Вечность

Каким бы простым этот пример ни казался, у шахматной доски A много общего с реальным миром. Например, обратите внимание на то, что в найденном нами шаблоне различаются «время» (направление вверх по столбцам) и «пространство» (горизонтальное направление вдоль строк). Различие между ними состоит в том, что в строке может произойти все что угодно; насколько мы можем судить, наличие информации о состоянии одного конкретного квадратика не позволяет сделать никаких выводов о состоянии соседних. Аналогичным образом, в реальном мире мы также можем стартовать с любой произвольной конфигурации вещества в пространстве и предсказать, что с этой конфигурацией будет происходить с течением времени, руководствуясь «законами физики». Если у нас на коленях сидит кошка, то мы можем быть уверены, что и мгновение спустя она будет где-то неподалеку. Тем не менее наличие информации о присутствии рядом кошки не позволяет получить никакого представления о том, что еще есть в той комнате, где мы находимся.

Предположим, мы решили с нуля построить новую Вселенную. Кто сказал, что в нашем творении между временем и пространством обязательно должно существовать различие такого рода? Вполне возможно вообразить такой мир, в котором вещи от момента к моменту будут меняться настолько же резко и непредсказуемо, как от места к месту. Однако в той Вселенной, где живем мы с вами, данное различие действительно существует. Понятие времени, с ходом которого вещи во Вселенной эволюционируют, не является логически неотъемлемой частью мира; это всего лишь идея, которая внезапно оказывается весьма удобной для размышлений о реальности, в которой мы живем.

Мы описали правило, действующее на шахматной доске A, так: «если взять любой произвольный столбец, то все квадратики в нем будут находиться в одном и том же состоянии». Это глобальное описание, распространяющееся сразу же на весь столбец. Мы могли бы перефразировать его, сделав более локальным, чтобы можно было взять любую строку («момент во времени») и с помощью правила восстановить все остальные строки сверху или снизу. Например, таким способом: «если мы знаем состояние любого конкретного квадратика, то мы также знаем, что квадратик прямо над ним находится точно в таком же состоянии». Другими словами, мы описали шаблон в терминах развития с течением времени и теперь можем, начиная с какого-то конкретного состояния в какой-то конкретный момент времени, продвигаться вперед (или назад), восстанавливая состояние одной строки за раз. Это традиционный способ применения законов физики к реальному миру, как показано на рис. 7.3. Расскажите о состоянии всего мира (скажем, о положении и скорости каждой частицы во Вселенной) в определенный момент времени, и законы физики услужливо сообщат, каким мир станет мгновение спустя.[112] Повторяя процесс, можно построить полную картину будущего. А как насчет прошлого?

Ставя время с ног на голову

Для мира, существующего только в нашем воображении, шахматная доска уж слишком однообразна и ограниченна. Невозможно представить, чтобы эти маленькие квадратики могли закатить вечеринку или написать эпическую поэму. Тем не менее если бы на шахматных досках жили физики, то они нашли бы, что обсудить после формулировки законов временной эволюции.

Физика шахматной доски A обладает определенной степенью симметрии, например инвариантностью относительно сдвига по времени. Это означает, что законы физики не меняются во времени от момента к моменту. Мы можем сместить точку наблюдения вперед или назад во времени (вверх или вниз по столбцам), но правило «квадратик прямо над текущим находится точно в таком же состоянии» продолжит выполняться.[113] Симметрии так и работают: вы что-то делаете, но это ничего не меняет — правила продолжают действовать, как и раньше. Мы уже говорили о том, что реальный мир также инвариантен относительно сдвига по времени: с течением времени законы физики не меняются.

Кроме того, на шахматной доске A можно заметить еще один вид симметрии — инвариантность относительно обращения времени. Смысл такого вида симметрии очевиден: мы заставляем время идти в обратную сторону и наблюдаем за происходящим. Если результат «выглядит точно так же» — то есть создается впечатление, что «перевернутая» система подчиняется тем же законам физики, что и первоначальная расстановка, — то мы говорим, что действующие в системе правила инвариантны относительно обращения времени. Для того чтобы проверить это на шахматной доске, нужно зеркально отразить ее, выбрав осью симметрии какую-нибудь строку. При условии, что действующие на шахматной доске правила также инвариантны относительно сдвига по времени, совершенно неважно, какую строку мы выберем, так как они все равны. Если правила, с помощью которых мы описывали исходную расстановку, так же действуют в новом шаблоне, то можно утверждать, что шахматная доска инвариантна относительно обращения времени. Очевидно, что образец A, в котором каждый столбец содержит квадратики только одного цвета, обладает данным типом инвариантности: отраженный шаблон не только подчиняется тем же правилам, он еще и стопроцентно совпадает с исходным.

Для того чтобы лучше прочувствовать идею, давайте рассмотрим более интересный пример. На рис. 7.4 показан еще один мир шахматной доски, обозначенный B. Теперь мы видим два разных шаблона размещения серых квадратиков: диагональные линии, идущие в обоих направлениях (получившийся рисунок немного напоминает световые конусы, не правда ли?). И снова мы можем описать получившуюся схему размещения серых и белых квадратиков в терминах развития от одного момента времени к следующему. Нужно только не забывать о том, что в каждой конкретной строке нам недостаточно отслеживать цвет одного-единственного квадратика. Мы обязаны следить за тем, какие типы диагональных линий из серых квадратиков проходят через эту точку (и проходят ли вообще). Каждую клетку можно пометить одним из четырех состояний: «белая», «диагональная линия серых квадратиков проходит вверх и вправо», «диагональная линия серых квадратиков проходит вверх и влево», «диагональная линия серых квадратиков проходит в обе стороны». Если мы опишем любую произвольную строку всего лишь как последовательность нулей и единиц, этого будет недостаточно, чтобы понять, как будет выглядеть следующая строка.[114] Все выглядит так, будто мы обнаружили в рассматриваемой Вселенной два типа «частиц»: одни движутся всегда только налево, а другие — только направо, причем частицы разных типов никак не взаимодействуют между собой и не влияют друг на друга.

Рис. 7.4. Шахматная доска B (слева) характеризуется чуть более сложной динамикой, чем шахматная доска A: в этом примере диагональные линии, состоящие из серых квадратиков, следуют в обоих направлениях. Шахматная доска B' (справа) иллюстрирует результат обращения времени на доске B относительно центральной строки

Что произойдет с шахматной доской B, если мы поменяем направление времени на обратное? Суть этого шахматного мира останется прежней, однако фактическое расположение белых и серых квадратиков, разумеется, изменится (в отличие от шахматной доски A, где вне зависимости от направления времени мы получали один и тот же набор белых и серых клеток). На второй панели рис. 7.4, обозначенной B', показан результат зеркального отражения относительно одной из строк шахматной доски B. В частности, диагональные линии, проходившие из левого нижнего угла в правый верхний, теперь протянулись из левого верхнего в правый нижний, и наоборот.

Инвариантен ли мир шахматной доски из примера B относительно обращения времени? Определенно, это так. Пусть изменение направления времени относительно произвольно выбранной строки и меняет индивидуальное распределение белых и серых клеток — это не важно. Важно то, что неизменными остаются «законы физики», то есть правила, которым подчиняются схемы закрашивания квадратиков. В исходном примере B, до изменения направления времени, правила гласили, что существуют два типа диагональных линий, содержащих серые клетки. То же самое верно и для B'. И пусть два типа линий обмениваются личинами; это не отменяет того факта, что как в состоянии «до», так и в состоянии «после» мы наблюдаем одни и те же два типа линий. Таким образом, воображаемые физики из мира шахматной доски B объявили бы, что законы природы инвариантны относительно изменения направления времени.

В Зазеркалье

Ну что, рассмотрим еще один мир шахматной доски? Теперь это будет шахматная доска C, показанная на рис. 7.5. И снова действующие в этом мире правила кажутся довольно простыми: мы видим только диагональные линии, протянувшиеся из левого нижнего угла в правый верхний. Попробуем сформулировать правило «предсказания будущего» в терминах пошагового развития: «если мы знаем состояние любого конкретного квадратика, то мы также знаем, что квадратик на один шаг выше и правее него находится в том же самом состоянии». Определенно, данное правило инвариантно относительно переноса во времени, так как результат его применения абсолютно не зависит от того, с какой строки мы начнем.

Рис. 7.5. В шахматном мире C присутствуют только диагональные линии серых квадратиков, идущие из левого нижнего угла в правый верхний. Если изменить направление времени на противоположное, то мы получим картинку C', на которой нет ничего, кроме диагональных линий из правого нижнего угла в левый верхний. Строго говоря, шахматная доска C не инвариантна относительно изменения направления времени — она инвариантна относительно одновременного отражения в пространстве и во времени

Если изменить направление времени на шахматной доске C на противоположное, то мы получим конфигурацию, показанную на рис. 7.5 на доске C'. Очевидно, что эта ситуация отличается от ситуации с B и B'. Правила, которым подчиняются клетки на доске C', отличаются от правил на доске C: вместо диагональных линий, идущих из левого нижнего угла в правый верхний, мы теперь видим линии, идущие в другую сторону. Физики, живущие в мирах C и C', сказали бы, что наблюдаемые ими законы природы не обладают симметрией относительно обращения времени. Мы безошибочно различаем направления «вперед во времени» и «назад во времени»: «вперед» — это то направление, в котором диагональные линии движутся вправо. Какое направление назначить «будущим» — решать нам, но как только выбор сделан, «прошлое» и «будущее» идентифицируются однозначно.

Однако это еще не конец истории. Хотя шахматная доска C, строго говоря, не инвариантна относительно изменения направления времени (в том смысле, как мы его определили), что-то «обратимое» в этом мире все же должно быть. Давайте попробуем понять — что.

Помимо обращения времени, мы также могли бы рассмотреть вариант «обращения» пространства. Для этого нам нужно отразить шахматную доску по горизонтали относительно какого-то столбца. В реальном мире мы получаем аналогичный результат, когда смотримся в зеркало, так что обращением пространства в данном случае можно считать обычное зеркальное отражение. В физике это обычно называют преобразованием четности, которое получается при одновременном обращении всех трех пространственных осей, а не одной (как на шахматной доске). Давайте тоже будем использовать этот термин, чтобы у нас была возможность при необходимости сойти за настоящих физиков.

Очевидно, что наша исходная шахматная доска A инвариантна относительно преобразования четности: те правила поведения, которые мы на ней обнаружили, выполняются даже после горизонтального зеркального отражения. В то же время на шахматной доске C мы сталкиваемся с ситуацией, аналогичной той, которую мы получали, когда меняли направление времени на противоположное: четность — это не симметрия. Меняя «лево» на «право», мы превращаем мир с диагоналями «только вверх и вправо» в мир с диагоналями «только вверх и влево».

Тем не менее почему бы нам не взять шахматную доску C и не обратить сразу и время и пространство? В получившемся мире будут действовать те же правила, с которых все началось. При обращении времени первый тип диагоналей превращается во второй, а отражение в пространстве восстанавливает исходную картинку. Все встает на свои места, а этот эксперимент иллюстрирует одну важную особенность изменения направления времени в фундаментальной физике: очень часто бывает так, что определенная физическая теория не инвариантна относительно «наивного инвертирования времени», при котором меняется лишь направление времени и больше ничего. Однако та же самая теория может быть инвариантной относительно некоторого правильно обобщенного преобразования симметрии, которое не ограничивается лишь обращением времени, а включает какие-то дополнительные преобразования. В реальном мире это происходит по весьма изощренному сценарию, который в изложении некоторых авторов учебников по физике становится еще сложнее и запутаннее. Итак, давайте оставим наш дискретный мир шахматных досок и бросим взгляд на настоящую Вселенную.

Адрес состояния системы

В теориях, которые используются физиками для описания реального мира, присутствует общее базовое понятие состояния, которое «развивается с течением времени». Это касается как классической механики, сформулированной Ньютоном, так и общей теории относительности и квантовой механики, и даже квантовой теории поля и стандартной модели в физике элементарных частиц. На любой из наших шахматных досок состоянием является горизонтальная строка квадратиков, каждый из которых окрашен в белый или серый цвет (и, возможно, несет какую-то дополнительную информацию). В зависимости от подхода к физике реального мира определение состояния может меняться. Однако каким бы оно ни было, мы можем задавать одни и те же вопросы об изменении направления времени и других возможных симметриях нашего мира.

«Состояние» физической системы — это «полный набор информации о системе в определенный момент времени, которая достаточна для описания ее дальнейшего развития[115] с учетом законов физики». Если точнее, то данное определение распространяется только на изолированные системы, то есть системы, не подверженные влиянию непредсказуемых внешних сил (в ситуации с предсказуемыми внешними силами мы можем просто-напросто объявить их частью «законов физики», действующих на данную систему). Таким образом, мы можем рассуждать как обо всей Вселенной, которая предполагается изолированной, так и о каком-то космическом корабле, находящемся на достаточном удалении от любых планет или звезд.

Рассмотрим для начала классическую механику — мир сэра Исаака Ньютона.[116] Что нам нужно знать, чтобы предсказать будущее системы в ньютоновской механике? Выше я уже упоминал об этом: нам потребуются положения и скорости всех элементов системы. Однако не будем торопиться, а попробуем прийти к этому ответу постепенно, шаг за шагом.

Когда кто-то упоминает ньютоновскую механику, можно не сомневаться — дело закончится игрой в бильярд.[117] Но давайте представим себе новый вариант игры — не тот традиционный бильярд с восемью шарами, а нечто уникальное. Свое гипотетическое развлечение с бильярдными шарами мы назовем бильярдом физиков. В попытке избавиться от излишних усложнений и добраться до сути вещей физики выдумывают игры, в которых нет ни шума, ни трения: идеально круглые сферы катаются по столу и отталкиваются друг от друга, не теряя ни капли энергии. Настоящие бильярдные шары ведут себя совершенно по-другому — каждому столкновению сопутствуют звук удара и рассеяние определенного количества энергии. Это наглядное проявление работы стрелы времени: шум и трение создают энтропию. Мы же на мгновение отбросим подобные сложности.

Для начала вообразим один-единственный бильярдный шар, катающийся по столу (распространить правила игры сразу на несколько шаров будет совсем нетрудно). Мы считаем, что он никогда не теряет энергию и, наталкиваясь на бортик, просто отскакивает. В целях нашей задачи «идеальный отскок» будет частью «физических законов» данной замкнутой системы — бильярдного шара. Так что же можно считать состоянием этого единственного шара?

На первый взгляд кажется, что логично считать состоянием шара в любой момент времени его положение на столе. В конце концов, если сделать фотографию стола, то что мы увидим? Место, где в тот момент находился шар. Однако выше мы определили состояние как полную информацию, требуемую для предсказания движения системы; очевидно, что одного лишь положения нам недостаточно. Если я скажу, что шар находится точно в центре стола (и больше ничего), и попрошу вас предсказать, где он окажется секундой позже, то вы не сможете дать мне точный ответ, ведь вам неизвестно, в какую сторону шар катился.

Разумеется, для предсказания движения шара на основании информации, имеющейся в наличии в конкретный момент времени, нам нужно знать как положение, так и скорость объекта. Говоря «состояние шара», мы имеем в виду его положение и скорость и — обратите внимание! — ничего более. Нам неважно, например, с каким ускорением шар катится, какое сейчас время суток, чем шар позавтракал в этот день и что еще происходит в его внутреннем мире.

Для описания движения частиц в классической механике вместо скорости часто используют такое понятие, как импульс. История данного понятия восходит к тысячному году и связана с величайшим персидским философом Ибн Синой (в латинизированном написании Авиценна). Он предложил теорию движения, в которой «влечение» — произведение массы и скорости — остается в отсутствие внешних воздействий постоянным. Импульс сообщает нам, какой энергией обладает объект и в каком направлении он движется.[118] В ньютоновской механике импульс равен произведению массы на скорость, а в теории относительности формула слегка модифицируется с учетом того, что с приближением скорости объекта к скорости света его импульс возрастает до бесконечности. Если вам известен импульс объекта с фиксированной массой, то вы знаете его скорость, и наоборот. Следовательно, определить состояние любой частицы можно, указав ее положение и импульс.

Рис. 7.6. Одинокий бильярдный шар, катающийся по столу без трения. Показаны состояния в три разных момента времени. Стрелочки обозначают импульс шара; он остается постоянным до тех пор, пока шар не отскочит от бортика

Зная положение и импульс бильярдного шара, вы можете полностью предсказать всю траекторию, по которой он будет следовать, катаясь по столу. Пока шар свободно катится, не касаясь стенок, импульс остается постоянным; меняется лишь положение шара вдоль прямой линии, и происходит это с постоянной скоростью. Когда шар врезается в бортик, импульс мгновенно отражается относительно линии бортика, после чего шар продолжает движение с постоянной скоростью, то есть он отскакивает. Я описываю простые вещи сложными словами, но это необходимо.

Вся суть ньютоновской механики в этом и заключается. Если по одному и тому же столу катается много шаров, то полное состояние системы представляет собой всего лишь набор положений и импульсов каждого из них. Скажем, состояние Солнечной системы — это положения и импульсы всех планет, а также Солнца. Или же, если вам хочется большей детальности и реалистичности, — то это положения и импульсы всех частиц, из которых состоят эти объекты. А состояние вашего парня или девушки включает описание положения и импульса каждого атома его или ее тела. Правила классической механики позволяют однозначно предсказать, по какому пути пойдет развитие системы, опираясь лишь на информацию о ее текущем состоянии. После того как вы составили нужный список, дело берет в свои руки демон Лапласа, и исход предопределен. Однако вы не столь умны, как демон Лапласа, и у вас нет доступа к такому объему информации, поэтому парни и девушки навсегда останутся загадками. Кроме того, они представляют собой открытые системы, так что в любом случае вам потребовалась бы также информация и обо всем остальном мире.

Во многих ситуациях удобно рассуждать обо «всех потенциально возможных состояниях системы», называемых пространством состояний системы. Обратите внимание на то, что слово «пространство» употребляется в двух, казалось бы, совершенно разных смыслах. У нас есть пространство — физическая арена, на которой происходит движение реальных объектов во Вселенной, а также абстрактное понятие пространства как математического набора объектов (это почти то же самое, что и «множество», но с возможностью существования некой дополнительной структуры). Пространство состояний — это пространство, способное принимать разные формы в зависимости от рассматриваемых физических законов.

В ньютоновской механике пространство состояний называется фазовым пространством, хотя причины такого именования не до конца ясны. Это всего лишь набор всех возможных положений и импульсов всех присутствующих в системе объектов. В мире шахматных досок пространство состояний состоит из всевозможных последовательностей белых и серых квадратиков в одной строке, а также может включать некоторую дополнительную информацию в точках, где пересекаются диагональные линии. Когда мы окунемся в квантовую механику, то столкнемся с пространством состояний, состоящим из всех возможных волновых функций, описывающих квантовую систему; на техническом языке это называется гильбертовым пространством. В любой уважающей себя физической теории присутствует пространство состояний и правила, описывающие эволюцию конкретных состояний с течением времени.

У пространства состояний может быть громадное количество измерений, даже если обычное пространство всего лишь трехмерное. В этом контексте под измерением понимается «число, необходимое для фиксации точки в пространстве». В пространстве состояний есть по одному измерению для каждой компоненты положения и по одному измерению для каждой компоненты импульса для каждой частицы в системе. Если мы говорим о бильярдном шаре, катающемся по плоскому двумерному столу, то нам требуется два числа для описания его положения (так как сам стол двумерный) и два числа для описания его импульса (величины и направления). Таким образом, пространство состояний одного бильярдного шара, привязанного к двумерному столу, четырехмерное: два числа для положения, два для импульса.

Рис. 7.7. Два шара на бильярдном столе и соответствующее пространство состояний. Для обозначения положения каждого шара на столе требуется два числа, и еще два числа описывают его импульс. Полное состояние двух частиц представляет собой точку в восьмимерном пространстве (справа). Мы не можем нарисовать восемь измерений, так что постарайтесь вообразить, что они там действительно присутствуют. Каждый дополнительный шар добавляет к пространству состояний четыре измерения

Если бы на столе было девять шаров, то нам потребовалось бы по два числа на положение каждого шара и по два на их импульсы — итого тридцать шесть измерений фазового пространства. Число измерений, требующихся для описания импульса и положения, всегда совпадает, так как в реальном пространстве вдоль каждой из осей пространства направлено по одной компоненте импульса. Если рассмотреть случай бейсбольного мяча, летящего в воздухе, что эквивалентно задаче об одной частице, свободно движущейся в трехмерном пространстве, то пространство состояний для него будет шестимерным. Для 1000 частиц оно будет 6000-мерным.

В реалистичных задачах пространство состояний чрезвычайно велико. Настоящий бильярдный шар состоит примерно из 1025 атомов, а пространство состояний представляет собой список положений и импульсов каждого из них. Вместо того чтобы рассматривать эволюцию всех этих атомов, движущихся сквозь трехмерное пространство со своими импульсами, мы можем с равным успехом говорить о движении всей системы целиком как об одной точке (состоянии), движущейся сквозь пространство состояний с громадным количеством измерений. Это кардинальный способ перепаковки огромного объема информации в другую форму; нисколько не упрощая описание (мы всего лишь подменили огромное количество частиц огромным количеством измерений), он позволяет взглянуть на вещи с новой точки зрения.

Ньютоновская механика инвариантна относительно выбора направления времени. Если вы снимете фильм о том, как наш одинокий бильярдный шар катается по зеленому фетру и отскакивает от бортиков стола, то ни один зритель не сможет сказать, смотрит он эту пленку в прямом или в обратном воспроизведении. В обоих случаях на экране происходит одно и то же: шар катится по прямой линии с постоянной скоростью до тех пор, пока не врежется в бортик и не отскочит от него.

Однако это далеко не конец истории. В нашем шахматном мире мы определили инвариантность относительно обращения времени как идею о том, что последовательность состояний системы можно отразить во времени, и результат все так же будет подчиняться сформулированным для этого мира законам физики. На шахматной доске состоянием является строка белых и серых квадратиков; для бильярдного шара это точка в пространстве состояний, задающая положение и импульс шара.

Взгляните на первую часть траектории шара на рис. 7.6. Шар равномерно и прямолинейно катится вверх и вправо, величина его импульса остается постоянной, и направлен импульс также вверх и вправо. Если зеркально отразить происходящее во времени, то мы получим последовательность положений шара, движущегося из верхней правой области стола в нижнюю левую, а также набор одинаковых импульсов, указывающих вверх и вправо. Но это какое-то безумие. Если шар катится вдоль траектории с обратным направлением времени — сверху и справа вниз и влево, то и направление его импульса должно совпадать с направлением скорости. Очевидно, что самый простой рецепт — взять исходный набор состояний, упорядоченный во времени, и воспроизвести его в неизменном виде в обратную сторону — не работает. Получившаяся траектория не отвечает законам физики. (Совершенно очевидно, что импульс никак не может быть направлен в сторону, противоположную направлению скорости, ведь он равен произведению скорости и массы![119])

Эта дилемма хоть и кажется неразрешимой, в действительности довольно проста. В классической механике мы можем определить операцию обращения времени не просто как воспроизведение исходного набора состояний в обратную сторону, но как составную операцию, включающую изменение направления импульсов на противоположное. И тогда действительно классическая механика окажется идеально инвариантной относительно обращения времени. Если вы предоставите мне описание эволюции системы с течением времени, включающее положения и импульсы каждой ее части в каждый момент времени, то я смогу развернуть эти импульсы в обратную сторону, воспроизвести последовательность в обратном порядке и получить новую траекторию, которая также будет представлять собой правильное решение ньютоновских уравнений движения.

Это более или менее отвечает здравому смыслу. Возьмем планету, вращающуюся вокруг Солнца. Предположим, что вам стало интересно, как этот процесс будет выглядеть в «обратной перемотке», — вы мысленно меняете направление течения времени, и теперь планета движется по той же орбите, но в обратную сторону. Наблюдая эту картину в течение какого-то времени, вы приходите к выводу, что все выглядит вполне достоверно. Это происходит потому, что ваш мозг автоматически меняет направление импульса на противоположное, — вам даже не приходится задумываться об этом, в вашем воображении планета совершенно естественным образом движется в обратную сторону. Мы не придаем этому большого значения, потому что не можем увидеть импульс так же, как видим положение. Тем не менее это такая же важная часть состояния любой системы, как и положение входящих в нее частиц.

Следовательно, нельзя говорить, что ньютоновская механика инвариантна относительно самого тривиального определения обращения времени: взять упорядоченную по времени допустимую последовательность состояний, поменять порядок их следования на обратный и посмотреть, будет ли новая последовательность отвечать действующим законам физики. При этом никого это особо не волнует. Мы просто даем более усовершенствованное определение: в этой упорядоченной во времени допустимой последовательности состояний нужно преобразовать каждое индивидуальное состояние некоторым простым, но конкретным способом и только после этого менять порядок следования состояний на обратный. Под «преобразованием» мы понимаем всего лишь изменение каждого состояния согласно заранее согласованному правилу; в случае ньютоновской механики требуемой трансформацией будет «изменение направления импульса на обратное». Если мы найдем достаточно простой способ преобразования отдельных состояний, обеспечивающий соблюдение законов физики даже после обращения времени, то сможем с гордостью объявить, что эти законы инварианты относительно изменения направления времени.

Это заставляет вспомнить (по крайней мере должно заставлять, если мой план удался) диагональные линии с шахматной доски C. Там мы обнаружили, что показанный на панели C' результат простого зеркального отражения упорядоченной по времени последовательности состояний не отвечает правилам исходного шаблона. Следовательно, шахматная доска C не допускает тривиального обращения времени. При этом если сначала отразить шахматную доску по горизонтали и только после этого поменять направление времени, то результат будет удовлетворять первоначальным правилам. Таким образом, в этом мире существует хорошо определенная процедура преобразования индивидуальных состояний (строк, состоящих из квадратиков), показывающая, что шахматная доска C инвариантна относительно обращения времени, но в более изощренном смысле.

Понятие об обращении времени, включающее преобразование состояний в дополнение к непосредственному изменению направления времени, может вызывать сомнения, но физики постоянно занимаются чем-то подобным. Например, в теории электричества и магнетизма при обращении времени электрическое поле остается неизменным, а направление магнитного поля меняется. Это всего лишь часть требуемого преобразования; прежде чем пускать время в обратную сторону, изменениям должны быть подвергнуты как магнитное поле, так и импульс.[120]

Урок, который мы должны извлечь из всего этого, заключается в следующем. Фраза «данная теория инвариантна относительно обращения времени» не означает «можно только лишь поменять направление времени, и теория как работала, так и продолжит работать». На самом деле все немного сложнее: нужно каким-то простым способом преобразовать состояние в каждый момент времени, а потом уже менять направление времени, и тогда теория продолжит работать, как раньше. Очевидно, что выражения типа «каким-то простым способом» в определениях фундаментальных физических понятий несколько подрывают их авторитет. Кто вправе судить, что можно считать достаточно «простым», а что нет?

В действительности это не так уж важно. Если существует какое-то преобразование, которое можно применить к состоянию некой системы в каждой момент времени так, чтобы движение «назад во времени» подчинялось исходным физическим законам, вы можете смело объявлять это инвариантностью относительно изменения направления времени. Или другим видом симметрии, связанным с обращением времени, но не в точности равным ему. Название не играет роли; важно лишь понимание всевозможных симметрий и того, соблюдаются они рассматриваемыми законами или нет. В стандартной модели физики элементарных частиц действительно существует преобразование состояний, после которого они могут быть «прокручены назад во времени» так, чтобы исходные уравнения движения по-прежнему соблюдались. Но физики предпочитают не называть это «инвариантностью относительно изменения направления времени». Давайте посмотрим, как это работает.

Запуск частиц в обратном направлении

Элементарные частицы не слишком-то хорошо соблюдают постулаты классической механики: они живут по правилам квантовой механики. Тем не менее основополагающий принцип остается неизменным: существуют такие преобразования, что после изменения направления времени на обратное и применения этих трансформаций мы все так же получаем верное решение в исходной теории. Часто можно услышать, что элементарные частицы не инвариантны относительно отражения времени, и периодически высказываются даже не слишком тонкие намеки на то, что это связано со стрелой времени. Но это ложный след. Поведение элементарных частиц в условиях «обратного» времени никакого отношения к стреле времени не имеет, что, однако, вовсе не делает ее менее интересным объектом для исследований.

Давайте попробуем вообразить эксперимент, позволяющий понять, действительно ли физика элементарных частиц инвариантна относительно обращения времени. Для этого нам нужно взять какой-либо процесс, включающий элементарные частицы, и прокрутить его в обратном направлении. Например, две частицы могут взаимодействовать друг с другом с образованием других частиц (как в ускорителе), или же одна частица может распадаться на несколько других. Если продолжительность «прямого» процесса будет отличаться от продолжительности «обратного», это станет доказательством отсутствия инвариантности.

Атомные ядра состоят из нейтронов и протонов, которые в свою очередь состоят из кварков. Нейтроны остаются стабильными только в окружении протонов и других нейтронов, образующих ядро, а оказавшись в одиночестве, они распадаются в течение нескольких минут (будучи частицами с тонкой душевной организацией, они не могут жить без внимания окружающих). Нейтрон распадается на комбинацию из протона, электрона и нейтрино (очень легкая нейтральная частица).[121] С теоретической точки зрения нет ничего сложного в том, чтобы сконструировать обратный процесс: нужно всего лишь выстрелить протоном, электроном и нейтрино в одну точку на правильной скорости и дождаться результата. Проблема, однако, состоит в том, что даже если подобное взаимодействие и позволило бы получить какие-нибудь новые интересные знания об обращении времени, реализовать это на практике невозможно. Никому не под силу поместить протон, электрон и нейтрино в такие положения и заставить вести себя так, чтобы полностью воспроизвести картину распада нейтрона в обратном направлении.

Рис. 7.8. Нейтральный каон и нейтральный антикаон. Поскольку оба обладают нулевым электрическим зарядом и суммарное кварковое число в них также равно нулю, каон и антикаон могут осциллировать друг в друга, оставаясь при этом разными частицами

Однако не всегда все так печально. В физике элементарных частиц встречаются специфические случаи, когда одиночная частица «распадается» в другую одиночную частицу, которая затем также может «распасться» обратно в исходную. В действительности это, конечно, нельзя называть распадом, поскольку в процесс вовлечена только одна частица. Такие процессы называются осцилляциями. Очевидно, что осцилляции могут происходить только в весьма специфических обстоятельствах. Например, протон не может осциллировать в нейтрон: их электрические заряды отличаются. Две частицы могут осциллировать друг в друга только в том случае, если они обладают одинаковым электрическим зарядом, одинаковым числом кварков и одинаковой массой, так как при осцилляции не может исчезать или увеличиваться энергия. Обратите внимание на то, что кварк и антикварк — это не одно и то же, и, следовательно, нейтроны не будут осциллировать в антинейтроны. В сущности, нас интересуют две практически одинаковые частицы, различия между которыми минимальны.

Природа предоставляет нам идеального кандидата для таких осцилляций: нейтральный каон. Каон относится к типу мезонов, и это означает, что он состоит из одного кварка и одного антикварка. Если мы хотим, чтобы частица состояла из кварков разных типов с нулевым суммарным зарядом, то проще всего сделать ее из одного нижнего (d)-кварка и одного странного (s) антикварка, или наоборот.[122] Систему из нижнего кварка и странного антикварка принято называть «нейтральным каоном», а систему из странного кварка и нижнего антикварка — «нейтральным антикаоном». Массы этих частиц абсолютно одинаковы и составляют около половины массы протона или нейтрона. Вполне естественно ожидать, что между каонами и антикаонами возникают осцилляции, и действительно: изучение осцилляций именно этих частиц стало уже чем-то вроде промышленной отрасли в экспериментальной физике элементарных частиц. (Существуют также каоны, обладающие электрическим зарядом. Такой каон состоит из верхнего (u) кварка и странного кварка и для наших целей совершенно бесполезен. Даже если в дальнейшем обсуждении для простоты формулировок мы будем опускать слово «нейтральный», говорить мы все же будем именно о нейтральных каонах.)

Итак, нам нужно сделать несколько каонов и антикаонов, чтобы понаблюдать, как они будут осциллировать друг в друга. Если инвариантность относительно отражения времени отсутствует, то в одну сторону процесс будет идти дольше, чем в другую; в результате в нашем наборе частиц будет в среднем немного больше каонов, чем антикаонов (или наоборот). К сожалению, на самих частицах мы не найдем маленьких меточек, сообщающих, с каким типом каонов мы имеем дело. Зато в конечном счете они полностью распадутся и образуют совершенно новые частицы: каон распадается на пион с отрицательным зарядом, антиэлектрон и нейтрино, а антикаон — на пион с положительным зарядом, электрон и антинейтрино. Если оценить, насколько часто один тип распада происходит по сравнению с другим, то можно понять, в какой форме первоначальные частицы пребывали дольше — в форме каона или антикаона.

Несмотря на то что теоретические предсказания были получены уже достаточно давно, соответствующий эксперимент CPLEAR провели в лаборатории CERN в Женеве (Швейцария) лишь в 1998 году.[123] Ученые обнаружили, что создаваемый ими пучок частиц, совершающий осцилляции между каонами и антикаонами, немного чаще (примерно на две трети процента) распадался как каон, чем как антикаон, то есть частицы в осциллирующем пучке чуть дольше пребывали в состоянии каонов, чем антикаонов. Другими словами, процесс превращения каона в антикаон занимал немного больше времени, чем обратный процесс перехода антикаона в каон. Таким образом, в реальном мире направление времени в физике элементарных частиц не симметрично.

По крайней мере, это справедливо для «бесхитростного» обращения времени, как мы определили его выше. Можно ли в мире элементарных частиц использовать какие-либо дополнительные преобразования, чтобы в результате добиться инвариантности относительно обращения времени? Ответ положительный, и сейчас мы обсудим это подробнее.

Три отражения природы

Если пристальнее всмотреться в принципы работы физики элементарных частиц, то выяснится, что существует три типа возможных симметрий, включающих «обращение» физического свойства, и каждое из них обозначено своей заглавной буквой. Инверсия времени T меняет местами прошлое и будущее. Четность P обозначает замену «право» на «лево», и наоборот. Мы уже обсуждали четность в контексте миров шахматных досок, но это понятие точно так же распространяется и на реальный трехмерный мир. Наконец, существует «зарядовое сопряжение» C — на самом деле это просто модное название для процесса замены частиц на античастицы. Преобразования C, P и T обладают одним общим свойством: если повторить любое из них два раза подряд, то вы вернетесь к исходному состоянию.

В принципе, можно представить себе набор физических законов, инвариантный относительно каждого из перечисленных преобразований в отдельности, и на первый взгляд кажется, что так и обстоит дело в нашем мире (главное, не копать слишком глубоко, например, изучая распад нейтральных каонов). Если создать атом антиводорода из антипротона и антиэлектрона, то он будет обладать почти такими же свойствами, как и обычный атом водорода, за исключением того, что при соприкосновении с атомом обычного водорода эти элементы проаннигилируют, оставив после себя лишь излучение. Таким образом, преобразование C создает впечатление симметрии нашего мира, так же как P и T.

В результате, когда в 1950-х годах американские физики китайского происхождения Чжэндао Ли, Чжэньнин Янг и Цзяньсюн Ву показали, что одно из преобразований — четность — не является симметрией природы, для многих это стало огромным сюрпризом. Мысль о возможном нарушении инвариантности относительно четности витала в воздухе уже довольно давно. Об этом говорили разные люди, но всерьез такую возможность никто не рассматривал. В физике авторство открытия приписывается не тому, кто случайно высказывает предположение, а тому, кто подходит к этому предположению с достаточно основательных позиций, чтобы взять его в работу и превратить в солидную теорию или убедительный эксперимент. В случае нарушения принципа четности именно Ли и Янг сели и выполнили тщательный анализ проблемы. Они поняли, что существует множество экспериментальных доказательств того, что электромагнетизм и сильное взаимодействие инвариантны относительно P, однако что касается слабого взаимодействия, вопрос оставался открытым.

Ли и Янг предложили несколько путей поиска доказательств нарушения четности при слабом взаимодействии. В конце концов они убедили Ву — физика-экспериментатора, специализирующуюся на слабых взаимодействиях, и коллегу Ли по Колумбийскому университету, что на этот проект стоит потратить время и силы. Ву пригласила физиков из Национального бюро стандартов США присоединиться к ней для проведения эксперимента над атомами кобальта-60 в магнитных полях при очень низких температурах.

В ходе подготовки к эксперименту Ву убедилась в том, что этот проект имеет фундаментальную значимость. Позднее в своих воспоминаниях она живо описывала свои ощущения от участия в важнейшем событии научного мира:

После визита профессора Ли я глубоко задумалась. Для физика, изучающего бета-распад, это было великолепной возможностью провести решающий эксперимент, и, конечно же, я не могла ее упустить. Той весной мы с моим мужем Чиа-Лью Юань планировали посетить конференцию в Женеве, а затем отправиться на Дальний Восток. Мы оба покинули Китай в 1936 году, ровно двадцать лет назад. Билеты на рейс Королевы Елизаветы были уже забронированы, но внезапно я осознала, что обязана провести эксперимент немедленно, до того как его значимость станет очевидной физическому сообществу и кто-нибудь меня опередит. Поэтому я попросила Чиа-Лью позволить мне остаться и отправиться в поездку без меня.

Сразу же по завершении весеннего семестра, в конце мая, я начала с энтузиазмом готовиться к эксперименту. В середине сентября я наконец-то поехала в Вашингтон на первую встречу с доктором Аблером… В перерывах между экспериментами в Вашингтоне мне приходилось то и дело возвращаться в Колумбийский университет — я продолжала преподавать, а также должна была заниматься исследованиями. В канун Рождества я добралась до Нью-Йорка на последнем поезде; аэропорт был закрыт из-за сильных снегопадов. Там я рассказала профессору Ли о замеченной асимметрии — она не только была огромной, но и оказалась воспроизводимой. Параметр асимметрии составлял почти –1. Профессор Ли отметил, что это замечательный результат. Именно тот результат, которого следовало ожидать для двухкомпонентной теории нейтрино.[124]

Супруг и возвращение в дом детства подождут — наука зовет! В 1957 году Ли и Янгу была присуждена Нобелевская премия; в число награждаемых надо было включить и Ву, однако этого не произошло.

Вскоре после того, как выяснилось, что слабое взаимодействие нарушает четность, ученые заметили, что эксперименты вроде бы подтверждают инвариантность относительно комбинации преобразований — когда к четности добавляется зарядовое сопряжение C, заменяющее частицы античастицами. Более того, что-то подобное предсказывали теоретические модели, популярные в то время. Таким образом, люди, которых неприятно поразило открытие асимметрии четности в реальном мире, нашли некоторое утешение в мысли о том, что комбинация C и P является хорошей симметрией.

Тем не менее это было ошибкой. В 1964 году Джеймс Кронин и Вал Фитч совместно провели исследование, объектом которого выступил наш старый друг нейтральный каон. Они обнаружили, что четность нарушается не только при распаде каона, но и при распаде антикаона, только во втором случае это происходит несколько иным образом. Другими словами, комбинация преобразований C и P не является симметрией природы.[125] Нобелевскую премию Кронину и Фитчу присудили в 1980 году.

Долго ли, коротко ли, но обнаружилось, что природа нарушает не только все потенциальные симметрии — C, P и T, но и комбинацию любых двух преобразований. Очевидным следующим шагом стала проверка комбинации всех трех: CPT. Если взять какой-либо процесс природы, заменить все частицы античастицами, поменять местами лево и право и изменить направление времени на обратное, то будет ли получившийся процесс подчиняться законам физики? С учетом того, что нам уже известно про комбинации двух преобразований, логично ожидать, что и комбинация CPT также не будет инвариантной.

Однако и здесь мы ошибаемся! (Хорошо, что и задаем вопросы, и отвечаем на них мы сами.) Пока что все проведенные эксперименты подтверждают, что преобразование CPT является симметрией реального мира. Более того, сделав некоторые обоснованные предположения про законы физики, можно доказать, что преобразование CPT обязано быть симметрией, — это утверждение неудивительным образом называется «CPT-теоремой». Разумеется, даже обоснованные предположения могут оказываться ошибочными, так что ни физики-экспериментаторы, ни теоретики не чураются исследовать возможное нарушение CPT-инвариантности. Но насколько можно судить, эта симметрия пока что не собирается сдавать позиции.

Ранее я говорил, что для того, чтобы получить преобразование, применение которого не нарушает законов природы, может оказаться необходимым «починить» операцию обращения времени. В случае стандартной модели физики элементарных частиц в список преобразований также добавляются зарядовое сопряжение и четность. Большинство физиков полагают, что следует разделять гипотетический мир, в котором C, P и T инвариантны по отдельности, и реальный мир, в котором инвариантностью обладает лишь комбинация CPT. Это позволяет заявлять, что реальный мир не инвариантен относительно изменения направления времени. Однако необходимо все время помнить, что существует возможность дополнить инверсию времени другими операциями так, чтобы результат отвечал всем требованиями симметрии реального мира.

Сохранение информации

Мы убедились, что обращение времени включает в себя не только изменение направления эволюции системы, то есть воспроизведение естественной последовательности состояний в обратную сторону, но также требует применения определенных преобразований к самим состояниям. Это может быть изменение импульса на противоположный, зеркальное отражение строки на шахматной доске или что-то более изысканное, например замена частиц античастицами.

Однако если это так, то можно ли утверждать, что каждый осмысленный набор физических законов инвариантен относительно той или иной формы «усложненного обращения времени»? Всегда ли возможно найти такие преобразования состояний, после применения которых движение «в обратную сторону по времени» все так же будет подчиняться законам физики?

Нет. Возможность определить обращение времени таким образом, чтобы законы физики относительно данной операции оставались инвариантными, зависит от одного критически важного предположения: предположения о сохранении информации. Это всего лишь означает, что два разных состояния в прошлом всегда переходят в два разных состояния в будущем — пути их эволюции не могут пересечься в одном и том же состоянии. Если это выполняется, то мы говорим, что «информация сохраняется», так как зная состояние в будущем, можно понять, каким было соответствующее состояние в прошлом. Физические законы, в которых заложена такая особенность, считаются обратимыми, и в таком случае можно утверждать, что существуют какие-то (возможно, очень сложные) преобразования, которые можно применять к состояниям таким образом, что инвариантность относительно обращения времени сохранится.[126]

Для того чтобы посмотреть, как это работает на деле, давайте снова вернемся в шахматный мир. Шахматная доска D, показанная на рис. 7.9, выглядит довольно просто. Серые квадратики на ней образуют несколько диагональных линий и один вертикальный столбец. Но здесь происходит нечто интересное, что нам еще не доводилось наблюдать в предыдущих примерах: разные линии серых квадратиков «взаимодействуют» друг с другом, а именно создается впечатление, что диагональные линии могут подходить к вертикальному столбцу справа или слева, но в месте соприкосновения с вертикальным столбцом диагональные линии неизменно обрываются.

Рис. 7.9. Шахматная доска с необратимой динамикой. Информация о прошлом не сохраняется в будущем

Казалось бы, правило довольно простое, и его можно считать отличным «набором законов физики». Но между шахматной доской D и предыдущими шахматными мирами существует кардинальное отличие: на этой доске происходящее необратимо. Пространство состояний, как и раньше, представляет собой простое перечисление белых и серых квадратиков вдоль каждой строки (с дополнительной информацией о том, является квадратик частью диагонали, движущейся направо, диагонали, движущейся налево, или вертикального столбца). Имея на руках такую информацию, мы без труда можем предсказать развитие «вперед во времени» — мы точно знаем, как будет выглядеть следующая строка и строка сразу за ней, и так далее.

Однако, зная состояние одной строки, мы не можем прокрутить развитие системы в обратную сторону. Мы сможем продолжить существующие диагональные линии, но с точки зрения прокрутки времени в обратную сторону новые диагонали могут отпочковываться от вертикального столбца в абсолютно случайных точках (соответствующих точкам «столкновения» диагоналей с вертикальным столбцом при развитии вперед во времени). Когда мы говорим, что физический процесс необратим, мы имеем в виду, что невозможно восстановить прошлое состояние, отталкиваясь от знания о текущем состоянии, и эта шахматная доска служит прекрасным примером.

В подобных ситуациях информация теряется. Даже зная о состоянии мира в какой-то момент времени, мы не можем сказать с уверенностью, в каких состояниях он пребывал в прошлом. У нас есть пространство состояний — описания строчек из белых и серых квадратиков с дополнительными метками на серых, сообщающими направление движения: вверх и вправо, вверх и влево или строго вверх. Это пространство состояний со временем не меняется: каждая строка остается членом одного и того же пространства состояний и в каждой конкретной строке может наблюдаться любое из допустимых состояний. Необычно в шахматной доске D то, что двум разным строкам может соответствовать одно и то же состояние в будущем. Когда мы оказываемся в этом будущем состоянии, мы уже не можем восстановить информацию о том, какая прошлая конфигурация стала предшественницей этого состояния; воспроизвести последовательность смены состояний в обратную сторону не представляется возможным.

Рис. 7.10. Очевидная потеря информации в стакане воды. Состояние в будущем — «стакан прохладной воды» — может быть следствием любого из двух состояний в прошлом — «стакан прохладной воды» или «стакан теплой воды с кубиком льда»

В реальном мире постоянно происходит очевидная потеря информации. Рассмотрим два разных состояния стакана воды. В одном состоянии в стакане находится только прохладная вода; в другом состоянии в стакан налита теплая вода и брошен кубик льда. В будущем эти два состояния могут развиться в то, что с нашей точки зрения будет одним и тем же состоянием: стакан прохладной воды.

Мы уже встречались с этим явлением раньше: это стрела времени. По мере того как кубик льда тает в теплой воде, энтропия увеличивается; этот процесс может происходить, но никогда не может быть обращен. Загадка в том, что движение отдельных молекул, составляющих воду, инвариантно относительно обращения времени — в этом нет сомнений. И в то же время макроскопическое описание в терминах льда и жидкости не инвариантно. Для того чтобы понять, как так получается, что обратимые базовые законы порождают макроскопическую необратимость, нам необходимо снова вспомнить Больцмана и его идеи относительно энтропии.

Глава 8. Энтропия и беспорядок

Никому не дано представить в телесных образах обращение времени. Время необратимо.

Владимир Набоков. Смотри на арлекинов!

Почему обсуждения энтропии и второго начала термодинамики так часто заканчиваются разговорами о еде? Вот несколько популярных (и вкусных) примеров, когда энтропия увеличивается в ходе необратимых процессов: