Помоги проекту - поделись книгой:
Благодаря этой интуиции четырехмесячные дети, не умеющие ни ходить, ни говорить, могут обнаружить грубую ошибку в сложении или вычитании[85]. Исследователи под внимательным взглядом ребенка клали предмет в непрозрачную коробку. Потом добавляли другой. Если, открыв коробку, ребенок обнаруживал один предмет — или три! — он выражал неподдельное удивление. То есть интуитивно он знал, что один плюс один будет не один, не три, а только два. Точно так же ребенок вел себя, если в коробку клали два предмета, потом один вынимали, но, открыв коробку, ребенок обнаруживал там два предмета. Младенцы, казалось, знали, что два минус один будет один.
Это приблизительное понимание количества было также протестировано в старшей группе материнской школы. Дети могли оценить, будет ли результат сложения или вычитания — особенно трудного для них — правильным, основываясь исключительно на своей врожденной интуиции. Экспериментатор спрашивал: «У Сары 21 конфетка. Мы дадим ей еще 30. У Джона 34 конфетки. У кого больше?» Дети не умели складывать такие числа, но чаще всего отвечали на вопрос правильно[86].
Откуда у нас эта интуиция к числам? С самого рождения определенные нейронные пути активизируются, когда мы оцениваем количество. Эти пути наделяют человека совершенной способностью, предшествующей любому обучению. Школа выстраивает математические знания не на пустом месте, у ребенка уже имеется врожденное чувство числа.
Очень важно осознать это: ребенок, идущий в материнскую школу в три года, не только родился с интуитивными математическими знаниями, но и уже развивал их в течение трех лет. Последний эксперимент с участием детей из старшей группы материнской школы показывает, что мы сильно недооцениваем их возможности. Вместо того чтобы открывать детям область математики, словно они «ничего не знают», и в конце концов утомить их с риском потерять их интерес к числам, исследование цифровой познавательной способности предлагает нам опираться на их врожденные возможности.
Осознавая количество[87] и соединяя его с символом (цифрой), человек оттачивает свою способность различать числа. По мере того как ребенок это делает, он учится определять разницу между близкими числами, например, 5 и 7. Это умение может совершенствоваться путем манипулирования числами — сложения или вычитания, а также расположения их линейно на цифровой полосе. Понимание линейной прогрессии помогает ребенку осознать, что каждое следующее число больше предыдущего и они всегда отличаются на одну единицу.
Именно так мы работали в Женвилье: мы знали, что дети обладают удивительными интуитивными знаниями, и старались развивать их с помощью счета, ассоциирования с точными символами (цифрами), манипулирования возрастающими по величине числами и расположения цифр на специальной полосе — цифровом фризе. Очень скоро мы начали предлагать им упражнения с большими числами: они могли считать больше 100 и даже до 1000 и манипулировали несколькими тысячами единиц. Нам казалось, что детям нравится быстрый переход к большим числам — он активизировал, возбуждал и развивал их интуитивные математические способности.
Вот отрывок из результатов тестирования второго года эксперимента[88]:
На основании полученных результатов можно утверждать, что все дети имеют твердое представление о цифровом коде. Лишь два ребенка не показали высшего результата по двум испытаниям. Задание на устный счет выполнено всеми детьми старшей группы и одним ребенком из средней группы. Надо отметить, что подобный тест используется для уровня СЕ2. Дети, получившие результат 12/12 за это испытание, имеют лучшие показатели не только для своего возраста, но также и среди детей класса СЕ2.
Мы снова можем констатировать, что все дети блестяще отвечали на этих двух испытаниях, демонстрируя удивительное для их возраста понимание величины чисел.
Большинство детей, прошедших испытания по цифровым решениям и сравнению чисел, показали результаты, превышающие высший уровень своего возраста. Они достигают практически тех же результатов, что и ученики, завершающие СЕ (элементарный курс). Трое детей из старшей группы иногда оказываются на уровне лучших учеников СЕ2.
Не буду входить в детали дидактического продвижения и всей совокупности учебных пособий, которые мы использовали в классе. Опишу лишь основные этапы, позволившие нам развить врожденное математическое чувство у детей[89].
Мы по-прежнему использовали дидактический материал, придуманный доктором Сегеном и доктором Монтессори. Этот понятный, изящный и точный метод направлен на развитие врожденной интуиции детей к числам путем счета, ассоциирования числа с символом и действий с реальными «количествами». Каждое пособие содержит одну задачу, ставит ясную цель, и в нем нет отвлекающих «красивостей». Внимание ребенка полностью сосредоточено на компетенции, которой ему предстоит овладеть, и потому он быстро достигает поставленной цели.
Я не знаю другого дидактического материала, который бы давал такую точность в математическом прогрессировании и в материализации количества и при этом был бы столь прост и эффективен. Вот почему я настоятельно рекомендую воспитателям материнской школы и учителям начальной школы проявить к нему интерес. Эти пособия так конкретны и прогрессивны, что даже взрослый, у которого не сложились отношения с математикой, начинает интересоваться этой дисциплиной и любить ее.
Кроме того, дети могли пользоваться длинным цифровым фризом, на котором было более 200 чисел. Этот фриз позволял им идти в счете все дальше, привыкать к названиям чисел и графическому изображению цифр, объединяя их вместе, и давал понятие о линейности. Как мы упоминали выше, исследования показали, что благодаря линейности ребенок понимает: каждое число предшествует другому, имеющему на единицу больше; таким образом он развивает свою врожденную способность к различению количеств.
Счет от одного до десяти
Первым было задание с цифровыми брусками. С помощью брусков различной длины, которые уже были им знакомы (красные бруски), трехлетние дети постепенно считали количество от одного до десяти.
Как и красные бруски, самый короткий представляет величину «один» и имеет длину 10 см, самый длинный брусок представляет величину «десять» и имеет длину один метр. Длина каждого следующего бруска увеличивается на 10 см.
Важно представить ребенку числа в таком виде: когда он держит в руках брусок, представляющий число 9, — он держит предмет, состоящий из девяти одинаковых единиц. Эти бруски дают ему понятную мысль о числе: три — это три единицы вместе, четыре — это четыре единицы вместе. Мы предлагаем детям посчитать единицы в каждом бруске, постепенно, от одной до десяти. Иногда на овладение счетом уходят недели. Дети не должны «перескакивать», они помогают себе пальцем, указывая на каждую единицу числа. Мы стараемся, чтобы они достигли в счете автоматизма, как в цифровой «считалке».
Анна помогает девочке трех лет посчитать число «четыре», слева направо, как при письме.
С таким пособием понимание чисел оказывается простым и эффективным. Ребенок не только воспринимает число как целое, но и легко сравнивает их величины по размеру брусков: величина «десять» представлена длинным бруском в один метр, а величина «один» — маленьким бруском длиной десять сантиметров. Ребенок даже топает ногами от радости перед гигантской разницей между числами, которую он воспринимает визуально, не нуждаясь в объяснении. Регулярно повторяя счет единиц на каждом бруске, дети трех лет способны на глаз определить разницу между величинами «пять» и «семь», хотя еще несколько недель назад они этого сделать не могли. Благодаря этому ясному и конкретному пособию врожденные способности ребенка развиваются гораздо быстрее, и это доставляет ему огромное удовольствие и уверенность.
Соединение цифр с числами от одного до десяти
Когда дети овладели счетом, мы показываем им графические символы (цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) и кладем маленькие деревянные таблички с написанными цифрами на бруски.
Чтобы ребенок мог осуществить соединение цифра/число, мы параллельно давали ему цифры от 1 до 10, выполненные рельефно. Ребенок называл их и водил по ним пальцем, привыкая к их написанию. Воздействие на разные органы чувств облегчает запоминание: мозг лучше усваивает, когда мы получаем одну и ту же информацию через зрение, слух, осязание[90]. Это особенно помогает тем, у кого есть сложности с усвоением[91]. Цифра для детей одновременно и символ, и точное начертание (в определенном направлении), и название. Когда дети забывали название цифры, им достаточно было провести по ее контуру пальцем. Мы говорили ребенку: «Попробуй ее нарисовать, и ты вспомнишь, как она называется», и в большинстве случаев так и происходило. Название вспоминалось, часто с бурной радостью.
Ребенок трех с половиной лет соединяет цифры с соответствующими числами.
Цифровые бруски давали детям возможность не только развивать их восприятие чисел, но и ассоциировать число с графическим символом. Этот символ — цифра — очень важен: он абстрактно кодирует число, позволяя нам легко производить действия с числами, складывать их, вычитать, умножать и делить. Такая абстракция окрыляет наши математические способности.
Ребенок трех лет называет цифры, рисуя их контур.
Чтобы научиться читать и писать, ребенок должен понять, что звук кодируется графическим символом (буквой). Точно так же дети понимают, что число есть целое, состоящее из нескольких единиц, и что это «целое» обозначено символом (цифрой). Цифра кодирует число, а буква кодирует звук. Это понимание открывает дверь для занятий математикой. Никакого другого объяснения, чтобы дать детям ключ к пониманию, не требуется. Достаточно показать им вещи такими, как они есть. Им надо представить математику как простую, очищенную от всего лишнего, умную науку. А остальное автоматически уложится в их маленьких головах, даже если некоторым потребуется определенная поддержка.
Например, нам было достаточно приставить бруски друг к другу определенным образом, чтобы дети сами поняли, что 9 и 1 равно 10; 8 и 2 равно 10; 7 и 3 равно 10; 6 и 4 равно 10.
Число «один» подставлено к числу «девять», и сразу видно, что по длине эти два бруска составляют «десять». Затем, подставляя число «два» к числу «восемь», ребенок замечает, что эта комбинация тоже эквивалентна числу «десять», хотя комбинация брусков другая. То же самое с «семью» и «тремя» и, наконец, с «шестью» и «четырьмя».
Составление чисел от одного до десяти
Как только дети научились считать до десяти и ассоциировать цифры с числами, наступает следующий этап — счетные палочки. На этот раз надо составить число перед тем, как соединить его с цифрой.
Трудность возрастает, дети становятся более активными. Теперь им самим предстоит создать числа «один», «два», «три», «четыре» и т. д., соединяя правильное количество палочек и укладывая их в соответствующие ячейки, на которых имеются графические символы 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0. Ребенку, которому едва исполнилось четыре года, не так легко это сделать. Пересчитывать отдельные единицы гораздо труднее, чем соединенные вместе, когда они неподвижны и формируют единый блок. Здесь же ребенок должен помнить, сколько палочек он держит в руке, и считать дополнительные единицы, пока не получит нужную величину, — и сохранять в памяти всю эту информацию, пока единицы (в форме палочек) катаются по столу!.. Мы всегда просим ребенка «пересчитать» палочки еще раз, для проверки — довольно часто они пропускают единицы в процессе составления числа… Пока ребенок ловит откатившуюся палочку, он может забыть, какая она — четвертая или пятая.
Ребенок четырех лет составляет числа из палочек от одного до десяти и раскладывает их в ячейки с соответствующими цифрами, чтобы резинкой «связать вместе» единицы, составляющие число.
Мы просили детей связывать резинкой палочки, составляющие число. Эта деталь очень важна для сенсорного понимания: она наглядно подводит ребенка к мысли, что каждое число состоит из совокупности нескольких единиц.
На этой стадии дети уже достаточно эффективно развили свои естественные способности к восприятию количества. Им только четыре года, но они уже способны составлять последовательности от одного до десяти предметов, быстро распознавать разницу между этими величинами и ассоциировать их с соответствующим символом.
Счет после десяти
Когда счет от одного до десяти хорошо усвоен, дети продолжают таким же способом развивать восприятие чисел больше десяти — с использованием счета, ассоциацией с символом и совершением арифметических действий.
Чтобы называть и образовывать числа от 11 до 99, у детей есть два стола, изобретенных доктором Эдуардом Сегеном.
В усвоении названий символов и десятков детям помогает длинная цифровая полоса по периметру всего класса, на которой последовательно расположены числа от 1 до 200 и даже более.
Первый стол Сегена дает возможность выучить символы чисел «одиннадцать», «двенадцать», «тринадцать» до «девятнадцати», с применением урока в три этапа. Как только названия чисел усвоены, мы предлагаем детям «составить» и соединить соответствующую величину с символом.
Детям очень нравилась цифровая полоса, потому что они могли тренироваться в счете с помощью товарища, а потом, когда чувствовали себя готовыми, с гордостью показывали нам, до какого числа они могут дойти, не сбившись. Нам приходилось терпеливо выслушивать ребенка, пока он считал, к примеру, от 1 до 150! Тогда мы помещали его фотографию над тем числом, до которого он мог досчитать без ошибки.
Второй стол Сегена дает возможность выучить названия десятков до «девяноста», также с применением урока в три этапа. Когда названия десятков усвоены, мы предлагаем детям «составить», например, число «42». Благодаря заданиям, которые мы рассмотрим чуть позже, дети знают, что «4» означает четыре десятка, а не четыре единицы.
Дети тренируются, считая ячейку за ячейкой цифровой полосы по несколько раз в течение дня. Стремление и успех одних побуждают других идти еще дальше. Таким образом, они укрепляют и расширяют свои навыки в устном счете, попутно запоминая названия десятков, которые они повторяли ежедневно.
Такие упражнения дети обожают, и их нетрудно проводить дома. Цифровая полоса дает много полезного: знание устного счета, соединение слова и символа, развитие способности располагать числа по порядку на линейном носителе. Исследования, касающиеся усвоения математики, наглядно демонстрируют, что использование цифровой полосы значительно расширяет математические компетенции детей[92].
Понятие о десятичной системе
Как только дети осваивали счет до 10, мы начинали показывать им основы десятичной системы — что такое число «сто» или «тысяча», — с помощью материала, который представлял собой код десятичной системы: единица, десяток, сотня, тысяча. Мы обращали их внимание, что десяток насчитывает десять единиц, сотня — десять десятков (или 100 единиц), а тысяча — десять сотен (или 1000 единиц). Таким образом, уже с четырех лет дети имели конкретное физическое представление об этих величинах — они могли их пересчитать. Это позволяло им радостно удовлетворять свою природную тягу к большим числам. Дети часто спрашивали: «Сто — это сколько? А тысяча — это много?» Надо было видеть их лица, когда я говорила им: «Вот, посмотри, это сто. А это — тысяча». Поскольку невозможно было пересчитать единицы тысячи, дети принимались считать единицы сотни. Мы давали им задания, чтобы они запомнили новые слова[93].
Слева направо: единица, десяток, сотня, тысяча.
На следующий день мы показывали ребенку соответствующие символы: 1, 10, 100, 1000. В большинстве случаев дети уже имели понятие о единице, десятке, сотне и тысяче, а также были знакомы со словами и графическими символами этих чисел: ведь они целыми днями слышали, как их старшие товарищи пользуются этими терминами.
Символы, соответствующие ранее названным величинам.
Затем мы показывали им, что если символ 1000 представляет одну тысячу, то символ 3000 — три тысячи. Так же, если символ 100 представляет одну сотню, то символ 600 — шесть сотен. То же самое для десятков: если символ 10 представляет один десяток, тогда символ 70 — семь десятков. После этих несложных объяснений дети очень скоро были способны соединить Х десятков, Х сотен или Х тысяч с соответствующим графическим символом.
Ребенок четырех лет учится ассоциировать число и символ.
Действия с большими числами
С помощью того же материала дети осуществляли сложение, причем очень наглядно: два ребенка брали свои индивидуальные подносы и выкладывали на них числа. Один ребенок, к примеру, брал одну тысячу, две сотни, пять десятков и четыре единицы и выкладывал правильные символы — 1000, 200, 50, 4 — к каждому числу. Приложив их один к другому, ребенок мог правильно прочитать число 1254. Его товарищ выбирал величину 2422.
Затем дети объединяли свои числа на ковре, раскладывая их символы 1254 и 2422 в верхней части ковра. Их третий товарищ считал сумму, начиная с единиц. Мы следили, чтобы дети употребляли правильный термин «сумма», чтобы показать результат сложения. Третий ребенок пересчитывал объединенное количество единиц, десятков, сотен и тысяч, подбирая правильные символы: 3000, 600, 70, 6, которые образовывали величину 3676. Дети постепенно учились формулировать результат вслух, и они это обожали: «1254 плюс 2422 равно 3676».
Благодаря ежедневному счету на цифровой полосе дети знали названия десятков. Поэтому они довольно быстро — с небольшой помощью — учились читать большие числа. Когда сумма переходила через десяток, мы замечали ребенку: «Ты посчитал десять единиц. Смотри» — и откладывали этот десяток в сторону. «Десять единиц — это десяток, надо положить его рядом с десятками». Ребенок клал этот новый десяток вместе с другими и снова считал единицы. Так же он продолжал с десятками. Когда доходило до десяти десятков, мы напоминали ему, что они образуют сотню: мы складывали десять десятков рядом, и ребенок «видел» сотню. То же самое происходило с десятью сотнями, мы клали их друг на друга: ребенок «видел» тысячу.
Когда понятие сложения усваивалось, детям легко было перейти к умножению. Трое детей выбирали одинаковое число, например, 1254: 1254 + 1254 + 1254. Мы объясняли, что умножение — это особый вид сложения: «Речь о том, чтобы расположить вместе одинаковые числа». Дети выкладывали свои символы в верхней части ковра, и мы показывали им, как правильно сформулировать действие умножения: «Три раза по 1254 равно 3762».
Они также могли выполнять действия вычитания и деления простым и конкретным способом. Для вычитания один ребенок представлял число (например, 4843), а другой — символы (например, 378), указывая, что их надо вычесть из числа товарища. Вместе они читали разность вычитания. Для деления один ребенок представлял большое число, которое он делил между двумя или тремя товарищами. Дети читали результат, не забывая указывать остаток.
Ребенок рисует контур цифр пальцем, помогая себе «читать» произведение от умножения, которое осуществили двое или трое его товарищей.
Развивая врожденную интуицию к числам, дети нашего класса приобретали прочные математические компетенции. В пять лет большинство из них были способны понять и выполнять действия на сложение, вычитание, умножение и деление многозначных чисел. Они также могли объяснить младшим способ, которым выполняли эти действия.
Многие складывали большие числа в уме: пока двое детей развлекались тем, что производили сложение вместе и громко предлагали третьему сложить «4000 + 3200», ребенок, сидящий в отдалении от них и раскрашивающий мандалу, к примеру, мог громко заявить: «7200!»
Поддерживать стремление к познанию жизни
Резюмируем воздействие врожденной математической интуиции на педагогический подход. Исследование[94] доказывает, что прочная математическая база создается с помощью упражнений на устный счет (продвигаясь все дальше и дальше по цифровой полосе), ассоциации количества и графических символов (до четырехзначных чисел) и арифметических действий с возрастающими величинами. Дети постоянно просят об этом! Когда маленький ребенок спрашивает: «Мама, сколько это — 30? 100 — это больше, чем 30? И больше, чем 1000?», он развивает свою врожденную интуицию к числам и ищет ориентиры. Наша задача — дать ему эти конкретные ориентиры, показать, чему соответствуют такие величины, предлагать ему совершать с ними действия, сравнивать и помещать их на цифровую полосу.
Поделиться книгой: