Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

В первых попытках математические выкладки Эйнштейна были довольно примитивными, и результаты их были незначительными. Если геометрия пространства-времени должна была зависеть от ее энергетико-материального содержания, то есть если гравитация должна была искривлять пространство-время, требовалась изменчивая геометрия, не заданная изначально и существенно отличающаяся от обычной. Знакомый математик указал Эйнштейну на классические работы Гаусса, Римана и в особенности на публикации Грегорио Риччи (1853-1925) и Туллио Леви-Чивита (1873-1941) в 1901 году. Последние содержали большую часть элементов геометрии Римана, необходимых для общей теории относительности. Вместе со своим другом Марселем Гроссманом (1878-1936) Эйнштейн начал изучать эти работы и обнаружил, что в них содержится необходимый ему математический аппарат, о котором он раньше не подозревал. В конце 1913 года физик и математик совместно опубликовали 28-страничную брошюру «Набросок обобщенной теории относительности и теории гравитации». Их целью было смоделировать Вселенную как геометрическую четырехмерную разновидность, снабженную римановой метрикой, или расстоянием, заданным тензором:

       ₄

ds2= Σ g_ijd_xid_xj.

      i,J=1

Этот метрический тензор, который определял геометрические свойства (естественно, неевклидовы), характеризовал также гравитационное поле (см. рисунок на предыдущей странице). Однако уравнения гравитационного поля, содержащиеся в статье, не были верны, и вскоре от них отказались. Тогда для Эйнштейна начался долгий и утомительный период, прежде чем к концу ноября 1915 года он начал различать свет истины. Эйнштейн боролся с тензорным исчислением, чтобы получить правильные уравнения. Он внедрялся в область, куда осмелились ступить лишь некоторые математики. Одним из них был наш герой, Давид Гильберт.

С 1909-го и практически до 1920 года Гильберт демонстрировал большую склонность к теоретической физике, применяя к ней методы вариационного исчисления. Итогом этих лет стала книга, написанная в 1924 году в соавторстве с Рихардом Курантом. Учебник «Методы математической физики» в течение десятилетий пользовался огромным успехом. Гильберт направил свое внимание на насущные физические проблемы — атома и теории относительности. Благодаря поддержке Пауля Вольскеля, богатого немецкого промышленника, увлекавшегося математикой, Гильберт периодически организовывал в Гёттингене исключительные лекции и принимал знаменитых академиков из других стран (он шутил, что единственная причина, по которой он все еще не доказал последнюю теорему Ферма, состоит в задаче не получить 100 000 марок, назначенных за доказательство премии, и не сразить одним ударом курицу, несущую золотые яйца). Среди первых гостей были Пуанкаре и Лоренц, прочитавшие лекции по вопросам, связанным с релятивистской механикой. Но, пожалуй, самым нашумевшим событием стал приезд Эйнштейна в начале лета 1915 года. Это была их первая встреча. Эйнштейн читал цикл из шести лекций в Гёттингене и остановился в доме Гильбертов. Проведя несколько дней в его компании, Гильберт загорелся поставить свои математические способности на службу новым идеям гравитации. В течение последующих месяцев они оба лихорадочно работали, часто обмениваясь письмами. Они преследовали одну и ту же цель: найти уравнения общей теории относительности.

В какой-то момент Эйнштейна обеспокоила столь пылкая вовлеченность Гильберта в этот процесс, и когда в конце ноября 1915 года Гильберт предложил в письме Эйнштейну свои уравнения, тот, недавно нашедший итоговые уравнения общей теории относительности, сразу же обозначил собственное первенство. Гильберту оставалось только послать письмо с поздравлением.

УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Пространство-время Минковского четырехмерное. Материя искривляет его так, что объекты перестают двигаться по прямым линиям и начинают двигаться по кривым, по геодезическим, под действием гравитации или некоторого ускорения. Чем больше массы или энергии мы введем, тем больше искривится пространство-время Минковского. Отношение между присутствием массы-энергии и формы четырехмерного пространства-времени задано уравнениями поля Эйнштейна:

G_μν = (8πG)/(c4·T_μν).

В левой части уравнения появляется G_μν, то есть тензор кривизны Эйнштейна: он измеряет деформацию пространства и зависит, в свою очередь, от метрического тензора, от g_ij. расстояния. В правой части, кроме числа π, постоянной всемирного тяготения G и скорости света с, появляется тензор энергия-импульс Τ_μν, который воплощает материю. Подводя итог: пространство диктует материи, как она должна двигаться, а материя обозначает для пространства, как оно должно искривляться. Отметим, что в 1917 году Гильберту удалось доказать: евклидова геометрия является настоящей геометрией Вселенной только тогда, когда тензор энергия-импульс точно равен нулю, то есть при отсутствии материи. В любом случае то, что евклидова геометрия была сброшена с пьедестала в глобальном отношении, ни в коем случае не означает, что она не несет локальной пользы в нашем окружении.

Считалось, что Гильберт вывел уравнения теории относительности гравитационного поля раньше, чем Эйнштейн, хотя он никогда не оспаривал его первенство. Гильберт отправил свою статью в печать 20 ноября 1915 года, за пять дней до Эйнштейна. Воспользовавшись своими обширными математическими знаниями, он сформулировал вариационный принцип, из которого выводились уравнения гравитации и электромагнетизма (Эйнштейн, наоборот, ограничился гравитационным взаимодействием.) Он утверждал, что законы физики определяются тем, что некоторый интеграл достигает своего минимума. С другой стороны, некоторая функция, зависящая от римановой метрики, остается инвариантной к произвольным трансформациям координат. С гравитацией и электромагнетизмом он хотел сделать то же самое, что уже было сделано для геометрии: четко установить основания и вывести результаты из минимального числа аксиом или базовых принципов. Аксиоматическая структура, дедуктивный метод и вариационное исчисление — это три основных составляющих вклада Гильберта в физику.

Но если статья Гильберта содержала уравнения общей теории относительности в виде, где была геометризована не только гравитация, но и электромагнетизм, и была отправлена в печать на пять дней раньше, чем статья Эйнштейна, разве не означает это, что честь открытия общей теории относительности принадлежит Гильберту, пусть даже Эйнштейн подготовил ему почву? Ответ на этот вопрос отрицательный по двум причинам. Первая: теория Гильберта не идентична теории Эйнштейна. Формально они равносильны, но различались по физической интерпретации. Для Эйнштейна аксиоматический метод не имел большой пользы в материи; кроме того, в отличие от большинства своих коллег, он не был сторонником идеи, что любая физическая теория должна быть выражена через вариационный принцип. Хотя сегодня имя Эйнштейна ассоциируется у нас с физиком-теоретиком, зацикленным на крайне абстрактных вопросах, следует понимать, что как в годы учебы, так и в период творческого расцвета он всегда был очень близок к экспериментальной реальности. Ему была в большей степени свойственна индукция, чем дедукция.

НАУКА И ВОЙНА

В 1914 году большая часть европейцев в эйфории приветствовала начало Первой мировой войны. Гильберт, наоборот, с первых дней не скрывал, что война кажется ему абсурдной. В августе этого года 93 знаменитых немецких интеллектуала направили манифест «К цивилизованному миру» в ответ на возрастающее возмущение действиями немецкой армии. Под влиянием националистической пропаганды Феликс Клейн подписал это обращение, поддерживающее политику кайзера. Попросили его подписать и Гильберта, но тот отказался, объясняя это тем, что не знает наверняка, являются обвинения в адрес немецких войск ложными или нет. Эта позиция сблизила его с пацифистом Эйнштейном, который тоже отказался подписывать манифест. В разгар войны, в 1917 году, Гильберт опубликовал некролог Жану Гастону Дарбу(1842-1917), выдающемуся французскому математику, в котором превозносил этого ученого. Когда студенты окружили его дом, требуя переписать заметку, Гильберт потребовал у них извинений (и получил их). В результате европейские коллеги увидели в нем человека свободного духом, презирающего традиции и условности. Так что по окончании войны, когда Германия была разгромлена, его репутация сохранилась, и на первом международном конгрессе математиков, состоявшемся в межвоенный период (Болонья, 1928, VIII Международный конгресс математиков), он не колеблясь настаивал на универсальном характере математики, поскольку любые границы — это против природы.

Жан Гастон Дарбу.

Вторая причина, более важная, состоит в том, что, как недавно выяснил историк математики Лео Корри, содержание статьи, представленной Гильбертом в Академию наук 20 ноября, не совпадает с опубликованным. Гильберт внес исправления 6 декабря с учетом представленного Эйнштейном 25 ноября. Похоже, Гильберт изменил свои уравнения, чтобы приспособить их к уравнениям Эйнштейна. Так что этот небольшой спор не вылился в долгосрочную вражду.

У нас произошла размолвка, причины которой я не хочу анализировать. [...] Просто стыдно подумать, что двое приличных людей, сумевших отчасти отрешиться от мелких страстей человечества, не могут наслаждаться общением друг с другом.

Альберт Эйнштейн в письме Гильберту от 20 декабря 1915 года

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Если исследовательский этап Гильберта в области вариационного исчисления привел его к разработке общей теории относительности, то период между 1904 и 1910 годами, который он посвятил интегральным уравнениям, позволил ему сделать то же с квантовой механикой. Речь, конечно же, о самом важном вкладе Гильберта в математический анализ и опосредованно в физику, о ряде статей, которые позже он объединил в монографии «Основания общей теории линейных интегральных уравнений» (1912), содержащей не только строгую математическую теорию, но и множество разнообразных физических применений — от кинетической теории газов до теории излучения.

Но начнем сначала. Для интегрального уравнения характерно, что неизвестная функция также появляется внутри интеграла. Например:

         _b

x(t) + ∫K(t,s)x(s)ds = ƒ(t),

         a

где функция K(t, s) является ядром интегрального уравнения. При заданном ядре K(t, s) и функции ƒ(t) (непрерывные функции) требуется найти неизвестную функцию x(t).

В XIX веке было сформулировано несколько интегральных уравнений по физическим вопросам, таким как проблема брахистохроны или проблема Дирихле. Но только в 1888 году Поль де Буа-Реймон (1831 — 1889) ввел термин «интегральные уравнения» для их обозначения и заявил о необходимости разработать общую теорию этих уравнений в качестве альтернативного метода решения задач с дифференциальными уравнениями.

В 1900 году шведский математик Ивар Фредгольм (1866- 1927) позаимствовал внешне безобидное замечание итальянского математика Вито Вольтерры (1860-1940) и предложил новый способ решения проблемы Дирихле с использованием интегральных уравнений. Изучив уравнения потенциала, или уравнения Лапласа с граничными условиями, Фредгольм трансформировал проблему в интегральное уравнение, как приведенное выше, и воспользовался схожестью этого интегрального уравнения и системы бесконечных линейных уравнений, когда интеграл заменяется суммами Римана. Интеграл — это процесс вычисления площади, ограниченной кривой. Сумма Римана — по сути, всего лишь равносильный способ вычисления значения интеграла: проводится конечное число прямоугольников внутри площади, ограниченной кривой, и эта площадь приближается к сумме площадей каждого из этих прямоугольников (см. рисунок). Когда число прямоугольников стремится к бесконечности, суммы Римана сходятся в точном значении интеграла. В этой технике интегральное уравнение разрастается в систему бесконечных линейных уравнений. Следовательно, решить отправное интегральное уравнение — значит решить всю систему бесконечных линейных уравнений.

Сумма Римана — это сумма площадей прямоугольников на рисунке, которая служит для приближения к площади, ограниченной кривой, то есть к интегралу функции ƒ(x) от a до b.

Сенсационные результаты Фредгольма распространились со скоростью звука. Зимой 1900-1901 года гостивший в Гёттингене преподаватель провел аналогию между интегральными уравнениями и системами линейных уравнений на семинаре Гильберта, и тот живо заинтересовался данной темой и направил на нее всю свою производительность (в пылу он даже предсказал, что новый инструмент позволит в итоге доказать гипотезу Римана). Шесть работ на эту тему, опубликованные им между 1904 и 1910 годами, содержали зачатки нового ответвления анализа (функциональный анализ) и привели к понятию гильбертова пространства, основанию всей квантовой механики.

И СВЕРШИЛСЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ!

Функциональный анализ изучает функции в совокупности, то есть пространства функций. Наиболее явные его истоки находятся в интегральных уравнениях, которые определяют алгебраизацию анализа (типичный подход функционального анализа), но также присутствуют в вариационном исчислении, где впервые появляются идеи множества функций, допустимых для решения проблемы и расстояния между функциями (через функционал). Математический аппарат, утвердившийся с функциональным анализом, в конце 1920-х годов обратился в столп целой физической дисциплины — квантовой механики. Благодаря этому ключевому факту его мощные формулировки, связанные с распространением квантовых выкладок, постоянно обновлялись.

Функциональный анализ обобщает геометрические понятия w-мерного пространства (расстояние, теорема Пифагора и другие) до функциональных пространств бесконечной размерности. Среди этих пространств бесконечной размерности выделяется так называемое гильбертово пространство, построенное в области интегральных уравнений самим Гильбертом, но аксиоматизированное в связи с квантовой механикой его талантливым учеником Джоном фон Нейманом, который назвал пространство именем своего учителя около 1930 года.

Гильбертово пространство в зачаточном виде появляется в статье 1906 года (четвертой из шести статей об интегральных уравнениях и первой настоящей статье о функциональном анализе). Можно сказать, что гильбертово пространство образуют функции, являющиеся решением интегральных уравнений. Когда Гильберт изучал интегральное уравнение, ему в голову пришла идея рассмотреть особую систему функций, которая выполняла бы некоторые свойства (для тригонометрической системы — быть базисом функционального пространства) и свести решение уравнения к определению коэффициентов неизвестной функции относительно этой системы (точнее, координат неизвестной функции относительно этого базиса пространства). Рассматривая тригонометрическую систему, он старался найти неизвестную функцию, представив ее с помощью коэффициентов Фурье (бесконечной последовательности чисел, позволяющих выражать функцию интегрируемого квадрата в виде суммы тригонометрических функций, умноженных на эти числа). Коэффициенты, как он заметил, удовлетворяли условию конечности суммы их квадратов. После подстановки этих отождествлений (или разработок) в интегральное уравнение проблема преобразилась в проблему решения бесконечного числа линейных уравнений с бесконечными неизвестными (коэффициентами функций из суммируемого квадрата). Продолжая данный пример, если в уравнении

         _b

x(t) + ∫K(t,s)x(s)ds = ƒ(t),

         a

представить функции x(t), ƒ(t) и K(t, s) их коэффициентами Фурье, то это уравнение записывается как бесконечная система уравнений:

         _∞

xp + ∑kpqxq = ƒp                       p = 1, 2, 3...

        g=1

при условии, что сумма различных коэффициентов в квадрате конечна, то есть

_∞

∑x2p < ∞.

p=1

Таким образом, при переходе из царства непрерывного в царство дискретного интеграл преобразуется в сумму (аналогичную операцию).

Пространство всех последовательностей действительных чисел суммируемого квадрата (сегодня обозначаемое l₂), где нужно искать решение, — это и есть гильбертово пространство. В этом пространстве числовых последовательностей, по аналогии с обычным евклидовым пространством, Гильберт определил расстояние и распространил на него классические понятия предела, непрерывности и так далее. Как Гильберт, так и его лучшие ученики (в особенности Эрхард Шмидт) досконально исследовали это геометрическое сходство функционального пространства l₂ с обычным геометрическим пространством R". Вся теория о гильбертовых пространствах способствовала выходу на сцену первого известного пространства с бесконечным числом измерений в его каноническом представлении об l₂.

Эти годы были решающими, прежде чем появилась возможность общего анализа пространств функций. В 1906 году увидела свет докторская диссертация Мориса Фреше (1878— 1973), которая имела огромное влияние, поскольку в ней в абстрактном виде было введено понятие расстояния во множестве функций, а также остальные связанные геометрические понятия.

Через некоторое время, в 1907 году, два молодых математика — бывший ученик Минковского Эрнст Фишер (1875-1954) и Фридьеш Рис (1880-1956), в ту пору учитель средней школы из венгерского городка, — независимо друг от друга открыли неожиданную связь между расцветающим функциональным анализом и другим великим математическим открытием того времени — теорией интегрирования Анри Лебега (1875-1941), которая была призвана залатать прорехи классических теорий интегрирования Коши и Римана. Теорема Фишера — Риса гласит, что существует соответствие, или изоморфизм, между пространством Гильберта l₂ и пространством функций интегрируемого квадрата (которое сегодня мы называем L₂). В одночасье родилась вторая модель гильбертова пространства. Эти работы позволили ввести новые функциональные пространства, такие как обобщение уже известных: пространств l_р и L_p при р > 1 (например, если р = 3, пространство последовательностей/функций суммируемого/интегрируемого куба, и так далее).

Групповой портрет. Слева направо: Альфред Хаар, сын Гильберта Франц, его неразлучный друг Герман Минковский, неизвестная женщина, Кёте Г ильберт, Давид Гильберт и Эрнст Хеллингер.

Эйнштейн в гостях у Лоренца в Лондоне в 1921 году. Для установления теории относительности немецкий физик воспользовался работой Лоренца и Пуанкаре, а также математической помощью Г ильберта.

Джон фон Нейман, ученик Гильберта, который дал имя своего учителя гильбертову пространству.

Официально функциональный анализ был введен в 1922 году, когда вышла из печати книга «Лекции по функциональному анализу» Поля Леви (1886-1971). В том же году была опубликована докторская диссертация поляка Стефана Банаха (1892-1945), в которой тот стремился доказать ряд теорем, справедливых для различных функциональных пространств, не останавливаясь на конкретной природе этих пространств (на конкретных функциях, которые входят в их состав).

Любопытно, что многие открытия Банаха в области функционального анализа были сделаны в шуме «Шотландского кафе» во Львове (в то время считавшемся территорией Польши), где он нацарапывал заметки на мраморной крышке стола или на салфетке. Результатом этих заметок Банаха и других известных математиков, его компаньонов, стала «Шотландская книга» — один из самых важных математических документов XX века.

КВАНТЫ, МАТРИЦЫ И ВОЛНЫ

После тысячи и одной неудачной попытки объяснить излучения черного тела (то есть тела, находящегося в закрытой полости) немецкому физику Максу Планку (1858-1947) наконец это удалось. Он заявил, что излучение и поглощение энергии всегда происходит пучками, в прерывистом, или «квантизованном», виде. Энергия, как и деньги, не принимает значения внутри непрерывного диапазона, а только в дискретных единицах. «Дискретизация», объявленная Планком, была настоящим актом отчаяния. Рождение квантовой теории относится к 14 декабря 1900 года, когда его закон об излучении черного тела был представлен публично.

Но в числе действующих лиц старой квантовой теории, кроме Планка, присутствуют Альберт Эйнштейн и Нильс Бор (1885-1962). В 1905 году, ставшем чудесным годом, Эйнштейн применил квантовую гипотезу к изучению света: световые волны состоят из мельчайших частиц (которые позже получили название фотонов), как это видно из фотоэлектрического эффекта. До середины XIX века корпускулярное видение материи, наследство Ньютона, доминировало над волновым видением. До 1900 года существовала гибридная концепция: твердые тела и флюиды (жидкости и газы) считались состоящими из частиц, а электромагнитное излучение понималось как волны. Теперь же выяснилось, что физикам нужно отказаться от классической концепции материи (волна или частица) ради новой концепции: волна и частица (как в случае со светом).

В 1913 году Бор, стипендиат (благодаря поддержке фонда пивоваренной компании) лаборатории Эрнеста Резерфорда (1871-1937), квантизовал атом с целью объяснить атомные спектры. Прерывистые линии спектров были следствием квантизации энергии электронов внутри атома. К несчастью, модель атома Бора потерпела крах при применении ее к многоэлектронным атомам, и ученые постепенно приходили к выводу, что необходимо радикальное изменение в основаниях физики: появление нового вида механики (Макс Борн (1882-1970) назвал ее квантовой), который содержал бы связную аксиоматику, независимую от классических теорий, и преодолел бы мешанину из принципов, законов и вычислительных инструкций, составлявших старую квантовую теорию.

У Зоммерфельда я научился оптимизму, у гёттингенцев — математике, а у Бора — физике.

Вернер Гейзенберг

В 1925 году молодой физик Вернер Гейзенберг (1901-1976), приват-доцент в университете Геттингена, вывел основы квантовой механики, выздоравливая после приступа сенной лихорадки на острове Гельголанд. Гейзенберг настаивал, что множество всех частот и амплитуд излучения, испускаемого атомом, может считаться полным описанием системы атома, даже если невозможно истолковать его в смысле электронной траектории, которая вызывает излучение, поскольку орбиты электронов внутри атома ненаблюдаемы.

ОДНА ПРОБЛЕМА, ДВА РЕШЕНИЯ

Посмотрим, как квантовые механики решали проблему нахождения различных энергетических уровней электрона атома водорода. В матричной механике нужно было «диагонализовать» матрицу Гамильтона Н, измеряющую общую энергию системы, то есть определить матрицу S так, чтобы матрица W = S-1HS была диагональной; так диагональные элементы Е_n — это энергетические значения электрона:

В свою очередь, в волновой механике требовалось решить волновое уравнение Шрёдингера, то есть следующее уравнение в частных производных:

-Δψ + Vψ = Εψ,

где ψ — волновая функция (независимая от времени), V — потенциал, а Е — энергия. Если определить оператор Гамильтона как Η = -Δ + V (то есть кинетическая энергия плюс потенциальная энергия), предыдущее уравнение можно переписать, чтобы оно приняло вид Ηψ = Εψ и представляло собой то, что известно как проблема собственных значений, или проблема Штурма — Лиувилля, поскольку ею занимались французские математики Жак Шарль Франсуа Штурм (1803-1855) и Жозеф Лиувилль (1809-1882). Она называется так, поскольку это последнее уравнение допускает решение для некоторых значений ψ и Е, которые получают название собственных функций и собственных значений, соответственно.

Собственные значения

В классической физике собственные значения определяли, например, характерные частоты колебания упругой мембраны, так что любое колебание могло выражаться как наложение этих базовых видов колебания. В квантовой физике собственные значения Е_п — это как раз возможные уровни энергии электрона атома водорода. Разницы между этими собственными значениями дают частоты испускаемых квантов света (фотонов), описывая таким образом структуру спектра излучения атома. В свою очередь, различные состояния электрона заданы собственными функциями ψn, соотносящимися с собственными значениями. В математике множество собственных значений Еn матрицы или оператора называется спектром. В результате чудесного совпадения математический спектр (название для которого Гильберт выбрал случайно) в итоге стал ключевым для объяснения физических спектров атомов. Ученый говорил: «Я разработал теорию о бесконечных переменных и даже назвал ее спектральным анализом, совсем не предполагая, что позже она найдет применение для настоящего физического спектра». Это была счастливая случайность.

Жак Шарль Франсуа Штурм

Жозеф Лиувилль.

Кроме того, он выяснил, что эти множества чисел (соответствующие коэффициентам Фурье классического выражения движения электрона) не коммутируют. Другими словами, в отличие от классических величин, квантовые в целом выполняют QP ≠ PQ. Через несколько месяцев двое коллег из Геттингена, физик Макс Борн и математик Паскуаль Йордан (1902-1980), признали, что эти множества чисел Q и Р ведут себя как математические матрицы (хотя сам Гейзенберг, по его словам, даже не знал, что такое матрица). Матричная квантовая механика выросла в саду, возделанном Гильбертом. Однако Геттинген разделился на две группы: Гильберт и его сторонники верили в большой успех, обусловленный введением матричного исчисления в физику, а их противники отмахивались от утомительной метаматематики, наполнившей атомную физику.

В рождественские каникулы 1925-1926 года Эрвин Шрё- дингер (1887-1961) осветил волновую квантовую механику, пока наслаждался обществом своей последней возлюбленной (по словам Германа Вейля, его коллеги по Цюриху). В отличие от юных физиков и математиков Геттингена, но как представителю значительной части старой гвардии, Шрёдингеру не очень импонировала квантовая механика Гейзенберга, Борна и Йордана. В поисках интуитивно более понятной теории, в которой бы применялись только классические математические инструменты, он вывел свое знаменитое волновое уравнение. Идея возникла при изучении движения электрона, как если бы речь шла о волновом движении, волновая функция Ψ которого отвечала бы за описание состояния системы. Его работа была принята с воодушевлением, потому что решить дифференциальное уравнение — чем физики занимались уже несколько веков — казалось намного проще, чем найти решение некоторых матричных уравнений.