Волчок и применение его свойств

Александр Краснов

ВОЛЧОК И ПРИМЕНЕНИЕ ЕГО СВОЙСТВ

Введение

Волчок, кубарь, юла…

У кого из ребят не вызывала восхищения и любопытства эта забавная детская игрушка?

В представлении большинства взрослых волчок — тоже всего лишь занимательная игрушка. Очень немногие представляют ее значение для техники. А между тем волчок — важнейшая деталь ряда приборов и механизмов. Без этой «игрушки» многое в технике оказалось бы невозможным или трудно осуществимым.

Об основных замечательных свойствах волчка, о том, как волчок используется в технике, мы и расскажем в этой книжке.

Фуэтé, жонглирование, охота и волчок

Пытливо всматриваясь в происходящее вокруг нас, нетрудно обнаружить много удивительных явлений.

Все знают, например, что устоять на кончике пальцев одной ноги невозможно. Но одна из фигур балетного танца, так называемое фуэтé, казалось бы, опровергает это (рис. 1).

Рис. 1. Балерина, исполняющая фуэте.

Секрет раскрывается очень просто. В фуэте балерина быстро вращается. Опытные танцоры прекрасно знают, что такую фигуру тем легче выполнить, чем быстрее вращение.

Жонглеры нередко исполняют довольно оригинальный номер с ножами. Подбрасываемые один за другим, ножи сохраняют все время строго определенное положение в пространстве (рис. 2).

Рис. 2. Жонглирование быстро вращающимися ножами.

Внимательно понаблюдав за действиями жонглера, мы обнаружим, что подбрасываемые ножи быстро вращаются вокруг оси, проходящей вдоль лезвия и рукоятки. Попытавшись подбросить не вращающийся нож, мы заметим, что он падает беспорядочно.

Попробуйте удержать тарелку на тонком стержне.

Это легко удастся, если она быстро вращается. Опытный жонглер манипулирует сразу несколькими тарелками, вращающимися на стержнях (рис. 3).

Рис. 3. Жонглирование быстро вращающимися тарелками.

Удивительного успеха достигает жонглер с быстро вращающимся шаром, легко удерживая его на кончике пальца. Затем вдруг шар оказывается на туго натянутой веревке, свободно перемещаясь по ней. С веревки артист снимает шар кончиком меча; шар «пробегает» по лезвию, перекатывается на руки жонглера, затем на спину, со спины на другую руку.

Не успеют стихнуть аплодисменты, как артист приступает к «номеру», еще более изумительному по своему эффекту. Жонглер начинает вдруг бросать к зрителям одну за другой несколько шляп. Шляпы, пролетая вереницей над головами зрителей, постепенно «набирают высоту». Затем, к изумлению публики, описав небольшую дугу, они возвращаются в руки артиста.

Пристально наблюдая за полетом «удивительных» шляп, мы обнаружим, что жонглер бросает их не как придется. Шляпа быстро вращается и летит под определенным углом к горизонту, перемещаясь в воздухе подобно бумерангу.

Бумеранг — это один из видов метательного оружия древних народов Индии, Египта, Австралии. Это чрезвычайно любопытное оружие. Бумеранг летит к цели, описывая причудливую траекторию. Не попавший в цель и не встретивший препятствия, бумеранг неизменно возвращается к бросившему его охотнику.

Нетрудно сделать маленькую модель бумеранга из кусочка тонкого картона. Такой бумеранг надо «запускать» щелчком по его уголку, как показано на рис. 4.

Рис. 4. Бумеранг из картона.

Плоскости бумеранга или поля шляпы должны быть изогнуты подобно винту самолета. Кроме того, эти плоскости должны совпадать с направлением полета.

Летя в направлении броска, быстро вращающаяся шляпа и бумеранг как бы ввинчиваются в воздух. Сила сопротивления воздуха стремится поставить их под прямым углом к направлению полета. Но сила броска значительно больше этого сопротивления. Вот почему шляпа или бумеранг движется по восходящей линии, «с набором высоты».

Когда энергия, сообщенная при броске, иссякает, бумеранг, продолжая вращаться, начинает под действием силы тяжести падать.

Но и в этом случае быстро вращающийся бумеранг или шляпа из-за сопротивления воздуха не падает вертикально, а, скользя по воздуху, возвращается обратно.

Из этого примера мы убеждаемся, что шляпа и бумеранг устойчиво сохраняют свое положение в пространстве также вследствие вращения. Этот вывод подкрепляется еще более простым опытом с вареным куриным яйцом.

Как поставить куриное яйцо на заостренный конец, носок? Это можно сделать, лишь приведя яйцо в быстрое вращение. Вовсе не обязательно вращать его, поставив на носок. Лежащее на боку куриное яйцо, к нашему удивлению, при вращении вдруг «само по себе» встает на носок, сохраняя некоторое время это необычное положение.

Тела яйцеобразной формы подобны детской игрушке — волчку.

Неподвижный волчок также лишен устойчивости. Сколько бы мы ни пытались поставить его на заостренный конец, он будет безжизненно валиться на бок.

Совершенно иное происходит с быстро вращающимся волчком. Опираясь о поверхность своим острием и быстро вращаясь вокруг оси, волчок стоит будто «вкопанный» (рис. 5).

Рис. 5. Положение быстро вращающегося волчка.

Попытаемся свалить вращающийся волчок, толкнув его пальцем. Как это ни странно, он не упадет, а лишь отскочит в сторону, продолжая быстро вращаться.

Подбросив невращающийся волчок, мы увидим, что он беспорядочно переворачивается в воздухе. Приведем затем волчок в быстрое вращение на дощечке и подбросим его. Теперь он устойчиво сохраняет свое положение. Упав обратно, он по-прежнему продолжает вращаться. При этом наклон поверхности не изменит положения его оси. Волчок будет перемещаться под уклон, сохраняя свое вертикальное положение (рис. 6).

Рис. 6. Различные случаи «поведения волчка». А — невращающийся волчок, подброшенный, взлетает, беспорядочно кувыркаясь в пространстве; Б — быстро вращающийся волчок, подброшенный, устойчиво сохраняет свое положение в пространстве; В — на наклонной плоскости быстро вращающийся волчок легко «сбегает» под уклон, устойчиво сохраняя вертикальное положение своей оси в пространстве.

Вращающийся волчок замечателен прежде всего устойчивостью, то есть способностью неизменно сохранять вертикальное положение.

Но почему вращающиеся тела проявляют такую удивительную устойчивость?

К рассказу об этом мы и перейдем.

Математическая русалка

Удивительные свойства волчка издавна привлекали внимание многих ученых. Еще в XVIII веке делались попытки практически использовать эти свойства.

В механике волчком называют твердое тело, которое вращается около какой-то оси, имеющей неподвижную точку.

Математическое решение задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки представляет большую трудность и сложность. Полностью эта задача не решена и до настоящего времени.

Решить ее пытались многие ученые.

Вначале решение того или иного частного случая задачи, казалось бы, шло благополучно, но в итоге ничего не получалось. По этому поводу замечательная русская женщина, крупнейший ученый, Софья Васильевна Ковалевская говорила, что задача о вращении твердого тела может быть названа «математической русалкой».

Теоретическое решение задачи о вращении твердого тела осуществлено лишь для трех частных случаев. Окончательного, полного решения этого вопроса нет и поныне.

Решения трех частных случаев были выполнены в разное время крупнейшими учеными: членом Российской Академии наук Леонардом Эйлером, французским ученым Жозефом Луи Лагранжем и первой русской женщиной-ученым Софьей Ковалевской.

Л. Эйлер в своем знаменитом сочинении «Теория движения твердого тела» в 1765 г. дал решение задачи о движении вращающегося твердого тела, у которого центр тяжести (точка, через которую проходит сила тяжести тела при любых возможных положениях его) находится в точке опоры (рис. 7).

Рис. 7. Волчок, законы вращения которого открыл в XVIII веке член Российской Академии наук Леонард Эйлер.

Такой волчок, даже не вращаясь, сохраняет устойчивое равновесие.

Несколько позже Ж. Л. Лагранж (1736–1813 гг.) решил задачу более сложную, чем Л. Эйлер (рис. 8).

Рис. 8. Волчок, законы вращения которого открыл в конце XVIII и начале XIX века французский ученый Жозеф Луи Лагранж.

Он решил задачу вращения твердого тела, центр тяжести которого находится выше точки опоры.

Таким образом, труды Л. Эйлера и Ж. Л. Лагранжа были положены в основу теории «волчка». С тех пор многие ученые во всем мире пытались продолжить решение этой задачи. Однако на протяжении почти ста лет их попытки терпели неудачу. «Математическая русалка» не давалась ученым. Французская Академия наук установила специальную премию Бордена в размере трех тысяч франков лишь за усовершенствование решения этой задачи в «каком-либо существенном пункте».

Эта награда, вручаемая по конкурсу, долгое время не присуждалась никому; теоретические работы по «усовершенствованию в каком-либо существенном пункте» на рассмотрение не поступали. Так безуспешно прошли два конкурса.

По условиям конкурса следовало представить два пакета под одним и тем же названием (девизом). В одном из них должно было находиться решение задачи, а во втором — записка с именем представившего материал. Вначале вскрывали пакет с решением задачи, и специалисты давали заключение по нему. После этого вскрывали второй пакет, где была указана фамилия автора. Это исключало возможность пристрастной оценки.

В 1888 г. одна из пятнадцати работ, поступивших на третий конкурс, вызвала особенный восторг ученых, членов конкурсной комиссии. Эта работа значилась под девизом: «Говори, что знаешь, делай, что обязан, будь, чему быть».

Конкурсная комиссия, состоявшая из ряда крупнейших ученых, единодушно вынесла решение выдать автору этой работы премию, увеличенную с трех до пяти тысяч франков.

В отзыве о работе, заслужившей такое одобрение, между прочим, говорилось, что она является «замечательным трудом, который содержит открытие нового случая… автор не удовольствовался прибавлением решения к тем решениям, какие перешли к нам по этому предмету от Эйлера и Лагранжа, а сделал из своего открытия углубленное исследование с применением всех возможностей современной теории функций».

После этого, вскрыв второй конверт с девизом, комиссия узнала, что автором работы, получившей такое блестящее заключение, является Софья Васильевна Ковалевская.

Известный французский математик Дюбуа-Реймон, выступая на торжественном вручении премии, сказал: «Софья Ковалевская не только превзошла немногих предшественниц в математическом образовании, но заняла между современными математиками одно из самых видных мест. Она получила премию за решение вопроса о вращении твердого тела под влиянием действующих на него сил. Решение третьей задачи, самой сложной, принадлежит Ковалевской. Ее решением исчерпываются средства современного анализа».

Сложность задачи, решенной Софьей Ковалевской, нетрудно понять, если учесть, что у исследованного ею «волчка» центр тяжести находится где-то в стороне от точки опоры (рис. 9), а следовательно, вне оси вращения.

Рис. 9. Самый сложный случай быстро вращающегося волчка, законы движения которого открыла Софья Васильевна Ковалевская.

Движение такого волчка вокруг оси неравномерное, прерывистое.

Решение задачи, рассмотренной С. В. Ковалевской, чрезвычайно сложно. В математическом изложении его под силу разобраться только крупнейшим математикам, что подтверждается, например, такими фактами.

При вручении премии президент Французской Академии наук астроном Жансен говорил:

«Между венками, которые мы даем сегодня, один из прекраснейших и труднейших для достижения возлагается на чело женщины. Наши сочлены нашли, что труд ее является свидетельством не только глубокого и широкого знания, но и признаком ума великой изобретательности».

Высокое одобрение столь сложному труду С. В. Ковалевской дал старейший французский математик того времени Шарль Эрмит. Он писал Софье Васильевне, что с нетерпением ожидает опубликования ее трудов, чтобы заняться исследованием отдельных элементов этой работы, предполагая «собирать колосья со сжатого ею поля». Он надеялся путем исследования ее труда совершить ряд новых открытий.

Глубина и широта задачи, решенной Софьей Васильевной, настолько грандиозны, что обстоятельному исследованию этой ее работы с физической и математической сторон и детальному анализу возможных случаев посвятил всю жизнь один из учеников Н. Е. Жуковского — Г. Г. Аппельрот.

С. В. Ковалевская опубликовала еще три работы по исследованию вращения твердого тела. За одно из этих дополнительных исследований ей была присуждена в 1889 г. премия Шведской Академии наук.

По словам отца русской авиации, знаменитого русского ученого Н. Е. Жуковского, работы С. В. Ковалевской в области вращения твердого тела составили ей огромную славу ученого.

Петербургская Академия наук впервые в истории отступила от своих правил, избрав Софью Васильевну Ковалевскую по предложению русского ученого П. Л. Чебышева своим членом-корреспондентом, предварительно внеся изменения в Устав Академии, не позволявший этого сделать.

Значение избрания С. В. Ковалевской трудно переоценить. Ведь в то время женщин не допускали даже в высшие учебные заведения.

Прикладное значение классических работ Л. Эйлера, Ж. Л. Лагранжа и С. В. Ковалевской огромно. Они облегчили проведение ряда исследований по практическому использованию свойств волчка в астрономии для изучения фигур планет и во многих других отраслях науки и техники для самых различных целей. Крупные работы о волчке теоретического и практического характера выполнены русскими учеными: Булгаковым Б. В., Горячевым Д. И., Жуковским Н. Е., Колосовым Г. В., Крыловым А. Н., Ляпуновым А. М., Николаи Е. Л., Чаплыгиным С. А. и другими, а также зарубежными, например Леви-Чивита.

Познакомимся теперь несколько подробнее с основными законами «поведения» быстро вращающегося волчка.

Причины устойчивости

Внимательно наблюдая за «поведением» предметов, находящихся вокруг нас, мы обнаружим ряд любопытных явлений.