Помоги проекту - поделись книгой:
Это (если записать в терминах арктангенса) и есть то, что мы на Западе называем рядом Грегори, его открыл
π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ...
Это не слишком практичный способ вычислить число π, поскольку члены ряда убывают очень медленно и нужно пройти громадное число слагаемых, чтобы получить хотя бы несколько очередных десятичных знаков. Приняв вместо этого θ = π/6 = 30°, Мадхава вывел вариант ряда, который сходится быстрее:
π = √12 (1 - 1/3×3 + 1/5×32 - 1/7×33 + ...).
Он вычислил первый 21 член ряда и получил π с точностью до 11 знаков после запятой. Этот ряд стал первым новым методом вычисления π после Архимеда, использовавшего все более близкие по форме к окружности правильные многоугольники.
Один из приемов Мадхавы удивительно хитроумен. Мадхава оценил ошибку, возникающую при усечении ряда на некотором конечном этапе. Мало того, он привел три выражения для ошибки, которые можно прибавлять к общему значению в качестве корректирующего члена для повышения точности. Вот его выражения для ошибки после сложения
1/4
Третье из этих выражений он использовал для получения улучшенного значения суммы при расчете π с точностью до 13 знаков после запятой. Ничего подобного не наблюдается нигде в математической литературе до нынешних времен.
В 1676 г. Ньютон написал письмо Генри Олденбургу – секретарю Королевского общества; в письме он информировал этого достойного человека о двух бесконечных рядах для синуса и косинуса:
sin
cos
которые он вывел кружным путем, с использованием дифференциального исчисления. Сегодня мы знаем, что эти выражения, долгое время приписывавшиеся Ньютону, были получены Мадхавой почти на 400 лет раньше. Подробности вывода этих рядов приведены в «Юктибхасе». Метод вывода сложен, но его можно рассматривать как ранний вариант метода интегрального исчисления – суммирование подобных рядов член за членом.
В самом деле, утверждается, что Мадхава выработал некоторые базовые понятия дифференциального и интегрального исчисления задолго до Ньютона. Речь идет о дифференцировании, интеграле как площади под кривой и почленном интегрировании. Он нашел методы разложения многочленов в алгебре, вывел числовой метод решения уравнений посредством итераций и работал над бесконечными цепными дробями.
Джозеф спрашивает, могли ли идеи Мадхавы просочиться в Европу. Он указывает, что европейские исследователи, такие как Васко да Гама, хорошо знали Кералу, потому что это удобный остановочный пункт для кораблей, пересекающих Аравийское море на пути в Китай и другие страны Востока. Роль этого региона как центра торговли восходит еще к вавилонским временам. Географическая изоляция, зажатость между Западными Гатами и Аравийским морем, защищала его от бурной политической жизни остальной части средневековой Индии, что было дополнительным бонусом для чужеземных путешественников. Действительно, создается впечатление, что кое-что из достижений керальской техники и местных изделий в то время добиралось до Европы, однако до сих пор не найдено никаких свидетельств прямого переноса математических идей. Так что до тех пор, пока на свет не появятся новые свидетельства (если появятся), нам остается предполагать, что Керала и Европа открыли множество важных математических идей независимо друг от друга.
Работа таких выдающихся индийских математиков, как Ариабхата и Брахмагупта, давно признана в Европе. С трудами Керальской школы европейское научное сообщество впервые познакомилось только в 1835 г., когда Чарльз Виш написал статью о четырех самых значительных индийских текстах: это «Тантрасамграха» Нилаканты, «Юктибхаса» Естхадевы, «Карана Паддхати» Путхуманы Сомайаджи и «Садратнамала» Санкары Вармана. Виш, можно сказать, запустил лису в курятник, когда заявил, что «Тантрасамграха» содержит основы работы с производными, как Ньютон называл дифференциальное исчисление (глава 7): что в ней «полно производных форм и рядов, которые невозможно найти ни в одном труде других стран». В дни, когда всю торговлю с Индией контролировала Ост-Индская компания, а сама страна рассматривалась как легкая добыча для завоевателя, это заявление не произвело совершенно никакого впечатления. Керальская математика была быстро и прочно забыта. Только столетие спустя, в 1940-х гг., ее высокий уровень был наконец вновь описан в серии статей Кадамбура Раджагопала и его соавторов; они проанализировали математику Керальской школы и продемонстрировали, что индийские математики открыли множество важных вещей намного раньше европейцев, которым эти достижения, как правило, приписывали.
5. Азартный атролог
Джироламо Кардано
«В ранней молодости я предавался с таким увлечением всякого рода телесным упражнениям, что со мной считались даже самые злостные задиры… В тех городах, где мне приходилось жить, я всегда ходил в ночное время, вопреки запрещениям властей, вооруженный. Днем я выходил в башмаках со свинцовой подошвой весом около восьми фунтов, а ночью закрывал лицо черным шерстяным плащом и обувался в войлочные башмаки. Бывало, много дней подряд я с раннего утра и до вечера занимался военными упражнениями, после чего, весь еще обливаясь потом, играл на музыкальных инструментах и часто всю ночь до самого рассвета бродил по улицам»[8].
Такова была жизнь в Италии эпохи Возрождения около 1520 г. – по крайней мере, такой она была для Джироламо Кардано, описавшего свой образ жизни и многое другое в откровенной автобиографии «О моей жизни». Кардано – энциклопедист, особенно талантливый в области математики и медицины, – наслаждался (если можно так сказать) жизнью, достойной мыльных опер и бульварных газет. Он промотал фамильное состояние, пристрастился к азартным играм, разорился и угодил в богадельню. Заподозрив партнера в шулерстве, он полоснул того по лицу ножом. Он был обвинен в ереси и заключен в тюрьму; его сын был казнен за отравление жены. А еще Кардано вернул речь онемевшему епископу Сент-Эндрюсу, за что получил вознаграждение в 1400 золотых крон. Вернувшись в Италию с триумфом, он был принят в Коллегию врачей, которая прежде не один десяток лет отчаянно пыталась не допустить его в свои ряды.
