Темная сторона материи. Дирак. Антивещество

Из этой зависимости от двух показателей следовало, что изначальные величины можно представить в виде строгой таблицы чисел, составленной из строк и столбцов. Такая конфигурация устанавливала более чем странное свойство: результат не обладал свойствами коммутативного умножения. Другими словами, итоговый результат зависел от порядка сомножителей. Сначала Гейзенберг посчитал данный результат ошибкой, недостатком теории, который следует устранить. И все же он рискнул послать статью своему научному руководителю, Максу Борну, который немедленно решил опубликовать ее.

НА СЦЕНУ ВЫХОДИТ ДИРАК

То, что Гейзенберг считал слабым местом новой теории, Дираку казалось наиболее важной ее идеей. Он детально изучил классическую механику и формализм Гамильтона и прекрасно знал о существовании переменных и величин, которые не обладают свойствами коммутативного умножения. Но можно ли было провести аналогию между новыми квантовыми величинами Гейзенберга и переменными классической теории? Ответ на данный вопрос пришел Дираку внезапно, когда он вспомнил о «скобках Пуассона». Позднее он рассказывал:

«Это произошло во время одной из моих воскресных загородных прогулок в октябре 1925 года. Я не мог выкинуть из головы комбинацию квантовых переменныхху — ухи внезапно вспомнил о конструкции, называемой «скобками Пуассона», которую достаточно часто использовала классическая механика. Вернувшись домой, я перечитал все свои записи и имевшиеся книги, чтобы разрешить собственные сомнения, но все было напрасно. Ночью я практически не сомкнул глаз. На следующий день с самого раннего утра я отправился в библиотеку и там нашел то, что искал, — в «Аналитической динамике» Уиттекера, которую я детально изучал в прошлом».

После нескольких недель упорной работы Дирак вывел искомое соотношение:

xy - yx = ih/2π [x,y].

Это уравнение напрямую связывало квантовые величины, или операторы Гейзенберга, с классическими переменными, введенными благодаря скобкам Пуассона, [х, у]. В уравнении использовалась постоянная Планка h, коэффициент 2π и мнимая единица i = √-1. Уравнение можно было записать с помощью «редуцированной постоянной Планка», равной

ħ = h/2π

Данное понятие было введено Дираком в 1930 году.

Несмотря на проявленную ученым сдержанность в отношении принципа соответствия Бора, этот самый принцип представал здесь как основа теории. Соответствие между квантовыми переменными и классическими, а также Гамильтонов формализм быстро привели Дирака к его новой теории. Все обретало смысл, а результаты и основополагающие принципы, такие как принцип сохранения энергии и правило частот Бора, находили естественное объяснение.

Дирак закончил статью «Основные уравнения квантовой механики» в ноябре 1925 года и отправил ее Фаулеру, который тут же осознал важность и глубину работы своего студента.

СКОБКИ ПУАССОНА

Скобки Пуассона были введены в 1809 году французским физиком и математиком Симеоном Дени Пуассоном (1781-1840). Они представляют собой очень полезное понятие в аналитической механике: с их помощью можно вывести основные уравнения движения. Общее определение этого понятия следующее.

Возьмем две произвольные функции F и G, зависящие от обобщенных пространственных и временных координат: q_j, р_j. Скобки Пуассона определяются через

[F,G] = ∑(∂F/∂q_j ∂G/∂p_j - ∂F/∂p_j ∂G/∂q_j).

Отношение между классическими переменными задано: [q_i,q_j]=[p_i,p_j=0; [q_i, p_j] = δ_ij, где δ_ij является функцией дельты Кронекера, то есть δ_ij = 0 для i ≠ j и δ_ij =1 для i = j. В особых случаях функции Гамильтона (гамильтониан) H (q_j,p_j,t), то есть функции, определяющей энергию системы, скобки Пуассона позволяют получить следующие основные уравнения движения:

dq_j/dt = [q_j,H]; dp_j/dt = [p_j,H];

dF/dt = [F,H] + ∂F/∂t.

Методом Пуассона можно идентифицировать постоянные системы, то есть величины, которые сохранились. Любая функция, где скобки Пуассона с гамильтонианом равны нулю, соответствует постоянной движения. Соответственно, скобки Пуассона любой постоянной движения с гамильтонианом должны быть равны нулю.

Не прошло и трех недель, как она была опубликована в журнале Proceedings of the Royal Society. В то время имя Дирака было совершенно неизвестно международному научному сообществу, при этом его статья наделала много шума среди ведущих ученых в области квантовой физики. Бор выразил свое изумление «восхитительной работой» молодого неизвестного физика. А Гейзенберг, едва получив рукопись, отправил Дираку письмо с поздравлениями.

Несомненно, Дирак сделал огромный шаг вперед в своей научной карьере, расположившись в авангарде новой квантовой теории и войдя в небольшую группу ее создателей. В то время физики яростно соревновались за право считаться создателями основ новой теории, и неудивительно, что некоторые испытали разочарование после появления статьи Дирака. В связи с этим можно оценить тактичность, с которой после поздравлений Гейзенберг написал Дираку следующее:

«Надеюсь, Вы не будете огорчены, узнав, что существенная часть Вашей работы уже была проделана ранее и опубликована Борном и Йорданом. Это никоим образом не умаляет заслуг Вашей статьи; ее формулировки в некотором смысле превосходят полученные здесь».

На самом деле Борн, Йордан и Гейзенберг сформулировали то, что называется «матричным формализмом» квантовой механики. Благодаря работам, законченным незадолго до Дирака, они получили одинаковые с ним результаты без использования скобок Пуассона.

Дирака вовсе не разочаровал тот факт, что не он первым открыл основные уравнения квантовой механики (кстати, это был не последний раз, когда его обошли). Напротив, его уверенность в том, что его теория верна и корректна, а в некоторых аспектах и превосходит формулировку, выработанную немецкими коллегами, только возросла. Дирак последовал совету американского физика Джона X. Ван Флека («Я бы хотел увидеть, сможет ли одна из развившихся теорий воспроизвести энергетические уровни старой модели Бора для атома водорода») и решил проверить, может ли его модель воспроизводить энергетические уровни. Похожий результат был получен несколькими месяцами ранее Паули.

МАКС БОРН И ПАСКУАЛЬ ЙОРДАН

Борн и Йордан вместе с Гейзенбергом создали матричный формализм квантовой механики. Макс Борн (1882-1970) работал в разных центрах (Кембридж, Берлин, Франкфурт) и сотрудничал с блестящими физиками и математиками того времени: Томсоном, Лармором, Минковским, Планком и Штерном. В 1921 году он стал профессором физики университета Геттингена (Германия), где преподавал в течение следующих 12 лет. Это был наиболее плодотворный период его научной деятельности, в течение которого Борн превратил университет Геттингена в главный центр исследования квантовой теории. Его учениками и ассистентами были Гейзенберг, Паули, Йордан, Оппенгеймер, Ферми, Теллер, Вигнер и Вайскопф. Семеро его студентов получили Нобелевскую премию. Паскуаль Йордан (1902-1980) начал свое образование в техническом университете Ганновера, сменив его в 1923 году на университет Геттингена. Он стал первым ассистентом математика Рихарда Куранта, а затем Борна, под руководством которого и написал диссертацию.

Макс Борн.

Математическое основание квантовой механики

В кильватере первопроходческой работы Гейзенберга 1925 года Борн и Йордан (потом совместно с Гейзенбергом) разработали общую формулировку квантовой механики благодаря использованию матричного исчисления. В 1926 году Борн ввел вероятностную интерпретацию волновой функции, придав ей физическое значение. Этот вывод, вызвавший бесконечные споры об основах квантовой механики, лежит в основе «копенгагенской интерпретации». В 1933 году Борн переехал в Великобританию, где в 1936 году стал профессором университета Эдинбурга. В 1954 году он получил Нобелевскую премию по физике. Йордан со своей стороны работал над созданием солидной математической основы квантовой теории и вместе с Дираком сформулировал новаторские идеи в области квантовой теории поля. В 1933 году он вступил в партию нацистов, в результате чего Нобелевскую премию ему не присудили. В последние годы научная деятельность Йордана была связана главным образом с исследованиями в области геологии и биологии.

АЛГЕБРА КВАНТОВЫХ ЧИСЕЛ

Дирак разработал формализм квантовой механики независимо от своих коллег в университете Геттингена и ввел понятие «q-чисел» для квантовых переменных. Он также четко разграничил q-числа, в которых буква «q» отсылает к quantum (квантовый) или к queer (странный, причудливый), и с-числа, в которых буква «с» означает classics (классический) или commuting (коммутативный). Так он четко отделил квантовый мир от классического. Хотя Дирак был убежден в превосходстве своей версии квантовой теории над матричной механикой Гейзенберга, Борна и Йордана, он быстро осознал, что на самом деле оба подхода равносильны:

«Мне понадобилось время, чтобы убедиться: мои q-числа на самом деле не являются более общими, чем матрицы, и обладают теми же недостатками, что и математически доказанные недостатки матриц».

Летом 1926 года Дирак разработал новую версию своей квантовой теории, известной под названием «алгебры q-чисел». Представленная в виде чисто математической теории, без каких-либо отсылок к проблемам именно физики, данная работа не произвела особого впечатления на сообщество ученых-физиков. Только некоторые из них, интересовавшиеся исключительно математическими аспектами квантовой механики, такие как Йордан, проявили любопытство. Последний оценил теорию Дирака следующим образом: «Я нахожу публикацию Дирака крайне интересной. По моему мнению, математика столь же интересна, как и физика». Дирак ввел общее определение различения квантовых переменных (q-чисел) и из этой дифференциации вывел коммутативное соотношение между операторами положения (q), момента (р) и орбитального момента (L) — эти отношения уже были найдены в матричной механике Борна, Йордана и Гейзенберга. Данные результаты сегодня являются отправной точкой любой работы в области квантовой механики.

Таким образом, алгебра q-чисел появилась как альтернатива матричной механике. С момента публикации первой статьи Гейзенберга Дирак почти все свое время посвящал разработке собственной системы, стремясь показать, что его подход способен объяснить основные результаты, полученные в субатомном мире. Однако он занимался столь упорно, что не успевал обращать внимание на новые формулировки квантовой механики. Работы Дирака этого периода были приняты научным сообществом физиков с большим уважением, но произвели меньшее впечатление, нежели работы Гейзенберга, Борна и Йордана. Вникнуть в суть работы Дирака было нелегко, многим коллегам его стиль казался непонятным. Например, физик Джон Слейтер не скрывал своей неудовлетворенности:

«Существует два типа теоретических физиков. Первый объединяет таких людей, как я, — прозаичных и прагматичных, всегда пытающихся говорить и писать как можно яснее. Второй состоит из «волшебников», жестикулирующих так, словно сейчас достанут из шляпы кролика (как Дирак), и находящих удовлетворение только тогда, когда их тексты и объяснения выглядят глубоко таинственными ».

Начиная с весны 1926 года внимание всех, кто интересовался квантовой теорией, было приковано к университету Цюриха. Именно там практически никому не известный физик Эрвин Шрёдингер (1887-1961), до этого времени не принимавший никакого участия в разработке квантовой теории, предложил свой формализм квантовой механики. Большинству физиков того времени его описание показалось гораздо более понятным, нежели сложные матричные и алгебраические языки, использовавшиеся до тех пор.

ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА ШРЁДИНГЕРА

Дирак, по всей видимости, впервые услышал о новой теории Шрёдингера тогда же, когда была опубликована его первая статья, — во время приезда Зоммерфельда в Кембридж в марте 1926 года. Но тогда он был слишком погружен в разработку собственного формализма квантовой теории, чтобы уделять достаточно внимания новым предлагаемым подходам. Кстати, Дирак не был впечатлен волновым уравнением Шрёдингера, которое поначалу счел обратной стороной теории Луи де Бройля, уже оставшейся в прошлом. Вот как Дирак писал об этом:

УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА

В теории Шрёдингера состояние квантовой системы определяется через сложную математическую функцию, называемую волновой функцией Ψ, которая зависит от времени и всех координат, определяющих наблюдаемую систему. Уравнение Шрёдингера представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка. Оно включает зависимость от времени, которая выглядит следующим образом:

Переменная Н является функцией Гамильтона, которая включает в себя всю информацию об общей энергии системы — кинетической и потенциальной. Кинетическая энергия (связанная с движением) определяется дробью

где М является массой системы, а

— оператором Лапласа:

Наконец, величина V(ŕ,t) означает потенциальную энергию. Когда гамильтониан не зависит от времени, уравнение Шрёдингера может быть решено через определение того, что мы называем «стационарными состояниями». Независимое от времени уравнение Шрёдингера позволяет определить волновую функцию, зависящую от пространственных переменных:

В данном случае (то есть в стационарном состоянии) гамильтониан, действуя на волновую функцию, выражает общую энергию системы. Иначе говоря, энергия Е составляет собственную величину гамильтониана. Уравнение Шрёдингера несовместимо с теорией относительности. Мы увидим, что способ введения пространственно-временных переменных в уравнение разнится. Если время появляется как производная первого порядка, то пространственные координаты выражаются производными второго порядка. Этот аспект противоречит неотъемлемому принципу теории относительности — симметричному обращению с четырьмя составляющими (тремя пространственными составляющими и одной временной), которые образуют «четырехмерный вектор пространство — время».

«Сначала я испытал некоторую враждебность по отношению к теории Шрёдингера. Зачем надо было возвращаться к состоянию, предшествовавшему Гейзенбергу, если уже была квантовая механика? Меня глубоко беспокоил риск возврата назад и, возможно, забвения всего прогресса, осуществленного квантовой теорией. На протяжении некоторого времени я испытал настоящую враждебность по отношению к идеям Шрёдингера».

Доказательством полного отсутствия интереса к формализму Шрёдингера служит тот факт, что Дирак никак не упомянул о нем в диссертации, которую представил в мае 1926 года.

Несмотря на сдержанность Дирака, волновую механику ждал огромный успех, большинство физиков того времени были рады забыть сложный и непонятный язык матриц и q-чисел ради простоты дифференциального уравнения Шрёдингера. В серии статей, опубликованных весной-летом 1926 года, Шрёдингер сформулировал основы своей новой теории, учитывающей энергетические уровни атома водорода. У него вся информация о системе заключалась в «волновой функции» — сложной математической функции, значение которой тогда не было очевидным.

Язык Шрёдингера сильно отличается от языка, используемого Гейзенбергом, Борном и Йорданом, а также Дираком. Это расхождение в теориях, описывающих и объясняющих одни и те же природные явления, особенно трудно было принять Дираку, который всегда пытался найти последовательное и единое описание субатомного мира. Физическую интерпретацию волновой функции дал Борн летом 1926 года. Сегодня она известна как «вероятностная интерпретация». Согласно ей «плотность вероятности нахождения частицы характеризуется квадратом волновой функции». Что касается соотношения обеих теорий — волновой и матричной механики, — сам Шрёдингер доказал их математическую эквивалентность в третьей статье. Похоже, Паули доказал это немного раньше, хотя ничего на данную тему не опубликовал.

ДИРАК И ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА

Доказательство математической эквивалентности волновой и матричной теории, или алгебры q-чисел, развеяло все сомнения, которые Дирак еще мог испытывать по поводу нового формализма. С тех пор ученый занял очень прагматичную позицию и признал, что некоторые проблемы значительно легче решаются с помощью волновой механики.

Так, очень скоро Дирак опубликовал новую статью под названием «О теории квантовой механики», в которой впервые использовал волновую теорию и применил ее к системам тождественных частиц.

Что такое «тождественные частицы» в квантовой теории и в чем именно состоит вклад Дирака? Чтобы ответить, нам надо ненадолго вернуться в предыдущий 1925 год и задаться другим вопросом: почему мы можем объединять химические элементы в определенные группы по их химическим свойствам? Паули объяснил, что химические свойства являются следствием того, каким образом электроны располагаются на соответствующих орбитах. Каждый электрон описывается серией квантовых чисел, характеризующих волновую функцию. Эти квантовые числа определяют энергию электрона, его орбитальный момент и новое свойство, которое пришлось ввести для объяснения результатов последних опытов, — «спин» (мы подробно рассмотрим его в следующей главе). Паули сформулировал следующий принцип:

«Два электрона не могут находиться в одном квантовом состоянии, то есть они не могут иметь одну и ту же совокупность квантовых чисел».

Данный принцип объяснил, почему атомные электроны располагаются на разных орбитах, занимая только те, которые свободны. На самом деле принцип Паули позволяет понять, почему вещество является таким, какое оно есть.

Другим важным свойством квантового мира является то, что мы не можем различить тождественные частицы. В классической физике положение частицы и ее состояние движения настолько прекрасно определяются, что даже при большом количестве частиц можно узнать, какое положение занимает каждая из них. Напротив, в квантовом мире положение четко определить невозможно и, соответственно, в случае с двумя электронами (назовем их a и b) и двумя квантовыми состояниями (m и n) невозможно узнать, в каком именно состоянии находится каждый электрон. На самом деле ситуация, соответствующая электрону a в состоянии m (обозначим ее am) и электрону b в состоянии n (b_n)> имеет такую же вероятность, как и обратная комбинация, a_n,b_m. Если использовать более техническую терминологию, обе комбинации представляют одно и то же квантовое состояние и таким образом должны быть пропорциональны, с коэффициентом пропорциональности +1 или -1. Добавим, что если мы поменяем два раза подряд положение двух электронов, то полученная комбинация должна быть тождественна изначальной комбинации.

Дирак заключил из этого, что наиболее общим описанием квантового состояния должна быть линейная комбинация двух возможностей: a_mb_n ± a_nb_m. Если мы рассмотрим знак «+» и поменяем состояния тип или электроны а и 6, то получим один и тот же результат. Данное свойство называется «симметричной комбинацией». Наоборот, знак «-» соответствует антисимметричной комбинации, в которой изменение состояний и электронов означает изменение знака.

Поведение двух решений, таким образом, очень разное. Какое решение соответствует принципу запрета Паули? Дирак заключил, что единственно возможным ответом является антисимметричная комбинация. В этом случае, если два электрона окажутся в одном состоянии (то есть если m = n), полученная комбинация тождественна нулю. Иначе говоря, такого состояния не существует.

Дирак распространил свое исследование на молекулы газа, ошибочно предположив, что их можно описать как электроны с антисимметричными волновыми функциями. С помощью статистических методов он в итоге получил энергетическое распределение молекул. Кроме того, он показал, что кванты света или фотоны могут быть описаны через симметричные комбинации. В отличие от электронов, принцип запрета Паули не применялся к излучению: фотоны собирались в группы и стремились принять одинаковое состояние. Описание этого типа частиц как симметричных комбинаций привело Дирака к «статистике Бозе — Эйнштейна», появившейся несколькими годами раньше.

ДИРАК И ЭФФЕКТ КОМПТОНА

В 1916 году Эйнштейн ввел понятие «кванта света», или «фотона», обладающего определенной энергией и моментом импульса. Опыт, который наиболее очевидно показал корпускулярную природу света, был осуществлен в 1923-1924 годах американским физиком Артуром X. Комптоном (1892-1962). Параллельно Луи де Бройль высказал идею о дуалистической природе (корпускулярно-волновой) излучения. Рассеивая лучи определенной частоты графитом, он заметил, что у излучения длина волны меняется в зависимости от угла рассеивания (как показано на рисунке). Его результат противоречил классической теории излучения. Комптон объяснил изменение длины волны рассеянного излучения, рассматривая процесс как упругое столкновение фотона (частицы) и электрона графита.

Анализ Дирака

Дирак знал об опыте Комптона и решил применить свою теорию к этому явлению. Ему удалось воспроизвести изменение длины волны рассеянного излучения; кроме того, ученый, рассчитав интенсивность данного излучения, обнаружил, что его результат слегка отличался от результата Комптона 1923 года. Его работа, опубликованная в конце апреля 1926 года, была восторженно встречена в сообществе физиков. Однако слишком лаконичный стиль письма Дирака, а также трудный математический язык сделали его труды практически не поддающимися расшифровке для большинства коллег. Дирак понял и указал: его вычисления различаются с данными Комптона, и из этой разницы «следует, что абсолютная величина показателей Комптона на самом деле примерно на 25% меньше». Почти сразу после публикации статьи Комптон сообщил в письме Дираку: новые опыты, осуществленные в университете Чикаго, полностью подтвердили его теорию.

СТАТИСТИКА ФЕРМИ — ДИРАКА

Дирак опубликовал свою статью в августе 1926 года, вскоре после того, как Гейзенберг закончил похожее исследование атома гелия. Сразу же после выхода статьи Дирак получил письмо от итальянского физика Энрико Ферми, в котором были такие слова:

«В своей недавней работе Вы развили теорию идеального газа, основываясь на принципе запрета Паули. Я хотел бы привлечь Ваше внимание к похожей статье, которую я опубликовал в начале 1926 года».

Ситуация была достаточно неловкой для Дирака, который тут же извинился перед Ферми, признав, что видел его работу, но в то время не обратил на нее должного внимания:

«Когда я читал работу Ферми, я не смог оценить должным образом ее значение в связи с основными проблемами квантовой механики, которые меня интересовали. Во время написания собственной статьи об ассиметричных волновых функциях я просто забыл о его работе».

На рисунке изображено поведение бозонов (слева) и фермионов (справа). Все бозоны (целый спин) стремятся занять состояние минимальной энергии. Фермионы (полуцелый спин) подчиняются принципу запрета Паули и не могут занимать состояния, имеющие те же квантовые числа.