7. Физика сплошных сред

Фиг. 30.12. Маленький кристалл меди после растяжения.

Вы можете заметить разные плоскости, в ко­торых возникало скольжение.

Неожиданное соскальзывание отдельных кристаллических плоскостей легко заметить, если взять кусок оловянной проволоки, в которой содержатся большие крис­таллы, и растягивать ее, держа близко к уху. Вы ясно различите звуки «тик-тик», когда плос­кости защелкиваются в новых положениях, одна за другой.

Проблема «нехватки» атома в одном из ря­дов сложнее, чем может показаться при рассма­тривании фиг. 30.11.

Когда слоев больше, си­туация скорее походит на то, что изображено на фиг. 30.13.

Фиг. 30.13. Дислокация в кристалле.

Подобный дефект в кристалле называют дислокацией. Считается, что такие дислокации возникают при образовании кри­сталла или же в результате царапины или трещины на его поверхности. Раз возникнув, они довольно свободно могут проходить сквозь кристалл. Большие на­рушения возникают из-за движения множества таких дислокаций.

Дислокации могут свободно передвигаться. Это значит, что для них требуется немного дополнительной энергии, если только весь остальной кристалл имеет совершенную решетку. Но они могут и «застыть», встретив какой-нибудь другой дефект в кристалле. Если для прохождения дефекта требуется много энергии, они остановятся. Это и есть тот механизм, который сообщает прочность несовершенным кристаллам металла. Кри­сталлы чистого железа совсем мягкие, но небольшая концент­рация атомов примесей может вызвать достаточное количество дефектов, чтобы противостоять дислокациям. Как вы знаете, сталь, состоящая в основном из железа, очень тверда. Чтобы получить сталь, при плавке к железу примешивают немного углерода; при быстром охлаждении расплавленной массы угле­род выделяется в виде маленьких зерен, образуя в решетке множество микроскопических нарушений. Дислокации уже не могут свободно передвигаться, и металл становится твердым.

Чистая медь очень мягкая, но ее можно «закалить» накле­пом. Это делается отбиванием или сгибанием ее в одну и другую стороны. В таком случае образуется много различных дисло­каций, которые взаимодействуют между собой и ограничивают подвижность друг друга. Быть может, вы видели фокус, когда берут кусочек «мягкой» меди и легко обвивают чье-нибудь запястье в виде браслета. В тот же момент медь становится закаленной и разогнуть ее становится очень трудно! «Закаленный» металл типа меди можно снова сделать мягким с помощью от­жига при высокой температуре. Тепловое движение атомов «размораживает» дислокации и вновь создает отдельные боль­шие кристаллы. О дислокациях можно рассказывать очень много. Так, до сих пор мы описывали только так называемые «дислокации скольжения» (краевые дислокации). Существует еще множество других видов, в частности винтовая дислокация, изображенная на фиг. 30.14.

Фиг. 30.14. Винтовая дислокация.

Такие дислокации часто играют важную роль в росте кристаллов.

§ 8. Дислокации и рост кристаллов

Одну из величайших загадок природы долгое время пред­ставлял процесс роста кристаллов. Мы уже описывали, как атом, многократно примериваясь, может определить, где ему лучше — в кристалле или снаружи. Но отсюда следует, что каждый атом должен найти положение с наименьшей энергией. Однако атом, попавший на новую поверхность, связан только одной-двумя связями с нижними атомами, и его энергия при этом не равна энергии того атома, который попал в угол, где он окружен атомами с трех сторон. Вообразим растущий кри­сталл как набор из кубиков (фиг. 30.15).

Фиг. 30.15. Схематическое представление роста кристалла.

Если мы поставим новый кубик, скажем, в положение А, он будет иметь только одного из тех шести соседей, какими он в конце концов будет окружен. А раз не хватает стольких связей, то и энергия его не будет очень низкой. Более выгодно положение В, где кри­сталл уже имеет половину своей доли связей. И действительно, кристаллы растут, присоединяя новые атомы к участкам типа В.

Но что произойдет, когда данный ряд завершится? Чтобы начать новый ряд, атом должен осесть, имея связь с двух сторон, а это опять же маловероятно. Даже если он осядет, что прои­зойдет, когда весь слой будет завершен? Как мог бы начаться новый слой? Один из возможных ответов — кристалл предпочи­тает расти по дислокации, например по винтовой дислокации, вроде той, что показана на фиг. 30.14. По мере прибавления кубиков к этому кристаллу всегда остается место, где можно получить три связи. Следовательно, кристалл предпочитает расти с встроенной внутрь дислокацией. Иллюстрацию такого спирального роста представляет собой фотография монокри­сталла парафина (фиг. 30.16).

Фиг. 30.16. Кристалл парафина, выросший вокруг винтовой дислокации.

§ 9. Модель кристалла по Брэггу и Наю

Мы, разумеется, не можем увидеть, что происходит с отдель­ными атомами в кристалле. Как вы теперь понимаете, существует еще множество сложных явлений, которые трудно описать ко­личественно. Лоуренс Брэгг и Дж. Най придумали модель ме­таллического кристалла, которая удивительным образом моде­лирует множество явлений, возникающих, по-видимому, в реаль­ном металле. Лучше всего прочесть эту работу самим; в ней описан и сам метод, и полученные с его помощью результаты [статья была напечатана в Proceedings of the Royal Society of London, 190, 474 (1947)] .

* В сокращенном виде она помещена в конце этого выпуска, — Прим. ред.

* Литература: Ch. Кittel, Introduction to Solid State Physics, 2nd ed., New York, 1956. (Имеется перевод: Ч.Киттель, Введение в физику твердого тела, Физматгиз, М., 1962.)

Глава 31

ТЕНЗОРЫ

§1. Тензор поляризуемости

§2. Преобразование компонент тензора

§3. Эллипсоид энергии

§4. Другие тензоры; тензор инерции

§5. Векторное произведение

§6. Тензор напряжений

§7. Тензоры высших рангов

§8. Четырехмерный тензор электро­магнитного импульса

Повторить: гл. 11 (вып. 1)

«Векторы»; гл. 20 (вып. 2)

«Вращение в пространстве»

§ 1. Тензор поляризуемости

У физиков есть привычка брать простейший пример какого-то явления и называть его «фи­зикой», а примеры посложнее отдавать на рас­терзание других наук, скажем прикладной ма­тематики, электротехники, химии или кристал­лографии. Даже физика твердого тела для них только «полуфизика», ибо ее волнует слишком много специальных вопросов. По этой-то при­чине мы в наших лекциях откажемся от множе­ства интересных вещей. Например, одно из важнейших свойств кристаллов и вообще боль­шинства веществ — это то, что их электрическая поляризуемость различна в разных направле­ниях. Если вы в каком-либо направлении приложите электрическое поле, то атомные заряды слегка сдвинутся и возникнет дипольный момент; величина же этого момента зави­сит очень сильно от направления приложенного поля. А это, конечно, усложнение. Чтобы об­легчить себе жизнь, физики начинают разговор со специального случая, когда поляризуемость во всех направлениях одинакова. А другие случаи мы предоставляем другим наукам. По­этому для наших дальнейших рассмотрении нам совсем не понадобится то, о чем мы соби­раемся говорить в этой главе.

Математика тензоров особенно полезна для описания свойств веществ, которые изменяются с направлением, хотя это лишь один из приме­ров ее использования. Поскольку большин­ство из вас не собираются стать физиками, а намерены заниматься реальным миром, где зависимость от направления весьма сильная, то рано или поздно, но вам понадобится исполь­зовать тензор. Вот, чтобы у вас не было здесь пробела, я и собираюсь рассказать вам про тензоры, хотя и не очень подробно. Я хочу, чтобы ваше понимание физики было как можно более полным. Электродинамика, например, у нас вполне законченный курс; она столь же полна, как и любой курс электричества и магнетизма, даже институтский. А вот механика у нас не закончена, ибо, когда мы ее изучали, вы еще не были столь тверды в математике и мы не могли обсуждать такие разделы, как принцип наименьшего действия, лагран­жианы, гамильтонианы и т. п., которые представляют наиболее элегантный способ описания механики. Однако полный свод законов механики, за исключением теории относительности, у нас все же есть. В той же степени, как электричество и магне­тизм, у нас закончены многие разделы. Но вот квантовую ме­ханику мы так и не закончим; впрочем, нужно что-то оставить и на будущее! И все же, что такое тензор, вам все-таки следует знать уже сейчас.

В гл. 30 мы подчеркивали, что свойства кристаллического вещества в разных направлениях различны — мы говорим, что оно анизотропно. Изменение индуцированного дипольного мо­мента с изменением направления приложенного электрического поля — это только один пример, но именно его мы и возьмем в качестве примера тензора. Будем считать, что для заданного направления электрического поля индуцированный дипольный момент единицы объема Р пропорционален напряженности при­кладываемого поля Е. (Для многих веществ при не слишком больших Е это очень хорошее приближение.) Пусть константа пропорциональности будет α. Теперь мы хотим рассмотреть вещества, у которых а зависит от направления приложенного поля, например известный вам кристалл турмалина, дающий удвоенное изображение, когда вы смотрите через него.

Предположим, мы обнаружили, что для некоторого выбран­ного кристалла электрическое поле Е_1; направленное по оси х, дает поляризацию Р₁, направленную по той же оси, а одина­ковое с ним по величине электрическое поле Е₂, направленное по оси у, приводит к какой-то другой поляризации Р₂, тоже нап­равленной по оси у. А что получится, если электрическое поле приложить под углом 45°? Ну, поскольку оно будет просто суперпозицией двух полей, направленных вдоль осей х и y, то поляризация Р равна сумме векторов P₁ и Р₂, как это пока­зано на фиг. 31.1, а.

Фиг. 31.1. Сложение векторов поляризации в анизотропном кристалле.

Поляризация уже не параллельна направ­лению электрического поля. Нетрудно понять, отчего так про­исходит. В кристалле есть заряды, которые легко сдвинуть вверх и вниз, но которые очень туго сдвигаются в стороны. Если же сила приложена под углом 45°, то эти заря­ды более охотно движутся вверх, чем в сторону. В результате такой асимметрии внутренних упругих сил перемещение идет не по направлению внешней силы. Разумеется, угол 45° ничем не выде­лен. То, что индуцированная поляри­зация не направлена по электрическо­му полю, справедливо и в общем случае. Перед этим нам просто «посчастливи­лось» выбрать такие оси х и у, для которых поляризация Р была направлена по полю Е. Если бы кристалл был повернут по отношению к осям координат, то электрическое поле Е₂, направленное по оси y, вызвало бы поляризацию как по оси у, так и по оси х. Подобным же образом поляризация Р, вызван­ная полем, направленным вдоль оси х, тоже имела бы как х-, так и y-компоненты. Так что вместо фиг. 31.1, а мы получили бы нечто похожее на фиг. 31.1,6. Но несмотря на все это ус­ложнение, величина поляризации Р для любого поля Е по-преж­нему пропорциональна его величине.

Рассмотрим теперь общий случай произвольной ориентации кристалла по отношению к осям координат. Электрическое поле, направленное по оси х, дает поляризацию Р с компонентами по всем трем осям, поэтому мы можем написать

Р_x =a_xxE_x, Р_у=a_ухЕ_х, Р_z=a_zxЕ_x. (31.1)

Этим я хочу сказать лишь, что электрическое поле, направ­ленное по оси х, создает поляризацию не только в этом нап­равлении, оно приводит к трем компонентам поляризации Р_х, Р_yи P_z, каждая из которых пропорциональна Е_х. Коэффициен­ты пропорциональности мы назвали a_хх, a_ухи a_zx (первый зна­чок говорит, о какой компоненте идет речь, а второй относится к направлению электрического поля).

Аналогично, для поля, направленного по оси у, мы можем написать

Р_х=a_хуЕ_y, Р_у=a_ууЕ_у, Р_z=a_гуЕ_у, (31.2)

а для поля в z-направлении

P_x=a_xzE_z, P_y=a_yzE_z P_z=a_zzE_z. (31,3)

Дальше мы говорим, что поляризация линейно зависит от поля; поэтому если у нас есть электрическое поле Е с компонентами х и у, то x-компонента поляризации Р будет суммой двух Р_х, определенных уравнениями (31.1) и (31.2), ну а если Е имеет составляющие по всем трем направлениям х, у и z, то состав­ляющие поляризации Р должны быть суммой соответствующих слагаемых в уравнениях (31.1), (31.2) и (31.3). Другими словами, Р записывается в виде

Диэлектрические свойства кристалла, таким образом, пол­ностью описываются девятью величинами (a_xx,, a_xy,,a_xz,a_yz , ...), которые можно записать в виде символа a_ij. (Индексы i и j заменяют одну из трех букв: х, у или z.) Произвольное электри­ческое поле Е можно разложить на составляющие Е_x, Е_yи Е_z. Зная их, можно воспользоваться коэффициентами a_ijи найти Р_х, Р_y и P_z, которые в совокупности дают полную поляризацию Р. Набор девяти коэффициентов a_ijназывается тензором — в данном примере тензором поляризуемости. Точно так же как три величины (Е_х, Е_у, Е_z) «образуют вектор Е», и мы говорим, что девять величин (a_хх, a_ху, ...)«образуют тензор a_ij».

§ 2. Преобразование компонент тензора

Вы знаете, что при замене старых осей координат новыми х', у' и z' компоненты вектора Е_х', Е_у', Е_г'тоже оказываются другими. То же самое происходит и с компонентами Р, так что для разных систем координат коэффициенты a_ijоказываются различными. Однако вполне можно выяснить, как должны изме­няться а при надлежащем изменении компонент Е и Р, ибо, если мы описываем то же самое электрическое поле, но в но­вой системе координат, мы должны получить ту же самую по­ляризацию Р. Для любой новой системы координат P_x' будет линейной комбинацией Р_х, Р_y' , и Р_z':

Р_x’=аР_х+bР_у+сР_z,

и аналогично для других компонент. Если вместо Р_х, Р_yи Р_{zподставить их выражения через Е согласно (31.4), то получится}

Теперь напишите, как выражается Е_х, Е_yи E_zчерез Е_x' , Е_{y'и Еz' , например,}

E_x = a'E_x'+b'E_y'+c'E_z' ,

где числа а', b' и с' связаны с числами а, b и c, но не равны им. Таким образом, у вас получилось выражение Р_х'через компо­ненты Е_х', Е_y'и E_z' , т. е. получились новые a_ij. Никаких хит­ростей здесь нет, хотя все это достаточно запутано.

Когда мы говорили о преобразовании осей, то считали, что положение самого кристалла фиксировано в пространстве. Если же вместе с осями поворачивать и кристалл, то a не изме­няются. И обратно, если по отношению к осям изменять ориен­тацию кристалла, то получится новый набор коэффициентов а. Но если они известны для какой-то одной ориентации кристал­ла, то с помощью только что описанного преобразования их можно найти и для любой другой ориентации. Иначе говоря, диэлектрические свойства кристалла полностью описываются заданием компонент тензора поляризуемости a_ij. в любой про­извольно выбранной системе координат. Точно так же как век­тор скорости v = (v_x, v_y , v_z) можно связать с частицей, зная, что три его компоненты при замене осей координат будут изменять­ся некоторым определенным образом, тензор поляризуемости a_ij, девять компонент которого при изменении системы осей координат преобразуются вполне определенным образом, мож­но связать с кристаллом.

Связь между Р и Е в уравнении (31.4) можно записать в бо­лее компактном виде:

где под значком i понимается какая-то из трех букв х, у или z, а суммирование ведется по j=x, у и z. Для работы с тензорами было придумано много специальных обозначений, но каждое из них удобно для ограниченного класса проблем. Одно из та­ких общих соглашений состоит в том, что можно не писать знака суммы (S) в уравнении (31.5), понимая при этом, что когда один и тот же индекс встречается дважды (в нашем случае j), то нужно просуммировать по всем значениям этого индекса. Однако, поскольку работать с тензорами нам придется немного, давайте не будем осложнять себе жизнь введением каких-то специальных обозначений или соглашений.

§ 3. Эллипсоид энергии

Потренируемся теперь в обращении с тензорами. Рассмот­рим такой интересный вопрос: какая энергия требуется для поляризации кристалла (в дополнение к энергии электрического поля, которая, как известно, равна e₀Е2/2 на единицу объема)? Представьте на минуту атомные заряды, которые должны быть перемещены. Работа, требуемая для перемещения одного такого заряда на расстояние dx, равна qE_xdx, а если таких зарядов в единице объема содержится N штук, то для перемещения их требуется работа qE_xNdx. Но qNdx равно изменению дипольного момента единицы объема dP_x. Так что работа, затраченная на единицу объема, равна

E_xdP_x.

Складывая теперь работы всех трех компонент, найдем, ка­кой должна быть работа в единице объема:

E·dP.

Но поскольку величина Р пропорциональна Е, то работа, за­траченная на поляризацию единицы объема от 0 до Р, равна интегралу от E·dP. Обозначая ее через и_р, можно написать

Теперь можно воспользоваться уравнением (31.5) и выра­зить Р через E. В результате получим

Плотность энергии и_р — величина, не зависящая от выбора осей, т. е. скаляр. Таким образом, тензор обладает тем свойст­вом, что, будучи просуммирован по одному индексу (с векто­ром), он дает новый вектор, а будучи просуммирован по обоим индексам (с двумя векторами), дает скаляр.

Тензор a_ijна самом деле нужно называть «тензором вто­рого ранга», ибо у него два индекса. В этом смысле вектор, у которого всего один индекс, можно назвать «тензором первого ранга», а скаляр, у которого вообще нет индексов,— «тензором нулевого ранга». Итак, выходит, что электрическое поле Е будет тензором первого ранга, а плотность энергии u_p — тензором нулевого ранга. Эту идею можно распространить на тензоры с тремя и более индексами и определить тензоры, ранг которых выше двух.

Индексы нашего тензора поляризуемости могут принимать три различных значения, т. е. это трехмерный тензор. Матема­тики рассматривают также тензоры размерности четыре, пять и больше. Кстати, четырехмерный тензор нам уже встречался при релятивистском описании электромагнитного поля (см. гл. 26, вып. 6) — это F_mv .

Тензор поляризуемости a_ijобладает одним интересным свойством: он симметричен, т. е. a_xy=a_yx и т. п. для любой пары индексов. (Это свойство отражает физические качества ре­ального кристалла, и вовсе не обязательно у любого тензора.) Вы можете самостоятельно доказать это, подсчитав изменения энергии кристалла по следующей схеме:

1) включите электрическое поле в направления оси х;

2) включите поле в направлении оси у;

3) выключите x-поле;

4) выключите y-поле.

Теперь кристалл вернулся к прежнему положению и полная работа, затраченная на поляризацию, должна быть нулем. Но для этого, как вы можете убедиться, a_xy должно быть равно а. Однако те же рассуждения можно провести и для a_xzи т. д. Таким образом, тензор поляризуемости симметричен.

Это означает также, что тензор поляризуемости можно найти простым измерением энергии, необходимой для поляризации кристалла в различных направлениях. Предположим, мы сна­чала взяли электрическое поле Е с компонентами х и у; тогда, согласно уравнению (31.7),

Если бы у нас была только одна компонента Е_х, мы могли бы определить a_хх, а с одной компонентой Е_yможно определить a_yy . Включив обе компоненты Е_хи Е_y, мы из-за присутствия члена (a_ху+a_ух) получим добавочную энергию, ну а поскольку a_xy и a_yx равны, то этот член превращается в 2a_xy и мо­жет быть вычислен из добавочной энергии.

Выражение для энергии (31.8) имеет очень красивую геомет­рическую интерпретацию. Предположим, что нас интересует, какие поля Е_хи Е_yотвечают данной плотности энергии, скажем u₀. Возникает чисто математическая задача решения уравне­ния

Это уравнение второй степени, так что, если мы отложим по осям величины Е_хи Е_y , решением этого уравнения будут все точки эллипса (фиг. 31.2).

Фиг. 31.2 Конец любого вектора E=(E_x, e_v) , лежащего на этой кривой, дает одну и ту же анер­гию поляризации.

(Это должен быть именно эллипс, а не парабола и не гипербола — ведь энергия поля всегда положительна и конечна.) А само Е с компонентами Е_хи Е_yпредстав­ляет вектор, идущий из начала координат до точки на эллипсе. Такой «энергетический эллипс» — хороший способ «увидеть» тензор поляризуемости.

Если теперь пустить в дело все три компоненты, то любой вектор Е, необходимый для создания единичной плотности энергии, задается точками, расположенными на эллипсоиде, подобно изображенному на фиг. 31.3. Форма этого эллипсоида постоянной энергии однозначно характеризует тензор поляри­зуемости.