6. Электродинамика

или

(15.36)

Картина при наличии соленоида будет выглядеть так, как показано на фиг. 15.7. По крайней мере так предсказывает квантовая механика.

Недавно был проделан точно такой же опыт. Это чрезвы­чайно сложный опыт. Длина волны электронов крайне мала, поэтому прибор должен быть миниатюрным, иначе интерферен­ции не заметишь. Щели должны лежать вплотную друг к другу, а это означает, что нужен необычайно тонкий соленоид. Оказы­вается, что при некоторых обстоятельствах кристаллы железа вырастают в виде очень длинных и микроскопически тонких нитей. Если эти железные нити намагнитить, они образуют маленький соленоид, у которого нет снаружи магнитного поля (оно проявляется только на концах). Так вот, был проделан опыт по интерференции электронов с железной нитью, помещенной между двумя щелями, и предсказанное смещение электронной картины подтвердилось.

А тогда поле А в нашем смысле уже «реально». Вы можете возразить: «Но ведь там есть магнитное поле». Да, есть, но вспомните нашу исходную идею — «реально» только такое поле, которое, чтобы определить собой движение частицы, должно быть задано в том месте, где она находится. Поле В в нити действует на расстоянии. Если мы не хотим, чтобы его влияние выглядело как действие на расстоянии, мы должны пользо­ваться векторным потенциалом.

Эта проблема имеет интересную историю. Теория, которую мы изложили, была известна с самого возникновения квантовой механики, с 1926 г. Сам факт, что векторный потенциал появ­ляется в волновом уравнении квантовой механики (так назы­ваемом уравнении Шредингера), был очевиден с того момента, как оно было написано. В том, что он не может быть заменен магнитным полем, убеждались все, кто пытался это проделать; друг за другом все убеждались, что простого пути для этого не существует. Это ясно и из нашего примера, когда электрон движется по области, где нет никакого поля, и тем не менее подвергается воздействию. Но, поскольку в классической механике А, по-видимому, не имело непосредственного, важного значения и, далее, из-за того, что его можно было менять добав­лением градиента, люди еще и еще раз повторяли, что вектор­ный потенциал не обладает прямым физическим смыслом, что даже в квантовой механике «правами» обладают только элект­рические и магнитные поля. Когда оглядываешься назад, ка­жется странным, что никто не подумал обсудить этот опыт вплоть до 1956 г., когда Бом и Аронов впервые предложили его и сделали весь вопрос кристально ясным. Все это ведь всегда подразумевалось, но никто не обращал на это внимания. И мно­гие были просто потрясены, когда всплыл этот вопрос. Вот по этой-то причине кое-кто и счел нужным поставить опыт и убе­диться, что все это действительно так, хотя квантовая меха­ника, в которую все мы верим вот уже сколько лет, давала вполне недвусмысленный ответ. Занятно, что подобные вещи могут тридцать лет быть на виду у всех, но из-за определенных предрассудков относительно того, что существенно, а что нет, могут всеми игнорироваться.

Сейчас мы хотим немного продолжить наш анализ. Мы продемонстрируем связь между квантовомеханической и класси­ческой формулами, чтобы показать, почему оказывается, что при макроскопическом взгляде на вещи все выглядит так, как будто частицы управляются силой, равной произведению qv на ротор А. Чтобы получить классическую механику из кванто­вой, нам нужно рассмотреть случаи, когда все длины волн малы по сравнению с расстояниями, на которых заметно ме­няются внешние условия (например, поля). Мы не будем гнаться за общностью доказательства, а только покажем все на очень простом примере. Обратимся снова к тому же опыту со щелями. Но теперь вместо того, чтобы втискивать все маг­нитное поле в узкий промежуток между щелями, представим себе такое магнитное поле, которое раскинулось позади щелей широкой полосой (фиг. 15.8). Возьмем идеализированный слу­чай, когда в узкой полосе шириной w, много меньшей L, маг­нитное поле однородно. (Это легко устроить, надо только по­дальше отнести поглотитель.) Чтобы подсчитать сдвиг по фазе, мы должны взять два интеграла от А вдоль двух траекторий (1) и (2).

Фиг. 15.8. Сдвиг интерференционной картины из-за наличия полоски магнитного поля.

Как мы видели, они различаются просто на поток В между этими путями. В нашем приближении поток равен Bwd. Раз­ность фаз для двух путей поэтому равна

(15.37)

Мы замечаем, что в принятом приближении сдвиг фаз не зави­сит от угла. Так что опять-таки эффект сводится к сдвигу всей картины вверх на величину Dx. Из формулы (15.28)

Подставляя d-d (В = 0) из (15.37), получаем

(15.38)

Такой сдвиг равноценен тому, что все траектории отклоняются на небольшой угол а (см. фиг. 15.8), равный

(15.39)

По классическим воззрениям мы тоже должны были ожи­дать, что узкая полоска магнитного поля отклонит все траекто­рии на какой-то маленький угол, скажем a' (фиг. 15.9,а). Когда электроны проходят через магнитное поле, они подвергаются действию поперечной силы qvXВ в течение времени wlv. Изменение их поперечного импульса просто равно ему самому, так что

(15.40)

Фиг. 15.9. Отклонение частицы из-за прохождения ее через маг­нитное поле.

Угловое отклонение (фиг. 15.9,6) равно отношению этого поперечного импульса к полному импульсу р. Мы получаем

: Этот результат можно сравнить с уравнением (15.39), в котором та же вели­чина вычислялась квантовомеханически. Но связь между классической и квантовой механикой в том и состоит, что частице с импульсом р ставится в соответствие квантовая амплитуда, изменяющаяся как волна длиной l. = h/p. В соответствии с этим уравнением а и а' оказываются идентичными; и классические и квантовые выкладки приводят к одному и тому же.

Из этого анализа мы видим, как получается, что векторный потенциал, который в квантовой механике появляется в явном виде, вызывает классическую силу, зависящую только от его производных. В квантовой механике существенна только ин­терференция между соседними путями; в ней всегда оказывается, что эффект зависит только от того, как сильно поле А меняется от точки к точке, а значит, только от производных А, а не от него самого. Несмотря на это, векторный потенциал А (наряду с сопровождающим его скалярным потенциалом j), по-види­мому, приводит к более прямому описанию физических процес­сов. Чем глубже мы проникаем в квантовую теорию, тем яснее и прозрачней нам это становится. В общей теории — квантовой электродинамике — в системе уравнений, заменяющих собой уравнения Максвелла, векторные и скалярные потенциалы уже считаются фундаментальными величинами. Векторы Е и В постепенно исчезают из современной записи физических зако­нов: их вытесняют А и j.

§ 6. Что истинно в статике, но ложно в динамике?

Наше исследование статических полей близится к концу. В этой главе мы опасно близко подошли к такому пункту, когда уже следует подумывать о том, что случится, если поля начнут меняться со временем. Толкуя о магнитной энергии, нам едва удалось избежать этого, да и то потому, что мы прикрылись релятивистскими соображениями. Даже при этом наша трак­товка проблемы энергии выглядела несколько искусственно и, пожалуй, даже таинственно, потому что мы игнорировали тот факт, что движущиеся катушки должны на самом деле создавать меняющиеся поля. Теперь самое время перейти к изучению полей, меняющихся во времени, к тому, что составляет предмет электродинамики. Мы проделаем это в следующей главе. Однако прежде следует подчеркнуть некоторые моменты.

Хотя мы и начали этот курс с того, что представили полные и точные уравнения электромагнетизма, мы сразу же принялись изучать какие-то вырезанные куски, потому что так было легче. Большим преимуществом является возможность начать с простой теории статических полей и лишь потом перейти к более сложной теории, включающей динамические поля. При этом приходится с самого начала учить меньше нового матери­ала и остается время потренировать мозги, поразмять свои ум­ственные мускулы, прежде чем приступить к задачам потруднее.

Но в таком процессе кроется одна опасность — пока мы не услышали весь рассказ целиком, в нас может укорениться и выдать себя за полную та неполная истина, которую мы успели усвоить; в голове все перепутается: то, что верно всегда, и то, что справедливо только временами. Поэтому в табл. 15.1 мы даем сводку важнейших формул, которых мы касались, отделяя в ней те, что верны в общем случае, от тех, которые соблю­даются только в статике, но ложны в динамике. Эта сводка со­держит намеки на то, куда мы собственно с вами путь держим; изучая динамику, мы должны будем детально развить то, что пока приходилось описывать без доказательства.

Пожалуй, здесь стоит сделать несколько замечаний по пово­ду самой таблицы. Прежде всего вы должны обратить внимание, что уравнения, с которых мы начали, это правильные уравнения, в этом месте мы вас не вводим в заблуждение. Формула для электромагнитной силы (часто именуемой силой Лоренца) F = q(E+vXВ) также правильна. Ошибочен только закон Кулона; он годится только для статики. Четыре уравнения Максвелла для Е и В тоже правильны. Уравнения, принятые нами в статике, ошибочны, потому что мы выбросили из них все члены с производными по времени.

Закон Гаусса С·E = r/e₀ остается, но ротор Е в общем случае не равен нулю. Значит, Е нельзя всегда приравнивать к градиенту скаляра — электростатического потенциала. Мы увидим, что скалярный потенциал все же остается, но это уже величина, которая меняется во времени и должна употребляться для полного описания электрического поля только вместе с век­торным потенциалом. Конечно, уравнения, управляющие этим новым скалярным потенциалом, также оказываются новыми.

Мы вынуждены также распроститься с представлением о том, что Е в проводниках равно нулю. Когда поля меняются, заряды в проводниках, вообще говоря, не успевают перестраиваться так, чтобы поле все время обращалось в нуль. Они приходят в движение, но никогда не достигают равновесия. Единственное общее утверждение таково: электрические поля создают токи в проводниках. Итак, в переменных полях проводники не являются эквипотенциальными поверхностями. Отсюда также следует, что представление о емкости нельзя сделать универ­сальным.

Раз магнитных зарядов не бывает, дивергенция В всегда равна нулю. Так что В можно всегда приравнивать СXА. (Выходит, что меняется не все!) Но В генерируется не только токами; СXВ пропорционально плотности тока плюс новое слагаемое dE/dt. Это означает, что А связано с токами новым уравнением. Оно связано и с j. Если мы для собственного удобства воспользуемся свободой выбора С·А, то уравнения для А и j можно будет записать так, что они приобретут простой и изящный вид. Поэтому мы выдвигаем требование, чтобы c2С·А было равно -дj/dt, и тогда дифференциальные уравне­ния для А или для j оказываются такими, как в таблице.

Потенциалы А и j все еще можно выразить в виде интегралов от токов и зарядов, но это уже не те же самые интегралы, что были в статике. Удивительнее всего, однако, то, что правильный вид интегралов похож на прежний, статический, но с одним небольшим видоизменением, имеющим ясный физический смысл.

Когда мы берем интегралы, чтобы получить потенциалы в некоторой точке, скажем в точке (1) на фиг. 15.10, то мы обя­заны использовать значения j и r в точке (2) в более раннее время t' = t-r₁₂/c. Как и следовало ожидать, влияние точки (2) на точку (7) распространяется со скоростью с. Это небольшое видоизменение позволяет отыскивать поля изменяющихся токов и зарядов, потому что, как только мы узнаем А и j, то В получается, как и раньше, как СXА, а Е = -Сj-dA/dt.

Наконец, вы видите из таблицы, что некоторые выводы, по­лученные в статике (например, вывод о том, что плотность энергии в электрическом поле равна e₀E2/2), остаются справед­ливыми и в электродинамике. Не надо обманывать себя и ду­мать, что все это естественно. Правильность любой формулы, выведенной в статическом случае, должна в динамике доказы­ваться сызнова. Например, мы знаем, что объемный интеграл от rj тоже дает электростатическую энергию. Но это верно только в статике.

В свое время мы детально разберем все эти вопросы; пока же полезно держать в уме эту сводку, чтобы знать, что не грех и позабыть, а что следует считать справедливым всегда.

*Если поле В выходит из плоскости рисунка, то поток, в соответ­ствии с его определением, будет отрицательным, а х₀— положительным.

Глава 16

ИНДУЦИРОВАННЫЕ ТОКИ

§ 1. Моторы и генераторы

§ 2. Трансформаторы и индуктивности

§ 3. Силы, действующие на индуцируемые токи

§ 4. Электротехника

§ 1. Моторы и генераторы

Открытие тесной связи между электричеством и магнетизмом, происшедшее в 1820 г., было поистине волнующим событием — ведь до того они считались совершенно независи­мыми. Сначала открыли, что токи в проводах создают магнитные поля, а затем в том же году обнаружили, что на провода в магнитном поле действуют силы.

Волнение было вызвано тем, что возникаю­щую механическую силу можно использовать в машине для выполнения какой-то работы. Сразу же после этого замечательного открытия люди начали конструировать электромоторы, заставив работать на себя силы, действующие на провода с током. Принцип устройства электромотора схематически показан на фиг. 16.1. Постоянный магнит (обычно в нем имеется несколько частей из мягкого железа) создает магнитное поле внутри двух щелей. Конец каждой щели представляет собой се­верный или южный полюсы, как показано на схеме. Прямоугольная рамка из медной проволоки помещается так, что одной из своих сторон она попадает в каждую щель. Когда по рамке проходит ток, то в обеих щелях он идет в противоположных направлениях, так что силы оказываются направленными противо­положно и создают в рамке вращательный момент вокруг изображенной на схеме оси. Если рамка закреплена на оси так, что она может вращаться, то ее можно подсоединить к шкивам или шестеренкам и заставить производить полезную работу.

Ту же идею можно использовать и при конструировании чувствительных приборов для электрических измерений.

Фиг. 16.1. Схематическое изображение простого электромагнитного мотора.

Так что немедленно после от­крытия закона сил точность электрических измерений намного возросла. Прежде всего вращательный момент такого мотора может быть значительно увеличен для данного тока, если заставить его проходить по нескольким виткам, а не по одному. Кроме того, рамку можно установить так, чтобы она враща­лась под действием очень малого момента, укрепив ее ось в тщательно сделанных подшипниках, либо подвешивая ее на тончайшей проволоке или кварцевой нити. Тогда даже чрезвычайно слабый ток заставит катушку повернуться, и для малых углов величина поворота будет пропорциональна току. Угол поворота можно измерить, приклеив к рамке стрелку или (для очень тонких приборов) прикрепив маленькое зеркальце к рамке и отмечая сдвиг его изображения на шкале. Такие приборы называют гальванометрами. Вольтметры и ампер­метры работают по тому же принципу. Те же идеи могут быть применены в большом масштабе для создания мощных моторов, производящих механическую работу. Рамку можно заставить вращаться много, много раз, если с помощью укрепленных на оси контактов каждые пол-оборота менять направление тока в ней на противоположное, Тогда момент силы будет всегда направлен в одну и ту же сторону. Маленькие моторчики постоянного тока именно так и устроены. В моторах больших размеров постоянного или пе­ременного тока постоянные магниты часто заменяют электро­магнитами, и питаются они от источника электрической энергии.

Осознав, что электрический ток рождает магнитное поле, многие "сразу же предположили, что так или иначе магниты должны тоже создавать электрические поля. Для проверки этого предположения были поставлены различные эксперимен­ты. Например, располагали два провода параллельно друг другу и по одному из них пропускали ток, пытаясь обнаружить ток в другом проводе. Мысль заключалась в том, что магнитное поле сможет как-то протащить электроны вдоль второго про­вода по закону, который должен формулироваться как-то так: «одинаковое стремится двигаться одинаковым образом». Но, пропуская по одному проводу самый большой ток и используя самый чувствительный гальванометр, обнаружить ток во вто­ром проводе не удалось. Большие магниты тоже не давали никакого эффекта в расположенных поблизости проводах. Наконец, в 1840 г. Фарадей открыл существенную особенность, которую раньше упускали из виду,— электрические эффекты возникают только тогда, когда что-нибудь изменяется, Если в одной из двух проволок ток меняется, то в другой тоже наво­дится ток, или же если магнит движется вблизи электрического контура, то там возникает ток. Мы говорим теперь, что токи в этих случаях индуцируются. В этом и состояло явление ин­дукции, открытое Фарадеем. Оно преобразило довольно скуч­ную область статических полей в увлекательную динамическую область, в которой происходит огромное число удивительных явлений. Эта глава посвящена качественному описанию неко­торых из них. Как мы увидим, можно довольно быстро попасть в очень сложные ситуации, трудно поддающиеся подробному количественному анализу. Но это неважно. Наша главная задача в этой главе — сначала познакомить вас с кругом относя­щихся сюда явлений. Тщательный анализ мы проделаем немного позже.

Из того, что мы уже знаем, нам легко понять кое-что о маг­нитной индукции, то, что не было известно во времена Фарадея. Мы знаем о существовании действующей на движу­щийся заряд силы vXВ, которая пропорциональна его ско­рости в магнитном поле. Пусть у нас есть проволока, которая движется вблизи магнита (фиг. 16.2), и пусть мы подсоединили концы проволоки к гальванометру. Когда проволока проходит над полюсом магнита, стрелка гальванометра сдвигается.

Магнит создает вертикальное магнитное поле, и, когда мы двигаем проволоку поперек поля, электроны в проволоке чувствуют силу, направленную вбок, т. е. перпендикулярно нолю и направлению движения. Сила толкает электроны вдоль проволоки. Но почему же при этом приходит в движение стрел­ка гальванометра, который расположен так далеко от этой силы? Да потому, что электроны, испытывающие магнитную силу, начинают двигаться и толкают (за счет электрического отталкивания) другие электроны, находящиеся чуть дальше по проволоке, а те в свою очередь отталкивают еще более уда­ленные электроны и так далее на большое расстояние.

Фиг. 16.2. Движение провода в магнитном поле создает ток (это регистрирует, гальвано­метр).

Любо­пытная штука.

Это так удивило Гаусса и Вебера, построившего впервые гальванометр, что они попытались определить, как далеко рас­пространяются силы по проволоке. Они протянули проволоку поперек всего города, и один ее конец Гаусс присоединил к ба­тарее (батареи были известны раньше генераторов), а Вебер наблюдал, как сдвигается стрелка гальванометра. И они обнару­жили способ передавать сигналы на большое расстояние — это было рождение телеграфа! Разумеется, здесь нет прямого отно­шения к индукции, здесь речь шла о способе передачи тока по проволоке, о том, действительно ли ток продвигается за счет индукции или нет.

Предположим теперь, что в установке, изображенной на фиг. 16.2, мы проволоку оставляем в покое, а двигаем магнит. И снова наблюдаем эффект на гальванометре. Фарадей еще обнаружил, что движение магнита под проволокой (один спо­соб) вызывает такой же эффект, как и движение проволоки над магнитом (другой способ). Но когда движется магнит, то на электроны проволоки уже больше не действует сила v X В. Это и есть то новое явление, которое открыл Фарадей. Сегодня мы можем попытаться понять его с помощью принципа относи­тельности.

Мы уже поняли, что магнитное поле магнита возникает за счет его внутренних токов. Поэтому мы ожидаем появления такого же эффекта, если вместо магнита на фиг. 16.2 взять катушку из проволоки, по которой течет ток. Если двигать про­вод мимо катушки, то гальванометр обнаружит ток, равно, как и в том случае, когда катушка движется мимо провода. Но существует и еще более удивительная вещь: если менять маг­нитное поле катушки не за счет ее движения, а за счет измене­ния в ней тока, то гальванометр снова покажет наличие эффек­та. Например, если расположить проволочную петлю рядом с катушкой (фиг. 16.3), причем обе они неподвижны, и выклю­чить ток, то через гальванометр пройдет импульс тока. Если же снова включить ток в катушке, то стрелка гальванометра качнется в противоположную сторону.

Всякий раз, когда через гальванометр в установке, показан­ной на фиг. 16.2 или 16.3, проходит ток, в проводе в каком-то одном направлении возникает результативное давление на электроны. В разных местах электроны могут толкнуться в разные стороны, но в одном направлении напор оказывается больше, чем в другом. Учитывать нужно только давление электронов, просуммированное вдоль всей цепи. Мы назы­ваем этот результирующий напор электронов электродвижу­щей силой (сокращенно э. д. с.) цепи. Более точно э. д. с. определяется как тангенциальная сила, приходящаяся на один заряд, проинтегрированная по длине провода, вдоль всей цепи. Открытие Фарадея целиком состояло в том, что э. д. с. в проводе можно создать тремя способами: двигая провод, двигая магнит вблизи провода или меняя ток в соседнем проводе.

Обратимся снова к простому прибору, изображенному на фиг. 16.1, только теперь не будем пропускать ток через прово­локу, чтобы придать ей вращение, а будем крутить рамку с по­мощью внешней силы, например рукой или с помощью водяного колеса. При вращении рамки ее провода движутся в магнитном поле, и мы обнаруживаем в цепи рамки э. д. с.

Фиг. 16.3. Катушка с то­ком возбуждает ток в дру­гой катушке, если первая катушка перемещается или если ток в ней меняется.

Мотор превра­тился в генератор.

Индуцированная э. д. с. возникает в катушке генератора за счет ее движения. Величина э. д. с. дается простым правилом, открытым Фарадеем. (Сейчас мы просто сформулируем это правило, а несколько позднее разберем его подробно.) Пра­вило такое: если магнитный поток, проходящий через петлю (этот поток есть нормальная составляющая В, проинтегрирован­ная по площади петли), меняется со временем, то э. д. с. равна скорости изменения потока. Мы будем в дальнейшем называть это «правилом потока». Вы видите, что, когда катушка на фиг. 16.1 вращается, поток через нее изменяется. Вначале, ска­жем, поток идет в одну сторону, а когда катушка повернется на 180°, тот же поток идет сквозь катушку по-другому. Если непрерывно вращать катушку, поток сначала будет положи­тельным, затем отрицательным, потом опять положительным и т. д. Скорость изменения потока должна тоже меняться. Следовательно, в катушке возникает переменная э. д. с. Если присоединить два конца катушки к внешним проводам через скользящие контакты, которые называются контактными кольцами (просто, чтобы провода не перекручивались), мы получаем генератор переменного тока.

А можно с помощью скользящих контактов устроить и так, чтобы через каждые пол-оборота соединение между концами катушки и внешними проводами становилось противополож­ным, так что когда э. д. с. изменит свой знак, то и соединение станет противоположным. Тогда импульсы э. д. с. будут всегда толкать ток в одном направлении вдоль внешней цепи. Мы получаем так называемый генератор постоянного тока.

Прибор, изображенный на фиг. 16.1, может быть либо мо­тором, либо генератором. Связь между моторами и генерато­рами хорошо демонстрируется с помощью двух одинаковых «моторов» постоянного тока с постоянными магнитами, катушки которых соединены двумя медными проводами. Если ручку од­ного из «моторов» поворачивать механически, он становится генератором и приводит в движение второй как мотор. Если же поворачивать ручку второго, то генератором уже становится он, а первый работает как мотор. Итак, здесь мы встречаемся с интересным примером нового рода эквивалентности в природе: мотор и генератор эквивалентны. Количественная эквивалент­ность на самом деле не совсем случайна. Она связана с законом сохранения энергии.

Другой пример устройства, которое может работать либо для создания э. д. с., либо воспринимать действие э. д. с., представляет собой приемная часть обычного телефона, т. е. «слухофон». Первоначальный телефон Белла состоял из двух таких «слухофонов», соединенных двумя длинными проводами.