Революция в микромире. Планк. Квантовая теория

Мы изложим фундаментальные идеи одного из следствий закона Планка об излучении черного тела, которое было опубликовано в Annalen der Physik («Анналы физики») в 1901 году. Отправной точкой является отношение между энергией осциллятора U_v и плотностью энергии электромагнитного поля u_v, с которой она находится в равновесии:

u_v = 8πv²/c³ ∙ U_v

Теперь необходимо найти энергию U_v осциллятора как функцию частоты и температуры. Для этого Планк воспользовался вероятностной интерпретацией энтропии, предложенной Больцманом, а именно уравнением, связывающим энтропию 5 системы с вероятностью Ω:

S = k ln Ω.

Для расчета Ω необходимо знать, сколько возможных конфигураций имеет система при общей энергии всех осцилляторов. Для того чтобы узнать количество конфигураций, Планк воспользовался предположением, что энергия разделяется на дискретные элементы величиной ε. Чтобы исполнялся закон смещения Вина, Планк был вынужден уточнить, что эти элементы энергии, как он их назвал, должны быть пропорциональны частоте п согласно формуле:

ε = hv.

Эти дискретные элементы позже получили название квантов, а представленное выше выражение было названо квантовой гипотезой. Обозначение h — константа, равная 6,62606957(29) · 10~34Дж/Гц, сейчас называется постоянной Планка.

Второе начало термодинамики позволяет использовать энтропию для расчета соотношения между энергией и температурой. После ряда преобразований Планк получил:

u_v = 8πh/c³ ∙ v³/hv/kT.

Это та же формула, которую Планк предложил в октябре, но ее новый вид позволяет получить точные выражения для двух констант, С и а, появляющихся в законе. Их величина — С = 8πh/c³ и а = h/k — связывает эти две константы с другими постоянными, такими как скорость света с и постоянная Больцмана k. Весьма важно появление последней константы, взятой из определения энтропии. В последней главе мы рассмотрим некоторые важнейшие следствия отношений между разными постоянными.

Еще раз рассмотрим концептуальные элементы доказательства Планка.

— Электродинамика позволяет сформулировать отношение между механической энергией осциллятора и электромагнитным полем, с которым энергия находится в равновесии. Это отношение строится на предположении, что осциллятор поглощает столько же энергии, сколько излучает. Как можно было ожидать, отношение не зависит от физических характеристик осциллятора, таких как заряд или масса, но связано с частотой и универсальной константой — скоростью света. Это соответствует закону Кирхгофа, согласно которому спектральное распределение излучения не может зависеть от физических характеристик вещества, из которого изготовлены стенки полости.

— Второе начало термодинамики позволяет получить соотношение между внутренней энергией и температурой из выражения энтропии.

— Наконец, вероятностная интерпретация энтропии Больцмана позволяет рассчитать энтропию системы осцилляторов.

Математический вывод закона Планка

Для расчета энтропии взаимодействующих осцилляторов определенной частоты S = klnΩ необходимо рассчитать количество возможных конфигураций Ω. Это количество зависит от всех доступных способов распределения элементов энергии Р величиной ε между количеством осцилляторов, равным Ν. Обозначим элементы энергии кружками, границы элементов, соответствующих одному осциллятору, — крестиками. Любую конфигурацию можно записать в следующем виде.

Этот пример означает, что у первого осциллятора имеется три элемента энергии, у второго — один, у третьего — три, у четвертого — два и так далее. Возможное количество конфигураций нам дает комбинаторика, согласно которой:

Ω = (N + Р-1)!/Р!(N-1)!.

В цепочке у нас есть N + Р - 1 символов. Факториал в числителе означает все возможные комбинации крестиков и кружков. Факториалы в знаменателе показывают, что порядок, в котором идут кружки и крестики, не имеет значения, так как осцилляторы и элементы энергии неразличимы. Планк прибегнул к известному приближению, формуле Стирлинга, по которой Inn! = nlnn - n. И так как N и Р значительно больше единицы, получается:

S = k[(N + Р)lп(N + Р) - PlnP - N/ln/N].

Пользуясь тем, что UN = Pε, и вводя среднюю энергию каждого осциллятора, U_N= NU, Планк пришел к следующему выражению:

S = к[(1 + U/ε)ln(1 + U/ε) - (U/ε)lnU/ε].

Для того чтобы выражение энергии, получаемое из выражения выше, соответствовало закону смещения Вина, Планк доказал, что S может быть только функцией частного U/v. Это заставляет прибегнуть к гипотезе ε = hv, в которой h — константа, называемая сегодня постоянной Планка. С учетом этого получается:

S = к[(1 + U/hv)ln(1 + U/hv) - (U/hv)lnU/hv].

Второе начало термодинамики дает нам отношение между энергией и температурой:

1/T = dS/dU

Вычисляя производную и U, мы получаем среднюю энергию осциллятора:

U_v = hv/(ehv/kT - 1)

Используя отношение между энергией осциллятора и электромагнитным полем, с которым он находится в равновесии, получаем выражение:

u_v = 8πh/c³·v³/(ehv/kT - 1)

которое представляет спектральное распределение энергии, обнаруженное Планком эмпирическим путем.

К этим факторам Планк добавил квантовую гипотезу, необходимую для выполнения закона, правильность которого была доказана эмпирически. Также отметим, что каждый осциллятор может поглощать и испускать энергию излучения в величине, пропорциональной V. Когда осциллятор поглощает или испускает электромагнитное излучение, его энергия

увеличивается или уменьшается на величину hν. Кроме того, энергия осцилляторов квантуется. Энергия осциллятора с частотой v может принимать следующие величины: hv, 2hv, 3hv, ..., nhv.

Из всех этих составляющих, на взгляд Планка, самой значимой была не квантовая теория, а необходимость прибегнуть к вероятностной интерпретации Больцмана. Нужно понимать, что в конце века электродинамика и термодинамика были достаточно изучены, при этом идеи Больцмана вызывали довольно бурную полемику, особенно в Германии. И Планк стал первым из физиков после самого Больцмана, который использовал его методы. Тот факт, что идеи Больцмана привели его к успеху, поразил самого Планка, и по сравнению с этим квантовая гипотеза отходила на второй план. Как мы увидели, Планк был вынужден прибегнуть к ней, чтобы достичь нужного результата, а именно соответствия закону, который он открыл несколькими месяцами ранее и скрупулезно вместе с Рубенсом проверил его соответствие экспериментальным данным. Только использование квантовой теории позволяло привести расчет вероятностных состояний системы осцилляторов к ожидаемому результату.

Если статьи Эйнштейна (1879-1955) или Шрёдингера (1887-1961) можно сравнить с сочинениями Моцарта, они наполнены вдохновением и внутренней логикой, то статья Планка, опубликованная в 1901 году в Annalen der Physik, похожа на джазовую композицию, а его формула ε = hν — на гениальную импровизацию.

В письме Р. В. Вуду 30 лет спустя Планк размышлял над своей работой и называл то, что сделал, «актом отчаяния».

«Я бился шесть лет (с 1894 года) над проблемой равновесия между излучением и веществом без каких бы то ни было успехов. Я понимал, что эта проблема имеет фундаментальную важность для физики, и я узнал формулу, описывающую распределение энергии в нормальном спектре (то есть спектр черного тела); следовательно, требовалось найти любой ценой теоретическую интерпретацию, однако эта цена могла быть высокой».

Имперский физикотехнологический институт в районе Шарлоттенбург в Берлине. Здесь проводились исследования излучения черного тела, которые привели Планка к формулировке квантовой гипотезы.

Генрих Рубенс, профессор Имперского института физики и технологии в лаборатории. Ему удалось с огромной точностью измерить интенсивность излучения черного тела в инфракрасной части спектра. Эти исследования имели определяющее значение для работы Планка.

Когда Планку пришлось использовать выражение ε = hν, он воспринимал его как исключительно формальное предположение, однако эти формальные костыли привели ученого к искомому результату. Впоследствии многие физики указывали на радикальные последствия этой на первый взгляд невинной гипотезы.

Начало несчастий

Первые годы XX века были самыми счастливыми в жизни Планка. Он был женат на Марии Мерк (1861-1909), у него родились дети — Карл, Грета, Эмма и Эрвин. У него была прекрасная репутация исследователя и профессора, в доме Планков встречались музыканты, ученые, студенты и интеллектуалы той эпохи. Благодаря жалованью профессора и писательским гонорарам ученый не был стеснен в средствах и при этом периодически получал помощь от состоятельного тестя. И весь этот чудесный мир пошатнулся после смерти его жены в 1909 году. Хотя спустя совсем короткое время Планк женился вновь, несчастья с тех пор не оставляли его.

Сына Карла Планк потерял во время войны, в 1916 году. В 1917 году через неделю после родов умерла его дочь Грета. Вторая дочь, Эмма, взяла на себя заботы о ребенке. Ее дружеские отношения со свояком переросли в нечто большее, и Эмма вышла замуж за вдовца в январе 1919 года. Но в декабре этого же года Эмма повторила судьбу своей сестры — она тоже умерла после родов.

В письме Максу Борну Эйнштейн рассказывает, как тяжело ему было видеть Планка после смерти Эммы и как он не мог сдержать слез. Перед смертью второй дочери Планк писал своему коллеге Рунге:

«На Земле есть еще много прекрасных вещей и великих дел, которые нужно совершить, в конце концов ценность жизни определяется тем, как она была прожита. И так каждому человеку вновь приходится возвращаться к своему долгу продолжать жить дальше и выказывать своим близким ту любовь, которой он хотел бы, чтобы любили его».

Вторая жена Планка, Марга фон Хёсслин (1882-1948), всегда поддерживала мужа, а испытаний на его долю выпало немало. В письме, которое Марга написала в 1948 году Эйнштейну, мы читаем: «Он [Планк] полностью раскрывал свои человеческие качества только в семье». С Маргой у Планка родился пятый сын, Герман. Второй брак, забота о двух внучках, воспитанием которых ученый занимался лично, близкие отношения с сыном Эрвином помогли ему пережить несчастья.

Первая мировая война: от манифеста 93-х до отречения Вильгельма I

Германия вторглась в Бельгию 4 августа 1914 года. Макс Планк был в то время ректором Берлинского университета. Начало войны он воспринял с воодушевлением. Волна патриотизма захлестнула всю страну, и большинство немецких ученых и интеллектуалов испытывали те же настроения. Это объясняет появление манифеста, который был подготовлен в ответ на обвинения германской стороны в зверствах при вторжении в Бельгию. Манифест, опубликованный 4 октября 1914 года, носил название «К культурному миру», но больше он известен как Манифест 93-х, так как документ подписали 93 немецких интеллектуала. Среди них были великие немецкие ученые того времени: Планк, а также Габер, Клейн, Ленард, Нернст, Оствальд, Вин и многие другие. Текст был написан драматургом Людвигом Фульдой. Имеются основания полагать, что ни Планк, ни некоторые другие подписавшиеся текст манифеста не читали (что не снимает с них ответственности).

Этот документ воплощал фанатичный патриотизм и содержал фразы вроде: «Вильгельм II за 26 лет своего правления проявлял себя как блюститель всеобщего мира», «Неправда, что наши войска зверски свирепствовали в Лувене. Против бешеных обывателей, которые коварно нападали на них в квартирах, они с тяжелым сердцем были вынуждены в возмездие применить обстрел части города» или даже «Без немецкого милитаризма немецкая культура была бы давным-давно уничтожена в самом зачатке».

Планк и его коллеги не могли или не хотели верить, что те же самые молодые люди, которые несколько месяцев назад смеялись в университетских коридорах, теперь вступили в армию и сожгли библиотеку в Лувене. Речи Планка в качестве ректора и ученого, его письма 1914 года коллегам и членам семьи проникнуты патриотическими чувствами и милитаристской риторикой. В письме 1914 года Вину мы можем прочесть:

«Кроме всех ужасов, есть какое-то неожиданное величие и красота: простое решение всех трудных вопросов национальной политики благодаря сплоченности всех партий, возвышение всего, что есть хорошего и благородного».

Но в 1915 году Планк стал более сдержанным в оценках и вскоре в кругу близких начал высказывать сомнения относительно приверженности к Манифесту 93-х. В этой новой сдержанности определяющую роль сыграл Хендрик Антон Лоренц (1853-1928), практически безоговорочно занимавший вершину европейской теоретической физики конца XIX — начала XX века. Лоренц, с которым Планк поддерживал хорошие отношения, жил в нейтральных Нидерландах и владел языками всех сторон конфликта: немецким, английским и французским. Этот факт, а также его способность к состраданию помогали Лоренцу понимать, какое горе война приносила в оба враждующих лагеря.

Лоренц в своих письмах объяснил Планку, что немецкие войска действительно совершили зверские преступления в Бельгии. В течение 1915 года ученые виделись дважды, в Берлине и в Лейдене, и могли обменяться своими впечатлениями о войне. С этого момента Планк начал активную общественную деятельность. С одной стороны, он хотел показать своим соотечественникам, что Германия также ответственна за развязывание войны и что не всегда ее войска вели себя славно и достойно. С другой стороны, старания ученого были направлены на сохранение международных научных связей. В конце концов, война рано или поздно закончится, а наука не знает границ.

В начале 1916 года Планк отправил Лоренцу открытое письмо с просьбой опубликовать его и передать выдающимся ученым других стран. Это письмо представлялось ученому неким публичным оправданием за ошибку, которую он совершил, подписав Манифест 93-х. И хоть и не безоговорочно, но Планк приобрел имидж умеренного и честного человека у обеих сторон конфликта. В письме ученый объяснял, что Манифест был подписан главным образом с целью поддержать немецкие войска в начале этой судьбоносной для Германии войны; что история должна будет анализировать факты и определять степень вины; что несмотря на войну и страдания, которые она вызывает, существуют области интеллектуальной и нравственной жизни, которые лежат за пределами национальных различий.

Летом 1915 года, когда немцы использовали отравляющие газы против войск союзников при Ипре, началась открытая конфронтация между немецкими, с одной стороны, и английскими и французскими учеными — с другой. Ведущие немецкие химики, возглавляемые будущими лауреатами Нобелевской премии Фрицем Габером (1868-1934) и Отто Ганом (1879— 1968), активно участвовали в подготовке атаки. В ответ французы исключили этих ученых из своих академий. Подобные меры обсуждались и в английских научных обществах. Планк выступал против того, чтобы Берлинская академия физики и математики принимала меры в отношении академий вражеских стран. Благодаря его участию было принято решение отложить все эти действия до конца войны. Также в Берлинском университете Планк прилагал много усилий, призывая своих коллег к большей сдержанности, чтобы избежать разрыва связей с другими странами.

В конце войны, когда рушилась монархия Вильгельма II, в письме Эйнштейну в октябре 1918 года особенно хорошо выражен дух и образ мыслей Планка:

«И здесь есть еще кое-что, что я ясно вижу и ради чего я готов трудиться так хорошо, как только умею: для нас будет большим счастьем, даже спасением, если венценосец сам, добровольно отречется от своих прав. Я не могу идти дальше слова «добровольно» в данном вопросе, потому что, во-первых, я должен быть верным своей клятве и, во-вторых, есть то, чего вы никогда не поймете, [...] не знаю, жалость и нерушимая приверженность к тому, чему я принадлежу, к тому, что воплощено в фигуре монарха».

Вильгельм II отрекся от трона 9 ноября 1918 года. После провозглашения Веймарской Республики Планк выразил поддержку Немецкой народной партии — крайне правой партии националистического толка.

Гибель карла под Верденом

Карлу Планку было 25 лет, когда его отец стал ректором Берлинского университета. В это время у Карла не было постоянной работы, он страдал от депрессий. Макс Планк связывал проблемы своего сына с общими трудностями поколения, которое не могло отличить то, чего оно хочет, от того, что может совершить.

Когда вспыхнула война, Карл поступил в артиллерийское училище, Эрвин отправился на фронт, а их сестры начали работать в Красном Кресте. В этот момент Макс Планк был подхвачен патриотическим духом, который господствовал в немецком обществе. В письме своей сестре в сентябре 1914 года он ликует: «В какие славные времена мы живем! Какое прекрасное чувство — называть себя немцем!»

Битва при Вердене продолжалась почти весь 1916 год, с февраля по декабрь. Наступление немецких войск в районе Вердена имело целью не столько разгромить, сколько измотать французскую армию. Развертывание операции происходило так же, как и в других немецких наступлениях на Западном фронте: многообещающее начало, практически полный разгром французской армии, позиционная война и частичное восстановление сил французов. В Верденской операции погибло более 200 тысяч человек. Одним из них стал Карл Планк.

Карл погиб 26 мая 1916 года от ран, полученных в бою. Планк видел, как его коллеги теряли сыновей (такое же горе пришлось пережить и близкому знакомому Планка, Вальтеру Нернсту, лауреату Нобелевской премии в области химии 1920 года), но признавал, что «страдание, которое приносит война, по-настоящему ранит того, кто чувствует его на своем собственном теле». К гибели сына примешивалось чувство неудовлетворенности от того, что он как отец не понимал Карла до войны. Сын так и не смог заняться тем, что имело бы ценность в глазах отца. Призыв в армию и смерть в бою изменили все. В одном из писем Планк с горечью признает: «Если бы не было войны, я никогда не узнал бы его ценность, а сейчас, когда я знаю ее, я потерял его». Как далеко позади остались патриотические призывы, звучавшие в начале войны!

Охотник за талантами

Планк всегда поддерживал лучших ученых своей страны и старался помогать им. Он не только заботился о своих учениках в Берлине, но лично развернул активную деятельность для того, чтобы лучшие немецкоговорящие физики перебрались в его город. С этой целью в период между 1905 и 1930 годами он использовал все свое влияние, находясь на разных ответственных постах. Все те люди, кто был связан с Планком, отмечают его доброжелательность и прекрасный характер. Встречи у него дома, музыкальные вечера, научные дискуссии, поездки в горы — все это придавало месту в окружении Макса Планка дополнительную привлекательность.

После смерти Больцмана в 1906 году Планк подумывал о том, чтобы принять предложение от Венского университета и занять место Больцмана на кафедре теоретической физики. В конце концов он решил остаться в Берлине, и сюда для работы с прославленным ученым переехала Лиза Мейтнер, талантливая воспитанница Больцмана. Планк принял Лизу в своем доме и, хотя первоначально был настроен скептически из-за того, что Мейтнер была женщиной, впоследствии все больше поддерживал ее, понимая ее исключительную одаренность.

Мейтнер начала работать в Институте химии при университете с Отто Ганом (он также был частым гостем в доме Планков) и между 1907 и 1938 годами интенсивно занималась проблемами ядерной физики. Химик Ган и физик Мейтнер сделали немало открытий в эти годы. Важнейшее из них — расщепление ядра урана — было осуществлено в конце их совместной работы, когда Мейтнер пришлось покинуть Германию из-за своего еврейского происхождения.

В 1912 году Планк назначил Лизу Мейтнер своим ассистентом и таким образом обеспечил ей научный заработок, ведь ее деятельность в Институте химии не оплачивалась. Более того, женщина-ученый Мейтнер не имела права пользоваться главным входом в институт, и специально для нее в подвале была сделана дверь. По всей видимости, ученые мужи не могли смириться с дамой-ученым, и один взгляд на нее в коридорах института отвлекал их от высокой миссии. Через несколько лет Мейтнер была назначена адъюнкт-профессором института с более соответствующим ее статусу жалованьем. В 1914 году она получила прекрасное предложение от Пражского университета, однако Планк приложил все силы, чтобы Лиза осталась в Берлине, и ради этого убедил директора института Фишера вдвое увеличить ее жалованье.

В 1918 году Мейтнер и Ган открыли протактиний. В 1919 году она получила профессорское звание, вероятно став первой женщиной-профессором в Германии.

Планк и музыка

В Европе в конце XIX — начале XX века музыка была необходимой составляющей хорошего воспитания. Во многих буржуазных домах имелись фортепиано. Согласно архивным данным, в 1845 году в Париже было более 60 тысяч фортепиано. В XIX веке Германия стала центром европейской музыки. Немцами были великий Бетховен, родившийся в Бонне, Брамс, родившийся в Гамбурге, а также Мендельсон, Шуман, Вагнер и Малер. Большинство величайших композиторов XIX века были немцами. Многие из физиков, с которыми был знаком Планк, тоже хорошо играли на каком- либо инструменте. Эйнштейну покорились фортепиано и скрипка, Гейзенберг имел репутацию прекрасного пианиста. Пауль Эренфест (1880- 1933), нидерландский физик австрийского происхождения и близкий друг Альберта Эйнштейна, играл на фортепиано. Вместе с Эйнштейном они с удовольствием исполняли сонаты Брамса. Планк пел в университетском хоре и писал музыку — ему принадлежит оперетта под названием Liebe im Walde («Любовь в лесу»). Во время религиозных служб в университете ученый играл на органе, музицировал на фортепиано и виолончели. Кроме того, он имел талант композитора. В те времена Германия переживала такой расцвет музыки, какого больше не было нигде и никогда. Музыка всегда была частью мира Планка. После его переезда в Берлин Имперский физико-технологический институт получил большую фисгармонию, сделанную по заказу министерства. Планк был назначен ответственным за проверку инструмента и возможности его использовать для вокального сопровождения. Этот эпизод ясно говорит о глубине музыкальных познаний Планка.

Планк и Мейтнер всегда тесно общались, именно он убедил Лизу остаться на должности даже после введения расистских законов. Мейтнер выдержала до 1938 года, а затем бежала из страны не без риска для жизни, так как на тот момент выезд был сильно затруднен. Если бы не Планк, скорее всего, она покинула бы Германию на несколько лет раньше.

Еще один пример деятельности Планка по привлечению талантов в немецкую науку — сам Эйнштейн. После того как Планк прочел в 1905 году его статьи по фотоэффекту и специальной теории относительности, он заинтересовался молодым ученым. В 1913 году Вальтер Нернст и Макс Планк поехали на отдых с семьями в Цюрих и посетили там Эйнштейна, чтобы убедить его перебраться в Берлин.

Лиза Мейтнер и расщепление урана

Когда Лиза Мейтнер была вынуждена бежать из Германии, она совместно с Отто Ганом и Фрицем Штрассманом (1902-1980) проводила эксперименты над ураном, бомбардируя его ядро нейтронами. Ученые пытались воспроизвести опыты Энрико Ферми, которые должны были привести к получению новых трансурановых элементов. Когда Мейтнер уже была в безопасности в Стокгольме, 19 декабря 1938 года она получила письмо от Гана, в котором тот сообщал ей последние результаты: среди остатков облученного урана они нашли вещество, которое предварительно приняли за радий, но которое было, без сомнений, радиоактивным барием. Атомный вес урана 238, бария — 137. В это время к Мейтнер в Швецию на рождественские каникулы приехал ее племянник, также физик, Отто Фиш. Она показала Фишу письмо Гана, и тетушка с племянником пошли прогуляться.

Лиза Мейтнер и Отто Ган работают в лаборатории.

Искра атомной бомбы