Приключения математика

Станислав Улам

Приключения математика

Благодарности

Книга эта не появилась бы, если бы не помощь моей жены Франсуазы, без которой написанное явило бы собой не более, чем скопление разрозненных рассуждений. Именно ее советы и участие позволили моему повествованию обрести определенную стройность. Ей удалось существенно уменьшить энтропию этого собрания воспоминаний в результате нескольких лет систематической и вдумчивой работы. Благодарю также Джанкарло Роту за наши многочисленные дискуссии на темы, освещенные в этой книге; миссис Эмилию Мисельски за поиск сведений о судьбе моих покойных польских коллег; и миссис Джейн Рихтмайер за просмотр некоторых наиболее затруднительных мест в тексте.

Также я очень признателен за разрешение опубликовать некоторые фотографии следующим людям и организациям:

Ученому Обществу, Гарвард (младшие сотрудники Гарварда, 1938 г.).

Лос-Аламосской научной лаборатории (все фотографии с соответствующей пометкой).

Гарольду Эгню (Энрико Ферми в сороковые годы).

Николасу Метрополису (Фон Нейман, Фейнман и Улам в столовой лаборатории).

Издательству «Viking Press» (карикатура Георгия Гамова на членов комитета «супер» из книги Гамова «Линия моей жизни», 1970 г.).

Ллойду Шереру (Стэн и Франсуаза Уламы дома в Лос-Аламосе).

Все другие фотографии, не имеющие соответствующих ссылок, являются собственностью автора.

Пролог

Уже в сумерках самолет, летящий рейсом Вашингтон-Альбукерки, приблизился к горной цепи Сандии, у подножия которой раскинулся город Альбукерки. Минут за 10 до посадки вдали замелькали огни Санта-Фе. На западе вырисовывалась таинственная громада вулканических гор. Наверное, уже в сотый раз я возвращался из Вашингтона, Нью-Йорка или Калифорнии, куда почти каждый месяц приводили меня дела, связанные либо с моей работой в Лос-Аламосе, либо с правительственной или научной деятельностью.

Мысленно я вновь вернулся к своему первому посещению Нью-Мексико в январе 1944 года. Молодой профессор университета в Висконсине, я получил приглашение участвовать в проекте, суть которого в то время не подлежала оглашению. Мне лишь объяснили, как добраться до Лос-Аламоса, сообщив название железнодорожной станции — Лэми, находящейся недалеко от Санта-Фе.

Если бы лет сорок пять назад кто-то сказал мне, что я, молодой «чистый» математик из польского города Львова, проведу значительную часть своей зрелой жизни в штате Нью-Мексико, о названии и существовании которого я, живя в Европе, даже не подозревал, я бы пропустил мимо ушей это пророчество, посчитав его совершенно немыслимым.

Я поймал себя на том, что вспоминаю свое детство, которое прошло в Польше, годы учебы, ранний интерес к математике, увлечение физикой, благодаря которому постоянно углублялись мои научные познания, что, в свою очередь, не без ряда случайностей и, возможно, удачи привело к моему участию в Лос-Аламосском проекте. Я лишь смутно догадывался о сути проводимых в Лос-Аламосе исследований, когда мой друг Джон фон Нейман пригласил меня присоединиться к их группе физиков для работы в совершенно незнакомом мне месте. «Это запад Рио-Гранде», — все, что он сказал мне, когда мы встретились в Чикаго на Юнион Стэйшн во время пересадки.

Самолет приземлился в Альбукерки. Я взял свои чемоданы и, прошагав ярдов сто через стоянку, забрался в маленький самолет, который по нескольку раз в день курсировал между Альбукерки и единственной взлетно-посадочной полосой, которая находилась на высоте 7300 футов на горе Лос-Аламос.

Именно Джон фон Нейман, один из самых выдающихся математиков 1-й половины 20-го века, нес ответственность за мой приезд в эту страну в 1936 году. С 1934 года мы вели переписку, обсуждая наиболее сложные вопросы чистой математики. Именно в этой области науки на ранних этапах своей научной деятельности я сделал себе имя. Фон Нейман, занимавшийся тогда подобными же проблемами, пригласил меня посетить недавно основанный в Принстоне Институт перспективных исследований — учреждение, хорошо известное в общественных кругах, поскольку одним из первых его профессоров был Альберт Эйнштейн. Фон Нейман был в то время одним из самых молодых профессоров Принстонского университета. Однако он уже успел приобрести известность, благодаря своей исследовательской работе, посвященной основам математики и логики. Несколькими годами позже ему было суждено стать одним из первопроходцев в создании ЭВМ.

Было время, когда я хотел написать книгу о научной деятельности фон Неймана. Пытаясь составить план книги, я часто думал о том, какое влияние оказал на меня и многих других этот человек; и как он, а также многие другие, известные мне люди, занимавшиеся исследованиями в чисто абстрактной области математики и теоретической физики, изменили взгляды на окружающую нас действительность, сформировав то представление о мире, которое существует и поныне.

Я должен сказать, что мои личные воспоминания — о своей научной деятельности, учебе и ранних исследованиях, бесконечных часах, проведенных в кафе родного города за обсуждением математических проблем со своими коллегами математиками, о своем приезде в США, преподавании в Принстоне и Гарварде — очень тесно, подчас каким-то непостижимым образом, переплелись с воспоминаниями о жизни фон Неймана, а также более поздними событиями моей жизни.

Когда я начал приводить в порядок свои мысли, то осознал, сколь мало изменилось к тому времени — шел, насколько я помню, 1966 год — представление о тех необычных условиях, в которых произошло рождение атомного века. Официальная история умалчивает об истинных мотивах этого события и обходит стороной внутренние переживания, сомнения, убеждения, решимость и надежды людей, которые более двух лет жили в весьма необычной обстановке. Она представляет лишь ряд однообразных картин, которые, в лучшем случае, дают только самые существенные факты.

Размышляя обо всем этом в маленьком самолете, летящем из Альбукерки в Лос-Аламос, я вспомнил, какое впечатление произвели на меня прочитанные в детстве книги Жюля Верна и Герберта Уэллса. Но даже в своих мальчишеских мечтах я не мог себе представить, что когда-нибудь буду участвовать в не менее фантастическом предприятии.

Все эти размышления привели к тому, что вместо написания книги о жизни фон Неймана я принял решение описать свою собственную историю, а также то, что мне было известно о других ученых, имеющих отношение к выдающимся достижениям двадцатого столетия.

Как уже было сказано, я начинал «чистым» математиком. В Лос-Аламосе я встретил физиков и других ученых, занимавшихся естественными науками, и работал, главным образом, если не исключительно, с теоретиками. С тех пор я не перестаю удивляться тому, как несколько небрежных записей, нацарапанных на доске или листе бумаги, могут изменить весь ход человеческих дел.

Я включился в работу над атомной бомбой, затем над водородной. Однако большая часть моей жизни была связана с теоретическими областями науки. Мой друг Отто Фриш, который первым установил возможность проведения цепной реакции деления ядра, пишет в своей статье для «The Bulletin of the Scientists», рассказывающей о его первых впечатлениях по прибытию в Лос-Аламос из милитаристской Англии: «Без сомнения, раньше мне никогда не приходилось встречать такое скопление интересных людей в одном месте. Я знал, что по вечерам могу зайти наугад в любой дом и застать близких мне по духу людей за сочинением музыки или бурными дискуссиями.

… я также встретил там Стэна Улама, молодого блестящего тополога из Польши, и его очаровательную жену-француженку. Улам сразу сказал мне, что он чистый математик, которого математика затянула так, что в своей последней научной статье он не смог обойтись без десятичных дробей!»

К сожалению, очень мало написано о людях, которые так много сделали для науки и которые несут ответственность за рождение атомного и космического века — о фон Неймане, Ферми и многих других физиках и математиках. В этой же книге я хотел бы уделить внимание более абстрактному и, с философской точки зрения, существенному влиянию самой математики. Широкой общественности фактически неизвестны такие имена, как Стефан Банах, Дж. Д. Биркгоф и Давид Гильберт, однако именно эти люди наряду с Эйнштейном, Ферми и некоторыми другими, не менее знаменитыми учеными, имели самое прямое отношение к достижениям науки в XX веке.

Часть I. Как стать математиком в Польше

Глава 1. Детство

1909–1927

Мой отец, Джозеф Улам, был юристом. Он родился в 1877 году в Польше, в городе Львове, тогда еще столице провинции Галиция, входящей в Австро-Венгерскую империю. Впрочем, Львов сохранял этот статус и в 1909 году, когда на свет появился я.

Его отец, мой дед, был архитектором и строительным подрядчиком, а мой прадед, насколько мне известно, перебрался во Львов из Венеции.

Моя мама, Анна Ауэрбах, родилась в маленьком польском городке под названием Стрый, расположенном примерно в шестидесяти милях к югу от Львова вблизи Карпатских гор. Ее отец был промышленником: торговал сталью и управлял заводами в Галиции и Венгрии.

Вот одно из моих самых ранних детских воспоминаний: я сижу на подоконнике рядом с отцом и смотрю на улицу, по которой проходит большой парад в честь коронованного принца, посетившего наш город. Мне не было и трех лет.

Я помню, как родилась моя сестра. Мне сказали, что на свет появилась маленькая девочка, и тогда я испытал странное, не поддающееся описанию чувство — словно я повзрослел. Мне было три года.

Помню, как в четыре года я резвился на восточном ковре, разглядывая дивную вязь его узора. Помню высокую фигуру отца, стоящего рядом, и его улыбку. Помню, что подумал: «Он улыбается, потому как думает, что я еще совсем ребенок, но я-то знаю, как удивительны эти узоры!» Я не утверждаю, что тогда мне пришли в голову в точности эти слова, но я уверен, что эта мысль возникла у меня именно в тот момент, а не позднее. Я определенно чувствовал: «Я знаю что-то, чего не знает мой папа. Возможно, я знаю больше, чем он».

В моей памяти сохранился и еще один эпизод из моего раннего детства — путешествие в Венецию с семьей. Мы плыли по каналу в вапоретто, и я уронил за борт свой воздушный шарик. Он покачивался на поверхности воды у борта лодки, и отец безуспешно пытался выловить его загнутым концом своей трости. Тогда в утешение мне разрешили самому выбрать сувенирную модель гондолы, сделанную из венецианского бисера. До сих пор помню, какую гордость я испытал, получив столь ответственное поручение.

Я помню начало Первой мировой войны. Я был мальчишкой и искренне восхищался Центральными державами — союзом Австрии, Германии и Болгарии, выступающим против Франции, Англии, России, Италии. Большинство поляков придерживалось националистических, антиавстрийских взглядов, но все же я в свои восемь лет не удержался от того, чтобы написать маленькое стихотворение, посвященное великим победам австрийской и немецкой армий.

В начале 1914 года русские войска вошли в Галицию и заняли Львов. Наша семья обрела убежище в Вене. Там я выучил немецкий, однако мой родной язык, на котором мы говорили дома, — польский.

Мы жили в гостинице напротив собора св. Стефана. Как ни странно, впоследствии, неоднократно приезжая в Вену, я словно не замечал этот собор. И только в 1966 году, прогуливаясь по Вене со своей женой, я вдруг вспомнил о нем и тут же показал его ей. Возможно, это произошло потому, что мы говорили о моем детстве.

Вместе с этим на поверхность всплыли и другие воспоминания, хранившиеся в глубинах моей памяти более пятидесяти лет.

Так, когда я, во время этого же пребывания в Вене, прогуливался в парке Пратер, вид одного из открытых кафе совершенно неожиданно восстановил в моей памяти еще один эпизод из детства — я вспомнил, как когда-то, как раз перед тем самым кафе, у меня случился приступ, сродни астматическому, повторившийся лишь многие годы спустя в Мэдисоне (штат Висконсин). Но, что удивительно, ощущения, пережитые мною повторно во время второго приступа, почему-то не заставили меня вспомнить о том давнем случае. Лишь когда я вновь, по прошествии многих лет, оказался на том же месте, это «сенсорное» воспоминание вернулось благодаря зрительной ассоциации.

Я не стану останавливаться на подробном описании Вены, какой она предстает перед глазами шестилетнего ребенка. Я разгуливал по городу в военной фуражке и, очень ясно это помню, пришел в неописуемый восторг, когда на Кэрнтнер Штрассе (одной из главных улиц Вены) какой-то офицер отдал мне честь. Однако позже, услышав от кого-то, что у США будет целых десять тысяч военных самолетов (ходил одно время такой слух), я начал сомневаться в победе Центральных держав.

Примерно в то же время я начал учиться читать. Подобно многим из моих начинаний на протяжении всей моей жизни, это занятие поначалу было мне в тягость — нелегкое, в какой-то мере мучительное приобретение опыта. Через некоторое время все встало на свое место и стало легким. Я помню, как шел по городу и, испытывая явное удовольствие, громко читал все вывески подряд, что, наверное, немало досаждало моим родителям.

Мой отец был офицером Австрийской армии, приквартированной к военному штабу, поэтому нам приходилось часто переезжать с места на место. Какое-то время мы жили в Мэриш-Острау, где я посещал местную школу. Там нам приходилось учить таблицу умножения, и я нашел изучение арифметики не таким уж трудным занятием. Однажды, когда мы проходили уже «шестью семь», я схватил простуду, и меня оставили дома. Я был уверен, что к тому времени, когда я вернусь в школу, наш класс будет проходить что-нибудь вроде «двенадцать на пятнадцать». Думаю, до «десятью десять» я тогда дошел уже сам. Остальное время со мной занимались домашние учителя, поскольку посещать школу регулярно в условиях наших постоянных переездов было невозможно.

Помню также, как иногда отец читал мне отрывки из детского издания «Дон Кихота» Сервантеса. Некоторые эпизоды, которые сейчас едва вызывают у меня улыбку, казались мне в то время безумно веселыми, а сражение Дон Кихота с ветряными мельницами я вообще считал самой смешной из всех вообразимых историй.

Эти воспоминания запечатлелись в моей памяти в виде разнообразных зрительных образов, которые, не вызывая ностальгии, заставляют меня испытывать совершенно особые ощущения, чувствовать, как в памяти рождаются ассоциации. Они приносят с собой понимания разной глубины, разных красок, разных сочетаний, смешиваясь со смутным чувством благополучия или, быть может, сомнения. Они определенно оказывают одновременное воздействие на различные области мозга, вызывая ощущение, похожее на мелодию. Это воссоздание моих детских ощущений. Часто люди запоминают эти беспорядочные образы, и, как ни странно, они сохраняются на протяжении всей их жизни.

Некоторые события вспоминаются легко, но есть и другие, которые, продолжая жить в нашем подсознании, остаются недоступными нашей памяти. Известен случай, когда во время экспериментов в сознании пациента удалось воссоздать некоторые забытые им события из прошлого, когда во время операции игла задела его мозг. Ощущения событий, которые при желании всегда можно «запросить» из своей памяти, с течением времени, видимо, не изменяются. Их воссоздание при воспоминании не изменяет и не освежает их. По своему опыту я могу сказать, что, когда я пытаюсь проследить за последовательностью силлогизмов, вызванных в моем сознание детскими впечатлениями, то нахожу, что с годами эта последовательность ничуть не изменилась по сравнению с той, что была у меня в детстве. Стоит мне посмотреть сейчас на стул, дерево или телеграфный провод — вид предмета вызовет определенный ход мыслей. И, по моему, последовательность связных воспоминаний будет аналогична той, какой, как я помню, я обладал в пяти-шестилетнем возрасте. Так, когда я смотрю на телеграфный провод, то сразу вспоминаю, как когда-то он стал для меня своего рода абстрактным, или математическим импульсом. Мне захотелось узнать, где еще он может быть полезен. Это была попытка обобщения.

Можно предположить, что большая часть объема памяти формируется у человека уже в очень раннем возрасте, и с этого момента внешние раздражители начинают процессы записи и распределения впечатлений по соответствующим каналам, которые в огромных количествах существуют уже в очень раннем детстве.

Очевидно, что зная, каким образом в памяти хранится информация, гораздо легче проанализировать свои мысли. Чтобы понять, как человек постигает содержание текста, суть нового метода или математического доказательства, интересно попробовать осознано представить временный порядок и внутреннюю логику. Однако, судя по тому, что я читал о природе памяти, ни профессионалы, ни любители не преуспели в исследовании этой области. Мне кажется, что намного больше для понимания природы ассоциаций можно сделать с помощью компьютеров как средства проведения экспериментов. Такой подход предусматривал бы градацию отдельных понятий, символов, классов символов, классов классов и т. д. так же, как это происходит при оценке сложности математических или физических структур.

Должно быть, в ходе мыслей есть некий «секрет», рекурсивная формула. Группа нейронов начинает работать автоматически, иногда без воздействия внешнего импульса. Это своего рода повторяющийся (итерационный) процесс с растущим узором. Группа нейронов перемещается в мозге, причем это перемещение зависит от воспоминания о подобных узорах.

Об этих процессах известно еще мало. Но, быть может, не пройдет и столетия, как эта проблема станет частью новой, захватывающей науки. Не так давно ученые, например Джон фон Нейман, стали исследовать сходство между действием человеческого мозга и компьютера. Раньше местом нахождения мысли люди считали сердце; со временем все более очевидной становилась роль мозга в процессе мышления. А, может быть, в действительности процесс мышления вообще зависит от всех чувств.

Мы привыкли считать мышление линейным процессом, недаром мы говорим о «ходе» мыслей. Однако мышление на подсознательном уровне может оказаться гораздо более сложным. Быть может, подобно тому, как на сетчатке глаза существуют одновременные зрительные впечатления, в человеческом мозге тоже могут находиться одновременные, параллельные, имеющие независимое происхождение, абстрактные впечатления? В нашем мозге протекают процессы, которые невозможно представить в виде линейной последовательности. Возможно, в будущем появится целая теория, посвященная поиску в памяти, но не с помощью одного сенсора, а с помощью сразу нескольких, подобно тому, как это происходит, когда несколько спасателей ищут заблудившегося в лесу человека. Эта проблема поиска — один из самых крупных разделов комбинаторики.

Что происходит, когда человек неожиданно вспоминает забытое слово или имя? Или когда он пытается вспомнить его? Что-то поворачивается в подсознании. Человек пробует разные пути: он перебирает один за другим звуки, буквы, длинные или короткие слова. Следовательно, слово хранится в памяти, состоящей из множества отсеков. Если бы оно хранилось целиком в одном месте, вспомнить его было бы просто нереально. Время — это тоже параметр, и, несмотря на то, что в нашем сознании существует, как нам кажется, только одно время, в подсознании может существовать много таких времен. Кроме того, присутствует механизм синтезирования или суммирования. Можно ли вообще ввести систему автоматического поиска, хитроумную систему, которая не перебирает абсолютно все, а бегло просматривает только нужные элементы?

Однако, я уже достаточно отвлекся на рассуждения о памяти, и пора вновь вернуться к своему рассказу. Добавлю только, что мне хотелось бы обладать хотя бы отчасти способностями Владимира Набокова, который лишь по нескольким образам из прошлого мог воссоздавать целые панорамы воспоминаний. В самом деле, можно сказать, что художник, имея перед собой великое множество разнообразных впечатлений, «зарисовывает» на сетчатке своих глаз только самые ценные, самые существенные их фрагменты, которые его мозг суммирует для последующего хранения в памяти. Вероятно, именно таким способом карикатурист передает наиболее характерные черты лица всего-навсего несколькими штрихами. Еоворя математическим языком, эти штрихи являются глобальными характеристиками функции или фигуры, состоящей из множества точек. В этом более прозаичном повествовании я тоже опишу лишь более формальные моменты.

В 1918 году мы вернулись во Львов, который к тому времени вошел в состав новой Польской республики. В ноябре того же года город осадили украинские войска, встретив сопротивление лишь немногочисленного отряда солдат и вооруженного населения. Наш дом располагался в относительно безопасной части города, хотя и там время от времени раздавались взрывы артиллерийских снарядов. Как в более безопасное место, к нам стали перебираться наши родственники — кажется, около тридцати человек, причем половина из них — дети. Кроватей, конечно, не хватало, и многие спали прямо на полу на свернутых коврах. Во время бомбежки нам приходилось спускаться в подвал. До сих пор помню, как в один из таких дней моя мама торопила меня спускаться вниз, а я упрямился, желая сначала зашнуровать свои ботинки. Должно быть, для взрослых те времена были, мягко говоря, трудными, но только не для нас, детей. Как ни странно, я запомнил их полными веселья от наших детских забав, игр в прятки, а также в карты, которым я вместе с другими детьми научился за две недели до снятия осады прибывшей из Франции польской армией. Для детей воспоминания о военном времени не всегда бывают тяжелыми.

Новая угроза нависла над городом во время польско-русской войны 1920 года. Кавалерия Буденного пересекла границу Польши и продвинулась в глубь страны примерно на пятьдесят миль. Однако победа, одержанная Пилсудским на Варшавском фронте, спасла южный фронт и положила войне конец.

В 1919 году, когда мне исполнилось десять лет, я сдал вступительный экзамен и был зачислен в гимназию. Это была средняя школа на манер немецкой гимназии и французского лицея, с восьмилетним курсом обучения. Я был отличником по всем предметам, за исключением чистописания и рисования, хотя особым усердием в учебе не отличался.

Одним из пробелов в моих знаниях была химия, которой в школе уделялось очень мало внимания, и теперь, спустя уже полвека, когда я интересуюсь биологией, это весьма затрудняет мое изучение элементарной биохимии.

Примерно в то же время я обнаружил, что у меня есть проблемы со зрением — оно не было как у многих людей бинокулярным. Я узнал об этом в школе. Шла проверка зрения учеников, и я вместе с другими мальчиками из нашего класса ждал своей очереди читать таблицы. В ожидании я просто так прикрыл рукой один глаз и с ужасом заметил, что своим правым глазом я могу видеть лишь самые большие буквы таблицы. Я испугался, подумав, что если об этом узнают, меня заставят остаться после занятий, поэтому я решил запомнить расположение всех букв в таблице. Думаю, тогда я в первый раз сознательно сказал неправду. Когда подошла моя очередь, я успешно «прочел» буквы таблицы и меня отпустили. Но с тех пор я знал, что мои глаза видят по-разному. Один из них близорукий, другой, нормальный, позже стал дальнозорким.

Явление это довольно редкое, но хорошо известное медицине и, видимо, передается по наследству. Я до сих пор не ношу очки, хотя, чтобы прочесть своим близоруким глазом печатный текст, мне приходится наклоняться к листу бумаги как можно ближе. Конечно, я не отдаю себе отчета в том, какой именно глаз «трудится» в данный момент. Позже, уже в Мэдисоне, доктор сказал мне, что такое зрение имеет свои преимущества перед нормальным, т. к. оно позволяет глазам поочередно отдыхать. Иногда я задумываюсь над тем, могла ли эта особенность зрения, повлиявшая на мою манеру читать, воздействовать и на склад моего ума.

Размышляя о том, когда и как я вдруг стал интересоваться наукой, я всегда вспоминаю одну популярную книгу по астрономии, а точнее, некоторые иллюстрации из нее. Это был учебник «Астрономия неподвижных звезд» («Astronomy of Fixed Stars») Мартина Эрнста, профессора астрономии из университета Львова. В нем я увидел репродукцию портрета Исаака Ньютона. В то время мне было девять или десять лет — возраст, в котором ребенок еще не способен сознательно оценить привлекательность лица. Однако я хорошо помню, что этот портрет показался мне необыкновенно красивым, особенно глаза. Он сочетал в себе физическую привлекательность и некую таинственность, исходящую от лица. Позднее я узнал, что автором этого портрета Ньютона в молодости, с волосами до плеч и в рубашке с открытым воротом, был художник Г. Неллер.

На других хорошо запомнившихся мне рисунках были изображены кольца Сатурна и пояса Юпитера. Рисунки эти вызывали во мне чувство удивления, аромат которого сложно описать, поскольку он иногда ассоциируется с впечатлениями невизуального происхождения, подобными чувству, внушаемому изысканным примером научного рассуждения. Это ощущение появляется время от времени на протяжении всей жизни так же, как знакомый аромат, который чувствуешь временами. И вместе с этим ароматом приходят сопутствующие ему воспоминания детства или юности.

Сегодня, когда я читаю описания астрономических явлений, ко мне возвращаются эти зрительные воспоминания. Они приходят, сопровождаемые чувством ностальгии (не меланхоличным, но, напротив, очень приятным), и тогда во мне начинают созревать какие-то новые идеи или внезапно появляется желание с новой энергией предаться умственному труду.

Мой интерес к астрономии достиг высшей своей точки, когда мой дядя Шимон Улам подарил мне маленький телескоп. Я испытал тогда незабываемые эмоции. Это был рефрактор с двухдюймовым объективом и медной или бронзовой трубой.

С тех пор, стоит мне увидеть в антикварном магазине инструменты подобного рода, как мною овладевает ностальгия, и, по прошествии всех этих десятилетий, мне вновь хочется быть в курсе новых открытий и современных проблем астрономии.

В то время меня притягивало все непонятное, например, я очень интересовался вопросом уменьшения периода обращения кометы Энке. Давно уже было установлено, что каким-то загадочным образом трехлетний период обращения этой кометы вокруг Солнца неравномерно уменьшается. Астрономы девятнадцатого века пытались объяснить это явление воздействием сил трения или присутствием в пространстве какого-то нового невидимого тела. Меня очень взволновало то, что никто не знал точного ответа. Я стал задумываться над тем, может ли знаменатель г2 в ньютоновой формуле всемирного тяготения быть не совсем точным, и начал прикидывать, как изменится период обращения кометы при различных значениях расстояния, если степень слегка отличается от двойки. Эта была весьма любопытная умственная попытка — ведь тогда я пытался произвести вычисления, руководствуясь скорее своим внутренним чутьем в совокупности с рассуждением, чем оперируя числами и символами.

Ни одна из звезд не могла удивить меня своей величиной. Тогда уже были рассчитаны параллаксы многих звезд, Бетельгейзе и Антарес считались намного больше Солнца (хотя точных данных по этому поводу не было), были известны расстояния до них. Я выучил названия созвездий, арабские названия некоторых звезд, расстояния от Земли до этих звезд и значения их светимости. Я также знал двойные звезды.

По сравнению с замечательной книгой Эрнста, другая книга, которая называлась «Планеты и условия жизни на них» («Planets and the Conditions of Life on Them»), была несколько необычной. Постепенно я пополнил свою библиотеку до восьми или десяти книжек по астрономии, в числе которых была замечательная книга Ньюкома — Энгельмана «Астрономия» на немецком языке. В довершении всего, правило Тициуса-Боде, позволяющее определить расстояние от планет до Солнца, внушило мне такой энтузиазм, что я решил стать астрономом или физиком. Одну из своих тетрадей я так и подписал: «С.Улам, астроном, физик и математик». Мне было тогда одиннадцать. С тех пор меня никогда не покидала любовь к астрономии. Думаю, что она была одной из тех тропинок, что привели меня в математику.

Сегодня Львов может показаться вам простым провинциальным городом, но это далеко не так. Многие ученые часто читали здесь публичные лекции, посвященные новым астрономическим открытиям, новой физике и теории относительности. Лекции эти собирали очень широкую аудиторию: их слушали юристы, врачи, бизнесмены и просто любопытные.

Популярностью пользовался и психоанализ Фрейда. Однако теория относительности была, несомненно, гораздо сложнее.

В 1919–1920 годах в газетах и журналах о теории относительности писали так много, что я решил выяснить, что она собой представляет. С этой целью я посетил ряд популярных лекций по этой теме. Конечно, в том возрасте я не мог понять деталей, однако я все же получил довольно ясное представление о самой идее теории. Когда маленький ребенок начинает учиться говорить, процесс его овладевания речью проходит без какого бы то ни было знания грамматики языка. Но, оказывается, и в точных науках можно уловить суть, не обладая при этом полным пониманием их фундаментальных положений. Так, я понял схему специальной теории относительности и даже некоторые из ее следствий, хотя не знал их математического обоснования. Я считаю, что вопрос о так называемом понимании не имеет ничего общего с однозначно положительным или отрицательным ответом, хотя мы и не располагаем пока специальным методом определения уровней понимания или глубины знания причин явлений.

Об этом интересе узнали друзья моего отца, который заметил, что я действительно «разбираюсь» в теории относительности. Отец часто повторял: «Да этот маленький мальчик, кажется, понимает самого Эйнштейна!» Так у меня появилась «репутация», и я чувствовал себя обязанным сохранить ее, хоть и знал, что, на самом деле, я не понимаю деталей этой теории. С этого времени обо мне заговорили как об «одаренном ребенке», что стало для меня стимулом к дальнейшему изучению популярной научной литературы. Я уверен, что это ощущение стимула знакомо многим детям, которые впоследствии становятся учеными.

Каким образом ребенок приобретает привычки и интересы, предопределяющие его будущность — вопрос малоизученный. Одно возможное объяснение — «плагиат», непостижимая способность ребенка к подражанию, копированию внешних впечатлений, к примеру, улыбки матери. Другое объяснение я усматриваю в его врожденном любопытстве. Как иначе объяснить то, что мы сами по собственной инициативе стремимся обогатить свой опыт новыми ощущениями, вместо того чтобы просто реагировать на раздражители?

Склонности, вероятно, являются частью унаследованной системы связей в мозге, генетической особенностью, которая, может быть, даже не зависит от физического расположения нейронов. Ведь очевидно, что происхождение головных болей связано с тем, насколько свободно кровь циркулирует в мозге, что, в свою очередь, зависит от того, расширены или сужены кровеносные сосуды. Возможно, важна именно «водопроводная система», а не расположение нейронов, которое обычно ассоциируется с местом протекания мыслительного процесса.

Другим определяющим фактором может быть случайность начального успеха или неудачи в новом поиске. Я думаю, что и качество памяти развивается подобным образом — в результате случайностей, которые имели место в начале, или беспорядочных внешних воздействий, а, быть может, благодаря удачному сочетанию первого со вторым.

Взять, к примеру, талант шахматиста. Хосе Капабланка обучился игре в шахматы в шесть лет, наблюдая за игрой отца и дяди. Поэтому его способности к шахматной игре развивались без всякого приложения к тому усилий, с той же естественностью, с какой ребенок учиться говорить, и которая так не свойственна взрослым в их начинаниях. У многих других знаменитых шахматистов первый интерес к игре также возник при наблюдении за игрой их родственников. Когда же они сами попробовали сыграть и с первого же раза выиграли партию, возможно, совершенно случайно, в них утвердилось желание продолжить это занятие. Ведь, как известно, нет лучшего стимула, чем успех, особенно в юности.

Меня игре в шахматы обучил отец. У него была брошюра по игре в шахматы, и он часто разбирал со мной наиболее известные из описанных в ней партий. Меня приводил в восхищение ход коня, в особенности, тот оригинальный способ, каким конь мог угрожать сразу двум фигурам соперника. Хотя это была всего лишь простая хитрость, я находил ее особенно замечательной и с тех пор полюбил эту игру.

Нельзя ли подобным же образом объяснить талант математика? Ребенок, скажем, делает успехи в арифметике; возможно, это лишь чистое везение. Однако они побуждают его идти дальше, накапливая все больше опыта и тем самым расширяя границы своей памяти.

Я заинтересовался математикой в довольно раннем возрасте. В библиотеке отца имелась замечательная серия книг на немецком языке под названием «Reklam». В нее входила «Алгебра» Эйлера. Я часто листал ее страницы, и книга эта внушала мне чувство некой таинственности. Все символы казались мне, десятилетнему мальчишке, магическими знаками, и я очень хотел знать, смогу ли когда-нибудь понять их. Вполне возможно, что это способствовало дальнейшему развитию моей любознательности. Например, я сам научился решать квадратные уравнения. Я отдавался этому занятию с невероятной сосредоточенностью и каким-то болезненным, не вполне осознанным напряжением. То, что я делал, было равносильно мысленному возведению в квадрат какого-либо числа без бумаги и карандаша.

В старших классах очередным стимулом для меня стала задача о существовании совершенных нечетных чисел. Как известно, целое число называют совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, включая единицу, кроме делителя, равного данному числу. Так, числа 6 = 1 + 2 + 3 и 28 = 2 + 4 + 7 + 14 являются совершенными. Вы спросите: бывают ли нечетные совершенные числа? К сожалению, вопрос об их существовании остается открытым до сих пор.

Школьные уроки математики меня по большей части не удовлетворяли. Я считал их скучными, и у меня совсем не лежала душа к заучиванию определенных формальных операций. Поэтому мне больше нравилось изучать математику самостоятельно.

Где-то в пятнадцать лет мне попался трактат по исчислению бесконечно малых величин, написанный Герхардтом Ковалевским. Мои знания аналитической геометрии и тригонометрии были слишком малы, однако идея пределов, определения вещественных чисел, понятия производных и интегрирования заинтриговали меня, захватили целиком. Тогда я принял решение ежедневно читать одну или две странички из этой книги и попытаться узнать необходимые факты по тригонометрии и аналитической геометрии из других книг.

Еще две книги я купил в комиссионном магазине. Могу с уверенностью сказать, что не помню, чтобы какая-то другая из прочитанных мною впоследствии книг заворожила бы меня так сильно, как эти две, написанные Серпинским — «Теория множеств» и монография по теории чисел. В результате в семнадцать лет я знал о теории элементарных чисел столько же, а быть может, и больше, чем знаю сейчас.

Я прочитал также книгу Гуго Штейнгауза «Что является и что не является математикой» («What Is and What Is Not Mathematics») и замечательные работы Пуанкаре «Наука и гипотеза» («La Science et la Hypothèse»), «Наука и метод» («La Science et la Mèthode»), «Ценность науки»(«La Valeur de la Science») и «Последние мысли» («Dernieres Pensees») в польском переводе. Их язык, не говоря уже о научной ценности, приводил меня в восхищение. Я должен сказать, что Пуанкаре, несомненно, повлиял на формирование моего научного мышления. Если прочесть одну из его книг сегодня, то сразу увидишь, как много замечательных истин науки прошлого остается важным для науки настоящего, несмотря на то, сколь потрясающие произошли за это время перемены и в математике, и, тем более, в физике. Я восхищался и Штейнгаузом, рассмотревшим в своей книге множество истинно математических задач.

В соответствии со школьной программой из всех математических разделов нам полагались лишь алгебра, тригонометрия и начала аналитической геометрии. В седьмом и восьмом классах, когда всем нам было не больше шестнадцати — семнадцати лет, мы прослушали курс элементарной логики и обзорные лекции по истории и философии. Эти предметы нам читал профессор Завирский. Истинный ученый, преподаватель университетской кафедры, он просто заражал своим энтузиазмом. На его занятиях мы узнавали о последних направлениях в перспективных областях современной логики. Самостоятельно изучив книги Серпинского, я даже смог вызвать его на обсуждение некоторых аспектов теории множеств, обычно во время перемен или же в его кабинете. Меня тогда интересовали вопросы, связанные с трансфинитными числами и гипотезой континуума.

Другим моим собеседником, с которым я мог до полного изнеможения обсуждать математические вопросы, выдвигать обширные новые проекты, придумывать новые задачи, теории, методы, граничившие с фантастическими, был Мецгер. Этот юноша был старше меня на три-четыре года и увлекался математикой так же страстно, как и я. Поэтому друзья моего отца, знавшие Мецгера, решили познакомить нас. Мецгер жил в еврейском квартале, бывшем гетто. Он был невысоким, полным мальчиком со светлыми волосами. Как-то мне довелось увидеть портрет Гейне в молодости, и он напомнил мне лицо моего товарища. Людей такого склада можно встретить и сейчас, но реже. Они демонстрируют дилетантский подход ко всему, даже к самым основам математики. С Мецгером мы обсуждали «итерационное исчисление»[1], не имея практически никакого понятия о его математических основах. Он был просто безумцем и проявлял поразительную безудержность в своем стремлении переделать все и вся, столь типичном для еврейской нации. Стефан Банах отметил как-то, что подобное свойство характера — настойчивое желание перевернуть все традиционные устои было присуще некоторым евреям — Иисусу, Марксу, Фрейду, Кантору. Оно было присуще и Мецгеру, хоть и не проявлялось в нем с таким размахом. Если бы он получил лучшее образование, то наверняка добился бы успехов. Но семья Мецгера была очень бедна, а его польский при отталкивающем акценте и гортанной речи был безнадежен. Спустя несколько месяцев он неожиданно исчез, и я больше никогда не видел его. Только сейчас я в первый раз за эти годы вспомнил о нем. Возможно, он еще жив. Как бы то ни было, это воспоминание о Мецгере и наших дискуссиях воскрешает в памяти цвет и аромат «абстракций», которыми мы обменивались.

Как ни странно, даже в том юном, незрелом возрасте я иногда пытался проанализировать ход своих мыслей. Я считал, что смогу понять их лучше, если в процессе своих рассуждений буду регулярно, через каждые несколько секунд возвращаться от текущей мысли к предшествующей и отслеживать таким образом формирование всей цепочки умозаключений. Однако я, разумеется, прекрасно осознавал, насколько чреваты слишком длительные и частые занятия подобным самоанализом.

В те годы мое представление об астрономах и ученых, в частности математиках, формировали исключительно книги. Первые «живые» впечатления я получил, посетив в 1926 году ряд популярных лекций по математике. Несколько дней подряд с докладами выступали Гуго Штейнгауз, Станислав Рузевич, Стефан Банах и другие ученые. Прежде всего меня поразила их молодость — немало прочитав и услышав об их достижениях, я ожидал увидеть бородатых, видавших виды корифеев науки. Я слушал их с жадным любопытством. Тогда же сложилось мое самое первое впечатление о Банахе, такое же молодое, как я сам в те годы, — меня впечатлил его самобытный талант. Став со временем глубже, ярче, «повзрослев», это впечатление оставалось во мне на протяжении всего нашего длительного знакомства, сотрудничества и, наконец, дружбы.

В 1927 году в Львове проходил конгресс математиков, для участия в котором были приглашены многие иностранные ученые. Я узнал об этом от профессора Завирского, который добавил также, что с докладом выступит молодой, блестящий математик Джон фон Нейман. Именно тогда я впервые услышал это имя, но, к сожалению, я не смог тогда посетить ни одной лекции, поскольку в то время в гимназии была пора выпускных экзаменов.

И все-таки интерес к науке не отнимал все мое время. Я с упоением читал самых разнообразных авторов: как польских писателей, так и зарубежных — Толстого, Жюля Верна, Карла Мэя, Г. Д. Уэллса и Анатоля Франса. Когда я был помладше, то любил читать биографии и приключенческие рассказы.

Наряду с умственной деятельностью я активно занимался спортом. В четырнадцать лет вместе со своими одноклассниками я стал играть в футбол, был вратарем, правым форвардом, да кем только я не был! Я также играл в теннис и активно занимался не только футболом, но и бегом.

После занятий мы с одноклассниками нередко оставались играть в карты, чаще всего в бридж и наиболее простой вид покера, делая маленькие ставки. Как правило, в покер выигрывали старшие ребята. Я объяснил бы это самым элементарным проявлением проницательности, которая, как известно, с годами не только не ослабевает, но становится все глубже. Кроме того, два или три раза в неделю я играл в шахматы. Я был одним из самых лучших игроков в своем классе и, несомненно, владел чувством расклада при игре, хотя и не обладал выдающимися способностями. Ведь в шахматах, как и в математике, необходимыми условиями достижения мастерства являются постоянная практика, постоянная тренировка ума и способность предвидеть события.

В 1927 году я сдал выпускные экзамены, и для меня наступил период неопределенности. Мне было нелегко выбрать будущую профессию. Отец, который всегда хотел, чтобы я стал юристом, и собирался передать мне всю свою обширную практику, теперь признал, что мои интересы имеют совсем иную направленность. Кроме того, юристов в Львове хватало. Мысль о карьере в стенах университета была привлекательной, но достичь звания профессора было нелегко, особенно людям с еврейским происхождением, которое имел и я. Поэтому я связывал свои надежды с таким учебным заведением, учеба в котором позволила бы мне иметь в будущем какую-то практическую профессию и одновременно была бы связана с наукой. Родители настояли на том, чтобы я стал инженером, и тогда я подал заявление в Львовский политехнический институт о зачислении на факультет машиностроения или электротехники.

Глава 2. Студенческие годы

1927–1933

Осенью 1927 года я начал посещать лекции в политехническом институте на факультете общих исследований[2], поскольку набор на факультет электротехники уже был завершен. Уровень обучения был заметно более высоким, чем в средней школе, хотя, прочтя Пуанкаре и несколько специальных математических трактатов, я с наивностью ожидал, что каждая лекция будет шедевром стиля и изложения. Конечно же я был разочарован.

Поскольку многие разделы математики я изучил самостоятельно, я начал посещать занятия второго курса в качестве слушателя. Это были лекции по теории множеств, а читал их Казимир Куратовский, молодой профессор, только приехавший из Варшавы, ученик Серпинского, Мазуркевича и Янишевского. Я был студентом-первокурсником. Он же, так сказать, профессором-первокурсником. С первой же лекции я был очарован изысканностью, лаконичностью и четкостью его объяснения и даваемого им материала. С самого начала я участвовал в дискуссиях с Куратовским активнее, чем большинство старших студентов, так как, прочитав книгу Серпинского, я более или менее разбирался в этом предмете. Думаю, он быстро отметил меня как одного из наиболее способных студентов, и после занятий он часто уделял мне индивидуальное внимание. Так, поощряемый Куратовским, я начал карьеру математика.

Вскоре я мог ответить на некоторые наиболее сложные вопросы по курсу теории множеств и начал ставить перед собой другие задачи. С самого начала я не мог не ценить то великодушие и терпение, с которыми Куратовский уделял столько времени новичку. Несколько раз в неделю во время обеденных перерывов я сопровождал его до дома, до которого было минут двадцать ходьбы, и успевал за это время задать ему несметное количество вопросов, касающихся математики. Спустя годы Куратовский сказал мне, что эти вопросы были иногда действительно важными, а иногда оригинальными и интересными.

Курсы, которые я слушал, включали математический анализ, исчисление, классическую механику, начертательную геометрию и физику. Перерывы между занятиями я обычно проводил в кабинете одного из преподавателей математики. В то время я как никогда в своей жизни стремился заниматься только математикой и ничем другим.