можно обобщить на другие квантовые системы, включая системы более высокой размерности. Мы подробнее поговорим о квантовой томографии в конце основного текста (разд. 5.7).

Упражнение 1.16. Предположим, вам дан единственный экземпляр квантовой системы, находящейся в одном из двух неортогональных состояний |a⟩ и |b⟩. Вам известно, что это за состояния, но вы не знаете, в каком именно из них находится система.

a) Покажите, что невозможно построить устройство, которое всегда достоверно определяло бы состояние системы.

b) * Покажите, что можно сконструировать измерительное устройство, которое будет выдавать, с некоторой вероятностью, результаты трех типов: «определенно |a⟩», «определенно |b⟩» и «не уверен», причем результаты первых двух типов всегда будут верными.

Подсказка: попробуйте использовать неполяризующий светоделитель — оптический элемент, который случайным образом либо пропускает, либо отражает фотон вне зависимости от его поляризации.

1.5. Квантовая интерференция и дополнительность

Рассмотрим эксперимент, показанный на рис. 1.3. Единичный фотон, находившийся первоначально в диагонально поляризованном состоянии попадает в устройство, известное как интерферометр[19]. Сначала PBS пропускает горизонтальный компонент состояния и отражает вертикальный. Затем отраженный компонент проходит через варьируемую линию задержки[20], и оба компонента вновь соединяются при помощи еще одного PBS. После этого состояние на выходе интерферометра подвергается измерению в диагональном базисе.

Линия задержки вводит разницу между оптической длиной пути вертикального и горизонтального компонентов. Если длина этой линии равна l, то вертикальный компонент получит сдвиг фазы на ϕ = kl по отношению к горизонтальному, где k = 2π/λ есть волновое число. В результате фотон, выходя из интерферометра, будет в состоянии

Мы изучили измерение этого состояния в упр. 1.14 и выяснили, что вероятности срабатывания детекторов «+» и «−» составляют соответственно. При изменении длины линии задержки вероятности меняются синусоидально. Иными словами, мы увидим интерференционные полосы — такие же, какие в таком оптическом устройстве образовала бы макроскопическая волна.

Что в этом выводе поистине замечательно (и, разумеется, целиком и полностью подтверждено экспериментально), так это то, что интерференционные полосы порождает один-единственный фотон. Это решительно противоречит нашим интуитивным представлениям. Действительно, в классическом эксперименте интерференция возникает потому, что две волны, проходящие по двум путям интерферометра, получают разные фазы и затем складываются когерентно на фотодетекторах. Но в нашем эксперименте присутствует всего один фотон! Фотон — неделимая элементарная частица света, поэтому он не может расщепиться[21] в интерферометре и породить две волны, необходимые для образования интерференционных полос. Он должен двигаться в одиночестве либо по верхнему, либо по нижнему пути интерферометра — но не по двум путям одновременно.

Эти разумные и интуитивно понятные доводы противоречат и нашим расчетам, и экспериментальным наблюдениям. Как можно это объяснить?

Фотон, попадающий в интерферометр, находится в суперпозиции состояний вертикальной и горизонтальной поляризации. После первого PBS он по-прежнему находится в состоянии суперпозиции — но теперь это также суперпозиция верхнего и нижнего путей интерферометра. После воссоединения путей она вновь превращается в суперпозицию состояний поляризации — но уже с фазовым сдвигом у одного из ее компонентов. Именно эти два компонента суперпозиции играют здесь роль двух волн из классического эксперимента и интерферируют друг с другом. Так проявляется корпускулярно-волновой дуализм (wave-particle duality) квантовых частиц[22].

Получается, что в определенном смысле фотон все-таки расщепляется между двумя каналами интерферометра. Однако такое волноподобное поведение возможно только в том случае, если компоненты остаются в состоянии суперпозиции. Чтобы это проиллюстрировать, предположим, что в обоих каналах интерферометра мы размещаем детекторы, способные регистрировать фотоны, не разрушая их. Всякий раз, когда какой-нибудь фотон попадает в интерферометр, один из этих детекторов срабатывает и показывает нам, по верхнему или по нижнему пути прошел фотон. Таким способом, как сказали бы отцы-основатели квантовой механики, мы получаем о фотоне информацию Welcher Weg[23].

Получение информации Welcher Weg означает измерение положения фотона. В предыдущем разделе мы узнали, что такое измерение схлопывает состояние суперпозиции и превращает его, в зависимости от результата, либо в фотон, находящийся на верхнем, либо в фотон, находящийся на нижнем пути интерферометра. Глядя на детектор Welcher Weg, наблюдатель может точно сказать, в каком состоянии — горизонтальном или вертикальном — фотон выйдет из интерферометра. Так или иначе, последующее измерение этого фотона в диагональном базисе выдаст тот или другой результат с вероятностью 1/2 независимо от разности хода. Таким образом измерение Welcher Weg разрушает волновые свойства фотона и заставляет его вести себя как частица.

Отступление 1.4. Квантовая инспекция военной техники

Вот любопытный парадокс, связанный с экспериментом по однофотонной интерференции, обсуждающийся в разд. 1.5[24]. Пусть имеется бомба, оборудованная датчиком фотонов и настроенная так, что взорвется, даже если датчик провзаимодействует с одним-единственным фотоном. Можем ли мы обнаружить присутствие бомбы в одном из каналов нашего интерферометра, не подорвав ее при этом?

Установим линию задержки в нашем однофотонном интерферометре (рис. 1.3) так, чтобы иметь ϕ = 0. Тогда если бомбы нет, то каждый попадающий в интерферометр фотон будет выходить из него поляризованным под углом +45° и вызывать срабатывание детектора «+». Детектор «−» в таком случае не будет срабатывать никогда.

Если же бомба есть, как показано на рисунке выше, она может взорваться или не взорваться в зависимости от того, каким путем проследует фотон. В этом смысле бомба проводит измерение типа Welcher Weg. Соответственно, фотон будет вести себя как частица, которая проходит случайным образом либо по верхнему, либо по нижнему маршруту интерферометра. Если он пойдет по нижнему маршруту, бомба взорвется. Но, если он пойдет поверху, бомба останется нетронутой, а фотон выйдет из интерферометра в состоянии вертикальной поляризации. При измерении в диагональном базисе он с равной вероятностью будет вызывать срабатывание каждого из двух детекторов.

Следовательно, если бомба имеется, у нас будет ненулевая вероятность услышать щелчок в детекторе «−». Более того, этот детектор может сработать только при наличии бомбы. Если он сработает, мы будем точно знать, что бомба в интерферометре есть — не потревожив ее при этом!

Вышеописанное устройство нельзя считать идеальным инструментом по инспекции вооружений, поскольку оно не гарантирует ни однозначного результата, ни того, что бомба все-таки не взорвется (см. упр. 1.17). Однако если поместить бомбу не в интерферометр Маха — Цендера, а в высокодобротный интерферометр Фабри — Перо, то можно получить эффективность, близкую к 100 %. В этом случае фотон с высокой вероятностью пройдет через интерферометр при отсутствии в нем бомбы, но отразится, если бомба в нем есть.

Конечно, дело обстоит именно так даже в том случае, если наблюдатель не смотрит на детекторы Welcher Weg. Тогда фотон находится в смешанном состоянии — он движется либо по верхнему, либо по нижнему пути интерферометра с вероятностью 1/2, — но уже не в состоянии суперпозиции. То есть вместо ситуации упр. 1.14 мы оказываемся в ситуации упр. 1.12. Состояние фотона утратило свою квантовую когерентность — четко определенное соотношение фаз между членами суперпозиции. А такой фотон больше не может демонстрировать интерференцию.

Этот мысленный эксперимент демонстрирует квантовую дополнительность (complementarity) — общий принцип квантовой физики, гласящий, что объекты могут обладать дополнительными свойствами, которые невозможно наблюдать или измерять одновременно. Мы можем получить либо информацию Welcher Weg, либо интерференцию, но не то и другое вместе.

Упражнение 1.17. В условиях, описанных в отступлении 1.4, чему равны вероятности:

a) обнаружения бомбы без ее взрыва;

b) взрыва бомбы;

c) получения результата, не свидетельствующего однозначно о наличии бомбы?

1.6. Квантовая криптография

Теперь мы можем обсудить первое в этом курсе практическое приложение квантовой физики. Это приложение — криптография, обмен тайными сообщениями по незащищенным каналам.

Искусство тайнописи, известное с древности, сегодня представляет собой крупную отрасль индустрии телекоммуникаций, защищающую информационную безопасность отдельных лиц, предприятий и правительственных учреждений. В отступлении 1.5 описаны классические подходы к криптографии. В одном предложении ее содержание заключается в том, что в рамках классической физики мы вынуждены выбирать между надежным, но дорогим одноключевым шифрованием и дешевым, но не полностью безопасным шифрованием с открытым ключом.

Отступление 1.5. Классическая криптография

Криптографический обмен данными осуществить легко, если у обеих сторон, которые мы традиционно называем Алисой и Бобом, есть заранее оговоренный тайный набор данных (последовательность нулей и единиц), известный как секретный ключ, или одноразовый шифровальный блокнот (one-time pad). Тогда криптографический протокол может выглядеть следующим образом. Алиса берет фрагмент секретного ключа такой же длины (т. е. с тем же числом битов), что и послание, которое она хочет передать Бобу. Затем она применяет операцию XOR (исключающее ИЛИ, или побитное сложение по модулю 2) к каждому биту своего сообщения и соответствующему биту своего секретного ключа.

Таким способом Алиса приготавливает зашифрованное сообщение, которое можно безопасно передавать по незащищенному каналу, поскольку его нельзя расшифровать без доступа к секретному ключу. Боб, со своей стороны, может расшифровать полученное сообщение без труда. Для этого он применяет операцию XOR к его каждому биту и соответствующему биту секретного ключа.

Этот протокол, известный как одноключевое, или классическое, шифрование, очень надежен и прост; он используется уже сотни лет. Проблема в том, что создать общий набор случайной информации, секретной для всех остальных, Алисе и Бобу достаточно непросто. Как правило, единственный надежный способ сделать это — послать курьера с чемоданом, полным случайных данных. Это, разумеется, очень дорого. Поэтому одноключевая криптография используется только для наиболее секретной правительственной и коммерческой связи.

Для других приложений, таких как онлайн-шопинг, используется семейство протоколов, известных как шифрование с открытым ключом (public-key cryptography). Не вдаваясь в детали, скажу, что эти протоколы основаны на существовании «односторонних» функций, которые легко вычислить, но очень трудно инвертировать. Например, перемножение двух простых чисел, состоящих из нескольких десятков цифр каждое, на современном компьютере занимает пару-тройку микросекунд, но разложение числа аналогичной длины на простые множители займет месяцы, а то и годы. Протоколы шифрования с открытым ключом при помощи односторонних функций обеспечивают надежную связь между участниками, у которых не было возможности обменяться секретными ключами.

Протоколы с открытым ключом удобны и недороги, но не обеспечивают абсолютной секретности на фундаментальном уровне. Доступные нам вычислительные мощности удваиваются чуть ли не ежегодно, так что расчет, на который в настоящее время требуются годы, через несколько лет, возможно, будет занимать всего несколько часов. Более того, квантовые компьютеры (разд. 2.5) потенциально способны взламывать сообщения, зашифрованные по протоколам с открытым ключом, почти мгновенно.

Квантовая механика предлагает нам решение проблемы, с которым и волки будут сыты, и овцы целы. С одной стороны, оно обеспечивает информационную безопасность с гарантией на уровне фундаментальных законов природы. С другой, это решение не требует обязательного предварительного обмена большим объемом случайной информации между сторонами.

1.6.1. Протокол BB84

Квантовая криптография, или, точнее, квантовое распределение ключа (quantum key distribution), основана на свойстве измерений изменять квантовое состояние, к которому они применяются. Идея в том, что отправляющая сторона (Алиса) высылает секретные данные принимающей стороне (Бобу) посредством единичных фотонов, в квантовых состояниях которых зашифрованы передаваемые данные. Всякий, кто попытается «подслушать» передачу, либо разрушит, либо изменит эти фотоны, выдав таким образом свое вмешательство.

Самый известный квантовый протокол шифрования называется «BB84» в честь его изобретателей Чарльза Беннета и Жиля Брассара[25]. При его применении Алиса и Боб выполняют следующие операции.

1. Алиса случайно выбирает значение бита, 0 или 1, которое следует передать.

2. Алиса случайно выбирает базис шифрования — канонический или диагональный.

3. Алиса генерирует фотон и шифрует свой бит в поляризации этого фотона:

После этого она отправляет фотон Бобу.

4. Боб случайно выбирает базис измерения — канонический или диагональный.

5. Боб измеряет полученный фотон в выбранном базисе:

• если он выбирает тот же базис, что и Алиса, то в результате измерения он получит то самое значение бита, которое отправила Алиса;

• если он выбирает другой базис, то получит случайное значение бита.

Эта процедура повторяется много раз. Конечно, и Алиса, и Боб должны тщательно все записывать: какие базисы использовали, какие состояния отправили или измерили, а также точное время, в которое фотоны были отправлены или получены. После того как окажутся собраны многие тысячи таких записей, Алиса и Боб сообщают друг другу (по классическому незащищенному каналу), какие базисы были выбраны для каждого фотона, но не конкретные значения отправленных или измеренных ими битов. Боб также сообщает Алисе о тех случаях, когда фотон ему измерить не удалось — если, например, тот был поглощен где-то в линии передачи (для этого нужно, конечно, чтобы время передач Алисы было точно известно Бобу, но эту информацию засекречивать не нужно). После обмена информацией Алиса и Боб отбрасывают данные по тем событиям, где были использованы разные базисы или фотон был потерян.

Теперь у Алисы и Боба имеется строка идентичных битов, которые они могут использовать как одноразовый блокнот в классическом протоколе. Чтобы понять, почему эта строка будет гарантированно секретной, предположим, что «шпион» (eavesdropper, Ева) перерезает линию передачи, перехватывает фотоны Алисы, измеряет их поляризацию и затем отправляет Бобу то, что измерила (рис. 1.4). Сможет ли она получить копию секретного ключа?

Ответ отрицательный. Проблема Евы в том, что согласно постулату об измерениях она должна измерять в конкретном базисе и не знает, какой базис выбрать. Какой бы базис она ни выбирала, все равно будут такие случаи, что Алиса и Боб работают в одном базисе, а Ева — в другом. Но в этом случае измерение Евы изменит состояние фотона и Боб, возможно, получит значение бита, не равное тому, которое отправила ему Алиса. Секретные ключи, записанные Алисой и Бобом, в конечном итоге окажутся разными, и это станет для них свидетельством возможного перехвата.

Предположим, например, что и Алиса, и Боб работают в каноническом базисе, а Ева — в диагональном. Алиса отправляет горизонтально поляризованный фотон, в котором зашифрован бит 0. Но Ева пользуется диагональным базисом, поэтому она увидит |+⟩ или |—⟩ с равной вероятностью. Если после перехвата она отошлет Бобу фотон в том состоянии, которое она задетектировала, Боб (измеряющий в каноническом базисе) с равной вероятностью увидит |H⟩ или |V⟩. Если это окажется |V⟩, Боб запишет значение бита, отличное от того, которое отправила ему Алиса.

Чтобы проверить, не следит ли кто-нибудь за их перепиской, Алисе и Бобу нужно будет обменяться по незащищенному каналу частью секретной битовой строки, полученной ими обоими. Если ошибок в ней нет (или очень мало), они могут использовать остальную часть строки в качестве одноразового блокнота.

Упражнение 1.18. Предположим, Ева перехватывает фотоны Алисы и измеряет их либо в каноническом, либо в диагональном базисе (базис она выбирает случайным образом). Затем она кодирует измеренный бит в том же базисе и посылает его Бобу. Какова средняя доля битов создаваемого ими секретного ключа, которая получится разной?

Ответ: 25 %.

Это упражнение показывает, что если Алиса и Боб видят в получаемом ими секретном ключе определенную долю неидентичных битов, то они не могут больше быть уверены, что их сообщения не перехватываются. Однако значение доли ошибок, полученное в упр. 1.18, относится только к случаю одной конкретной стратегии перехвата (атаки) со стороны Евы. Выбрав более хитроумную атаку, Ева может получить копию секретного ключа, оставив при этом в записях Алисы и Боба даже более низкую долю ошибок.

Так насколько низкой должна быть доля ошибок у Алисы и Боба, чтобы они могли уверенно полагаться на безопасность своей связи? Доказано[26], что граница проходит примерно по 11 %. Какую бы стратегию ни выбрала Ева, если частота ошибок ниже этой величины, Алиса и Боб смогут, воспользовавшись процедурой усиления секретности (privacy amplification), «отфильтровать» для себя совершенно надежный и полностью идентичный секретный ключ из частично несовпадающей битовой строки, полученной посредством квантового протокола.

Упражнение 1.19. Как уже говорилось, значительная доля фотонов, отправленных Алисой, до Боба не доходит. Но Алиса и Боб не знают, были ли на самом деле эти фотоны потеряны из-за поглощения на линии или их «украл» перехватчик. Влияет ли это соображение на безопасность передачи ключа?

1.6.2. Практические вопросы квантовой криптографии

Квантовая криптография — не фантастика. Описанный выше протокол вполне реализуем современными техническими средствами. Мало того, существуют коммерческие квантово-криптографические серверы, которые можно подключать к коммерческим оптоволоконным линиям связи, где они будут реализовывать протокол BB84. Многие крупные города уже обзавелись своими квантовыми коммуникационными сетями. Квантовое шифрование использовалось для связи во время выборов в Федеральное собрание Швейцарии в 2007 г. и чемпионата мира по футболу 2010 г. в Южной Африке. Существуют такие сети и в Москве, Петербурге, Казани. За время, прошедшее с момента публикации этой книги, наверняка появились новые примеры.

Тем не менее мы пока не наблюдаем повсеместной замены классических криптографических протоколов квантовым распределением ключей. Что мешает? Существует ли здесь какое-то техническое препятствие или проблема в психологической инерции?

К сожалению, в этой области действительно имеются нерешенные практические вопросы, главный из которых — потери в линиях связи. Потери эти подчиняются закону Бугера — Ламберта — Бера (Beer’s law): n (L) = n₀e—βL, где n (L) — число непоглощенных фотонов на расстоянии L от Алисы, а β — коэффициент поглощения. Лучшие волокна, используемые в системах связи на сегодняшний день, дают потери около 5 % на километр. Кажется, что это немного; тем не менее при передаче по небезопасной линии связи до Боба дойдет лишь крохотная часть фотонов; остальные будут утрачены.

Упражнение 1.20. Алиса отправляет фотон Бобу, который находится от нее на расстоянии 300 км, по оптоволоконной линии. Каждый километр волокна поглощает 5 % энергии света, распространяющегося по нему.

a) Найдите коэффициент потерь β этого волокна.

Подсказка: ответ 0,05 км−1 близок к верному, но не совсем точен.

b) Какая доля фотонов, отправленных Алисой, дойдет до Боба?

Помимо потерь существует еще проблема, связанная с темновым счетом (см. отступление 1.2). Может случиться так, что, например, фотон |H⟩, отправленный Алисой, будет потерян и в это же время детектор Боба в канале вертикальной поляризации даст ложное срабатывание. Тогда Боб интерпретирует это срабатывание как фотон |V⟩, полученный от Алисы, и сделает соответствующую запись. В результате Алиса и Боб увидят ошибку и, возможно, потеряют уверенность в безопасности связи.

Если линия передачи не слишком длинна, до Боба будет доходить достаточно фотонов, чтобы доля ошибок, связанных с темновым счетом, была невелика. Но доля дошедших фотонов с увеличением расстояния экспоненциально падает, тогда как частота темновых срабатываний остается постоянной. Так что в какой-то момент надежная передача данных станет попросту невозможной.

Этот эффект показан на рис. 1.5. Когда длина линии связи невелика, частота получения надежных битов (secure bit rate), отфильтрованных Алисой и Бобом (пунктирные линии), равна частоте получения фотонов Бобом (сплошные линии), умноженной на некоторый постоянный коэффициент. Но когда частота их получения снижается настолько, что доля ошибок, связанных с темновым счетом, становится значимой, число надежных битов начинает падать быстрее, а протокол усиления секретности становится все менее эффективным. Когда число фотонов, доходящих до Боба, падает ниже некоторого критического уровня, соответствующего доле ошибок в 11 %, передача перестает быть надежной.

Упражнение 1.21. Полагая, что у Алисы есть идеальный источник единичных фотонов, постройте примерный график количества фотонов, получаемых Бобом, а также количества отфильтрованных битов секретного ключа в секунду в зависимости от расстояния передачи. На основании этого оцените максимальное возможное расстояние безопасной связи при следующих параметрах:

• потери фотонов в оптоволоконной линии: β = 0,05 км–1;

• частота эмиссии фотонов источником Алисы: n₀ = 2 × 107 и 2 × 1010 фотонов в секунду;

• квантовая эффективность фотонных детекторов: η = 0,1;

• частота темновых срабатываний, синхронизированных с фотонами Алисы[27], в каждом из детекторов Боба: 𝑓_d = 10 с–1.

Ответ: см. рис. 1.5.

Дальность защищенной квантовой связи можно улучшить, повысив производительность источника фотонов на стороне Алисы или снизив частоту темновых срабатываний детектора. Однако это не приведет к принципиальному улучшению ситуации: экспоненциальная природа закона Бугера — Ламберта — Бера в любом случае ограничивает квантовую связь расстояниями, не превышающими несколько сотен километров. В условиях упр. 1.21 повышение производительности источника на три порядка позволит увеличить дистанцию всего в 1,7 раза (рис. 1.5).

Чтобы преодолеть этот предел — и создать «квантовый интернет», который пересек бы океаны и со временем покрыл бы своей сетью всю планету, — нам потребуется принципиально иная технология. Про эту технологию, известную как квантовый повторитель, речь пойдет в конце главы 2.

1.7. Операторы в квантовой механике