Помоги проекту - поделись книгой:
Итак, панорама, которая была представлена физикам в начале весны 1926 года, не могла быть более парадоксальной: в их распоряжении имелись две механики, которые объясняли и прогнозировали одни и те же явления, несмотря на то что в каждой использовался абсолютно разный подход и намечалась абсолютно разная концепция микрокосмоса. Если Шрёдингер называл матричную механику «противоестественной», то Гейзенберг не сдавался и окрестил волновую механику «отталкивающей». Некоторые физики — сам Шрёдингер, Карл Эккарт (1902-1973) и Вольфганг Паули (1900-1958) — стремились прояснить формальные отношения между обеими механиками. Они пришли к выводу, что оба механизма математически эквивалентны, хотя их доказательство того, что можно построить матрицы Q и Р на основе волновых функций Ψ и наоборот, было не совсем корректным.
В признании сходства между двумя механизмами есть заслуга Гильберта. Он посмеивался над Борном и Гейзенбергом, так как, открыв матричную механику, они столкнулись с теми же трудностями, с которыми, конечно же, сталкиваются все математики, работающие с бесконечными матрицами. Когда они обратились за помощью к Гильберту, он сказал им (вспомнив свою работу над интегральными уравнениями 20-летней давности), что единственный раз он столкнулся с матрицами, когда те появлялись как побочный продукт изучения собственных значений дифференциального уравнения с граничными условиями (то есть когда интегральное уравнение преобразовывалось в систему бесконечных линейных уравнений). Он предположил, что если они найдут дифференциальное уравнение, порождающее эти матрицы, то, возможно, получат больше информации. Гейзенберг и Борн подумали, что он сказал это для того, чтобы отвязаться от них, а на самом деле не знал решения этого вопроса. Позже Гильберт шутил, указывая на то, что если бы они его тогда послушали, то открыли бы волновую механику Шрёдингера на полгода раньше него. Это был путь, по которому шли Шрёдингер, Эккарт и Паули, чтобы показать идентичность обеих теорий с математической точки зрения.
Поль Дирак
Осенью 1926 года Паскуаль Йордан и британский физик Поль Адриен Морис Дирак (1902-1984) независимо друг от друга начали разрабатывать теорию преобразований, чтобы раз и навсегда объединить квантовые механики. Так как квантовые величины, введенные Гейзенбергом, определяли новый тип алгебры (для него умножение не было коммутативным), Дирак решил назвать q-числами величины, которые так себя ведут (хотя q здесь происходило не от слова quantum, а от английского queer, то есть «странный», «необычный»). Итак, абстрактная алгебра #-чисел допускает различные представления или образы (так же как одна и та же система аксиом может допускать разные модели), два из которых — матричная и волновая механика.
Для того чтобы все преобразования между представлениями квантовой механики работали корректно, Дирак был вынужден прибегнуть к использованию вымышленной математической сущности — дельта-функции, которая на самом деле функцией не была. Для физиков это стало полезной идеализацией, привести которую к строгому виду должны были математики. Для математиков, наоборот, это понятие оказалось подозрительным и не обладающим математической реальностью, его использование оправдывалось только физическими применениями. Дельта-функцию Дирака ждала печальная участь, поскольку лишь в 1950 году она нашла свое место в рамках теории распределений, созданной Лораном Шварцем (1915-2002). До этого из-за отсутствия у нее строгости она оставляла равнодушными математиков Гёттингена.
И именно тогда в Гёттинген приехал молодой Джон фон Нейман, чтобы поработать в качестве помощника Гильберта. Блестяще защитив докторскую диссертацию по теории множеств, он начал читать лекции по функциональному анализу вместе с Эрхардом Шмидтом в Берлине. В то время Гильберт пытался найти рациональную математическую модель для квантовой механики; но его аксиоматический подход развивался медленно, потому что ученый страдал злокачественной анемией (смертельным заболеванием, от которого он исцелился благодаря нетрадиционным методам). В 1926-1927 году Гильберт попросил своего ассистента по физике Лотара Нордгейма разложить для него по полочкам суть последних исследований, чтобы иметь возможность читать курс квантовой механики, применяя свой любимый аксиоматический метод. Фон Нейман вдохнул жизнь в проект. Под предводительством Гильберта они втроем ринулись искать строгое математическое оформление. Так, в 1927 году они вместе написали статью «Об основаниях квантовой механики». Гильберт хотел заставить работать интегральную формулировку физических проблем, более практичную, чем дифференциальный вариант, выраженный посредством волнового уравнения или дискретной версии в матричных терминах. Так же как и венгерский физик Корнелий Ланцош (1893-1974) в 1926 году (что любопытно, за месяц до того, как Шрёдингер опубликовал свое знаменитое уравнение), Гильберт, Нордгейм и фон Нейман разработали квантовую механику, пользуясь интегральными уравнениями. Однако результат этого первого приближения не был удовлетворительным, поскольку они не смогли избежать тупика дельты Дирака, чтобы перейти от одной формулировки к другой.
Фон Нейман закончил работу по аксиоматическому обоснованию квантовой механики в одиночку. Он сделал это в период с 1928 по 1932 год, опубликовав серию из пяти статей и монументальный трактат «Математические обоснования квантовой механики». Чтобы придать прочную математическую основу квантовой теории, он отказался от использования дельта-функций Дирака и от предпочтения интегральных уравнений Гильберта. У него было другое оружие: функциональный анализ. Он создал абстрактное аксиоматическое обрамление, гильбертово пространство, которое включало в себя частные матричный и волновой случаи.
Математические пространства, на которых были построены матричная и волновая механика, были очень разными: одно было дискретным и алгебраическим, другое — непрерывным и аналитическим. Как убедился фон Нейман, нет ничего удивительного в том, что их унификация не может быть достигнута без некоторого насилия над формализмом и математикой. Однако он заметил, что пространства функций, определенных в них, были в основном идентичными. Состояния атома были представлены в матричной механике посредством последовательностей чисел суммируемого квадрата, так что функциональное пространство, которое стояло за этим, было i2, то есть гильбертовым пространством по определению. Волновые функции волновой механики всегда относились к интегрируемому квадрату, то есть принадлежали функциональному пространству Lr И для этих двух пространств действовала теорема Фишера — Риса, хорошо известная математикам с 1907 года и гласящая, что оба эти пространства изоморфны. Так фон Нейман решил головоломку математической эквивалентности квантовых механик, показав, что механика Гейзенберга (сосредоточенная на матрицах и суммах) и механика Шрёдингера (сосредоточенная на функциях и интегралах) математически эквивалентны, поскольку являются вычислениями в двух изоморфных, идентичных гильбертовых пространствах.
До этого времени под гильбертовым пространством понималось одно из двух конкретных пространств £2 или Lr Фон Нейман первым задумал абстрактное гильбертово пространство в современном его понимании. Избегая конкретных представлений, он работал с понятиями, полученными из аксиом, и пришел к распространению спектральной теории Гильберта в соответствии с квантовыми потребностями.
Гильберт еще в начале века установил основы пространства бесконечной размерности. Но волей судеб такая абстрактная математическая теория, задуманная с опережением в 20 лет, подошла к замку квантовой механики. С тех пор математическая структура квантовой физики сопряжена с гильбертовым пространством. Описание состояния квантовой системы делается через вектор этого пространства. И физические величины изучаются с помощью операторов, определенных в гильбертовом пространстве. В результате появления квантовой механики теория гильбертовых пространств оказалась аксиоматически обоснованной, чему Гильберт был свидетелем.
ГЛАВА 4
Кризис оснований
С развитием математической логики и теории множеств удалось приблизиться к понятию, которое до той поры казалось бесполезным, — бесконечность. Но при этом углубилась трещина, проходящая по основанию математики. Наличие многочисленных парадоксов показало, что здание математики построено на песке. Тогда математики включились в гонку переоснования своей науки. Некоторые ученые встали на сторону логицизма Фреге и Рассела, другие разделились на две непримиримые группы: лидером интуиционистов стал Брауэр, а формалистов возглавил Гильберт.
В 1920 году Гильберт направился в беспокойные воды оснований математики и до конца карьеры развивал исключительно эту область. В некоторой степени ученый с удвоенными усилиями возобновил свое исследование оснований математики, хотя на этот раз он был немного более амбициозен, чем 20 лет назад. Он действовал не в одиночку. Его верными оруженосцами стали Пауль Бернайс (1888-1977), один из его ассистентов в Гёттингене, и Вильгельм Аккерман (1896-1962), преподаватель средней школы, его бывший ученик (Гильберт отказался дать ему должность в университете, узнав, что тот намеревается обзавестись семьей, поскольку, по его мнению, это отвлекло бы его от исследовательской деятельности). Важной составляющей этой работы в долгий межвоенный период стали оживленные дискуссии немецкого математика и его ближайших коллег с виднейшими европейскими математиками, которые придерживались противоположных взглядов.
Началом размышлений вокруг предмета математики исторически считается последняя четверть XIX века. Однако любопытство в отношении природы математического знания не ново, ему 2000 лет. Первый кризис оснований произошел в Древней Греции, когда разрушилась пифагорова арифметика. Пифагорейцы полагали, что все числа рациональны, но вскоре выяснилось, что существуют также иррациональные числа (как V2). Открытие этих неизмеримых чисел вызвало раскол в их математике. Рациональные числа не полностью описывали действительность. Континуум действительных чисел (например, прямая) образован не дискретным набором индивидуальных атомов. Работы Евдокса (IV век до н.э.) по обоснованиям примирили сознание с иррациональной бесконечностью и заложили фундамент, на котором была воздвигнута евклидова геометрия.
Работы, связанные со вторым кризисом оснований, уже в XX веке разъясняли, в чем заключаются метод, строгость и истина новой математики — скорее аксиоматичной, чем интуитивной, скорее экзистенциальной, чем конструктивной. Нужно понимать, что не избежал Гильберт и подводных камней. В их числе выделим ряд антагонических понятий математики, которые возникли не из ничего, а уходят корнями в историю развития самой точной из наук. Распространение математического анализа с начала XIX века, наряду с зачатками теории множеств и математической логики, — это путеводная нить дисциплины, которая стала называться философией, или основаниями математики. Но вернемся на некоторое время к истокам.
Платонизм — изначальная философия математики. Приверженцами этой позиции среди прочих были Платон, Кантор, Гёдель... Любопытно, что первым платоником был не Платон, а Пифагор, который слепо верил, будто все есть число и математические объекты реально существуют. Как числа, так и треугольники или окружности существуют сами по себе, независимо от их толкования и нашего представления о них. Неоплатоники во главе с Блаженным Августином (IV век) утверждали, что бесконечное количество чисел в действительности существует в божественном разуме. И кому хватило бы глупости утверждать, будто Бог прекращает счет на каком-то числе, каким бы большим оно ни было?
Перенесение термина платонизм из области философии в математику произошло на лекции, которую в 1934 году читал Пауль Бернайс, первый помощник Гильберта. Бернайс хотел дать возбуждающее интерес название способу восприятия современной математики, в которой математические объекты не строятся, а понимаются как заданные. Для Кантора, например, реальность чисел была намного ощутимее реальности чувственного мира, поскольку числа существуют в виде вечных идей божественного интеллекта. Гёдель пошел еще дальше и рассматривал математические множества как объекты настолько же реальные, как и физические тела. Математики-платоники, имя которым легион, не изобретают математические теоремы, а открывают их.
Недостаток платонизма заключается в том, что он перенаселяет небеса. Платонизм хорош, когда необходимо утверждать, будто реально существуют простые математические сущности (треугольник в целом, квадрат в целом или общее количество натуральных чисел). Но он рушится, едва мы оставляем в стороне объекты античной математики и обращаемся к надуманным объектам современной математики — классам, множествам, функциям и сложным абстрактным структурам, которые выходили на первый план в XIX веке.
Греки основали геометрию и подчинили ей арифметику. Но благодаря алгебре постепенно арифметика стала независимой от геометрии, что 2000 лет спустя дало возможность осуществить обратное приведение. Геометрия нашла свое место в алгебре, которая, в свою очередь, располагалась в арифметике, усиленная новым исчислением Ньютона и Лейбница. Но арифметизацию математики, произошедшую между XVII и XVIII веками, требовалось вернуть к греческой строгости и положить конец фокусам исчисления бесконечно малых.
В начале XIX века мрак математического анализа был почти абсолютным. Огюстен-Луи Коши (1789-1857) порвал с традицией бесконечно малых и переосновал анализ на понятиях предела и функции. Понятие функции было уточнено одновременно с развитием теорий дифференцирования и интегрирования. Но «Курс анализа» Коши, который увидел свет в 1821 году, строился на понятии непрерывности. Как вычисление пределов, так и работа с функциями требовали выверенного определения континуума чисел, на основе которого производились операции. Но что же представляет собой континуум? Доказательствам основных теорем анализа требовалось предварительное доказательство непрерывности прямой действительных чисел. Те, кто преподавал анализ, не знали верных доказательств теорем и пытались сделать так, чтобы официальные мистические операции принимались на веру. Это происходило даже с базовой теоремой Больцано, гласящей, что если функция непрерывна на определенном отрезке и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где эта функция равна нулю. Нечто подобное происходило в то время и с геометрией, и именно Гильберт прояснил понятие непрерывности.
В середине XIX века основная проблема состояла в том, чтобы построить действительные числа (континуум) на основе рациональных чисел, поскольку было известно, как построить последние на основе целых, а целые — на основе натуральных. Натуральные, целые, рациональные, действительные... всю математику. В 1872 году были предложены несколько теорий построения действительных чисел. Во-первых, это теория действительных чисел: ее смогли воспроизвести на основе конспектов занятий Вейерштрасса, который идентифицировал каждое действительное число с бесконечной суммой рациональных чисел. Во-вторых, это теория Кантора, аналогичная теории Шарля Мерэ (1835-1911), в которой каждое действительное число — предел последовательности рациональных чисел. И наконец, это теория Дедекинда, в которой действительное число — всего лишь сечение, оно подразумевает разделение всех точек прямой на два класса: расположенные слева и справа от сечения. Для любого сечения на прямой всегда есть действительное число, которое делит прямую на две части. Если Платон утверждал, что бог вечно геометризует, то Дедекинд объявил, что человек вечно арифметизирует. Все числа свелись, по сути, к натуральным. Это настоящий интеллектуальный подвиг. Но что такое натуральные числа?
Поскольку арифметика напоминала дерево, которое безустанно растет вверх, в то время как его корни уходят вглубь, возникло первое течение, связанное с основаниями, — логицизм. Познакомимся с ним и с его первым идеологом, Готлобом Фреге (1848-1925). Этот немецкий математик отстаивал идею, что вся математика базируется на натуральных числах. Но как их построить? Ключ был, по его мнению, в области логики.
Всю жизнь Фреге был угрюмым преподавателем в Йенском университете. Учеников у него было так мало, что регулярно его занятия посещали только двое: один философ и один военнослужащий в отставке, который учился для души. Он был неспособен говорить на другие темы, кроме логики и математики, и всегда тактично сводил любой разговор к ним. Результатом этой одержимости была «Концептография», опубликованная с подзаголовком «Подражающий арифметике формальный язык чистого мышления» в 1879 году. Фреге наполнил новым вином старые бурдюки логики, создав «математическую логику».
Традиционная логика пребывала не в лучшем состоянии, несмотря на то что, по-видимому, исчерпала себя еще при Аристотеле. Но логика начала лукавить с математикой. Раймунд Луллий (1232-1315) в Ars Magna и Хуан Карамуэль (1606— 1682) в Mathesis Audax задумали вид логической алгебры, в которой все рациональные истины понимались в рамках вида вычислений универсальной записи, названной Лейбницем как calculus ratiocinator. Философы больше не испытывали необходимости в полемике, иначе они решали бы их, как будто их можно вычислить. Они усаживались бы за свои столы, брали в руки перья и говорили друг другу: посчитаем! Эти семена проросли в алгебру логики, которую Джордж Буль (1815-1864) вывел в своих «Законах мышления» в 1854 году.
Но Фреге больше интересовался логикой алгебры, чем алгеброй логики, и в своей «Концептографии» формализовал логику пропозиций и предикатов (логику первого порядка), то есть рассуждений о некоторых объектах и свойствах, удовлетворяющих этим объектам, но не о свойствах, которые проверяют такие свойства (это епархия логики второго порядка). Позже в «Основах арифметики» (1884) он заложил базу программы логицизма, которую последовательно изложил в томах «Основных законов арифметики, выведенных концептографически» (1893-1903). Фреге утверждал, что логика предшествует математике и, следовательно, математические понятия должны быть сведены к логическим. Математика — лишь дополнение к логике.
Значит, арифметика была логикой в последней инстанции, и арифметические понятия должны быть проанализированы в чисто логических терминах: «вычислить значит вывести». Говоря словами Фреге, «арифметические предложения — это логические законы, хотя не первичные, а производные». Если упростить окаменелую строгость работ Фреге, в которых педантичности и точности поровну, можно сказать, что он пришел к определению чисел с помощью классов, то есть с помощью множеств, или ансамблей. Каждому натуральному числу соответствовал класс всех классов, которые были подобны (равномощны) заданному. Например, число 3 — это то, что есть общего у всех следующих классов: лепестки трилистника, цвета светофора и так далее. Таким образом, число 3 может быть идентифицировано классом всех этих классов. В целом Фреге идентифицировал число 0 с классом всех пустых классов, 1 — с классом всех одночленных классов, и так далее. И поскольку есть только одно пустое множество (которое обозначается как перечеркнутый кружок, здесь заменен Ǿ), 0 = Ǿ. Тогда число 1 определяется как класс из всех классов, равномощных классу [Ǿ], обладающий единственным элементом. Аналогично определялись остальные числа.
К несчастью, смелая программа Фреге была поставлена под сомнение из-за обилия логических парадоксов. В своих работах Фреге всегда исходил из принципа выделения, согласно которому каждому понятию можно назначить его расширение, то есть любое свойство определяет класс элементов, которые удовлетворяют этому свойству. Аксиома существования классов была «Базовым Законом V» «Основных законов арифметики», и именно ею объясняется широкое распространение логицизма Фреге. В письме от 16 июня 1902 года молодой математик Бертран Рассел (1872-1970) проинформировал преподавателя Фреге о том, что в рамках его системы на основе этого несчастного закона может быть выведено противоречие. Парадокс Рассела показывал, что назначение каждому свойству связанного с ним класса было делом рискованным. Узнав об этом противоречии, Фреге добавил приложение ко второму тому «Основных законов арифметики», в котором попытался спасти свой огромный труд, ограничив применение принципа выделения. Вскоре он понял, что от этого мало проку, и остановил публикацию третьего тома своей главной работы. Он так и не оправился от удара. Погрузившись в меланхолию, без всякой надежды, но и без страха он признавал катастрофу:
Продемонстрировав интеллектуальную целостность, которой Рассел восхищался всю жизнь, Фреге ответил последнему, что арифметика, а с ней и вся математика вновь пошатнулись. Здравого смысла не было достаточно для поддержания безопасности математики перед лицом угроз, исходящих от логики.
До весны 1901 года, когда Рассел обнаружил свой парадокс, согласно Фреге, считалось, что каждому свойству соответствует один класс, который образован сущностями, обладающими этим свойством. Рассел изучал поведение собственных классов, то есть тех, которые являются членами самих себя. Например, класс всех классов (который, являясь другим классом, принадлежит сам себе) или класс всех понятий (являясь другим понятием, также принадлежит сам себе). Логические огрехи неизбежны: если в библиотеке поместить имеющий черную обложку каталог всех книг в библиотеке, у которых имеется черная обложка, этот каталог каталогизирует сам себя.
Возьмем класс R всех классов, которые обладают свойством не быть членами самих себя, формально: R = [х: х /ϵ х], где ϵ — символ принадлежности (/ϵ здесь замена перечеркнутого ϵ). И зададимся вопросом, является ли R членом самого себя, если R ϵ R. Мы выясним, что любой ответ сразу же предполагает противоположный ответ. Если это так, то это не так. Если это не так, то это так. Действительно, если R ϵ R, то есть если R принадлежит самому себе, то, по определению, R /ϵ R, то есть R не принадлежит самому себе, поскольку это класс всех классов с этим свойством. Но и наоборот, если R /ϵ R, то R ϵ R, поскольку оно выполняет свойство, определяющее класс всех классов, которые не являются членами самих себя. В итоге получается противоречие: R ϵ R только тогда, когда R /ϵ R. Класс R принадлежит самому себе только тогда, когда он не принадлежит самому себе. Рассел был в недоумении от абсурда, с которым он столкнулся. Этому противоречию он затем дал название парадокса брадобрея: цирюльник в деревушке утверждает, что бреет всех мужчин, которые не бреются сами, и никого больше. В один прекрасный день, проснувшись, он задается вопросом, кто же бреет его, и в замешательстве осознает, что бреет сам себя тогда и только тогда, если не бреет сам себя. Бедный цирюльник попадает в настоящее логическое болото.
Французский математик Анри Пуанкаре был первым, кто указал на то, что источник парадоксов, атакующих логику, заключается в цикличности, в виде автореференции или принадлежности самому себе. Парадоксы держались на использовании непредикативных определений — тех, в которых определяемое входит в состав определения. Позже Рассел назвал это принципом порочного круга. Неудивительно, что нарушение этого принципа ведет к парадоксам, антиномиям и противоречиям, многие из которых признаются даже вне формальных языков, в естественных языках. В качестве примера служит хорошо известный парадокс лжеца, приписываемый Эпимениду Критскому (в своих письмах о нем упоминает даже святой Павел). В одном из стихотворений Эпименид порицает критян, называя их лжецами. Но поскольку он сам критянин, его утверждение, относящееся к самому себе, преобразуется в «я лгу». В этом случае то, что он говорит, не может быть правдой, значит, критяне не лгут. Но если они не лгут, то и Эпименид тоже, поэтому получается, что критяне лгут, и так далее.
Математическая логика, как ее стали называть вслед за Пеано, создавала одни только неприятности. И Пуанкаре, который считал ее бесполезной, смеялся: «Она уже не стерильна, она порождает противоречия». Несмотря ни на что логистическая программа, составленная Фреге, получила развитие благодаря бесцеремонности Бертрана Рассела и Альфреда Норта Уайтхеда (1861-1947).
В 1900 году на международном конгрессе по философии, проходившем в Париже, Рассел столкнулся с символической реформой Пеано. В 1889 году Пеано представил свои «Принципы арифметики», содержащие знаменитые пять аксиом (включая принцип индукции) для натуральных чисел, используя новую символику, которую разработал сам. В сообществе логиков и математиков одномерная символика Пеано была принята лучше, чем двумерная символика Фреге (за исключением его учеников, которые взбунтовались и не успокоились, даже когда Пеано предложил поставить всем зачет). В 1902 году, верный логицизму Фреге и символизму Пеано, Рассел опубликовал «Принципы математики». Но медовый месяц логики был коротким, потому что незадолго до публикации он открыл парадокс, который сегодня носит его имя. До 1910 года Рассел работал с Уайтхедом, и оба стремились справиться с противоречиями, которые вскрыл парадокс. В книге Principia mathematica (1911-1913) они глубже, чем кто-либо на сегодняшний день, погрузились в основания математики. Эта блестящая работа стала, говоря словами Гильберта, «коронацией аксиоматизации».
Чтобы избежать парадоксов, Рассел и Уайтхед сформировали теорию типов, в которой для того, чтобы X ϵ Y было правильно составленной формулой, требуется, чтобы тип значения Y был непосредственно выше типа значений X. Таким образом, пропозиция «класс всех стульев не является стулом» — не истинная и не ложная, а попросту лишена смысла, поскольку стульями могут быть только объекты, а не классы объектов. Другими словами, ошибочно распространять свойство одного типа на другой. При применении этой хитроумной теории авторы могли утверждать, что формулировки, ведущие к парадоксу Рассела, перестают иметь смысл: R ϵ R теперь являлось неправильно составленной формулой, поскольку в ней было задействовано не больше одного типа.
Бертран Рассел
Поделиться книгой: