Трехмерный мир. Евклид. Геометрия

РИС. 11

Второе применение танграма позволяет доказать, что многосторонние фигуры могут трансформироваться в равновеликий квадрат. Для доказательства мы будем постепенно уменьшать количество сторон многосторонней фигуры, сведя ее к треугольнику. Возьмем многостороннюю фигуру ABCDEFG (см. рисунок 11). Соединим две ее любые вершины, между которыми есть хотя бы одна другая вершина, например D и F. Проведем параллельную прямую через вершину Е. Продлим сторону CD, пока она не пересечет эту параллельную в точке I. Соединим точки I и F. Треугольники IFD и EFD равновеликие (книга I, предложение 35). Таким образом, фигуры ABCDEFG и ABCIFG также равновеликие, но у первой на одну сторону больше, чем у второй. Повторив эту процедуру, мы получим прямоугольник, равновеликий заданному многоугольнику. Следовательно, всякую многоугольную фигуру можно свести к треугольнику.

РИС. 12

Затем мы можем доказать, что любой треугольник можно преобразовать в прямоугольник, что наглядно показано на рисунке 12.

Остается разобрать последний вариант: доказать, что всякий прямоугольник можно свести к квадрату (книга II, предложение 14). Возьмем прямоугольник AD и попробуем преобразовать его в квадрат. Рассмотрим рисунок 13. Отложим отрезок, равный CD, на продолжении стороны АС. Разделим отрезок АВ пополам точкой G. Проведем полуокружность с центром G и радиусом GB и полухорду FC, перпендикулярную АВ и пересекающую ее в точке С. Отрезок FC будет стороной квадрата, равновеликого данному прямоугольнику.

Все эти построения можно сделать исключительно при помощи линейки и циркуля. Необходимо доказать, что FC соответствует нужным требованиям. Рассмотрим отрезки r [=GF=AG=GB] и s [=СС]. Получается, что прямоугольник равновелик (r + s) (r - s), то есть r² - s². FC — катет прямоугольного треугольника FCG. По теореме Пифагора его квадрат равен r² - s². Следовательно, прямоугольник AD равновелик квадрату ЕС, что мы и хотели доказать. Евклид провел это доказательство при помощи метода танграма; мы же использовали алгебраические формулировки, чтобы упростить объяснение, не искажая его.

РИС. 13

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Золотым сечением называется такое соотношение двух отрезков a и b, при котором соотношение сумм их длин а + b к большей длине а равно соотношению а к b (см. рисунок 14). Предположительно своим названием соотношение обязано частым использованием в произведениях архитектуры и искусства, которым оно придает, как пишут некоторые авторы, особую гармонию. Его также называют золотым отрезком (когда подразумевается некий наибольший отрезок), золотым числом, божественной пропорцией, или, в терминологии Евклида, делением в крайнем и среднем отношении. Оно обозначается греческой буквой фи (Ф) и соответствует значению:

РИС. 14

РИС. 15

Ф = (1+ √5)/2 = 1,618033988749894848204586834365638117720309...

Это иррациональное число, то есть число, которое не может быть представлено в виде дроби целых чисел. С геометрической точки зрения для построения золотого отрезка надо разделить данный отрезок АВ в точке Е так, чтобы квадрат с большей стороной АЕ совпал с прямоугольником с меньшей стороной ЕВ и первоначальным отрезком (книга II, предложение 11), как видно на рисунке 15.

ПИФАГОРЕЙСКАЯ ЗВЕЗДА

Евклид использовал золотое сечение для промежуточного этапа построения правильного пятиугольника, в частности чтобы получить равнобедренный треугольник, у которого углы в основании были бы в два раза больше угла у вершины. Это удивительное построение можно объяснить, только предположив, что у Евклида уже был пример такого пятиугольника, причем идеального, и что анализируя эту фигуру, он пришел к выводу о необходимости вышеуказанного треугольника. Это еще один пример анализа и синтеза, о которых мы говорили в главе 2. Действительно, при рассмотрении пятиугольника видно, что две диагонали и одна его сторона образуют равнобедренный треугольник, углы в его основании вдвое больше угла у вершины. Диагонали ЕВ и AD пересекаются в точке F, которая делит их в крайнем и среднем соотношении. По всей вероятности, правильный пятиугольник имел особое значение для пифагорейской школы, символом которой, как говорят, была пятиугольная звезда, получаемая путем проведения диагоналей внутри фигуры (непрерывные линии).

ЗОЛОТОЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК

При помощи золотого отрезка можно построить прямоугольник, сторонами которого будут первоначальный отрезок АВ и самая длинная часть золотого отрезка, АЕ; поэтому он и называется золотым прямоугольником. На рисунке 15 мы видим, что точка Е делит АВ в крайнем и среднем соотношении. Особенностью этого прямоугольника является то, что он может самовоспроизводиться следующим образом (см. рисунок 16): меньший отрезок BE делит больший отрезок АЕ в крайнем и среднем соотношении и становится таким образом большим отрезком нового деления (точка J делит отрезок ВН(=АЕ) в крайнем и среднем соотношении). Прямоугольник АН является золотым прямоугольником, так же как ЕН, LH и так далее до бесконечности.

РИС. 16

ЗОЛОТОЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК И ДОДЕКАЭДР

В заключении «Начал» рассматривается построение Платоновых тел и доказывается, что их существует только пять. В «Тимее» Платон классифицирует природные элементы по пяти телам (см. рисунок 17): тетраэдр он относит к огню из-за его легкости; куб, или гексаэдр, — к земле из-за их стабильности; октаэдр — к воздуху из-за его неустойчивости; икосаэдр — к воде из-за текучести, а додекаэдр — к элементу космоса, пятому, божественному элементу.

РИС. 17

Пять Платоновых тел. Слева направо: тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб и додекаэдр.

Книга XIII, предложение 18. Кроме упомянутых пяти тел невозможно построить другого тела, заключенного между равносторонними и равноугольными равными друг другу многоугольниками.

Доказательство. Представим, что на листе бумаги стоит точка. Нарисуем вокруг нее 3,4 или 5 равносторонних треугольников, 3 или 4 квадрата и 3 пятиугольника. Если посчитать градусы углов, становится понятно, что другие фигуры невозможны. Следовательно, не могут существовать другие правильные многоугольники, кроме упомянутых выше.

ЗОЛОТОЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК В ДВУХ ШЕДЕВРАХ

Существует мнение, что золотой прямоугольник встречается во многих произведениях искусства (в частности, в афинском Парфеноне и «Менинах» Веласкеса). Но даже когда искусство прервало классические традиции, как в случае кубизма, прямоугольник остался важным структурным элементом картины. Парфенон — один из самых известных дорических храмов, сохранившихся до наших дней; он был построен между 447 и 432 годами до н.э. Его размеры составляют примерно 69,5 м в длину, 30,9 м в ширину, высота колонн —10,4 м. Храм посвящен богине Афине, которую жители города считали своей покровительницей. А полотно Веласкеса было написано в 1656 году и его размеры — 318 х 276 см. Как видно на рисунках, пропорции их основных элементов образуют золотые прямоугольники. Необходимо уточнить, что хотя эти пропорции и не были результатом специальных построений, все же вряд ли они получились по чистой случайности.

Но существуют ли пять Платоновых тел? Построить первые три относительно легко, а в случае с икосаэдром и додекаэдром все не так просто. Евклид в предложениях с 13 по 17 книги XIII объясняет эти фигуры и вычисляет их стороны

в соответствии с диаметром сферы, в которую они вписаны. Задача сводится к тому, чтобы построить круг, заключающий одну из сторон многоугольника. Это построение является результатом анализа. В качестве примера рассмотрим построение стороны правильного тетраэдра (см. рисунок).

Разделим диаметр АВ круга в точке С так, чтобы АС = 2ВС, Проведем через С прямую, перпендикулярную АВ, пересекающую полукруг ABD в точке D. Проведем окружность с радиусом CD и рассмотрим заключенный в ней равносторонний треугольник. Мы получим три точки: Е, F, G. Проведем через центральную точку Я треугольника EFG прямую НK, перпендикулярную плоскости и равную АС. Соединим К с вершинами Е, F, G и получим тетраэдр. Еще раз отметим, что для этого построения необходимо произвести предварительный анализ, как мы видели в отступлении, посвященном правильному пятиугольнику. Без этого анализа построение невозможно, так как мы не знали бы, какие действия предпринимать.

Францисканский монах и математик Лука Пачоли, итальянец, решает одну из задач евклидовых «Начал». Картина 1495 года, музей и галерея Каподимонте, Неаполь.

Обложка первого английского издания «Начал» Евклида, опубликованного в 1570 году Генри Биллингсли.

«Начала» Евклида. Латинская копия XII века.

Тем не менее в случае с икосаэдром и додекаэдром не все так просто — именно поэтому Гипсикл отвел значительную часть книги XIV построениям этих фигур. Но самое необычное построение предложил Лука Пачоли (1445-1517) в сочинении «О божественной пропорции» (1494). Этот трактат известен не только тем, что в нем крайнее и среднее соотношение получило одно из самых ярких названий, но и благодаря своему научному содержанию, а также великолепным рисункам полиэдров работы самого Леонардо да Винчи. Шедевр Пачоли «Сумма арифметики, геометрии, учения о пропорциях и отношениях», в котором автор хотел рационализировать бухгалтерские методы того времени, стал завершением математики XIII и XIV веков и открыл новую эру в алгебре.

В 1507 году Пачоли сделал точный перевод «Начал» на латынь. Как видно на рисунке, он вставил один в другой три равных золотых прямоугольника перпендикулярно друг другу по срединной параллели. Затем ему оставалось только соединить ближайшие друг к другу вершины. Чтобы построить додекаэдр, итальянец соединил центры граней икосаэдра. Великолепный пример ясности рассуждений!

ГЛАВА 5

Теория отношений и метод исчерпывания

Одним из важнейших достижений Академии была разработка теории отношений, приписываемая великому древнегреческому математику Евдоксу Книдскому.

Благодаря ей Евклид смог сделать шаг вперед по сравнению с прямыми и окружностями и заняться изучением объемов. Еще одной знаменательной находкой классической математики был метод исчерпывания, с помощью которого Евклид решил задачу, унаследованную еще от Древнего Египта и связанную с расчетом объема пирамиды.

Как мы уже говорили, V книга «Начал» не зависит от предыдущих, хотя после установления теории отношений между величинами они становятся необходимы для применения общей теории геометрии. Этот метод практически единогласно приписывается Евдоксу Книдскому.

ПОНЯТИЕ ВЕЛИЧИНЫ

Первая проблема — похожая на заключенную в понятии прямой, но более сложная — кроется в самом термине «величина». Евклид использовал его, нигде не объясняя его значения. Любопытно, что Архимед, напротив, избегал этого термина и говорил только о «прямых, поверхностях и телах». Отсутствие определения величины вызвало серьезные философские споры, оказавшие влияние и на математику. Главный вопрос, вокруг которого развернулась дискуссия, звучал так: можно ли разделять величины до бесконечности? Самый заметный вклад в его решение внес Зенон Элейский со своими апориями, или парадоксами.

Зенон предложил собственную формулировку вопроса о величинах, в которой рассматривал время и пространство: они делимы до бесконечности или же состоят из неделимых мгновений и промежутков? Для древнегреческой философии того времени обе гипотезы были неприемлемы. Первая подразумевает, что мы должны принять актуальную бесконечность, которую, как мы уже знаем, Аристотель отверг окончательно и бесповоротно в IV веке до н. э., а во второй кроется парадокс: каким образом, соединяя «мгновения» или «неделимые промежутки», которые не содержат в себе ни времени, ни пространства, то есть нулевые, мы получаем некий временной или пространственный промежуток, отличный от нуля? Зенон пошел еще дальше и сформулировал четыре парадокса, о которых рассказывается в «Физике» Аристотеля. Два из них вытекают из гипотезы о том, что время дискретно и состоит из частей, не содержащих времени, а два других — из представления, согласно которому и время, и расстояние можно дробить до бесконечности. Рассмотрим два парадокса — по одному каждого типа.

Я постоянно встречаю людей, которые сомневаются, обычно без всякой на то причины, в своих математических способностях. В первую очередь надо выяснить, понимают ли они что-нибудь в геометрии. Не важно, что они не любят или что для них сложны другие области математики.

Джон Литлвуд

АПОРИЯ «СТРЕЛА»

Вспомним стрелу, выпущенную Улиссом, чтобы доказать, что он и есть муж Пенелопы и готов защитить ее от разгула женихов. За мгновение своего полета стрела не двигается, потому что если бы она двигалась, то ей потребовалось бы полмгновенья, чтобы пройти половину этого отрезка. Но этой половины не существует, поскольку мы предполагаем, что мгновенье — это минимальная временная единица. Значит, на самом деле стрела не двигается. Но если она не двигается «ни в один миг своего полета», то как она попала из лука в грудь Антиноя — первого жениха, убитого Улиссом? Можно было бы ответить, что за мгновение стрела передвигается на невидимое расстояние, то есть расстояние без расстояния. Но это вернуло бы нас к исходной точке: как можно получить расстояние, складывая «невидимые расстояния» (то есть нулевые)?

ЗЕНОН ЭЛЕЙСКИЙ

Зенон родился в Элее, современной Кампании, в 490 году до н.э. Он был учеником Парменида (ок. 540-475 до н. э.) и вместе с ним в середине V века до н. э. переехал в Афины, где, по свидетельству Платона, познакомился с тогда еще молодым Сократом. Зенон умер в 430 году до н. э., пытаясь освободить свою родину от поработившего ее тирана. Легенда гласит, что он отрезал себе язык, чтобы не выдать имена других заговорщиков.

От его сочинения «О природе», в котором он отстаивает тезисы Парменида, до нас дошло пять фрагментов. Благодаря комментариям Симпликия (490- 560) к аристотелевской «Физике» они считаются подлинными. В этом тексте, чтобы доказать свои гипотезы и опровергнуть теории противника, тезисы доводятся до абсурда (что-то вроде апагогии применительно к философии) методом рассуждений (logoi). Благодаря своим апориям Зенон может считаться отцом парадоксальных рассуждений: он никогда не доказывал тезисы своего учителя напрямую, а тонко запутывал противника, приводя его к неприемлемым выводам. В его философии существует только одно бытие, единое и неподвижное. Множественность и движение ведут к концептуальному несоответствию. Благодаря Аристотелю мы знаем четыре апории: о стреле, черепахе, движении и стадионе.

АПОРИЯ «АХИЛЛЕС И ЧЕРЕПАХА»

Ахиллес, более быстрый, чем черепаха, никогда ее не догонит, если она в момент движения находится на некотором расстоянии впереди. Ахиллес начинает движение из точки А, чтобы догнать черепаху, находящуюся в точке 5 (см. рисунок). Как бы быстро ни бежал Ахиллес — если только его скорость не бесконечна, что недопустимо,— когда он достигнет точки В, черепаха, как бы медленно она ни ползла, уже будет в точке B1. Поскольку мы предполагаем, что пространство дискретно и его можно делить бесконечно, то между двумя точками B и B1 всегда будет некоторое расстояние. Пока Ахиллес преодолевает отрезок BB1, черепаха дойдет до точки B2, и так до бесконечности. За конечный промежуток времени Ахиллес никогда не догонит черепаху.

Необходимо было преодолеть эту двойственность, чтобы дать геометрии твердые основы. Геометрические величины — линии, поверхности и тела — являются делимыми до бесконечности или состоят из атомов? Евклид в «Началах» и Архимед в «О шаре и цилиндрах» утверждают, что...

«...величины делимы до бесконечности и, следовательно, не содержат атомов».

Ахиллес и черепаха.

Таким образом, делая выбор из двух одинаково приемлемых (или неприемлемых) положений, мыслители преодолевают сложности, возникающие из-за отсутствия четкого определения величины. Вполне вероятно, что в геометрии важнее не что такое величина, а как с ней работать. Однако отсутствие концептуальной ясности в какой бы то ни было области может привести к парадоксальным ситуациям, которые невозможно предвидеть в самом начале. Как трактуются величины в «Началах»? Нарушает ли это понятие строгий порядок изложения геометрической теории?

ЕДИНИЦА ИЗМЕРЕНИЯ

Если вместо UV мы выберем единицей измерения

U₁V₁ = k x UV = UV + ...(k раз) + UV, то

AB = m/k x U₁V₁ и CD = n/k x U₁V₁.

Другими словами, k х АВ = m х U₁V₁, k x CD = n x U₁V₁, и они относятся друг к другу как m/n, поскольку, по предложению 3 книги V,

АВ/CD = (k x AB)/(k x CD) = (m x U₁V₁)/(n x U₁V₁) = m/n.

Если мы говорим об отношении между величинами, необязательно использовать отдельную единицу измерения для каждого типа величины.

НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Уже в пифагорейской школе обозначился кризис, позже названный некоторыми историками первым кризисом устоев математики. Ранее считалось, что два отрезка всегда соизмеримы. Если даны два отрезка АВ и CD, всегда можно найти общий для них обоих (с точки зрения их размера) отрезок UV] другими словами, всегда существует отрезок UV, который точно измеряет эти два отрезка. Следовательно, АВ = m х UV, a CD = n х UV. Мы также можем сказать, что между АВ и CD есть отношение, которое выражается как m/n, или m : n. Понятие отношения имеет огромное значение, поскольку позволяет обойтись без конкретного мерного отрезка UV. Не важно, какую меру длины мы используем — метры, сантиметры или километры, — отношение двух длин не меняется в зависимости от изменения единицы их измерения. Но не всегда мы можем выразить это отношение в виде чисел: не все можно свести к числовым вычислениям (с натуральными числами, то есть положительными и целыми). Если взять теорему Пифагора, можно вычислить диагональ АС квадрата с произвольной стороной АВ (см. рисунок 1). Поскольку АС = АВ,

АС² = АВ² + ВС² = АВ²+АВ² = 2хАВ².