И что самое важное, он был великолепным математиком и написал один из лучших учебников всех времен – «Великое искусство» (Ars Magna) с подзаголовком «Правила алгебры». В Ars Magna алгебра вступила в эпоху зрелости, обретя сразу и символьное выражение, и логику изложения. Кардано можно рассматривать как еще одного кандидата на титул «отца алгебры». Но в полном соответствии с характером этот статус он приобрел не без шулерства и скандала.
Кардано был незаконнорожденным. Его отец Фацио – стряпчий с мощным математическим талантом и бешеным темпераментом – жил в Павии и дружил с Леонардо да Винчи. Он всегда ходил в необычном лиловом плаще и черной ермолке; к 55 годам Фацио потерял все зубы. Мать Джироламо Кьяра (урожденная Микерия) – молодая вдова с тремя детьми – вышла замуж за его отца намного позже. Она была толстой, темпераментом не уступала Фацио и обижалась по малейшему поводу. Кроме того, была глубоко религиозна и весьма умна. Когда она была беременна Джироламо, в Милане появилась чума, поэтому Кьяра уехала в деревню, тогда как трое ее старших детей остались в городе и умерли от чумы. Ожидаемое рождение Кардано также не вызывало радости: «Как мне рассказывали, после нескольких не увенчавшихся успехом попыток применить некоторые абортивные средства я родился 24 сентября 1500 г.»[9].
Фацио, хотя и состоял стряпчим по роду занятий, был достаточно сведущ в математике, чтобы консультировать да Винчи в вопросах геометрии; кроме того, он преподавал геометрию в Университете Павии и в Школе Пьятти в Милане. Свои навыки в математике и астрологии он передал незаконнорожденному сыну: «В раннем детстве, когда мне было около девяти лет, мой отец обучал меня дома началам арифметики и некоторым тайным знаниям, неизвестно откуда почерпнутым им. Вскоре после того он начал учить меня и арабской астрологии… По наступлении двенадцатилетнего возраста он же заставил меня изучать первые шесть книг Евклида…»[10]
Джироламо был болезненным ребенком, и планы отца ввести его в семейное юридическое дело потерпели неудачу. Он поступил на медицинский факультет Университета Павии и блестяще его окончил; несмотря на то что резкость его натуры многих оскорбляла, Джироламо был избран ректором университета с перевесом в один голос. Успех ударил ему в голову. Именно в этот период он бродил ночами по городским улицам, вооруженный шпагой и музыкальными инструментами, и предавался азартным играм. Математическое понимание шансов на выигрыш давало ему заметное преимущество, и около 1564 г. Джироламо написал одну из первых книг о вероятностях, «Книгу об азартных играх», опубликованную только в 1663 г. Помогало и умение играть в шахматы – на деньги. Но, пустившись в разгул, он потерял и свою удачу, и наследство.
Тем не менее Джироламо упрямо гнул свою линию. Обладая теперь медицинским дипломом, он попытался вступить в Миланскую коллегию врачей – верный путь к выгодной профессии и благополучной жизни. На этот раз привычка откровенно высказывать свое мнение подвела его, и Кардано отказали в приеме, поэтому он стал врачом в деревне под Миланом. Средств, которые приносило это место, едва хватало на жизнь, и Джироламо женился на дочери капитана местной милиции Лючии Бандарини. Вновь отвергнутый колледжем, он вернулся к привычным занятиям – и опять промотал состояние. После того как Джироламо продал все свои пожитки, включая и драгоценности Лючии, оба они оказались в богадельне. «Я разорился! Я погиб!» – писал Джироламо. У них с Лючией родился ребенок, имевший от рождения несколько небольших дефектов, но не считавшийся по тем временам ущербным. К этому времени Фацио уже умер, и Джироламо был назначен его преемником; дела наконец-то пошли в гору. В 1539 г. даже Колледж врачей перестал противиться его вступлению. Кроме того, он придумал для себя новый способ заработка, опубликовав несколько математических книг. Одна из этих книг навсегда обеспечила ему место в рядах первопроходцев математики.
Большинство областей математики появились на свет в результате сложных и путаных исторических процессов, в которых невозможно обнаружить никакого определенного направления, – именно потому, что направление как таковое возникает тогда, когда фрагментарные идеи начинают связываться в единую логическую цепочку. Джунгли расширяются по мере того, как вы их исследуете. Не многие черты алгебры берут начало от древних греков, у которых не было эффективной нотации, то есть системы записи, даже для натуральных чисел. Придумав сокращенную форму записи для неизвестных величин, Диофант дал протоалгебре мощный толчок, но сам он был сосредоточен исключительно на решении уравнений в натуральных числах, что вело скорее к развитию теории чисел. Греческие и персидские геометры решали задачи, которые мы сегодня считаем алгебраическими, чисто геометрическими средствами. Аль-Хорезми формализовал алгебраические процессы, но не догадался ввести символьные обозначения.
Задолго до всего вышеописанного вавилоняне уже открыли первый по-настоящему важный метод алгебры – метод решения квадратных уравнений. Вопросы такого рода, как мы понимаем сегодня, открывают дорогу алгебре в той форме, какую она приобрела к XIX в., – а это основная часть того, что изучается в школьной математике. А именно определение значения (или короткого списка возможных значений) неизвестной величины из некоторого численного отношения между этой величиной и ее степенями – квадратом, кубом и т. д. То есть решение полиномиального уравнения.
Если максимальная степень неизвестного в уравнении равна двум, уравнение называется квадратным. Писцы-математики Древнего Вавилона знали, как решать подобные примеры, и учили этому школьников. В качестве доказательства у нас имеются глиняные таблички с загадочными клиновидными буквами. Самое сложное здесь – извлечь квадратный корень из нужной величины.
Сегодня, задним числом, следующий шаг представляется очевидным: кубические уравнения, в которых наряду с квадратом неизвестной величины и с ней самой фигурирует также ее куб. Одна вавилонская табличка вроде бы намекает на особый метод решения кубических уравнений, но это все, что мы знаем об открытиях вавилонян в данной области. Греческие и персидские геометрические методы с этим справлялись; самое подробное рассмотрение такой задачи принадлежит Омару Хайяму, знаменитому больше своими стихами, особенно четверостишиями
Все изменилось в бурные дни Итальянского возрождения.
Около 1515 г. профессор из Болоньи Сципион дель Ферро открыл метод решения некоторых типов кубических уравнений. Классификация уравнений по типам возникла потому, что отрицательные числа тогда еще не признавались, так что уравнения должны были иметь с обеих сторон только положительные слагаемые. Дель Ферро оставил для своего зятя Аннибала дель Наве кое-какие записи, из которых явствует, что он умел решать уравнения вида «куб плюс неизвестное равно числу». По всей видимости, он умел решать и два других типа, которые вместе с первым по существу перекрывают после некоторой предварительной подготовки все возможные варианты. В его методе решения задействовались как квадратные, так и кубические корни.
Наряду с дель Наве метод решения для уравнений вышеупомянутого типа был известен ученику дель Ферро – Антонио Фиору. Независимо от других решение для этого же случая нашел и Никколо Фонтана (больше известный по политически некорректному нынче прозвищу Тарталья[11] – Заика). У Фиора, который намеревался начать собственное дело как преподаватель математики, возникла прекрасная идея: вызвать Тарталью на публичное состязание, где каждый должен будет решать математические задачи, предложенные соперником. Подобные интеллектуальные сражения были обычны в то время. Но прекрасная задумка вышла Фиору боком: Тарталья, испугавшись слухов о том, что решены уже три типа уравнений и Фиору известны методы их решения, напряг все силы и нашел решения как раз к назначенной дате состязания. Обнаружив по ходу дела, что Фиор умеет решать только один тип уравнений, Тарталья начал предлагать ему только те задачи, которые тот не умел решать, и в результате разбил соперника наголову.
Колоритная новость о разгроме разлетелась быстро и достигла ушей Кардано, который прилежно собирал материалы для своей книги Ars Magna. Он тогда отслеживал любые интересные новости о математике, которые могли бы улучшить будущую книгу, и сразу же понял, что наткнулся на золотую жилу. Более ранняя работа дель Ферро к тому моменту была уже почти забыта, так что Кардано навестил Тарталью, умоляя поделиться с ним секретом кубических уравнений. Тарталья не устоял перед его напором. По легенде, он взял с Кардано клятву хранить его решение в тайне, но, строго говоря, это представляется маловероятным, ведь Кардано собирался написать книгу по алгебре. Во всяком случае, когда книга вышла, в ней было и решение кубических уравнений, принадлежавшее Тарталье. Со ссылкой на его авторство, но это было слабым утешением для того, кого обошли в гонке. Разгневанный Тарталья ответил обидчику сочинением «Различные вопросы и изобретения» (Quesiti et invenzioni diverse), в которое включил все свои переговоры с Кардано. Он утверждал, что в 1539 г. Кардано торжественно поклялся «никогда не публиковать» его открытия. Теперь же клятва была нарушена.
Как легко можно предположить, подлинная история была, вероятно, куда более запутанной. Некоторое время спустя Лодовико Феррари, ставший позже учеником Кардано, заявил, что присутствовал на той памятной встрече и Кардано не давал согласия хранить метод Тартальи в секрете. С другой стороны, Феррари вряд ли можно считать беспристрастным наблюдателем. В ответ на заявление Тартальи о нарушенной клятве он выпустил так называемый
Ирония ситуации заключается в том, что весь этот спор не имел в общем-то никакого смысла. В ходе подготовки Ars Magna Кардано и Феррари видели болонские бумаги дель Ферро, содержавшие полученное им ранее решение кубических уравнений. Именно это решение, утверждали они, и является подлинным источником метода. Работу Тартальи Кардано упомянул только для того, чтобы объяснить, откуда он узнал о трудах дель Ферро. Вот и все.
Возможно, и так. Но тогда зачем Кардано умолял Тарталью раскрыть ему секрет решения, если уже знал его из более раннего источника? Может, и не умолял. В этом смысле у нас есть только слово самого Тартальи. С другой стороны,
Возможно, все обстояло именно так, как утверждали Кардано и Феррари. Победа Тартальи над Фиором привлекла внимание Кардано к кубическим уравнениям и дала понять, что решение таких уравнений существует. Затем активные поиски привели его к рукописи дель Ферро, в которой он нашел метод, нужный ему для книги. Вдохновленный открытием, Феррари одолел уравнения четвертой степени. Кардано поместил все это в свою книгу. Феррари, как его ученик, едва ли мог жаловаться на то, что его результаты были туда включены; судя по всему, он даже гордился этим. Из уважения к Тарталье Кардано сослался на него в книге и отдал ему должное за независимое открытие метода и привлечение к нему его, Кардано, внимания.
Книга «Великое искусство» важна еще по одной причине. Кардано применил свои алгебраические методы для нахождения двух чисел, сумма которых равна 10, а произведение 40, и получил ответ: 5 + √-15 и 5 - √-15. Поскольку квадратные корни из отрицательных чисел не извлекаются, он заявил, что этот результат «столь же изящен, сколь бесполезен». Формула для кубических уравнений тоже может давать подобные промежуточные результаты, когда все три решения действительны, и в 1572 г. Рафаэль Бомбелли заметил, что если не обращать внимания на то, что могут означать подобные выражения, и просто просчитать все по формуле, то можно получить верные действительные решения. Со временем это направление мысли привело к созданию системы комплексных чисел, в которой –1 имеет квадратный корень. Без такого расширения системы действительных чисел сегодняшние математика, физика и инженерное дело были бы невозможны.
В 1540-е гг. Кардано вернулся к медицинской практике. Затем (как я уже говорил, его жизнь сплошная мыльная опера и бульварные газеты) разразилась трагедия. Его старший сын Джамбатиста в свое время тайно женился на Брандонии ди Серони – никчемной и бесстыдной, по мнению Кардано-старшего, женщине. Она публично заявляла, что вышла за Джамбатисту только по расчету и что не он отец ее троих детей. Он отравил жену и сразу же сознался в этом. Судья заявил, что единственный способ для Джамбатисты избежать смертной казни – это договориться с семейством ди Серони о материальной компенсации. Кардано-старший попытался это сделать, но запрошенная сумма оказалась настолько огромной, что он не смог заплатить; по приговору суда его сына пытали, затем отрубили ему левую руку и обезглавили.
Кардано – тертый калач, многое повидавший, – вынужден был переехать в другой город; он стал профессором медицины в Болонье. Из-за своего высокомерия Кардано рассорился с коллегами-медиками, и они попытались добиться его удаления из университета. Его младший сын Альдо стал игроком, залез в огромные долги, а затем проник в дом отца и украл у него деньги и драгоценности. Кардано счел себя обязанным сообщить о краже властям, в результате чего Альдо был изгнан из Болоньи. Тем не менее Кардано оставался оптимистом и писал, что, несмотря на эти трагические события, ему «досталось так много милостей, что, выпади они на долю другого человека, тот счел бы себя счастливым». Но у судьбы для Кардано были припасены уже новые катастрофы, и причиной их стали его занятия астрологией. В 1570 г. он составил гороскоп Иисуса Христа. Кроме того, он написал книгу, в которой хвалил Нерона, организовывавшего гонения на первых христиан. Такая комбинация привела к обвинению в ереси, что неудивительно. Кардано был заключен в тюрьму, затем освобожден, но при этом ему было запрещено занимать какой бы то ни было академический пост.
Он отправился в Рим, где, к своему немалому удивлению, встретил теплый прием. Папа Григорий XIII, судя по всему, даровал ему прощение – и пенсию. Кардано был принят в Римскую коллегию врачей и написал – хотя и не опубликовал – автобиографию. В конце концов она была напечатана более чем через 60 лет после его смерти. Согласно легенде, он умер от собственной руки, поскольку предсказал дату своей смерти и профессиональная гордость требовала, чтобы предсказание сбылось.
6. Великая теорема
Пьер де Ферма
Мало кому из математиков удается сформулировать задачу, которая несколько столетий остается без решения и при этом оказывается чрезвычайно важной для областей математики, вообще не существовавших на момент ее постановки. Пьер Ферма (частица «де» была добавлена позже, когда он стал правительственным чиновником), возможно, самый известный член этого благородного собрания. Но он, строго говоря, не был математиком: Ферма получил юридическое образование и стал советником парламента в Тулузе. С другой стороны, было бы явной натяжкой назвать его математиком-любителем. Возможно, правильнее всего считать Ферма неоплачиваемым профессионалом, зарабатывавшим на жизнь юридической практикой.
Ферма почти не публиковался, возможно, потому, что нематематические обязанности практически не оставляли ему времени для подробной записи своих открытий. То, что о них известно, мы черпаем в основном из его писем к математикам и философам, таким как Пьер де Каркави, Рене Декарт, Марен Мерсенн и Блез Паскаль. Ферма знал, что такое доказательство; кстати сказать, единственное неверное утверждение в сохранившихся его бумагах (формула, которая, как он считал, всегда выдает простое число) сопровождается замечанием о том, что доказательства у него нет. Из его доказательств почти ничего не сохранилось; самое существенное из дошедшего до нас – доказательство того, что сумма двух квадратов не может быть четвертой степенью, выполненное новаторским методом, который он назвал «методом бесконечного спуска».
Ферма недаром заслужил математическую славу. Он многого добился в геометрии, разработал дифференциальные методы, ставшие предвестниками дифференциального исчисления, работал над теорией вероятностей и математикой в области физики света. Однако главным его достижением стала основополагающая работа по теории чисел. Именно в ней он изложил гипотезу, прославившую его, в том числе и среди обычной публики – отчасти благодаря документальному телефильму и книге-бестселлеру. А именно свою простую, но таинственную Великую или Последнюю (как она известна на Западе) теорему. «Последняя» – не потому, что он прохрипел ее на смертном одре, но потому, что последователи Ферма сумели в течение почти 100 лет после его кончины доказать (или опровергнуть в одном случае) все сформулированные им теоремы за одним-единственным исключением. Эта задачка последней держала оборону, ставя в тупик лучшие умы.
Среди ученых, интересовавшихся этой теоремой, был и Гаусс – один из лучших математиков в истории. Почти через 200 лет после того, как Ферма оставил на полях книги свое знаменитое замечание, Гаусс отмахнулся от Великой теоремы Ферма, объявив ее типичным представителем громадного множества утверждений о числах, которые легко угадать, но практически невозможно доказать или опровергнуть. Вообще-то во всем, что касалось математики, Гаусс обладал безупречным вкусом, эта же оценка оказалась примером редкой для него недооценки математического значения. В защиту Гаусса можно сказать, что первые три с четвертью столетия после того, как Ферма сформулировал теорему, большинство математиков придерживалось того же мнения. Ее важность выявилась лишь позже, когда были обнаружены тонкие связи этого утверждения с центральными областями математики.
Сегодня Бомон-де-Ломань – французская коммуна (административный район) в области Центральные Пиренеи на юге Франции. Этот городок был основан в 1276 г. как бастида – один из целой серии укрепленных средневековых городков в этом районе – и имел бурную историю. В период Столетней войны Бомон-де-Ломань был на время захвачен англичанами, а затем потерял 500 жителей в результате чумы. Этот католический город зажат с трех сторон протестантскими городами. Генрих III продал его будущему Генриху IV, который взял город в 1580 г.; в результате устроенной победителями резни в нем погибло около сотни жителей. Людовик XIII в начале XVII в. осадил Бомон-де-Ломань: город принял участие в бунте против короля, в результате чего в 1651 г. был подвергнут военной оккупации и обложен крупным штрафом. Затем в нем вновь разразилась чума.
Среди всех этих бурных событий незаметным прошло рождение самого знаменитого жителя этого города – Пьера Ферма, сына богатого торговца кожей Доминика и его жены Клэр (урожденной де Лонг), происходившей из семьи адвокатов. Есть некоторые сомнения относительно года его рождения (это может быть 1601 или 1607 г.), поскольку у него, возможно, был старший брат, тоже Пьер, который умер молодым. Его отец, помимо всего прочего, был вторым консулом Бомон-де-Ломани – можно сказать, что Ферма родился в весьма политизированной семье. Положение отца практически гарантирует, что Ферма вырос в родном городе, а если это так, то образование он должен был получить в местном францисканском монастыре. Поучившись некоторое время в Университете Тулузы, он отправился в Бордо, где и расцвели его математические способности. Для начала Ферма предложил не слишком уверенную реставрацию трактата On Plane Loci – утраченной работы греческого геометра Аполлония; затем, предвосхищая кое-какие ранние достижения в анализе, написал о поиске максимумов и минимумов. Его юридическая карьера с дипломом Университета Орлеана также была достаточно успешной. В 1631 г. он приобрел для себя пост советника при парламенте Тулузы, позволивший ему прибавить частицу «де» к фамилии. Ферма занимал эту должность в качестве юриста всю оставшуюся жизнь; жил при этом в Тулузе, но работал время от времени в Бомон-де-Ломани и Кастре. Первоначально он был прикреплен к нижней палате парламента, но в 1638 г. был переведен в верхнюю палату, а затем, в 1652 г., поднялся на самую вершину уголовного суда. Отчасти благодаря чуме, унесшей в 1650-е гг. многих старших чиновников, Пьер продолжал подъем по служебной лестнице. В 1653 г. промелькнуло сообщение о том, что Ферма умер от чумы, но (как и в случае Марка Твена) слухи эти оказались несколько преувеличенными. Судя по всему, Ферма, как говорится, откусывал больше, чем мог проглотить; интерес к математике сильно отвлекал его от юридических обязанностей. В одном из документов написано: «Он сильно занят, он не докладывает суду дела как следует и все время путается».
Его «Введение в изучение плоских и пространственных мест» 1629 г. стало новаторским; в нем впервые использовались координаты, позволившие связать геометрию и алгебру. Обычно эту идею приписывают Декарту и его эссе «Геометрия» 1637 г. (приложение к «Рассуждению о методе»), но на самом деле намеки на нее можно найти в гораздо более ранних произведениях, вплоть до древнегреческих. Смысл идеи заключается в использовании двух координатных осей для представления любой точки на плоскости посредством единственной пары чисел (
В рассуждении «О касательных к кривым» 1679 г. Ферма находил касательные к различным кривым, то есть занимался геометрической версией дифференциального исчисления. Его метод нахождения максимума и минимума был еще одним предвестником математического анализа. В оптике он сформулировал принцип наименьшего времени: световой луч следует по тому пути, который минимизирует общее время движения. Это был один из первых шагов к вариационному исчислению – области анализа, которая занимается поиском кривых или поверхностей, минимизирующих или максимизирующих некоторую величину. К примеру, какая замкнутая поверхность фиксированного объема имеет наименьшую площадь поверхности? Ответ – сфера; именно поэтому мыльные пузыри имеют сферическую форму, ведь энергия поверхностного натяжения пропорциональна площади поверхности, а пузырь принимает форму, соответствующую минимальной энергии.
В аналогичном ключе Ферма полемизировал с Декартом по поводу закона преломления световых лучей. Декарт, раздраженный, вероятно, тем, что лавры за геометрические координаты достались оппоненту, хотя сам он считал координаты своим изобретением, отозвался критикой в адрес работы Ферма о максимумах, минимумах и касательных. Диспут получился настолько жарким, что в него в качестве арбитра оказался втянут инженер и геометр-новатор Жерар Дезарг. Когда он объявил, что прав Ферма, Декарт неохотно признал: «Если бы вы объяснили это таким образом с самого начала, я бы и возражать не стал».
Величайшее наследие Ферма относится к теории чисел. В его письмах можно найти множество вызовов для математиков. Среди них предложение доказать, что сумма двух полных кубов не может быть полным кубом; решить уравнение, получившее неудачное название «уравнение Пелля»,
Одна из важнейших и красивейших теорем Ферма говорит о числах, которые можно выразить в виде суммы двух полных квадратов. Альберт Жерар впервые сформулировал утверждение по этой теме в работе, опубликованной посмертно в 1634 г. Ферма первым заявил, что нашел доказательство, написав об этом в письме к Мерсенну в 1640 г. Главное – решить эту задачу для простых чисел. Ответ зависит от типа простого числа в следующем смысле. Единственное четное простое число – 2. Нечетные числа представляют собой либо кратные 4 с добавлением единички, либо кратные 4 с добавлением 3 (то есть имеют вид 4
Если немного поэкспериментировать, об этом несложно догадаться. К примеру, 13 = 4 + 9 = 22 + 32, и 13 = 4 × 3 + 1. С другой стороны, 7 = 4 × 1 +3 и ясно, что сумма двух квадратов не может равняться 7. Однако доказать теорему Ферма о двух квадратах очень трудно. Простейшая часть – показать, что простые числа вида 4
Общий вывод таков: натуральное число представляет собой сумму двух квадратов в том, и только том случае, если все простые множители вида 4
История Великой теоремы Ферма рассказана многократно и рассказывается по сей день, но я не стану извиняться за то, что расскажу ее еще раз. Это замечательная история. То, что слава Ферма зиждется на теореме, которую он почти наверняка не доказал, можно назвать иронией судьбы. Он
Книга, о которой идет речь, – французский перевод «Арифметики» Диофанта, первой значительной работы по теории чисел, если не считать «Начал» Евклида, где изложены многие базовые свойства простых чисел и решены некоторые важные уравнения. В любом случае «Арифметика» – первый специализированный труд на эту тему. Не забывайте, что именно эта книга ввела в математику технический термин «диофантово уравнение» для обозначения полиномиального уравнения, которое следует решать в натуральных или рациональных числах. Диофант составил систематический каталог таких уравнений, и один из центральных образцов его коллекции – уравнение
У Ферма имелся экземпляр перевода «Арифметики» на латинский язык, сделанного Клодом Баше де Мезирьяком в 1621 г., и свои замечания к тексту он записывал на полях. По словам сына Ферма Самюэля, Великая теорема была сформулирована как замечание к Вопросу VIII Книги II у Диофанта. Мы знаем об этом потому, что Самюэль издал собственный вариант «Арифметики», включив туда и примечания отца. Даты, когда делались примечания, неизвестны, но известно, что Ферма начал изучать «Арифметику» около 1630 г. Часто приводится дата 1637 г., но это лишь интуитивная оценка. Предполагается, что именно после размышлений о потенциальных обобщениях Пифагоровых треугольников Ферма и написал свою знаменитую маргиналию:
Невозможно поделить куб на два куба, или четвертую степень на две четвертых степени, или, в общем, любую степень выше второй на две такие же степени. Я нашел поистине чудесное доказательство этого, но здешние поля слишком узки, чтобы вместить его.
То есть диофантово уравнение
Имеются косвенные свидетельства того, что со временем Ферма отказался от мысли о том, что владеет доказательством. Он имел обыкновение включать свои теоремы в письма в качестве головоломок, которые другим математикам предлагалось решить (и по крайней мере один из них жаловался на чрезмерную сложность заданий). Однако ни в одном из сохранившихся его писем не упоминается эта теорема. Что еще более показательно, Ферма предложил в качестве задач своим корреспондентам два ее частных случая, с кубами и четвертыми степенями. Зачем бы он стал это делать, если бы мог доказать более общий вариант? Он наверняка мог доказать теорему для случая с кубами, и мы знаем, как он доказывал ее для четвертых степеней. Мало того, это доказательство – единственное во всех оставленных им работах и бумагах. В формулировке Ферма это утверждение выглядело так: «Площадь прямоугольного треугольника не может быть квадратом». Очевидно, по замыслу автора эта формулировка должна была вызывать в памяти Пифагоровы тройки. Из Евклидова алгоритма решения диофантовых уравнений легко следует, что эта задача эквивалентна нахождению двух квадратов, дающих в сумме четвертую степень. Если бы решение уравнения
Его доказательство было изящно и сделано по тем временам радикально новым методом, который сам он назвал методом бесконечного спуска. Предположим, что решение существует; тогда, применив алгоритм Евклида и немного повозившись, можно прийти к выводу, что существует и еще одно,
Возможно, Ферма намеренно скрывал свои доказательства. Судя по всему, он любил пошутить и ему нравилось помучить собратьев-математиков, представляя им свои изыскания в виде загадок. Его замечание на полях не единственное, в котором объявлялся некий важный результат, а затем следовали извинения за отсутствие доказательств. Декарт считал Ферма фанфароном, а Валлис называл его не иначе как «этот проклятый француз». Как бы то ни было, его тактика – если так и было задумано – работала. После смерти Ферма – да и при его жизни тоже – великие математики считали своим долгом довести до ума и отшлифовать какую-нибудь из головоломок, которые Ферма оставил потомкам. Эйлер, к примеру, объявил, что нашел доказательство теоремы для третьих степеней (сумма двух кубов не может быть кубом) в 1753 г. в письме к своему другу Христиану Гольдбаху. Сегодня мы понимаем, что в его доказательстве имелся пробел, но заполнить его было относительно несложно, так что первое опубликованное доказательство этого случая обычно признают за Эйлером. Адриан-Мари Лежандр доказал Великую теорему для пятых степеней в 1825 г., а Петер Дирихле доказал ее для 14-х степеней в 1832 г. и попытался – неудачно – доказать для седьмых; этот результат, вероятно, можно было бы спасти, если бы автор нацелился на что-нибудь попроще. Габриель Ламе разобрался с седьмыми степенями в 1839 г., а в 1847 г. изложил основные идеи общего доказательства в Парижской академии наук. В его доказательстве был задействован аналог разложения на простые множители для особого типа комплексных чисел.
Сразу же после его выступления встал Жозеф Лиувиль, который указал на возможную ошибку в методе Ламе. Для обычных чисел разложение на простые множители всегда
Эрнст Куммер сумел спасти эту идею, добавив в смесь новые ингредиенты, которые он назвал «идеальными числами». Эти штуки ведут себя как числа, но числами при этом не являются. При помощи идеальных чисел он доказал Великую теорему Ферма для многих степеней, включая все простые степени до 100, за исключением 37, 59 и 67. К 1993 г. было известно, что Великая теорема Ферма верна для всех степеней вплоть до 4 млн, но это все более отчаянное карабканье вверх не проливало никакого света на общий случай. Новые идеи начали появляться в 1955 г. в связи с работами Ютаки Таниямы, который занимался исследованиями в другой области теории чисел, никак на первый взгляд не связанной с нашей темой, – в области эллиптических кривых. (Название обманчиво, и эллипс тут ни при чем. Эллиптическая кривая – особый тип диофантова уравнения.) Танияма предположил очень интересную связь между этими кривыми и комплексным анализом – теорию модулярных функций. На протяжении многих лет почти никто не верил в его правоту, но постепенно накопилось достаточно свидетельств того, что гипотеза, получившая известность как гипотеза Симуры – Таниямы – Вейля, может оказаться верной.
В 1975 г. Ив Эллегуар обратил внимание на связь между Великой теоремой Ферма и эллиптическими кривыми и предположил, что любой контрпример к этой теореме означал бы существование эллиптической кривой с очень странными свойствами. В двух статьях, опубликованных в 1982 и 1986 гг., Герхард Фрей показал, что эта кривая должна быть настолько странной, что существовать не может в принципе. Из этого утверждения непосредственно следовала бы (от противного) Великая теорема Ферма, если бы Фрей не использовал в своем доказательстве гипотезу Симуры – Таниямы – Вейля, которая сама пока оставалась недоказанной. Однако все эти события убедили многих специалистов по теории чисел в том, что Эллегуар и Фрей стоят на верном пути. Жан-Пьер Серр предсказал, что Великая теорема Ферма будет доказана именно этим способом примерно за десятилетие до того, как это произошло в действительности.
Итоговый шаг сделал Эндрю Уайлс в 1993 г., объявив, что ему удалось доказать особый случай гипотезы Симуры – Таниямы – Вейля, достаточно сильный, чтобы завершить доказательство Великой теоремы Ферма. К несчастью, вскоре в его доказательстве выявился логический пробел, что часто служит прелюдией к полному коллапсу. Уайлсу повезло. Воспользовавшись помощью своего бывшего студента Ричарда Тейлора, он сумел в 1995 г. заполнить этот пробел. Доказательство стало полным.
До сих пор спорят, было ли у Ферма доказательство этой теоремы. Как я уже сказал, косвенные свидетельства уверенно говорят, что не было, поскольку в противном случае он наверняка предложил бы другим математикам найти его. Скорее всего, записывая это утверждение на полях книги, он считал, что имеет доказательство, но позже переменил свое мнение. В том маловероятном случае, если доказательство у него действительно было, оно не могло иметь ничего общего с доказательством Уайлса. Во времена Ферма попросту не было ни необходимых концепций, ни столь же необходимых абстрактных представлений. Это как ждать от Ньютона изобретения ядерного оружия. Тем не менее нельзя исключить, что Ферма нашел все же некий подход, который больше никто не заметил. Такие вещи случаются. Однако никто не сможет отыскать это доказательство, не обладая математическими талантами Пьера де Ферма, а это, поверьте, высокая планка.
7. Система мира
Исаак Ньютон
В 1696 г. Королевский монетный двор, обеспечивавший чеканку английских денег, обрел нового директора, Исаака Ньютона. На эту должность его назначил Чарльз Монтегю, эрл Галифакса, бывший в то время канцлером казначейства – по существу, министром финансов. Ньютон должен был возглавить перечеканку всей монеты в королевстве. В то время британская денежная система была в отвратительном состоянии. По оценке Ньютона, около 20 % монет, находившихся в обращении, были либо поддельными, либо обрезанными (то есть по краям у них были срезаны кусочки золота или серебра, которые после переплавки продавались). В принципе, и подделка монет, и их обрезка считались актами государственной измены и по закону наказывались мучительной казнью, когда преступника сначала вешали, а затем, не дав ему умереть, вынимали из петли и четвертовали. На практике судили, а тем более наказывали за эти преступления чрезвычайно редко.
Как лукасовский профессор математики в Кембриджском университете новый директор монетного двора был ученым не от мира сего, посвятившим большую часть жизни сложным вопросам математики, физики и алхимии. Кроме того, он писал религиозные трактаты об интерпретации Библии и относил Сотворение мира к 4000 г. до н. э. Если говорить о государственной службе, то его послужной список был весьма пестрым. Он заседал в парламенте от Кембриджского университета в 1689–1690 гг., и в будущем ему предстояло заседать там еще в 1701–1702 гг., но утверждается, что единственным его вкладом в дебаты было замечание о том, что в палате холодно, и просьба закрыть окна. Поэтому нетрудно было предположить, что, получив эту должность от своего политического покровителя в качестве синекуры, Ньютон станет легкой мишенью для манипуляций.
Уже через несколько лет 28 осужденных фальшивомонетчиков могли засвидетельствовать, что дело обстоит совсем не так. То, как Ньютон занялся поиском доказательств, сделало бы честь Шерлоку Холмсу. Он маскировался под завсегдатая низкопробных таверн и пивных, где шпионил за посетителями и наблюдал за их криминальной деятельностью. Осознав, что одним из серьезнейших препятствий к успешному осуждению преступников является невразумительный характер британского законодательства, Ньютон обратился к древним обычаям страны и юридическим прецедентам. Система мировых судей всегда обладала в Англии значительным авторитетом; мировые судьи могли открывать дела, допрашивать свидетелей и, по существу, выступать в роли единоличного высшего судии. Поэтому Ньютон добился назначения себя мировым судьей во всех графствах окрест Лондона. За полтора года, начиная с лета 1698 г., он допросил более сотни свидетелей, подозреваемых и информаторов, обеспечив таким образом уже упоминавшиеся 28 обвинительных приговоров.
Кстати говоря, мы знаем это потому, что Ньютон оставил черновик письма, в котором об этом рассказывалось, в собственном экземпляре своих знаменитых «Начал», в которых он, по существу, заложил основы математической физики, сформулировав законы движения и закон всемирного тяготения, а также показав, как эти законы объясняют широкий спектр природных явлений.
Эта история наглядно иллюстрирует факт, что, когда Ньютон направлял усилия своего разума на какую-то проблему, он, как правило, добивался очень многого, хотя ни в алхимии, ни, вероятно, в библейских исследованиях ему не удалось добиться серьезных успехов. Тем не менее он стал главой монетного двора, президентом Королевского общества, а королева Анна в 1705 г. посвятила его в рыцари. Однако наибольший вклад в копилку человечества Ньютон внес в математике и физике. Он придумал дифференциальное исчисление и использовал его для записи фундаментальных законов природы, из которых вывел – как гласит подзаголовок третьей книги «Начал» – Систему мира. Устройство Вселенной.
Его собственное начало, однако, было куда более скромным.
Ньютон родился в 1642 г. на Рождество. По крайней мере так выглядела при жизни Ньютона дата его рождения. Но определялась она тогда по юлианскому календарю; когда же его сменил григорианский, известный своими «потерянными днями», официальной датой рождения Ньютона стало 4 января 1643 г. Ребенком он жил на ферме Вулсторп Мэнор в крохотной деревеньке Вулсторп-при-Колстерворте в графстве Линкольншир, неподалеку от Грэнтема.
Отец Ньютона, тоже Исаак, умер за два месяца до рождения сына. Ньютоны были солидным фермерским семейством; Исаак Ньютон-старший был довольно состоятелен, владел большой фермой, домом и многочисленным стадом. После его смерти управлять фермой стала мать Исаака-младшего Анна (урожденная Эйскоу). Когда Исааку было два года, она вышла замуж за Барнабаса Смита, пастора церкви в соседнем селении Норт-Уитем. Мальчик же остался в Вулсторпе на попечении бабушки Марджери Эйскоу. Его детство не было счастливым; отношения Исаака с дедом Джеймсом Эйскоу не складывались. Отношения с матерью и отчимом были еще хуже: на исповеди в возрасте 19 лет он упомянул о том, что «грозился своему отцу и матери Смитам сжечь их вместе с домом».
Отчим умер в 1653 г. Чуть позже Исаак начал учиться в Свободной грамматической школе в Грэнтеме, где он жил в семье Кларков. Уильям Кларк был аптекарем, а дом его стоял на Хай-Стрит возле гостиницы Джорджа. Благодаря своим странным изобретениям и механическим устройствам, которые он любил мастерить, Ньютон приобрел известность среди жителей городка. Карманные деньги он тратил на инструменты, а вместо игр мастерил из дерева всякие интересные штучки – не только кукольные домики для девочек, но и работающую модель ветряной мельницы, к примеру. Было у него и механическое устройство, вращаемое мышью. Исаак сделал маленькую тележку, в которой можно было сидеть и передвигаться, вращая ручку. А еще он подвесил к воздушному змею бумажный фонарик, чтобы удивлять соседей по ночам. По словам биографа Ньютона Уильяма Стакли, это «некоторое время замечательно пугало всех окрестных обитателей и давало немало пищи для разговоров деревенских жителей за кружкой эля в базарные дни».
За прошедшее время историки отыскали источник, из которого Ньютон черпал идеи большинства своих изобретений, – книга «Тайны природы и искусства» Джона Бейта. В одной из записных книжек Ньютона можно найти множество выписок из этой книги. Его изобретения хотя и не оригинальны, наглядно иллюстрируют интерес мальчика к науке и технике. Кроме того, его буквально завораживали солнечные часы. Так, часы на церкви в Колстерворте приписывают ему, причем построил он их будто бы в девятилетнем возрасте, и в доме Кларков таких часов стараниями Ньютона было множество. Он вбивал в стены деревянные штырьки, отмечавшие не только часы, но и получасовые и четвертьчасовые интервалы. Ньютон научился распознавать по ним значимые моменты, такие как солнцестояния и равноденствия, да так успешно, что родственники и соседи нередко заходили взглянуть на то, что они называли «часами Исаака». Он мог определить время по теням в комнате. Кроме того, живя, по существу, в лавке аптекаря, он активно интересовался составом лекарств; после столь раннего знакомства с химией обширные алхимические интересы, которые Ньютон питал на протяжении всей жизни, не вызывают удивления. На стенах своей комнаты он рисовал углем весьма убедительные изображения птиц, животных, корабли и даже портреты.
Ньютон, очевидно, был умным молодым человеком, но особых признаков математического таланта не демонстрировал, и школьные отзывы характеризуют его как бездельника и невнимательного ученика. В этот момент мать забрала его из школы; она намеревалась подготовить Исаака к управлению фермой – обычное по тем временам занятие для старшего сына, но он проявил к этому еще меньше интереса, чем к школьным занятиям. Брат – дядя Исаака – убедил Анну в том, что мальчику следовало бы продолжить обучение в университете, в Кембридже, поэтому Исаака вновь отослали в Грэнтем заканчивать школу.
В 1661 г. Ньютон поступил в Кембридже в Тринити-колледж, где планировал получить ученую степень юриста. Курс обучения основывался на философии Аристотеля, однако на третьем курсе ему разрешили читать труды Декарта, философа и ученого Пьера Гассенди, философа Томаса Хоббса и физика Роберта Бойля. Он изучил работы Галилея и познакомился с теорией Коперника, согласно которой Земля обращается вокруг Солнца. Он прочел «Оптику» Кеплера. Как Ньютон познакомился с серьезной продвинутой математикой, вопрос более туманный. Как писал Абрахам де Муавр, все началось с того, что Ньютон купил на ярмарке книгу по астрологии и не смог разобраться в математических выкладках. Он попытался вникнуть в тригонометрию – и обнаружил, что не знает основ геометрии; он пошел и купил издание Евклида в переводе Исаака Барроу. Содержание книги казалось Ньютону тривиальным, пока он не добрался до теоремы о площади параллелограмма, которая произвела на него сильное впечатление. После этого он проглотил сразу несколько серьезных математических книг: «Ключ к математике» Уильяма Отреда, «Геометрию» Декарта, работы Франсуа Виета, «Геометрию Рене Декарта» Франса ван Шутена и «Алгебру» Джона Валлиса. Валлис использовал для вычисления площади, ограниченной параболой и гиперболой, неделимые, то есть бесконечно малые, величины. Ньютон обдумал это и написал: «Так делает Валлис, но можно делать и так…» Он уже начинал предлагать собственные доказательства и идеи, вдохновленный великими математиками, но не порабощенный ими. Методы Валлиса были интересны, но ни в коем случае не священны. Ньютон мог сделать лучше.
В 1663 г. Барроу занял лукасовскую кафедру и стал членом Тринити-колледжа, где учился Ньютон, но нет никаких свидетельств того, что он отметил какие-то особые таланты в этом молодом студенте. Талант Ньютона расцвел в 1665 г., когда студентов университета разослали по домам в связи с эпидемией чумы. В тишине и покое линкольнширской деревни Ньютон, не отвлекаемый городской суетой, обратил все внимание на физику и математику. За 1665 и 1666 гг. он разработал свой Закон всемирного тяготения, объяснявший движение Луны и планет, вывел законы движения, которые описывали движущиеся тела, изобрел математический анализ и совершил несколько значительных открытий в оптике. Публиковать все это он не стал, а просто вернулся в Кембридж, чтобы получить степень магистра, и был избран членом Тринити-колледжа. В 1669 г., когда Барроу ушел в отставку, он был назначен лукасовским профессором математики, а в 1672 г. стал членом Королевского общества.
После 1690 г. Ньютон писал трактаты по интерпретации Библии и занимался алхимическими экспериментами. Он занимал важные административные посты и со временем стал директором Королевского монетного двора. В 1703 г. Ньютон был избран президентом Королевского общества, а в 1705 г., когда королева Анна посетила Тринити-колледж в Кембридже, возведен в рыцарское достоинство. До него единственным ученым, удостоившимся такой чести, был Фрэнсис Бэкон. Во время краха биржевого пузыря – Компании южных морей – Ньютон потерял свое состояние и переехал жить под Уинчестер к племяннице и ее мужу, а в 1727 г. в Лондоне умер во сне. Подозревали отравление ртутью, так как в волосах Ньютона были обнаружены следы этого металла. Это согласуется с алхимическими экспериментами ученого и, возможно, объясняет его эксцентричность в старости.
Поделиться книгой: