Том 31. Тайная жизнь чисел. Любопытные разделы математики

6 = 2·3 = (1 + i√5)·(1 — i√5).

К примеру, целое число 6 (если принять, что 1 = —1) можно разложить на множители двумя разными способами.

Как говорится в пословице, нет худа без добра. Куммер начал охоту за доказательством теоремы Ферма, описав идеальные числа, и знаменитая недоказуемая теорема

Не существует тройки целых чисел х, у, z, которые удовлетворяли бы равенству хn  + уn = zn для n > 2

была доказана для 100 первых показателей степени (n  < 100). Оставалось доказать ее для бесконечного множества чисел.

Эрнст Куммер.

Эрнст Куммер не только увлекался нумерологией, но также был ярым патриотом и славился неспособностью запомнить основы элементарной арифметики — обычные таблицы умножения. Когда ему нужно было использовать таблицу умножения в классе, он обращался к ученикам: «Семь на девять будет… эээ …» — тут какой-нибудь ученик, желая напакостить, обычно подсказывал неверный ответ: «Семь на девять будет шестьдесят один». «Нет, нет, шестьдесят девять», — подсказывал другой ученик, присоединяясь к общему веселью. И тогда бедному Куммеру не оставалось ничего другого, как невинно сказать: «Ну же, господа, давайте остановимся на чем-нибудь одном». Но правильный ответ был необходим, и Куммер начинал рассуждать логически. Сколько же будет 7·9? Числа 60, 62, 64, 66 и 68 не подходят, так как они четные, 61 и 67 не подходят, потому что они простые, 65 не подходит потому, что оканчивается на 5 и, следовательно, делится на 5. 69 тоже не подходит, так как очевидно, что оно слишком велико. Остается 63 — таким и должен быть ответ. Следовательно, 7·9 = 63.

1 + 1 = 2 и другие элементарные равенства

Немецкий математик Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле (1805–1859) питал к числам особые чувства. Рассказывают, что даже ложась спать, он клал под подушку том «Арифметических исследований» Гаусса. А когда у Дирихле родился первый ребенок, он отправил тестю телеграмму:

2 + 1 = 3.

Яснее выразиться невозможно: раньше их было двое, и вот на свет появился третий. Кроме того, телеграммы в то время были очень дороги, так что послание Дирихле было не только лаконичным, но и дешевым. Он не первым и не последним использовал равенство, вынесенное в заголовок: сам Сократ ломал голову над выражением «1 + 1 = 2», будучи не в силах убедиться в его очевидности. Но что можно ожидать от человека, выбравшего своим девизом фразу «Я знаю только то, что ничего не знаю»?

Австрийский физик и математик Людвиг Больцман (1844–1906) как-то стал героем забавной сцены. Ученый умел быстро выполнять расчеты в уме, поэтому его занятия часто были настоящей пыткой для присутствующих: Больцман пропускал множество действий, так как считал очевидными вычисления, произведенные в уме, и даже не записывал их на доске. На одной из лекций его попросили все же расшифровать ход своих мыслей. Больцман покорно пообещал исправиться и продолжил рассуждения: «Как я уже говорил, поскольку pv = p₀v₀(1 + at) и так далее, и так далее», — однако по-прежнему ничего не записал. Закончил он свою непонятную лекцию бессмертной фразой: «Я верю, что все сказанное выше будет для вас столь же очевидным, как и то, что один плюс один равно двум». И тут, вспомнив о своем обещании записывать все вычисления, он подошел к девственно чистой доске и записал: «1 + 1 = 2».

Несколько позже Бертран Рассел (1872–1970) и Альфред Норт Уайтхед (1861–1947) удивили весь научный мир, создав на заре XX века (в 1910–1913 годах) невероятно сложный и почти недоступный для понимания трехтомный труд по логике, который, вслед за Ньютоном, назвали «Начала математики». Очевидное для непосвященных равенство «1 + 1 = 2», вынесенное в заголовок этой главы, во втором томе книги приводилось как теорема под номером 54.43, а весь первый том, можно сказать, подготавливал для него почву. Чтобы вы могли оценить всю «увлекательность» «Начал математики», приведем лишь один факт: редакция одной уважаемой газеты учредила премию для того, кто докажет, что прочел всю книгу. Премия так и осталась невостребованной. Какое-то время в редакции теплилась надежда, что хотя бы один из соавторов прочел книгу целиком, но эти ожидания были напрасными: и Уайтхед, и Рассел прочли только лично написанную часть труда.

Фрагмент «Начал математики», в котором приводится строгое доказательство равенства 1 + 1 = 2. Сначала, как иронично указано в тексте (здесь явно слышится шутливый тон Рассела), нужно определить операцию сложения.

Небольшие ошибки

Огюстен Луи Коши (1789–1857) как-то раз получил по почте объемный труд по теории чисел, в котором доказывалось, что диофантово уравнение

x3 + y3 + z3 = t3

не имеет целых решений. Коши, который отличался саркастичным и довольно насмешливым характером, отправил автору трактата письмо, состоявшее из одной строки:

33 + 43 + 53 = 63.

Нечто подобное произошло с прекрасным французским математиком Альфонсом де Полиньяком (1817–1890), известным сегодня как автор гипотезы о простых числах, представляющей собой обобщение гипотезы Гольдбаха. Полиньяк провозгласил:

Любое нечетное число можно представить как сумму степени двойки и простого числа.

Гипотеза не только впечатляла, но и выглядела вполне правдоподобно. Рассмотрим любое число, например 63:

63 = 25 + 31.

Так как 31 простое, то, похоже, гипотеза Полиньяка верна. Прибавим еще один факт: Полиньяк дал понять, что проверил свою гипотезу для всех чисел вплоть до 3000000. Однако, видимо, в его вычисления вкралась ошибка: уже для числа 127 гипотеза не выполняется. Перечислим шесть первых степеней двойки и убедимся в том, что это и в самом деле так:

127 = 21 + 125 = 21 + 5·25;

127 = 22 + 123 = 22 + 3·41;

127 = 23 + 119 = 23 + 7·17;

127 = 24 + 111 = 24 + 3·37;

127 = 25 + 95 = 25 + 5·19;

127 = 26 + 63 = 26 + 3·21.

Однако следующей степенью двойки будет уже 28 = 128 — число, большее 127. Таким образом, несмотря на заявления Полиньяка, его гипотеза не выполняется для числа 127.

Удивительные расчеты

Следующая история произошла на собрании Американского математического общества в октябре 1903 года. Математик Фрэнк Нельсон Коул (1861–1926) должен был выступить с докладом на тему «О разложении больших чисел на множители».

Выступление Коула было не совсем обычным: он поднялся с места, подошел к доске и записал на ней 267—1 — число Мерсенна М₆₇, которое считалось простым. Далее Коул вычислил значение 267 и вычел из него 1. Присутствующие затаили дыхание, а Коул записал на доске еще два числа и вычислил их произведение: 193707721 x 761838257287. Полученное число 147573952589676412927, как и ожидалось, было равно искомому числу М₆₇. Коул развернулся и проследовал на свое место.

Его доклад длился целый час, и за это время ученый не произнес ни слова. Однако аудитория все равно разразилась аплодисментами.

Следует отметить, что в 1903 году еще не существовало ни калькуляторов, ни алгоритмов, которые используются для работы с числами Мерсенна сегодня. По словам Коула, все необходимые расчеты он провел «за три года по воскресеньям».

В честь этого математического подвига Американское математическое общество учредило премию Коула, которая и сегодня остается очень престижной. За поиском простых чисел Мерсенна можно следить в интернете на сайте проекта Great Internet Mersenne Prime Search (http://www.mersenne.org/default.php). Самым большим простым числом, известным на февраль 2013 года, было М_57885161 — действительно большое число, состоящее из 17 425 170 цифр. И еще: М_5788М61 начинается с цифры 5. Больше об этом числе — ни слова.

Очень большое число

В математике можно говорить о сколь угодно больших числах — конечных, но очень больших, огромных, колоссальных. В 1938 году девятилетний племянник известного математика Эдварда Казнера (1878–1955) придумал число гугол, которое казалось ему невообразимо большим, практически бесконечным. Милтон Сиротта — так звали племянника — определил гугол как единицу, за которой следует 100 нулей.

В математической нотации это число записывается так:

1 гугол = 10100.

Гугол кажется не слишком впечатляющим — куда больше впечатляет гуголплекс, определяемый как 1, за которым следует гугол нулей:

Долгие годы невинное изобретение Сиротты упоминалось в учебниках математики как любопытная диковинка, пока не появился Google. Этот компьютерный гигант был основан в 1998 году двумя молодыми американскими математиками — Ларри Пейджем (род. 1973) и Сергеем Брином (род. 1973). Сначала проектом компании был только поисковый механизм, который со временем занял важное место в интернете, а затем за ним последовали и другие проекты. Название компании представляет собой один из способов написать слово «гугол». На момент создания Google было проиндексировано всего 24 миллиона интернет-страниц, что достаточно далеко от обещанного гугола, но, как мы знаем, математикам часто присущ оптимизм.

Сага о числе 1729

Число 1729 считается мифическим благодаря известной истории о двух математиках — англичанине Годфри Харолде Харди (1877–1947) и индийце Сринивасе Рамануджане (1887–1920). Харди рассказывал, что как-то раз, навещая Рамануджана в больнице, он, чтобы завести с больным непринужденную беседу, сказал, что приехал на такси с номером 1729 — по словам Харди, это число было «ничем не примечательным». «Вовсе нет, — тут же ответил Рамануджан, — это наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы кубов двумя различными способами». И действительно,

1729 = 123 + 13 = 93 + 103.

На доказательство этого утверждения, которое у Рамануджана родилось мгновенно, Харди потратил несколько недель. Позднее число 1729 дало начало целому подразделу теории чисел, который изучает так называемые числа Рамануджана — Харди.

Этот рассказ очень известен и подтвержден документально. Он позволяет понять, как работает ум гениального математика, каким Рамануджан, без сомнений, был. Однако не будем забывать о том, чем эта история закончилась, и здесь не обойтись без упоминаний еще об одном гении из мира математики и физики — о нобелевском лауреате Ричарде Фейнмане (1918–1988).

Как рассказывает сам Фейнман в книге «Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!», число 1729 помогло ему победить японского продавца счетов, который заявил, что может выполнять действия с числами быстрее всех. Убедившись, что чем сложнее становились вычисления, тем чаще Фейнман выигрывал, японец предложил ему задачу на извлечение кубических корней. Он попросил Фейнмана выбрать число, из которого нужно было извлечь кубический корень — и допустил промашку, потому что Фейнман сразу же выбрал 1729. Это число не вызвало у продавца подозрений, а

что можно с легкостью записать на бумаге и разложить в ряд Тейлора:

Этих членов уже достаточно для того, чтобы получить

Фейнман тут же одержал над продавцом победу. Рамануджан, должно быть, с улыбкой смотрел на это с небес, из нирваны или любого другого места, где он сейчас находится.

Индийская марка, выпущенная в честь Сринивасы Рамануджана — величайшего математика в истории Индии.

Харди, Бог и гипотеза Римана

О выдающемся математике и писателе Годфри Харолде Харди рассказывают множество анекдотов, мы же приведем один из самых известных. Понять всю незаурядность Харди помогает список целей, составленный ученым. Наряду с довольно прозаичными пунктами в нем значилось следующее.

1. Доказать гипотезу Римана.

2. Набрать победное очко в важном крикетном матче.

3. Убить Муссолини.

4. Доказать, что Бога не существует.

О первом желании, с которым связан известный исторический анекдот, мы и расскажем. Однако вначале представим основных действующих лиц:

— Годфри Харолд Харди, прекрасный математик, известный прежде всего тем, что открыл для западного мира удивительного индийца Сринивасу Рамануджана;

— Бог, который не требует представления и которого Харди считал своим личным врагом;

— гипотеза Римана — несомненно, важнейшая гипотеза современной математики, которая по-прежнему остается недоказанной.

Изложим события согласно версии Дьёрдя Пойа (1887–1985), в которой можно оценить способности Харди и проследить за его математическими рассуждениями. Харди возвращался из Дании, где встретился с математиком Харальдом Бором, братом знаменитого физика Нильса Бора. Перед отплытием корабля в Англию погода испортилась, и вероятность того, что корабль попадет в шторм и потерпит крушение, была довольно высока. И тогда Харди отправил Бору открытку со словами: «Я доказал гипотезу Римана». Харди рассуждал следующим образом: если бы корабль утонул, то весь мир благодаря Бору узнал бы, что Харди доказал гипотезу Римана. Но Бог не мог допустить, чтобы его заклятый враг Харди обрел незаслуженную славу, поэтому он не дал бы кораблю утонуть. Таким образом, корабль не мог потерпеть крушение, что и требовалось доказать. Само собой, Харди по воле Бога добрался до Англии без происшествий.

Удивительно, но если путем Харди пойдет обычный человек, то он легко может допустить логическую ошибку. Так, часто рассказывают о некоем статистике, который вычислил вероятность того, что кто-то пронесет на борт самолета бомбу, и после этого стал каждый раз брать с собой в полет бомбу в чемодане. По его словам, вероятность присутствия на борту сразу двух взрывных устройств значительно меньше, чем вероятность присутствия одного. Разумеется, это вовсе не корректный статистический вывод, а обыкновенная наивность.

Очень похожую историю рассказывают о Давиде Гильберте (1862–1943), однако в ней речь идет о теореме (в то время — гипотезе) Ферма. Как-то раз Гильберт сообщил своим коллегам из далекого города, в котором он должен был вступить

Ноль и ничто

Во время интервью, которое выдающийся мыслитель Бертран Рассел дал индийскому писателю Разипураму Лаксману (род. 1924), словоохотливый Рассел заметил, что Индия не дала миру ничего: «You indians, have invented absolutely nothing» («Вклад индийцев в науку и культуру равен нулю») — сказал Рассел. Лаксман был ошеломлен: фраза показалась ему не просто невежливой — услышать ее из уст такого джентльмена было попросту немыслимо, к тому же она не соответствовала истине. Однако Лаксман не успел возразить: хитрый Рассел пояснил, что слово nothing, «ничто», следует понимать буквально. Nothing означает «ноль» — именно это имел в виду Рассел. Индийцы изобрели ноль — это и есть их важнейший вклад в науку.