Помоги проекту - поделись книгой:
Аристотель первым стал исследовать различие между «потенциальным бытием» и «актуальным». Можно сказать, что ребенок — это потенциальный взрослый, а глыба мрамора — потенциальная скульптура. Когда ребенок вырастает, он становится «актуальным» взрослым; скульптор превращает мрамор в актуальную скульптуру. «Звание потенциального мудреца равно дается и тому, кто ничего не изучает», — утверждает Аристотель в книге IX своей «Метафизики», видимо с долей иронии. В том же труде он говорит о бесконечности:
Таким образом, бесконечность всегда существует потенциально, в возможности, но никогда не бывает актуальной. На протяжении более двух тысяч лет, точнее до середины XIX века, аристотелевское отрицание актуальной бесконечности поддерживали почти все западные ученые — и философы, и математики. Поэтому стоит задержаться по крайней мере на двух аргументах, приведенных Аристотелем для обоснования своего утверждения.
Аристотель, «Физика»
В книге III «Физики» Аристотель говорит, что существование актуальной бесконечности недопустимо, поскольку во Вселенной нет ни одного тела с бесконечным объемом, ни одного промежутка времени с бесконечной длительностью, другими словами, нет актуально бесконечных величин. Аристотель подкрепляет это несуществование философскими рассуждениями. Однако не будем останавливаться на них, поскольку современная физика соглашается с древнегреческим ученым. Например, если объем Вселенной бесконечен только в потенции, в ней не может быть тела с актуально бесконечным объемом.
Поскольку не существует бесконечных величин, нет смысла говорить об «актуально бесконечных числах» или об «актуально бесконечном количестве», ведь они ничего бы не измеряли и были бы лишены всякого смысла.
Сопоставим рассуждения Аристотеля (определявшие европейскую науку тысячи лет) с процитированным в начале главы письмом, в котором Кантор сообщает Дедекинду, что он пришел к «самым удивительным, самым неожиданным идеям» в теории бесконечных чисел. Это противоречие является первой причиной такой революционности и такого количества противников. Второй аргумент, который мы прокомментируем, Аристотель приводит в книге VIII «Физики»: неверно, что отрезок состоит из бесконечного числа точек. Ученый приводит философское доказательство, но оно также может быть перенесено в область математики. Уточним, что говоря «точка», мы подразумеваем «математическую точку», то есть объект, не имеющий длины, ширины и высоты. «Орфографическая точка», которая ставится в конце предложения, не является математической — это просто очень маленькая окружность, точнее цилиндр, нарисованный чернилами, с очень маленьким, но не нулевым основанием и очень маленькой, но не нулевой высотой (см. рисунок 2). В случае с математической точкой ее длина по определению всегда равна нулю. Если мы соединим несколько точек, их общая длина будет равна 0 + 0 + 0 + 0 +... Не важно, сколько раз мы сложим нули — определенное число или бесконечное (даже если бы это было возможно), — сумма всегда будет равна нулю. Итак, если бы отрезок состоял из точек, он имел бы нулевую длину. Тем не менее мы знаем, что длина отрезков больше нуля, значит, они не могут состоять из точек. Мы вернемся к этому парадоксу в главе 3. Получается, что отрезок невозможно разделить на бесконечное количество частей. Возьмем отрезок длиной 10 см и разделим его на 10 одинаковых частей. Каждая из них будет равна 1 см. Если мы разобьем его на 100 равных частей, каждая будет равна 0,01 см. Если же мы разобьем его на бесконечное количество частей, каждая из них будет равна 0 см. Получится, что отрезок состоит из частей, равных нулю. Это невозможно, следовательно его нельзя разделить на бесконечное число частей.
Аристотель говорит, что этот второй аргумент доказывает существование бесконечности по делению (нельзя разделить объект на бесконечное количество частей), а первый аргумент — по сложению (не существует бесконечно больших величин). В любом случае, заключает он, актуальной бесконечности не существует.
Начиная со Средневековья положение Аристотеля о бесконечности стало практически религиозной догмой. Например, в V веке Святой Августин (354-430) в самом знаменитом своем труде «О граде Божием» писал: «Неужели Бог не знает всех чисел вследствие их бесконечности», не следует «признавать их не подлежащими божественному ведению, [...] мы не должны сомневаться в том, что Ему известно всякое число», хотя бы потому, что «разум Его неизмерим». Таким образом, актуальная бесконечность существует, но ее знание подвластно только безграничному разуму Бога. Требовать от человеческого разума понимания бесконечности — означает поставить его в один ряд с божественным, что является ересью. Георг Кантор был религиозным человеком и отдавал себе отчет в том, что касается этой стороны вопроса. Как мы увидим, развитие собственной математической теории актуальной бесконечности стоило ему немалых душевных усилий.
Теперь перенесемся во времени и рассмотрим работу Галилео Галилея (1564-1642) «Беседы и математические доказательства относительно двух новых наук» (1638). Как видно из названия, она написана в форме дискуссий. В них участвуют три персонажа: Сальвиати, выражающий точку зрения Галилея, Сагредо, образованный человек той эпохи, и Симплицио, представитель традиционной науки, основывающейся в том числе на трудах Аристотеля.
Две новые науки, упомянутые в заголовке этого труда, — статика и динамика, а вся книга в целом представляет собой критику аристотелевских законов физики. Хотя Галилей и разрушает большую часть постулатов древнегреческого ученого, он разделяет его настороженность в отношении актуальной бесконечности. Рассмотрим аргументы, предвосхищающие рассуждения Кантора.
Для начала вообразим себе огромный бальный зал, в котором находится большое, но конечное количество мужчин и женщин (см. рисунок 3). Предположим, что мы хотим узнать, кого из присутствующих больше: женщин, мужчин или же тех и других поровну. Один из способов ответить на этот вопрос состоит в том, чтобы пересчитать всех собравшихся женщин, потом мужчин и сравнить полученные данные. Поскольку это количество конечное, подсчет производится без проблем. Но есть и более изобретательный метод: когда заиграет музыка, можно попросить всех разделиться на пары (см. рисунок 4). В каждой паре должен быть один мужчина и одна женщина.
Если партнеров хватает всем и ни один мужчина и ни одна женщина не остаются без пары, то в зале одинаковое количество мужчин и женщин. Если же у всех женщин есть пара, но несколько мужчин остались одни, значит мужчин больше. Наконец, если пара есть у всех мужчин, но не у всех женщин, то в зале больше женщин.
Таким образом, если у нас имеются две законченные группы и каждый член одной из них соотносится с членом из противоположной группы так, что не остается «лишних», мы можем быть уверены, что в этих группах одинаковое количество членов. Можно ли перенести этот принцип на бесконечные группы?
От лица персонажа Сальвиати Галилей рассмотрел две конкретные группы: состоящую из натуральных чисел 0,1,2,3, 4,5,... и из квадратов чисел, получаемых при умножении числа на само себя, 0,1,4,9,16, 25,... Очевидно, считает Галилей, что если мы объединим группы квадратов чисел и не квадратов, то этих последних будет больше.
Следовательно, в первой группе больше членов, чем во второй. На самом деле Галилей начинал считать с 1, а не с 0, как мы, но это не меняет сути.
С другой стороны, продолжает ученый, каждому числу из первой группы можно подобрать число из второй. Достаточно взять натуральное число и его квадрат.
Это распределение по парам доказывает, что натуральных чисел столько же, сколько их квадратов, и противоречит сказанному выше — тому, что натуральных чисел больше. Так что же верно? Как решить этот парадокс? Галилей отвечает так:
Другими словами, он приходит к выводу, что абсурдно сравнивать группы с бесконечными членами и нельзя сказать, что одна бесконечная группа больше, меньше или равна другой бесконечной группе. И тем не менее примерно 250 лет спустя Георг Кантор решил измерить и сравнить бесконечные группы и сделал выводы, которые и Галилей, и Аристотель сочли бы неприемлемыми. Об этом следующая глава.
ГЛАВА 2
Кардинальные числа
Аристотель, Галилей и многие другие мыслители, жившие до XIX века, безапелляционно заявляли, что говорить о количестве членов бесконечного множества не имеет никакого смысла. В 1870-е годы этот подход был еще настолько распространен, что из осторожности никто бы не поставил его под вопрос, тем более в научной статье. Однако в 1874 году Кантор впервые ввел понятие «количества элементов бесконечного множества» и обозначил его как «кардинальное число (или мощность) множества».
Получив докторскую степень, еще в Берлине Кантор опубликовал три статьи в Zeitschrift fur Mathematik und Physik («Физико-математический журнал»): одну в 1868-м, а другие две — в 1869 году. В первой он рассматривал классическую арифметическую задачу и решал ее методами, которые даже по тем временам не были инновационными, зато в двух других приблизился к тому, что впоследствии обрело форму теории бесконечности.
Обе эти статьи были посвящены вычислению. В первой статье — (Jberdie einfachen Zahlensysteme («О простых числовых системах») — рассматривалось одно свойство иррациональных чисел, во второй — Zwei Satze iiber eine gewisse Zerlegung der Zahlen in unendliche Produckte («Две теоремы о разложении чисел на бесконечные множители») — возможность представить определенные числа как результат бесконечных произведений.
Тема «бесконечного произведения» затрагивала область исчисления, но надо пояснить, что здесь речь шла о потенциальной бесконечности. Так, если умножить 0,5 само на себя «бесконечное количество раз», то в результате получится 0, но это надо понимать в том смысле, что чем больше раз мы совершим это умножение, тем ближе мы подойдем к 0. Действительно, если мы перемножим 0,5 дважды, то получим 0,25; трижды — 0,125; четырежды — 0,0625, и так далее. Результат будет постепенно приближаться к 0. Здесь суть заключается в приближении, а не в актуально бесконечном произведении 0,5.
Мартин Гарднер, ^Нескучная математика. Калейдоскоп головоломок*, 1975 год
Пока Кантор писал эти статьи, на жизнь он зарабатывал уроками математики в женской гимназии и корпел над диссертацией на получение степени хабилитированного доктора. Она была необходима, чтобы преподавать в университете. Тема диссертации Кантора на латыни звучала как De transformatione jоплатит temariarum quadraticorum («О преобразовании тернарных квадратичных форм»).
Самым большим его желанием было получить место в университете Берлина или Геттингена, но пришлось довольствоваться положением в Галле. Он заступил на должность в 1869 году. Этот университет имел знаменательное прошлое, но в XIX веке слава его померкла. Кантор непрерывно пытался изыскать способ перевестись в Берлин или Геттинген, но все было напрасно, и ученый очень переживал по этому поводу.
В Галле под руководством Генриха Эдуарда Гейне (1821— 1881) Кантор окончательно сосредоточился на вычислении и с 1870 по 1872 год опубликовал пять статей (которые будут рассмотрены в следующей главе). В них он исследовал определенный тип бесконечных сумм. И хотя, как и бесконечные множества, они понимались потенциально, а не актуально бесконечными, именно вследствие этих первых работ в Галле Кантор задумался об актуальной бесконечности. Впервые она появилась в его научных трудах, хоть и неявно, в статье 1874 года.
Помимо публикации этой работы, разделившей его научную карьеру на «до» и «после», в 1874 году в жизни Кантора произошло еще одно важное событие — 9 августа он женился.
Валли Гутман, его невеста, тоже любила искусство, играла на фортепиано и брала уроки пения. Медовый месяц они провели в Интерлакене, туристическом городке Швейцарии. И чтобы лучше очертить характер ученого, отметим, что большую часть времени он беседовал о математике с Дедекиндом.
У Валли Гутман и Георга Кантора родились шестеро детей: четыре девочки и два мальчика. Веселый нрав Валли прекрасно дополнял серьезный и даже суровый характер Кантора и определял атмосферу их дома: как было принято в то время в кругах немецких университетских профессоров, семья вела очень активную общественную жизнь.
Теперь проанализируем статью liber eine Eigenschaft des Inbegriffes alter reellen algebraischen Zahlen («Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел»), опубликованную Кантором в 1874 году в «Журнале Крелле». В этой статье уже содержались основные идеи, которые позже позволили Кантору прийти к своей теории бесконечности, несмотря на то что Карл Вейерштрасс посоветовал ему скрыть их или хотя бы не подчеркивать их революционность. О чем же говорилось в статье? Что это были за идеи? Почему их следствия были столь провокационными? И что же это за «действительные алгебраические числа»?
Начнем анализ с одного из первых утверждений теории Кантора.
Оно гласит, что два множества предметов можно соотнести друг с другом, если член одного из них сопоставим с членом другого так, что ни в одном из этих множеств не останется члена без пары. Галилей проделал это с группами натуральных чисел и квадратных (см. рисунок).
Говоря математическим языком, эта операция является «установлением взаимно однозначного соответствия» между членами множеств.
Заметим, что если в обоих множествах больше не осталось членов, то сказать «два множества эквивалентны» — значит сказать, что в них одинаковое количество членов.
Теория Кантора основывается на том, что вопреки мнению Галилея этот принцип может быть перенесен на актуально бесконечные группы без какого-либо противоречия. То есть можно утверждать, что если два множества эквивалентны, в них одинаковое количество членов. Именно это и хотел доказать Кантор.
Эдвард Каснер и Джеймс Ньюмен, «Математика и воображение», 1940 год
Однако говорить о «количестве членов» актуально бесконечного множества несколько странно, потому что, как сказал бы Аристотель, не существует числа, которое выражает это количество. (По крайней мере его не существовало в середине 1870-х годов. А позже, как мы увидим, оно появится. Отметим также, что знаменитый символ °°, введенный в 1655 году английским математиком Джоном Валлисом, обозначает потенциальную бесконечность, а не актуальную.) Так Кантор был вынужден ввести понятие «кардинальное число». Оно выражает идею количества членов законченной или актуально бесконечной группы, не говоря о количестве открыто. Вообще-то Кантор употребил термин «мощность», но после математики изменили его на «кардинальное число». Сегодня оба термина употребляются наравне.
Кардинальное число множества, по Кантору, — это характеристика, которая сохраняется после абстрагирования сущности его членов, а также их взаимоотношений.
Возьмем группу букв, составляющих слово «небо». Их кардинальное число, по определению Кантора, можно записать как ****. Эти символы обозначают членов группы, природа которой рассматривается как абстракция. Кардинальное число последовательности чисел 2,3, 5,7 тоже было бы ****.
У обеих групп одно и то же кардинальное число, поскольку у них одинаковое количество членов (четыре, разумеется). Действительно, **** могло бы стать пусть примитивным, но действенным способом обозначения числа 4. Кардинальное число множества натуральных чисел выглядело бы как *********** (символы продолжаются бесконечно). Таким же было бы и кардинальное число множества квадратных чисел. Следуя рассуждениям Кантора, если два множества эквивалентны, у них одинаковая мощность.
Как теория Кантора решает парадокс Галилея, рассмотренный в главе 1? С одной стороны, очевидно, что натуральных чисел больше, чем квадратных, поскольку натуральные включают в себя квадратные. С другой стороны, взаимно однозначное соответствие двух множеств предполагает, что в них одинаковое количество членов.
Ответ Кантора основывается на том, что первое утверждение Галилея ложное. То, что множество квадратных чисел является частью множества натуральных чисел, верно, но из этого нельзя сделать вывод, что их больше, чем квадратных.
Когда речь идет о бесконечных множествах, совокупность необязательно больше части; другими словами, для актуально бесконечных групп не всегда действуют те же правила, что и для законченных. Квадратные числа входят в группу натуральных, но мощность и тех и других одинакова, так что никакого парадокса нет.
Брайан Банч, «Математические хитрости и парадоксы», 1982 год
Основываясь на этих рассуждениях, несколько лет спустя немецкий математик Рихард Дедекинд (1831-1916) предложил альтернативное определение актуальной бесконечности. Вместо того чтобы исходить из отрицания — множество бесконечно, когда оно не конечно, — он решил действовать от обратного. По Дедекинду, актуально бесконечное множество равномощно любому своему подмножеству (этим свойством обладают все актуально бесконечные группы и только они). Мысль Дедекинда была встречена благосклонно, и его определение до сих пор используется в области математической бесконечности.
Продолжим рассмотрение статьи Кантора 1874 года. Мы уже знаем, что множество всех натуральных чисел эквивалентно множеству квадратных чисел. Обратимся теперь к целым числам.
В их множество входят натуральные и отрицательные числа: -1, —2, —3, —4, ... Такое множество, как и квадратные числа, эквивалентно натуральным. Чтобы доказать это, достаточно продемонстрировать взаимно однозначное соответствие этих групп.
Предположим, что мы сопоставляем Ос 0, 1 с -1, 2 с -2, 3 с -3 и так далее.
Эта попытка провалится, так как в правой колонке не все числа будут целые, то есть некоторые целые числа останутся без пары. Но тот факт, что это решение неверное, не означает, что не существует правильного разбиения на пары. Действительно, если мы соотнесем натуральные числа 0,1,2,3,4,5,6,... с целыми 0,1, -1, 2, -2,3, -3,..., то получим взаимно однозначное соответствие между ними.
Кардинальное число целых чисел всегда будет *********... Следующая группа, которую мы должны рассмотреть, состоит из рациональных чисел. Слово «рациональный» происходит от латинского ratio, что означает и «разум», и «отношение», «деление». Таким образом, рациональные числа — это такие числа, которые можно записать в виде соотношения двух целых чисел (в математике их еще называют дробями). Рациональными являются числа
Целые числа также являются рациональными, например 3/1 = 3 и 0/1 = 0 (выражение 0/0 не представляет никакого рационального числа, как и 1/0, 2/0, 3/0...). Следовательно, мы можем доказать, что множество рациональных чисел включает в себя и множество целых чисел, которое, в свою очередь, включает множество натуральных чисел. И тем не менее между множеством рациональных чисел, с одной стороны, и множеством натуральных и целых чисел, с другой, есть фундаментальное различие. Чтобы объяснить его суть, нам понадобится числовая ось. Это прямая (ее можно представить себе как потенциально, так и как актуально бесконечную), на которой отмечены числа. Сначала выберем произвольную точку и отметим на ней число 0, а потом еще одну, на которой отметим 1.
Поделиться книгой: