Физика учит новый язык. Лейбниц. Анализ бесконечно малых.

ПАСКАЛИНА

Следующая известная машина была создана французским математиком Блезом Паскалем, разработавшим ее в 1642 году для помощи своему отцу, интенданту Нормандии, которому часто приходилось заниматься утомительными расчетами. Она могла складывать и вычитать.

Данная машина состояла из ряда колес, соединенных между собой и разделенных на десять частей, от 0 до 9. Каждый раз, когда одно колесо делало полный оборот, передвигалось вперед следующее колесо. Для вычитания было достаточно повернуть колесо в противоположном направлении, и когда заканчивался полный оборот, вычиталась единица из следующего круга. Конструкция состояла из коробки в форме параллелепипеда с рядом колес, связанных между собой. Каждое из них соответствовало определенному разряду. Даже сегодня можно найти в некоторых магазинах или в интернете арифмометры, основанные на той же идее.

БЛЕЗ ПАСКАЛЬ

Блез Паскаль (1623-1662), физик, математик и философ, с очень юных лет начал посещать научные сообщества своего времени и вошел в состав кружка Мерсенна. Уже в 17 лет Паскаль написал работу „Опыт о конических сечениях“, в которой сформулировал теорему, известную как „теорема Паскаля“,— она является одной из основных теорем проективной геометрии. Ученый работал с вакуумом и атмосферным давлением, воспроизводя эксперимент Эванджелисты Торричелли. Паскаль открыл основной закон гидростатики. Также он сформулировал закон сообщающихся сосудов. Кроме того, он вычислил площадь фигуры, ограниченной циклоидой. Кавалер де Мере, дворянин, увлеченный азартными играми, задал ученому задачу об игральных кубиках: что более вероятно — выбросить по крайней мере одну шестерку за четыре броска кубика или двойную шестерку за 24 броска двух кубиков? В переписке между Паскалем и французским математиком Пьером де Ферма, посвященной решению этой задачи, были заложены основы теории вероятностей. Также ученый разработал то, что сегодня известно как треугольник Паскаля, состоящий из рядов чисел. Каждое число треугольника равно сумме двух расположенных над ним чисел. Данный треугольник используется в теории вероятности. Но, без сомнения, самое известное изобретение Паскаля — его вычислительная машина, паскалина, с помощью которой можно было совершать сложение и вычитание.

Паскалина — вычислительная машина, придуманная Паскалем.

Сам Паскаль создал фабрику для изготовления паскалины, как было названо это изобретение. Поскольку процесс был полностью ручным, цена конечного продукта оказалась такой высокой, что производство не удалось поставить на поток. В итоге было изготовлено около полусотни машин, из которых сегодня осталось несколько, хранящихся в научных музеях.

В середине 1660-х годов появляются новые машины, на этот раз созданные математиком Сэмюэлем Морлендом (1625-1695), который, кроме того, был дипломатом, шпионом, академиком и в особенности изобретателем: он разработал портативные плиты на пару и водяные насосы. Морленд был знаком с машиной Паскаля и, похоже, также с машиной, сконструированной Рене Грийе де Ровеном, часовщиком Людовика XIV, на которой, как считается, основывалась машина Лейбница. Он создал три вычислительные машины: одну — для осуществления тригонометрических вычислений, другую — складывающую и третью — позволяющую умножать и делить. Последние две машины представлены в книге Морленда „Описание и применение двух арифметических инструментов“.

Суммирующая машина имела ряд колес, подобно машине Паскаля, но они были независимы друг от друга. К каждому из них был присоединен маленький круг, указывающий число полных оборотов, которые сделало большое колесо, и количество этих оборотов потом нужно было прибавить вручную. Данная машина была придумана для работы с английской монетной системой и считается первым карманным калькулятором.

Умножающая машина была основана на тех же принципах, что и таблицы Непера. Она состояла из плоской пластинки с несколькими отверстиями, куда можно было поместить ряд взаимозаменяемых дисков, которые были в основном круглой версией таблиц Непера. Некоторые из таких дисков позволяли вычислять квадратные и кубические корни. Есть предположение, что конструкция умножающей машины была придумана под влиянием другой машины, созданной в 1659 году итальянцем Тито Ливио Бураттини (1617-1681).

Механизмы арифметической машины Лейбница. Это была первая машина такого типа,которая позволяла осуществлять четыре базовые арифметические операции.

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ МАШИНА ЛЕЙБНИЦА

Все машины того времени создавались по подобию машины Паскаля. Однако арифметическая машина, разработанная Лейбницем, была гораздо более прогрессивной моделью по сравнению с другими современными ему механизмами. Хотя изначально ученый основывался на том же подходе, что и Паскаль, вскоре он понял: для перехода от сложения и вычитания к более сложным операциям нужен более мощный и сложный механизм.

Возможно, конструкция этой машины уже была продумана Лейбницем в начале 1670-х годов. Во время своего первого визита в Париж он познакомился с наследием Паскаля и наверняка изучал его вычислительную машину. Хотя изначально Лейбниц назвал свою машину Staffehvalze (по-английски Stepped Reckoner), что-то вроде „ступенчатого калькулятора“, далее он говорил о ней как об арифметической машине.

Она состояла из двух частей: верхней, статичной, и нижней, наделенной самоходной кареткой. Но ее гениальность — в наличии ряда цилиндров, на которых находилось по девять зубцов различной длины (см. рисунок). Цилиндр был закреплен на оси и соприкасался с зубчатым колесом, прикрепленным к оси, параллельной предыдущей. Когда крутился соответствующий диск с цифрами, цилиндр продвигался вперед или назад, так что зубчатое колесо, приведенное в действие цилиндром, двигалось в зависимости от зубцов, которые могли его при этом цеплять. Данное колесо вращало последний диск, на котором появлялся результат — его можно было увидеть в окошке коробки.

В машине использовались три типа колес: сумма, множимое и множитель. При взаимодействии они позволяли вычислять суммы, разности, произведения и частные.

Первая машина, которую Лейбниц представил в научных сообществах, была прототипом, сделанным из дерева и имеющим проблемы в работе. В основном из-за дефектов изготовления ученый не смог доказать, что она осуществляет вычисления, для которых была предназначена. Позже Лейбниц нашел механика-часовщика, и ему удалось создать металлическую машину, которая работала.

Уже в середине 1670-х годов у Лейбница была машина, осуществлявшая все четыре операции. Он совершенствовал ее всю свою жизнь. Через несколько лет ученый попытался сконструировать ее таким образом, чтобы она работала в двоичной системе, но огромное количество цилиндров, необходимое для промежуточных операций, заставило его отказаться от этой идеи.

В то время механические машины обычно страдали от одной проблемы: они были сложными и очень затратными (если не невозможными) в производстве. Технологии той эпохи не позволяли реализовать конструкции, придуманные гениями. Хотя первые машины появились в начале XVII века, потребовалось еще два столетия на то, чтобы они приобрели популярность и коммерческий успех. Например, только в 1822 году стал продаваться арифмометр — первая механическая машина, созданная французом Шарлем Ксавье Тома де Кольмаром (1785-1870), который стал кавалером Почетного легиона за свое изобретение.

Так же как Исаак Ньютон стал известным в научных сообществах того времени после создания своего телескопа-рефлектора, имя Готфрида Вильгельма Лейбница начало упоминаться в главных академиях благодаря изобретенной им арифметической машине.

ГЛАВА 2

И осуществилось вычисление

В XVI и XVII веках науки, и в частности математика, переживали период своего расцвета. В значительной степени наступивший прогресс был связан с основами анализа бесконечно малых. Были решены многие классические задачи, но их место заняли новые, которые ставила перед учеными природа. Хотя Ньютон и Лейбниц считаются основателями этого анализа, сами они опирались на работы многих других известных математиков.

В конце марта 1672 года Лейбниц впервые приехал в Париж с целью защищать египетский проект, составленный совместно с Бойнебургом. Однако Англия уже вступила в войну с Нидерландами, и Франция сделала то же самое через неделю после его приезда, так что поездка Лейбница оказалась лишена смысла. Тогда он сосредоточился на дипломатических усилиях, стараясь оградить от этого конфликта Германию.

Несколько месяцев ученый провел в ожидании высочайшей аудиенции, отдавая себе отчет, что шансы на успех невелики. Через полгода его вынужденного бездействия в Париж приехал Фридрих фон Шёнборн, племянник курфюрста Майнца и зять Бойнебурга. Целью фон Шёнборна было принять участие в официальных мирных переговорах и предложить провести мирный конгресс в Кёльне. Не добившись никакого положительного результата, фон Шёнборн позже вместе с Лейбницем уехал в Англию.

Смерть Бойнебурга, случившаяся в следующем месяце, оказалась тяжелым ударом для Лейбница. Барон поддерживал его в научной деятельности и особенно помог ему наладить связи с учеными, политиками и государственными людьми, которые помогли последнему добиться должности советника курфюрста Майнца. Сам Лейбниц говорил о Бойнебурге как об "одном из самых великих людей этого века, особая дружба с которым была [для него] большой честью".

БЕСЕДЫ С УЧЕНЫМИ

Во время ожидания аудиенции Лейбниц воспользовался возможностями, которые предоставлял Париж, и встретился с многими известными учеными и интеллектуалами.

Летом 1672 года он навестил великого нидерландского ученого Христиана Гюйгенса, с научной работой которого он был частично знаком. Во время этой встречи Лейбниц показал ему первую модель своей арифметической машины, выполненную из дерева и еще далеко не совершенную. Позже Гюйгенс писал Ольденбургу: данная машина — большое достижение, даже несмотря на то что ее необходимо усовершенствовать.

Лейбниц также ознакомил Гюйгенса со своими наработками по суммированию бесконечных рядов — одной из проблем, больше всего занимавших математиков того времени. Тот посоветовал ему изучить сочинения английского математика Джона Уоллиса, а также Грегуара де Сен-Венсана (1584-1667), работу которого ученый прочел в королевской библиотеке. Другая важная встреча состоялась у Лейбница с королевским библиотекарем Пьером де Каркави, который очень хотел посмотреть на арифметическую машину. Также Лейбниц выполнил несколько его поручений, например оценил работу, связанную с вакуумом, написанную немецким физиком Отто фон Герике (1602-1686). Этот ученый был изобретателем вакуумного насоса и в 1654 году осуществил знаменитый эксперимент с магдебургскими полушариями. Герике соединил два полушария диаметром 50 см и создал между ними вакуум. С каждой стороны получившейся сферы он поставил по восемь лошадей, тянувших за полушария, чтобы разделить их, но им этого не удалось.

Провалив дипломатическую миссию во Франции, Лейбниц получил указание сопровождать фон Шёнборна в Англию и затем вернуться в Майнц через Нидерланды.

ХРИСТИАН ГЮЙГЕНС

Христиан Гюйгенс (1629-1695), родившийся в Гааге, был одним из самых известных ученых своего времени. Он был математиком, физиком, астрономом и изобретателем. Гюйгенса связывали дружеские отношения с философом и математиком Рене Декартом, который оказал большое влияние на его исследования. В качестве посла Нидерландов Гюйгенс посетил такие города, как Копенгаген, Рим и Париж. В Париже он и обосновался в 1660 году. В следующем году ученый поехал в Лондон и там был принят в Королевское общество. В 1666 году он возвратился в столицу Франции, где стал членом Парижской академии наук.

Научные достижения

Гюйгенс был отличным шлифовщиком линз и построил много телескопов, причем некоторые из них были огромного размера. Он открыл кольца Сатурна (первым их наблюдал Галилей, но не понял, что это такое), а также спутник Сатурна, Титан. Когда Европейское космическое агентство отправило зонд для исследования Титана, оно назвало его в честь ученого — зонд "Гюйгенс". В математике Гюйгенс стоял у истоков создававшейся в то время теории вероятностей и изучал длины различных кривых, таких как циссоида или циклоида, а также площади ограниченных ими фигур. Таким образом, он внес вклад в создание анализа бесконечно малых. Кроме того, Гюйгенс работал над некоторыми аспектами механики, в особенности над теорией колебаний и над принципом сохранения "живой силы". В оптике ученый разработал волновую теорию света.

Он намеревался добиться того, чтобы обе нации начали мирные переговоры. Итак, Лейбниц поехал в Лондон в начале 1673 года. Оказавшись там, он встретился с немецким теологом и дипломатом Генри Ольденбургом, который созвал заседание Королевского общества, чтобы ученый мог представить свою арифметическую машину Вообще, во время пребывания в Лондоне Лейбниц смог присутствовать на нескольких заседаниях Королевского общества. По случайности он пропустил одно из них, на котором Гук сделал несколько нелестных комментариев о его машине, в то время работавшей, как мы уже упомянули, не очень хорошо.

Надо сказать, что Роберт Гук — один из самых значительных ученых-экспериментаторов в истории. Его интересовали совершенно разные дисциплины. В 1662 году он занимал в Королевском обществе должность куратора экспериментов. В его обязанности входило делать еженедельный доклад, посвященный новым открытиям, и проводить публичные эксперименты, эти открытия подтверждающие. В 1677 году он стал секретарем Общества. Ученый утверждал, что у него были идеи, затрагивающие многие великие открытия его времени, однако другие развивали и публиковали их быстрее, чем он. Из-за этого он всегда был вовлечен в многочисленные споры об авторстве того или иного открытия. Особое место занимает его полемика с Исааком Ньютоном по поводу приоритета в открытии закона всемирного тяготения. Ненависть между ними достигла такой степени, что после смерти своего оппонента Ньютон уничтожил все его портреты, поэтому Гук является единственным членом Королевского общества, чей облик нам неизвестен.

В любом случае Лейбниц был так доволен своим участием в собраниях Общества, что подал заявку на вступление в него до того, как покинул Лондон, и его приняли в середине апреля.

На встрече с Сэмюэлем Морлендом оба ученых продемонстрировали друг другу свои вычислительные машины. Лейбниц также навестил Роберта Бойля и познакомился с математиком Джоном Пеллом (1611-1685), с которым обсуждал методы нахождения суммы ряда и метод разностей, изобретенный Лейбницем для вычисления суммы рядов.

До того как ученый покинул Англию, он получил новость о смерти курфюрста Майнца, так что дипломатическая миссия, которую ему поручили, была отложена. Это позволило ему не ехать в Нидерланды и вернуться в Париж.

СОВЕТНИК ПРИ ГАННОВЕРСКОМ ДВОРЕ

В 1675 году Лейбниц находился в Париже, не имея никаких конкретных поручений. Было очевидно, что он хочет остаться в столице Франции, чтобы принять участие в научной революции. Из-за этого он отказался от должности секретаря первого министра короля Дании и от должности советника герцога Иоганна Фридриха Ганноверского. В конце года ученый попытался получить оплачиваемое место в Парижской академии наук, однако Академия ответила, что Гюйгенс и Кассини занимают все предназначенные для иностранцев места.

Лейбниц написал герцогу Иоганну Фридриху Ганноверскому под предлогом разговора об арифметической машине (к тому времени она получила большую похвалу в Академии, так как ученый представил исправно работающий экземпляр) и заодно согласился на должность, которую тот ему предложил несколько месяцев ранее. В январе 1676 года он занял должность советника, одновременно получив назначение советником нового курфюрста Майнца.

Лейбниц пытался не оставлять Париж и время от времени ездил в Ганновер и Майнц. Он старался поддерживать политические связи и не терять прямого контакта с Академией, а также с учеными и философами, которые посещали город. Благодаря поездкам он мог сообщать о наиболее важных достижениях науки своим покровителям.

В течение нескольких месяцев Лейбницу поступали из Ганновера требования немедленно переехать в этот город, но он тянул с ответом. В итоге ученому поставили ультиматум, поскольку он должен был не только стать советником, но и занять вакантное место библиотекаря герцогской библиотеки. Благодаря этой должности он много разъезжал, покупая частные собрания книг, в которых попадались интересные экземпляры для герцогской библиотеки.

В конце концов в начале октября 1676 года Лейбниц покинул Париж. Больше он туда никогда не возвращался. Путь Лейбница лежал из Кале через Лондон: там он снова встретился с Ольденбургом, которому показал улучшенный прототип арифметической машины, а также с библиотекарем Королевского общества, математиком Джоном Коллинзом, оставшимся под большим впечатлением от эрудиции Лейбница.

Бесконечные ряды

Кроме арифметической машины одним из первых результатов своих исследований, с которыми Лейбниц познакомил Королевское общество, был метод нахождения суммы членов бесконечных рядов.

СУММА ЧЛЕНОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ

Первая известная сумма бесконечных членов найдена для так называемой геометрической прогрессии. Результаты вычисления суммы этого ряда фигурируют уже в папирусе Ринда. Задача заключается в том, чтобы найти сумму бесконечного количества степеней, основание которых — число, меньшее единицы. Самый традиционный пример — сумма геометрической прогрессии:

1/2+(1/2)2+(1/2)3+(1/2)4+ ... + 1/2+1/4+1/8+1/16+ ...= 1

Этот процесс нагляден: возьмем за единицу площадь квадрата, который мы разделим на две части, и одну из них — снова напополам; из двух оставшихся частей одна снова делится посередине, и теоретически можно продолжить данный процесс до бесконечности. Суммой всех полученных нами фигур является исходный квадрат, то есть единица. С этим типом рядов, которые обычно представлены следующим выражением:

∑rn = 1+r+r2+r3+r4+...

n≥0

знакомы и работают ученики средней школы. Чтобы найти значение суммы, нам нужно сложить п членов геометрической прогрессии, а затем умножить эту сумму на знаменатель прогрессии г. Затем вычитаем одно выражение из другого:

S = (1+r+r2+r3+r4+...+rn)- (r • S = r+r2+r3+r4+r5+...+rn+1)/(S - r • S = 1 - rn+1)

Таким образом мы можем выделить S и получить значение суммы, которое мы искали:

S = (1-rn+1)/(1-r)

Теперь, если принять, что r имеет значение, меньшее 1, и что вместо сложения п членов мы складываем бесконечное количество, значение rn+1 становится нулем, и, следовательно, сумма сводится к:

S = 1/(1-r)

Математики всегда искали формулы, которые бы позволили с легкостью складывать большое число членов. Уже в античности были известны суммы членов рядов первых степеней: n, n2 и n3.

1+2+3+4+5+6+7+...+ = n(n+1)/2 = n2/2+n/2,

12+22+32+...+n2 = n(n+1)(2n+1)/6 = n3/3+n2/2+n/6,

13+23+33+...+n3 = n2(n+1)2/4 = n4/4+n3/2+n2/4.

Но с самого начала математики были очень заинтересованы в изучении конкретного случая, когда сумма бесконечного числа членов дает конечное значение. Над этой проблемой работали, например, Демокрит и Архимед.

На основе геометрического ряда

∑rn

n≥1

в Средние века исследовали ряды степеней, в которых менялись местами основание и показатель степени, например:

∑nr

n≥1

Вскоре было замечено: если показатель степени r положительный, а n — целое число, сумма превращается в бесконечность. Когда показатель степени r отрицательный, получаются степени дробей, меньших единицы, то есть сумма

∑(1/n)r, где r больше единицы.

n≥1

Французский математик Николай Орезмский (1323— 1382) получил много результатов, исследуя ряды, и первым доказал, что гармонический ряд, то есть ряд, составленный из членов, обратных числам натурального ряда, для r = 1 является расходящимся. Следовательно, сумма большого числа членов стремится к бесконечности. В то время доказательства приводили в буквальном виде, описывая шаги, которые нужно сделать, но мы рассмотрим это искусное рассуждение, пользуясь более привычными символами. Орезмский сгруппировал члены, то есть у него был первый член, два следующих, четыре следующих, восемь следующих и так далее:

1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+...+ = 1/2+(1/2+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+...+ = 1/2+7/12+533/840+...

Так получается ряд дробей, каждая из которых больше 1 /2, то есть сумму ряда можно сделать больше любого указанного числа, просто взяв достаточное число членов ряда.

Индийский математик и астроном Мадхава из Сангамаграма (1350-1425) описал среди прочих бесконечных рядов ряды тригонометрических функций синуса и косинуса. Он также нашел ряд арктангенса:

arct x = x - x3/3 + x5/5 + x7/7 + ,,,

Через несколько лет шотландский математик Джеймс Грегори (1638-1675) первым в Европе открыл этот ряд, о нем узнал Лейбниц и воспользовался им для выведения первого ряда для числа π, недостатком которого было то, что он очень медленно приближается к истинному значению. Он известен как ряд Грегори — Лейбница, хотя другие авторы сегодня его называют рядом Мадхавы — Лейбница:

π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 + 1/7 + ... + (-1)n/(2n+1) + ...

И Ньютон, и Лейбниц также вычисляли ряды степеней других тригонометрических функций.

Вычисление числа k было постоянным предметом поиска математиков всех времен. Это число определяется как отношение между длиной окружности и ее диаметром. Многие пытались найти наибольшее количество десятичных знаков данного числа, и одним из использованных методов был метод числовых рядов. Он подразумевает, что по мере того, как вычисляется больше членов, появляется большее количество точных знаков после запятой.

Ряды не всегда были суммами. Например, математик Франсуа Виет (1540-1603), один из создателей современной алгебры, представил первое бесконечное произведение, приближающееся к значению π, таким образом: