6. Электродинамика

Иными словами, если бы эти прочие заряды каким-то обра­зом изменились, а условия в Р, описываемые электрическим и магнитным полем в точке Р, остались бы прежними, то движение заряда тоже не изменилось бы. «Реальное» поле тогда есть сово­купность чисел, заданных так, что то, что происходит в некото­рой точке, зависит только от чисел в этой точке и нам больше не нужно знать, что происходит в других местах. Именно с таких позиций мы и хотим выяснить, является ли векторный потен­циал «реальным» полем.

Вас может удивить тот факт, что векторный потенциал опре­деляется не единственным образом, что его можно изменить, добавив к нему градиент любого скаляра, а силы, действующие на частицы, не изменятся. Однако это не имеет ничего общего с вопросом реальности в том смысле, о котором мы говорили, К примеру, магнитное поле как-то меняется при изменении относительного движения (равно как и Е или А). Но нас ни­сколько не будет заботить, что поле можно изменять таким образом. Нам это безразлично; это никак не связано с вопросом о том, действительно ли векторный потенциал—«реальное» поле, пригодное для описания магнитных эффектов, или же это просто удобный математический прием.

Мы должны еще сделать кое-какие замечания о полезности векторного потенциала А. Мы видели, что им можно пользо­ваться в формальной процедуре расчета магнитных полей заданных токов, в точности как j может применяться для оты­скания электрических полей. В электростатике мы видели, что j давалось скалярным интегралом

(15.22)

Из этого j мы получали три составляющих Е при помощи трех дифференцирований. Обычно это было легче, чем вычислять три интеграла в векторной формуле

(15.23)

Во-первых, их три, а во-вторых, каждый из них вообще-то немного посложнее, чем (15.22).

В магнитостатике преимущества не так ясны. Интеграл для А уже сам по себе векторный:

(15.24)

т. е. здесь написаны три интеграла. Кроме того, вычисляя ро­тор А для получения В, надо взять шесть производных и рас­ставить их попарно. Сразу не ясно, проще ли это, чем прямое вычисление

(15.25)

В простых задачах векторным потенциалом часто бывает пользоваться труднее, и вот по какой причине. Предположим, нас интересует магнитное поле В в одной только точке, а задача обладает какой-то красивой симметрией. Скажем, нам нужно знать поле в точке на оси кольцевого тока. Вследствие симмет­рии интеграл в (15.25) легко возьмется и вы сразу получите В. Если бы, однако, мы начали с А, то пришлось бы вычислять В из производных А, а для этого надо было бы знать А во всех точках по соседству с той,которая нас интересует. Большая же часть их не лежит на оси симметрии, интеграл для А услож­няется. В задаче с кольцом, например, пришлось бы иметь дело с эллиптическими интегралами. В подобных задачах А, разу­меется, не приносит большой пользы. Во многих сложных задачах, бесспорно, легче работать с А, но в общем трудно было бы доказывать, что эти технические облегчения стоят того, чтобы начать изучать еще одно векторное поле.

Мы ввели А потому, что оно действительно имеет большое физическое значение. Оно не просто связано с энергиями токов (в чем мы убедились в последнем параграфе), оно — «реальное» физическое поле в том смысле, о котором мы говорили выше. В классической механике силу, действующую на частицу, очевидно, можно записать в виде

F = q(E+vXB), (15.26)

так что, как только заданы силы, движение оказывается пол­ностью определенным. В любой области, где В = 0, хотя бы А и не было равно нулю (например, вне соленоида), влияние А ни в чем не сказывается. Поэтому долгое время считалось, что А — не «реальное» поле. Оказывается, однако, что в квантовой механике существуют явления, свидетельствующие о том, что поле А на самом деле вполне «реальное» поле, в том смысле, в каком мы определили это слово. В следующем параграфе мы покажем, что все это значит.

§ 5. Векторный потенциал и квантовая механика

Когда мы от классической механики переходим к квантовой, то наши представления о важности тех или иных понятий во многом меняются. (Кое-какие из этих понятий мы уже рассмат­ривали раньше.) В частности, постепенно сходит на нет поня­тие силы, а понятия энергии и импульса приобретают перво­степенную важность. Вместо движения частиц, как вы пом­ните, речь теперь идет уже об амплитудах вероятностей, кото­рые меняются в пространстве и времени. В эти амплитуды входят длины волн, связанные с импульсами, и частоты, связывае­мые с энергиями. Импульсы и энергии определяют собой фазы волновых функций и по этой-то причине они важны для квантовой механики.

Фиг. 15.5. Интерференционный опыт с электронами.

Вместо силы речь теперь идет о том, каким образом взаимодействие меняет длину волны. Представление о силе становится уже второстепенным, если вообще о нем еще стоит говорить. Даже когда, к примеру, упоминают о ядерных силах, то на самом деле, как правило, работают все же с энер­гиями взаимодействия двух нуклонов, а не с силой их взаимо­действия. Никому не приходит в голову дифференцировать энергию, чтобы посмотреть, какова сила. В этом параграфе мы хотим рассказать, как возникают в квантовой механике век­торный и скалярный потенциалы. Оказывается, что именно из-за того, что в квантовой механике главную роль играют импульс и энергия, самый прямой путь введения в квантовое описание электромагнитных эффектов — сделать это с по­мощью А и j.

Надо сперва слегка напомнить, как действует квантовая механика. Мы снова вернемся к описанному в вып. 3, гл. 37, воображаемому опыту, в котором электроны испытывали дифрак­цию на двух щелях. На фиг. 15.5 показано то же устройство. Электроны (все они обладают примерно одинаковой энергией) покидают источник и движутся к стенке с двумя узкими щелями. За стенкой находится «защитный» вал — поглотитель с подвиж­ным детектором. Этот детектор предназначен для измерения частоты I, с которой электроны попадают в небольшой участок поглотителя на расстоянии х от оси симметрии. Частота эта пропорциональна вероятности того, что отдельный электрон, вылетевший из источника, достигнет этого участка «вала». Вероятность обладает распределением сложного вида (оно показано на рисунке), которое объясняется интерференцией двух амплитуд, по одной от каждой щели. Интерференция двух амплитуд зависит от их разности фаз. Иными словами, когда амплитуды равны С₁еiф1и С₂еiф2, разность фаз d=Ф₁-Ф₂ определяет интерференционную картину [см. вып. 3, гл. 29, уравнение (29.12)]. Если расстояние от щелей до экрана равно L, а разность длин путей электронов, проходящих через две щели, равна а (как показано на фигуре), то разность фаз двух волн дается отношением

(15.27)

Как обычно, мы полагаем l= l/2p, где l — длина волны, отвечающая пространственному изменению амплитуды вероят­ности. Для простоты рассмотрим лишь те значения х, кото­рые много меньше L; тогда можно будет принять

и

(15.28)

Когда х равно нулю, то и d равно нулю; волны находятся в фазе, а вероятность имеет максимум. Когда d равно п, волны оказываются в противофазе, интерферируя деструктивно, и вероятность достигает минимума. Так электронная интенсив­ность получает волнообразный вид.

Теперь мы хотим сформулировать тот закон, которым в кван­товой механике заменяется закон силы F=qvXВ. Этот закон будет определять собой поведение квантовомеханических ча­стиц в электромагнитном поле. Раз все происходящее опреде­ляется амплитудами, то закон должен будет объяснить, как сказывается на амплитудах влияние магнитного поля; с уско­рениями же частиц мы больше никакого дела иметь не будем. Закон этот состоит в следующем: фазу, с какой амплитуда до­стигает детектора, двигаясь по какой-то траектории, присут­ствие магнитного поля меняет на величину, равную интегралу от векторного потенциала вдоль этой траектории, умноженному на отношение заряда частицы к постоянной Планка. То есть

Если бы магнитного поля не было, то наблюдалась бы какая-то определенная фаза прибытия. Если же где-то появляется маг­нитное поле, то фаза прибытия возрастает на величину инте­грала в (15.29).

Хотя для наших теперешних рассуждений в этом нет необ­ходимости, заметим все же, что влияние электростатического поля тоже выражается в изменении фазы, равном интегралу по времени от скалярного потенциала j со знаком минус:

Эти два выражения справедливы лишь для статических полей, но, объединив их, мы получим правильный результат для любого, статического или динамического, электромаг­нитного поля. Именно этот закон и заменяет собой формулу F= q(E+vXВ). Мы сейчас, однако, будем говорить только о статическом магнитном поле.

Положим, что опыт с двумя щелями проводится в магнитном поле. Мы хотим узнать, с какой фазой достигают экрана две волны, пути которых пролегают через две разные щели. Их интерференция определяет то место, где окажется максимум вероятности. Фазу волны, бегущей по траектории (1), мы назо­вем Ф_1; а через Ф₁ (В = 0) обозначим фазу, когда магнитного поля нет. Тогда после включения поля фаза достигает величины

(15.30)

Аналогично, фаза для траектории (2) равна

(15.31)

Интерференция волн в детекторе зависит от разности фаз

Разность фаз в отсутствие поля мы обозначим d (В = 0); это та самая разность, которую мы подсчитали в уравнении (15.28). Кроме того, мы замечаем, что из двух интегралов можно сделать один, идущий вперед по пути (1), а назад — по пути (2); этот замкнутый путь будет обозначаться (1—2). Так что получается

(15.33)

Это уравнение сообщает нам, как под действием магнитного поля изменяется движение электрона; с его помощью мы мо­жем найти новые положения максимумов и минимумов интен­сивности.

Прежде чем сделать это, мы хотим, однако, поставить один интересный и важный вопрос. Вы помните, что в вектор-потен­циальной функции есть некоторый произвол. Две разные век­тор-потенциальные функции А и А', отличающиеся на гра­диент Сy некоторой скалярной функции, представляют одно и то же магнитное поле (потому что ротор градиента равен нулю). Они поэтому приводят к одной и той же классической силе qvXВ. Если в квантовой механике все эффекты зависят от векторного потенциала, то какая из многих возможных А-функций правильна?

Ответ состоит в том, что в квантовой механике продолжает существовать тот же произвол в А. Если в уравнении (15.33) мы заменим А на А' = А+Сy, то интеграл от А пре­вратится в

Интеграл от Сy вычисляется по замкнутому пути (1—2); но интеграл от касательной составляющей градиента по замкну­тому пути всегда равен нулю (по теореме Стокса). Поэтому как А, так и А' приводят к одним и тем же разностям фаз и к од­ним и тем же квантовомеханическим эффектам интерференции. И в классической, и в квантовой теории важен только ротор 4; любая функция А, у которой ротор такой, как надо, приводит к правильной теории.

Тот же вывод становится очевидным, если мы используем результаты, приведенные в гл. 14, § 1. Там мы показали, что контурный интеграл от А по замкнутому пути равен потоку В через контур, в данном случае потоку между путями (1) и (2). Уравнение (15.33) можно, если мы хотим, записать в виде

где под потоком В, как обычно, подразумевается поверхностный интеграл от нормальной составляющей В. Результат зависит только от В, т. е. только от ротора А.

Но раз результат можно выражать и через В и через А, то может создаться впечатление, что В удерживает свои позиции «реального» поля, а А все еще выглядит искусственным образо­ванием. Но определение «реального» поля, которое мы вначале предложили, основывалось на идее о том, что «реальное» поле не смогло бы действовать на частицу на расстоянии. Мы же беремся привести пример, в котором В равно нулю (или по крайней мере сколь угодно малому числу) в любом месте, где частицы могут оказаться, так что невозможно представить себе, что В непосредственно действует на них.

Вы помните, что если имеется длинный соленоид, по кото­рому течет электрический ток, то поле В существует внутри него, а снаружи поля нет, тогда как множество векторов А циркулирует снаружи соленоида (фиг. 15.6). Если мы создадим такие условия, что электроны будут проходить только вне соле­ноида (только там, где есть А), то, согласно уравнению (15.33),

соленоид будет все же влиять на их движение.

Фиг. 15.6. Магнитное поле и векторный потенциал длинного соленоида.

По классическим же воззрениям это невозможно. По классическим представлениям сила зависит только от В. Чтобы узнать, течет ли по соле­ноиду ток, частица должна пройти сквозь него. А квантовая механика утверждает, что наличие магнитного поля в соле­ноиде можно установить, просто обойдя его, даже не прибли­жаясь к нему вплотную!

Представьте, что мы поместили очень длинный соленоид ма­лого диаметра прямо тут же за стенкой между двумя щелями (фиг. 15.7). Диаметр соленоида должен быть намного меньше расстояния d между щелями. В этих обстоятельствах дифракция электронов на щели не приведет к заметным вероятностям того, что электроны проскользнут где-то близ соленоида. Как же все это повлияет на наш интерференционный эксперимент?

Сравним два случая: когда ток по соленоиду идет и когда тока нет. Если тока нет, то нет ни В ни А, и получается перво­начальная картина электронных интенсивностей вдоль поглотителя.

Фиг. 15.7. Магнитное поле способно влиять на движение элек­тронов, даже когда оно существует только в области, еде вероят­ность обнаружить электрон пренебрежимо мала.

Если мы включим ток и создадим внутри соленоида магнитное поле В, то снаружи появится поле А. Возникнет сдвиг в разности фаз, пропорциональный циркуляции А вне соленоида, а это означает, что картина максимумов и миниму­мов сдвинется на другое место. Действительно, раз поток В между любыми двумя путями постоянен, то точно так же по­стоянна и циркуляция А. Для любой точки прибытия фаза ме­няется одинаково; это соответствует тому, что вся картина сдвигается по х на постоянную величину, скажем, на х₀. Эту величину х₀легко подсчитать. Максимальная интенсивность возникает там, где разность фаз двух волн равна нулю. Под­ставляя вместо d выражение (15.32) или (15.33), а вместо d (B=0) выражение (15.28), получаем

(15.35)